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2024年广东省茂名市高州市九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年广东省茂名市高州市九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分）
1. 数0，－3，，中最小是（ ）
A. 0B. －3C. D.
2. 下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2023年江西为办好10件民生实事，加大创业担保贷款扶持力度，决定增加安排担保基金6000万元．将6000万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 函数解析式为B. 蓄电池的电压是18V
C. 当时，D. 当时，
7. 2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：95，95，95，95，96，96，关于这组数据，下列描述正确的是（ ）
A. 中位数是95B. 众数是95.5C. 平均数是95.25D. 方差是0.01
8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？”设绳子长x尺，长木长y尺，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.以BC中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为( ).
A. B. C. D. π
10. 如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（ ）
A. 6.4B. C. D.
二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11 分解因式：______．
12. 若在实数范围内有意义，则x取值范围_______．
13. 若，则________．
14. 如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______．
15. 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，，有以下四个结论：①；②；③；④，你认为其中正确的是________．（填序号）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
16. （1）计算：
（2）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC，求证：AB＝AC.
17. 下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题．
，其中的值从的整数解中选取．
18. 如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点P，使（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题（二）（本大题4小题，19至21每小题8分，第22小题9分共33分）
19. 如图，已知反比例函数，的图象与直线交于点，，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线的表达式和的值．
20. 如图，是的直径，为的切线，D为上的一点，，延长交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
21. 为贯彻落实《教育部办公厅关于做好中小学生课后服务工作的指导意见》要求，某校在课后延时服务时间开展了音美、体育、文学社、计算机四类社团活动，每个学生只选择一类活动参加（要求必须选择且只能选择一类活动）．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生共有___________人，其中参加音美社团的有___________人；
（2）若该校有学生人，估计全校参加文学社的学生有多少人？
（3）某班有2男（记为，）、2女（记为，）共4名学生参加计算机社团，现从中随机抽取2名学生参加校计算机大赛活动，请用树状图或列表法计算恰好抽到一男一女的概率．
22. 某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，列表记录了开工天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．为描述剩余未修道路长度与开工数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择，，．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式；
（2）若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23. 【课本再现】
（1）正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．
（2）【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，．
①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，当点与点重合时，求的长．
24. 如图（1），抛物线y＝a（x+2）（x－8）（a＜0）图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，若△ABC的面积为20．
（1）求a的值，并判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由；
（2）如图（2）将△ABC沿x轴翻折，点C的对称点是点D，若点P是抛物线在第一象限图像上的一个动点，设点P的横坐标为m，连接AP、DP，求当m为何值时，△ADP的面积最大；
（3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标．
2023-2024学年度第二学期学情练习（第15周）九年级数学试卷
学校：________姓名：________班级：________考号：________
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分）
1. 数0，－3，，中最小的是（ ）
A. 0B. －3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴最小的实数是，
故选：B．
本题考查了实数大小比较的方法，熟练掌握知识点是解题的关键．
2. 下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式的运算法则即可分别判断求解.
【详解】解：A选项：，故正确，不符合题意；
B选项：，故正确，不符合题意；
C选项：，故不正确，符合题意；
D选项：，故正确，不符合题意.
故选：C.
本题主要考查了整式的运算法则，解题的关键在于熟练掌握完全平方公式、平方差公式、积的乘方以及合并同类项.
3. 2023年江西为办好10件民生实事，加大创业担保贷款扶持力度，决定增加安排担保基金6000万元．将6000万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当绝对值时，n是正整数，当原数的绝对值时，n负整数．
【详解】解：，
故选：B．
本题考查了科学记数法的表示方法，熟记概念是解题的关键．
4. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看是上下两个矩形，两矩形的公共边是虚线，
故选：C．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式组要先求出两个不等式的解集，然后依据解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，确定不等式组解集，在数轴上表示；注意带有等号的数在数轴上用实心表示，没有等号用空心圈表示，即可得出选项．
【详解】解：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：C．
题目主要考查求不等式组解集以及解集在数轴上的表示，难点是对在数轴上表示实心点和空心圈的区分．
6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 函数解析式为B. 蓄电池的电压是18V
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，
故选：C．
本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
7. 2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：95，95，95，95，96，96，关于这组数据，下列描述正确的是（ ）
A. 中位数是95B. 众数是95.5C. 平均数是95.25D. 方差是0.01
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【详解】解：把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为95、95，故中位数为，故选项A符合题意；
这组数据出现最多的数是95，故众数为95，故选项B不符合题意；
这组数据的平均数是，故选项C不符合题意；
这组数据的方差为，故选项D不符合题意；
故选：A．
本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，掌握各自的定义及计算方法是解题关键．
8. 《孙子算经》是中国古代重要数学著作，其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？”设绳子长x尺，长木长y尺，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设绳子长尺，木长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设绳子长尺，木长尺，根据题意得：
．
故选：B
本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为( ).
A. B. C. D. π
【答案】C
【解析】
【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，又由∠A=90°可得四边形AEOD是矩形，得出∠DOE=90°，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
【详解】解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵∠A=90°，
∴四边形AEOD是矩形，
∴∠DOE=90°，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD=AE=AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=，
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴==．
故选C．
本题考查了切线的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值．
10. 如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（ ）
A. 6.4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分析，得证，得出，再结合圆周角定理，得出点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】∵四边形是矩形
∴
∵，
∴
∵
∴
即
∴
即点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内
如图：
当E在线段上时，则此时取最小值
则
∴长度的最小值为
故选：C
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质、勾股定理，圆周角定理，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
解得：．
故答案为：．
13. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可得到答案．
详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______．
【答案】2：3##
【解析】
【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3，
∴它们对应高线的比为2：3，
故答案为：2：3．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比是解题的关键．
15. 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形对角线相交于点，连结，，有以下四个结论：①；②；③；④，你认为其中正确的是________．（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．
①由，可知；②根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到；③由②相似知：，可得；则，证明，则，即可作答．
④由，可证，根据对应边成比例即可．
【详解】解：①正方形和正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
，
；
①正确，符合题意；
②∵和都是等腰直角三角形，
，
又，
，
②正确，符合题意；
③，
，
；
则，
∵
∴，
则，
∵，
∴
③错误，不符合题意；
④，
，
，
，
，
，
，
④正确，符合题意；
故选：①②④．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
16. （1）计算：
（2）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC，求证：AB＝AC.
【答案】（1）-2 （2）见解析
【解析】
【分析】(1)根据公式及三角函数值求解即可.
(2) 由AD与BC平行，根据两直线平行同位角相等及内错角相等，可得∠1=∠B，∠2=∠C，又∠1=∠2，等量代换可得∠B=∠C，再根据等角对等边可得AB=AC．
【详解】解：(1)原式=1-4+1=-2.
故答案为：-2.
(2) 证明：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠C，（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2，（已知）
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．（等角对等边）
此题考查了负指数次幂、三角函数值、等腰三角形以及平行线的判定等，熟练掌握基本的运算公式及图形的性质是解决此类题的关键.
17. 下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题．
，其中的值从的整数解中选取．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
，为整数，且和0，
，
原式．
18. 如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点P，使（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，得出AF∥BE，由作图过程可知AF=BE，结合AB=BE即可证明；
（2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接AE和BF，交点即为点P．
【详解】解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∵AF=BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=BE，
∴平行四边形ABEF为菱形；
（2）如图，点P即为所作图形，
∵四边形ABEF为菱形，则BF⊥AE，
∴∠APB=90°．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是利用相应的性质进行画图．
四、解答题（二）（本大题4小题，19至21每小题8分，第22小题9分共33分）
19. 如图，已知反比例函数，的图象与直线交于点，，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线的表达式和的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）过点作轴于点，根据，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，证明，得出，代入中，即可求解；
（2）根据直线过点，，两点的坐标分别为，，，，得出直线的表达式为，在中，由勾股定理，得,进而根据余弦的定义即可求解．
【小问1详解】
解：过点作轴于点
，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，
，
∴
，两点的坐标分别为，
∴，
∴．
把代入中，得．
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
设直线的表达式为
直线过点，，两点的坐标分别为，，，，
，
即
即直线的表达式为，
由（1）知．，
在中，由勾股定理，得,
在中，,
．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，全等三角形的性质与判定，求角的余弦，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
20. 如图，是的直径，为的切线，D为上的一点，，延长交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，含30度角直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，求不规则图形的面积：
（1）利用等边对等角证明，，推出，即可证明为的切线；
（2）作于点F，连接，根据直角三角形斜边中线的性质及垂径定理求出、的长，结合求解即可．
【小问1详解】
证明：连接OD，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：作于点F，连接，
由可得，是斜边的中线
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∵过圆心，，
∴，
∴．
21. 为贯彻落实《教育部办公厅关于做好中小学生课后服务工作的指导意见》要求，某校在课后延时服务时间开展了音美、体育、文学社、计算机四类社团活动，每个学生只选择一类活动参加（要求必须选择且只能选择一类活动）．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）抽取学生共有___________人，其中参加音美社团的有___________人；
（2）若该校有学生人，估计全校参加文学社的学生有多少人？
（3）某班有2男（记为，）、2女（记为，）共4名学生参加计算机社团，现从中随机抽取2名学生参加校计算机大赛活动，请用树状图或列表法计算恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1），
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）用参加体育社团的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数，进而求出参加音美社团的人数；
（2）用乘以样本中参加文学社的人数占比即可得到答案；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽到一男一女的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：人，
∴抽取的学生共有人，
∴参加音美社团的有人，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：人，
答：估计全校参加文学社的学生有人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率为．
本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，列表记录了开工天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．为描述剩余未修道路长度与开工数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择，，．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式；
（2）若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度．
【答案】（1）图见解析，
（2）之后几天平均每天比原计划多修千米
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数的应用及待定系数法确定函数解析式，理解题意，确定函数解析式是解题关键．
（1）在坐标系中描出点，根据图象选择一次函数，利用待定系数法确定函数解析式即可．
（2）令，由得，，所以按照原计划还需天可修完，还有千米，平均每天需要修千米．因为要提前一天完成任务，所以之后几天需要每天修（千米）．因为（千米），所以之后几天平均每天比原计划多修千米．
【小问1详解】
解：描点如图，
根据图象选择函数，
将，代入得
得，
解得，
．
【小问2详解】
令，由得，，
按照原计划还需天可修完，还有千米，平均每天需要修千米．
要提前一天完成任务，
之后几天需要每天修（千米）．
（千米），
之后几天平均每天比原计划多修千米．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23. 【课本再现】
（1）正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．
（2）【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，．
①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，当点与点重合时，求的长．
【答案】（1）没有变化．理由见解析
（2）①．理由见解析；②
【解析】
【分析】(1)在和中,利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论；
(2)①过点作于点，于点，利用相似三角形的性质证明即可；②利用①中结论，求出，可得结论．
【小问1详解】
没有变化
理由如下：在正方形和正方形中，
，，，
，，
，
在和中，
，，，
，
，
，
正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一
；
【小问2详解】
如图3中，过点作于点，于点
四边形是正方形，
，
，，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图4中，
，
，，，
，，
，
，
，
.
本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题
24. 如图（1），抛物线y＝a（x+2）（x－8）（a＜0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，若△ABC的面积为20．
（1）求a的值，并判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由；
（2）如图（2）将△ABC沿x轴翻折，点C的对称点是点D，若点P是抛物线在第一象限图像上的一个动点，设点P的横坐标为m，连接AP、DP，求当m为何值时，△ADP的面积最大；
（3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）a=，△ABC为直角三角形；（2）m=7时，△ADP面积有最大值；（3）Q的坐标为：Q（，）或Q （，）．
【解析】
【分析】(1)根据抛物线表达式,得出A,B两点坐标,确定AB的长，再根据△ABC的面积求出OC的长，C点坐标代入抛物线解析式求出a的值，再分别求出AC，AB，BC的长判断出△ABC的形状；
（2）过P作平行于AD的直线，AD长度固定，当P到AD距离最大时，△APD面积最大，此时过P的直线与抛物线只有一个交点，联立抛物线与过P点的直线解析式，△=0，列出等量关系，求出m的值；
（3）依据题意作出图形，利用Q点BC上方和Q在BC下方分别讨论求解．
【详解】解：（1）令y=0，则0= a（x+2）（x－8）
∴x1=﹣2，x2=8
∴A（﹣2,0），B（8,0），AB=10
∵△ABC的面积为20
∴OC=4
∴C（0,4），把C代入抛物线解析式得：
a=，
根据A，B，C三点坐标可求得AC=,BC=
又AB=10
∴
∴△ABC是∠ACB为直角的直角三角形；
（2）由题意可得D（0，﹣4）
∵△ADP的面积最大，而AD长度固定，因此求点P在何处时到AD距离最大，过P作AD的平行线，则P到AD的距离是两条平行线之间的距离，
当平行线与抛物线相切时，即只有一个交点时距离最大，
∵A(﹣2,0)，D（0，﹣4）可求得AD：y=﹣2x－4
∴设过P点平行AD的直线为：y=﹣2x+b
联立
化简得：，
△=，
解得：b=，
∴y=﹣2x+
解得： ，把x=7代入y=﹣2x+
y=，P（7，）
∴当m=7时，△ADP面积有最大值；
（3）如图，当Q在BC的上方时即Q1
∵B（8,0）设BQ1：y=kx－8k
设BQ1与y轴的交点为G，过点C作CH⊥BQ1于点H，
易得△GOB∽△GHC，根据角平分线的性质得OB=OH=8,CH=OC=4
∴
∵OG=﹣8k，
∴GH=﹣4k，
∴GB=HG+HB=8－4k，
在Rt△OGB中，
解得：k1=0（舍去），k2=
∴BQ1：y=x+
又BQ与抛物线有交点，
∴x+=
整理解得：x1=8（舍去），x2=
当x=时，y=
∴Q1（，）
②当Q在BC下方时，由对称性可知，
BQ2：y= ，与抛物线有交点，
∴=
解得：x1=8（舍去），x2=
当x=﹣4时，y=
∴Q2（，）
综上Q的坐标为：Q（，）或Q （，）
本题主要考查二次函数的综合题型，熟练掌握二次函数与三角形面积及二次函数与角度倍数关系题型的解题方法与解题思路是解题的关键，题目综合性较强难度较大．
社团活动
音美
体育
计算机
文学社
人数
60
40
40
社团活动
音美
体育
计算机
文学社
人数
60
40
40
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分）
1. 数0，－3，，中最小是（ ）
A. 0B. －3C. D.
2. 下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2023年江西为办好10件民生实事，加大创业担保贷款扶持力度，决定增加安排担保基金6000万元．将6000万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 函数解析式为B. 蓄电池的电压是18V
C. 当时，D. 当时，
7. 2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：95，95，95，95，96，96，关于这组数据，下列描述正确的是（ ）
A. 中位数是95B. 众数是95.5C. 平均数是95.25D. 方差是0.01
8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？”设绳子长x尺，长木长y尺，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.以BC中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为( ).
A. B. C. D. π
10. 如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（ ）
A. 6.4B. C. D.
二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11 分解因式：______．
12. 若在实数范围内有意义，则x取值范围_______．
13. 若，则________．
14. 如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______．
15. 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，，有以下四个结论：①；②；③；④，你认为其中正确的是________．（填序号）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
16. （1）计算：
（2）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC，求证：AB＝AC.
17. 下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题．
，其中的值从的整数解中选取．
18. 如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点P，使（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题（二）（本大题4小题，19至21每小题8分，第22小题9分共33分）
19. 如图，已知反比例函数，的图象与直线交于点，，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线的表达式和的值．
20. 如图，是的直径，为的切线，D为上的一点，，延长交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
21. 为贯彻落实《教育部办公厅关于做好中小学生课后服务工作的指导意见》要求，某校在课后延时服务时间开展了音美、体育、文学社、计算机四类社团活动，每个学生只选择一类活动参加（要求必须选择且只能选择一类活动）．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）抽取的学生共有___________人，其中参加音美社团的有___________人；
（2）若该校有学生人，估计全校参加文学社的学生有多少人？
（3）某班有2男（记为，）、2女（记为，）共4名学生参加计算机社团，现从中随机抽取2名学生参加校计算机大赛活动，请用树状图或列表法计算恰好抽到一男一女的概率．
22. 某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，列表记录了开工天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．为描述剩余未修道路长度与开工数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择，，．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式；
（2）若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23. 【课本再现】
（1）正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．
（2）【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，．
①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，当点与点重合时，求的长．
24. 如图（1），抛物线y＝a（x+2）（x－8）（a＜0）图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，若△ABC的面积为20．
（1）求a的值，并判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由；
（2）如图（2）将△ABC沿x轴翻折，点C的对称点是点D，若点P是抛物线在第一象限图像上的一个动点，设点P的横坐标为m，连接AP、DP，求当m为何值时，△ADP的面积最大；
（3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标．
2023-2024学年度第二学期学情练习（第15周）九年级数学试卷
学校：________姓名：________班级：________考号：________
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分）
1. 数0，－3，，中最小的是（ ）
A. 0B. －3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴最小的实数是，
故选：B．
本题考查了实数大小比较的方法，熟练掌握知识点是解题的关键．
2. 下列运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式的运算法则即可分别判断求解.
【详解】解：A选项：，故正确，不符合题意；
B选项：，故正确，不符合题意；
C选项：，故不正确，符合题意；
D选项：，故正确，不符合题意.
故选：C.
本题主要考查了整式的运算法则，解题的关键在于熟练掌握完全平方公式、平方差公式、积的乘方以及合并同类项.
3. 2023年江西为办好10件民生实事，加大创业担保贷款扶持力度，决定增加安排担保基金6000万元．将6000万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当绝对值时，n是正整数，当原数的绝对值时，n负整数．
【详解】解：，
故选：B．
本题考查了科学记数法的表示方法，熟记概念是解题的关键．
4. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看是上下两个矩形，两矩形的公共边是虚线，
故选：C．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式组要先求出两个不等式的解集，然后依据解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，确定不等式组解集，在数轴上表示；注意带有等号的数在数轴上用实心表示，没有等号用空心圈表示，即可得出选项．
【详解】解：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：C．
题目主要考查求不等式组解集以及解集在数轴上的表示，难点是对在数轴上表示实心点和空心圈的区分．
6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 函数解析式为B. 蓄电池的电压是18V
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，
故选：C．
本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
7. 2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国金牌选手谷爱凌第二跳分数如下：95，95，95，95，96，96，关于这组数据，下列描述正确的是（ ）
A. 中位数是95B. 众数是95.5C. 平均数是95.25D. 方差是0.01
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【详解】解：把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为95、95，故中位数为，故选项A符合题意；
这组数据出现最多的数是95，故众数为95，故选项B不符合题意；
这组数据的平均数是，故选项C不符合题意；
这组数据的方差为，故选项D不符合题意；
故选：A．
本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，掌握各自的定义及计算方法是解题关键．
8. 《孙子算经》是中国古代重要数学著作，其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？”设绳子长x尺，长木长y尺，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设绳子长尺，木长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设绳子长尺，木长尺，根据题意得：
．
故选：B
本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧DE的长为( ).
A. B. C. D. π
【答案】C
【解析】
【分析】连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，又由∠A=90°可得四边形AEOD是矩形，得出∠DOE=90°，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45°，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
【详解】解：连接OE、OD，
设半径为r，
∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∵∠A=90°，
∴四边形AEOD是矩形，
∴∠DOE=90°，
∵O是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD=AE=AC，
∴AC=2r，
同理可知：AB=2r，
∴AB=AC，
∴∠B=45°，
∵BC=，
∴由勾股定理可知AB=2，
∴r=1，
∴==．
故选C．
本题考查了切线的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值．
10. 如图，矩形中，，，P是边上一个动点，连接，在上取一点E，满足，则长度的最小值为（ ）
A. 6.4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分析，得证，得出，再结合圆周角定理，得出点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】∵四边形是矩形
∴
∵，
∴
∵
∴
即
∴
即点E 的运动轨迹为以的中点为圆心O，为半径，且在矩形内
如图：
当E在线段上时，则此时取最小值
则
∴长度的最小值为
故选：C
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质、勾股定理，圆周角定理，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
解得：．
故答案为：．
13. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可得到答案．
详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______．
【答案】2：3##
【解析】
【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3，
∴它们对应高线的比为2：3，
故答案为：2：3．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比是解题的关键．
15. 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形对角线相交于点，连结，，有以下四个结论：①；②；③；④，你认为其中正确的是________．（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．
①由，可知；②根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到；③由②相似知：，可得；则，证明，则，即可作答．
④由，可证，根据对应边成比例即可．
【详解】解：①正方形和正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
，
；
①正确，符合题意；
②∵和都是等腰直角三角形，
，
又，
，
②正确，符合题意；
③，
，
；
则，
∵
∴，
则，
∵，
∴
③错误，不符合题意；
④，
，
，
，
，
，
，
④正确，符合题意；
故选：①②④．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
16. （1）计算：
（2）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC，求证：AB＝AC.
【答案】（1）-2 （2）见解析
【解析】
【分析】(1)根据公式及三角函数值求解即可.
(2) 由AD与BC平行，根据两直线平行同位角相等及内错角相等，可得∠1=∠B，∠2=∠C，又∠1=∠2，等量代换可得∠B=∠C，再根据等角对等边可得AB=AC．
【详解】解：(1)原式=1-4+1=-2.
故答案为：-2.
(2) 证明：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠C，（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2，（已知）
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．（等角对等边）
此题考查了负指数次幂、三角函数值、等腰三角形以及平行线的判定等，熟练掌握基本的运算公式及图形的性质是解决此类题的关键.
17. 下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题．
，其中的值从的整数解中选取．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
，为整数，且和0，
，
原式．
18. 如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点P，使（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，得出AF∥BE，由作图过程可知AF=BE，结合AB=BE即可证明；
（2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接AE和BF，交点即为点P．
【详解】解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∵AF=BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=BE，
∴平行四边形ABEF为菱形；
（2）如图，点P即为所作图形，
∵四边形ABEF为菱形，则BF⊥AE，
∴∠APB=90°．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是利用相应的性质进行画图．
四、解答题（二）（本大题4小题，19至21每小题8分，第22小题9分共33分）
19. 如图，已知反比例函数，的图象与直线交于点，，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线的表达式和的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）过点作轴于点，根据，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，证明，得出，代入中，即可求解；
（2）根据直线过点，，两点的坐标分别为，，，，得出直线的表达式为，在中，由勾股定理，得,进而根据余弦的定义即可求解．
【小问1详解】
解：过点作轴于点
，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，
，
∴
，两点的坐标分别为，
∴，
∴．
把代入中，得．
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
设直线的表达式为
直线过点，，两点的坐标分别为，，，，
，
即
即直线的表达式为，
由（1）知．，
在中，由勾股定理，得,
在中，,
．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，全等三角形的性质与判定，求角的余弦，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
20. 如图，是的直径，为的切线，D为上的一点，，延长交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，含30度角直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，求不规则图形的面积：
（1）利用等边对等角证明，，推出，即可证明为的切线；
（2）作于点F，连接，根据直角三角形斜边中线的性质及垂径定理求出、的长，结合求解即可．
【小问1详解】
证明：连接OD，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：作于点F，连接，
由可得，是斜边的中线
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∵过圆心，，
∴，
∴．
21. 为贯彻落实《教育部办公厅关于做好中小学生课后服务工作的指导意见》要求，某校在课后延时服务时间开展了音美、体育、文学社、计算机四类社团活动，每个学生只选择一类活动参加（要求必须选择且只能选择一类活动）．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）抽取学生共有___________人，其中参加音美社团的有___________人；
（2）若该校有学生人，估计全校参加文学社的学生有多少人？
（3）某班有2男（记为，）、2女（记为，）共4名学生参加计算机社团，现从中随机抽取2名学生参加校计算机大赛活动，请用树状图或列表法计算恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1），
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）用参加体育社团的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数，进而求出参加音美社团的人数；
（2）用乘以样本中参加文学社的人数占比即可得到答案；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽到一男一女的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：人，
∴抽取的学生共有人，
∴参加音美社团的有人，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：人，
答：估计全校参加文学社的学生有人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率为．
本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，列表记录了开工天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．为描述剩余未修道路长度与开工数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择，，．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式；
（2）若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度．
【答案】（1）图见解析，
（2）之后几天平均每天比原计划多修千米
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数的应用及待定系数法确定函数解析式，理解题意，确定函数解析式是解题关键．
（1）在坐标系中描出点，根据图象选择一次函数，利用待定系数法确定函数解析式即可．
（2）令，由得，，所以按照原计划还需天可修完，还有千米，平均每天需要修千米．因为要提前一天完成任务，所以之后几天需要每天修（千米）．因为（千米），所以之后几天平均每天比原计划多修千米．
【小问1详解】
解：描点如图，
根据图象选择函数，
将，代入得
得，
解得，
．
【小问2详解】
令，由得，，
按照原计划还需天可修完，还有千米，平均每天需要修千米．
要提前一天完成任务，
之后几天需要每天修（千米）．
（千米），
之后几天平均每天比原计划多修千米．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23. 【课本再现】
（1）正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．
（2）【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，．
①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，当点与点重合时，求的长．
【答案】（1）没有变化．理由见解析
（2）①．理由见解析；②
【解析】
【分析】(1)在和中,利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论；
(2)①过点作于点，于点，利用相似三角形的性质证明即可；②利用①中结论，求出，可得结论．
【小问1详解】
没有变化
理由如下：在正方形和正方形中，
，，，
，，
，
在和中，
，，，
，
，
，
正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一
；
【小问2详解】
如图3中，过点作于点，于点
四边形是正方形，
，
，，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图4中，
，
，，，
，，
，
，
，
.
本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题
24. 如图（1），抛物线y＝a（x+2）（x－8）（a＜0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，若△ABC的面积为20．
（1）求a的值，并判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由；
（2）如图（2）将△ABC沿x轴翻折，点C的对称点是点D，若点P是抛物线在第一象限图像上的一个动点，设点P的横坐标为m，连接AP、DP，求当m为何值时，△ADP的面积最大；
（3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）a=，△ABC为直角三角形；（2）m=7时，△ADP面积有最大值；（3）Q的坐标为：Q（，）或Q （，）．
【解析】
【分析】(1)根据抛物线表达式,得出A,B两点坐标,确定AB的长，再根据△ABC的面积求出OC的长，C点坐标代入抛物线解析式求出a的值，再分别求出AC，AB，BC的长判断出△ABC的形状；
（2）过P作平行于AD的直线，AD长度固定，当P到AD距离最大时，△APD面积最大，此时过P的直线与抛物线只有一个交点，联立抛物线与过P点的直线解析式，△=0，列出等量关系，求出m的值；
（3）依据题意作出图形，利用Q点BC上方和Q在BC下方分别讨论求解．
【详解】解：（1）令y=0，则0= a（x+2）（x－8）
∴x1=﹣2，x2=8
∴A（﹣2,0），B（8,0），AB=10
∵△ABC的面积为20
∴OC=4
∴C（0,4），把C代入抛物线解析式得：
a=，
根据A，B，C三点坐标可求得AC=,BC=
又AB=10
∴
∴△ABC是∠ACB为直角的直角三角形；
（2）由题意可得D（0，﹣4）
∵△ADP的面积最大，而AD长度固定，因此求点P在何处时到AD距离最大，过P作AD的平行线，则P到AD的距离是两条平行线之间的距离，
当平行线与抛物线相切时，即只有一个交点时距离最大，
∵A(﹣2,0)，D（0，﹣4）可求得AD：y=﹣2x－4
∴设过P点平行AD的直线为：y=﹣2x+b
联立
化简得：，
△=，
解得：b=，
∴y=﹣2x+
解得： ，把x=7代入y=﹣2x+
y=，P（7，）
∴当m=7时，△ADP面积有最大值；
（3）如图，当Q在BC的上方时即Q1
∵B（8,0）设BQ1：y=kx－8k
设BQ1与y轴的交点为G，过点C作CH⊥BQ1于点H，
易得△GOB∽△GHC，根据角平分线的性质得OB=OH=8,CH=OC=4
∴
∵OG=﹣8k，
∴GH=﹣4k，
∴GB=HG+HB=8－4k，
在Rt△OGB中，
解得：k1=0（舍去），k2=
∴BQ1：y=x+
又BQ与抛物线有交点，
∴x+=
整理解得：x1=8（舍去），x2=
当x=时，y=
∴Q1（，）
②当Q在BC下方时，由对称性可知，
BQ2：y= ，与抛物线有交点，
∴=
解得：x1=8（舍去），x2=
当x=﹣4时，y=
∴Q2（，）
综上Q的坐标为：Q（，）或Q （，）
本题主要考查二次函数的综合题型，熟练掌握二次函数与三角形面积及二次函数与角度倍数关系题型的解题方法与解题思路是解题的关键，题目综合性较强难度较大．
社团活动
音美
体育
计算机
文学社
人数
60
40
40
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