重庆市铜梁中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.
4.考试结束后，将答题卷交回.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知分别是平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
2. 已知双曲线的虚轴长为4，离心率为，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A B. C. 10D. 12
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 7
5. 直线与圆相切，则
A. -2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或12
6. 已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ）
A. 244B. 243C. 242D. 241
7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A. B. AB与平面所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
8. 如图，抛物线的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，l与y轴相交于E点．已知，记的面积为的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程为：，，另一组对边，.则下列命题正确的有（ ）
A.
B. 与、距离相等的点的轨迹方程为
C. 该菱形的四个顶点共圆
D. 该菱形的面积为定值
11. 已知等差数列前项和为，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（ ）
A. 直线与直线的斜率相等B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，为原点，则外接圆方程为__________.
13. 已知四面体是棱的中点，设，则________（用向量表示）.
14. 设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，，则C的离心率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16. 已知函数（为自然对数的底数）
（1）若在点处的切线方程为3x＋y＋7＝0，求a的值；
（2）讨论的单调性．
17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，E为BC的中点.

（1）证明：；
（2）若为锐角三角形，求直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围.
18. 设椭圆，圆，点，分别为E的左右焦点，点C为圆心，O为原点，线段的垂直平分线为l．已知E的离心率为，点关于直线l的对称点都在圆C上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与椭圆E相交于A，B两点，问：是否存在实数m，使直线与的斜率之和为？若存在，求实数m的值；若不存在，说明理由．
19. 已知整数，集合，对于中的任意两个元素，，定义A与B之间的距离为．若且，则称是是中的一个等距序列．
（1）若，判断是否是中的一个等距序列？
（2）设A，B，C是中的等距序列，求证：为偶数；
（3）设是中等距序列，且，，．求m的最小值．