2024年陕西省西安市交通大学附属中学中考四模数学试题（原卷版+解析版）

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2．领到试卷和答题卡后，请用0.5 毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 年春节期间，我市某天的最低气温为，最高气温为，则这天最高气温比最低气温高（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键，由最低气温为，最高气温为，可知最高气温比最低气温高
【详解】解：这一天的最高气温比最低气温高，
故选．
2. 如图是一个圆柱在中间截去一部分得到的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看，以及看得到的用实线，看不到的用虚线表示，准确掌握定义是解题的关键．
根据从左边看得到的图形是左视图，以及看不到的用虚线表示，即可得出结论．
【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：D．
3. 光的折射是指光从一种介质斜射人另一种介质时，传播方向发生改变，从而使光线在不同介质的界处发生偏折，如图是水平放置在桌面上的一杯水，水面与杯底平行，将吸管放入水F后，在水面H处发生折射得到，点G位于杯底，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到，关键是由平行线的性质推出．
【详解】解： ，
，
，
．
故选：C．
4. 计算：=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，掌握积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把幂相乘是解题的关键．
【详解】解：，
故选D．
5. 在平面直角坐标系中，若直线经过第二象限，则直线一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
一次函数的图象有四种情况：
①当，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当时，函数的图象经过第二、三、四象限．
根据一次函数的性质和题意，可知，再根据直线即可得出结论．
【详解】解：∵直线经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴直线不经过第一象限，
故选：A．
6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴是直角三角形，是斜边，
又∵是边上的中线，
∴
故选：D．
7. 如图，内接于，，是的直径，若，则的度数为（ ）

A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．添加合适的辅助线是解题的关键．
连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
8. 已知点，，，在抛物线上，且，则与之间的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴是解题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴抛物线开口向上，，
∵，
∴．
故选:．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据题意求得，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵点表示的数为，，垂足为，且，
∴
∵
∴表示的数为
故答案为：．
10. “剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．如图是一个正六边形剪纸，将其放在平面直角坐标系中，边在x轴上，若点E的坐标为，则点A的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外角和，解直角三角形的应用，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键．过点作轴于点，根据正多边形的外角和，得到，再利用锐角三角函数分别求出，，即可得到点A的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
正六边形的外角和为，
正六边形的每个外角为，即，
点E的坐标为，
，
在中，，，
，，
点A的坐标为，
故答案为：
11. 点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，熟知图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
先求得点A关于x轴对称的点的坐标为，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得，则，再解二元一次方程组，进而可求解．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，
点关于x轴对称的点为，
，
由，
解得
，
故答案为：3．
12. 如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移至，则，连接，得出四边形是平行四边形，则，，根据题意可得，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，平移至，则，连接,
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∵在正方形中，，是对角线上两点
∴
∴
在中，
∴
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
13. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值，零指数幂，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，
根据去绝对值，零指数幂，二次根式的运算法则计算即可
【详解】解：
14. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），能求出不等式是解此题的关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
故此不等式组的解集为：．
15. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，把分式方程转化为整式方程，但要记得验根，
把分式方程转化为整式方程求解即可
【详解】解：
整理得：
去分母得：
去括号得：
合并同类项：
解得：，
经检验分式方程的解，
是原分式方程的根
16. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
作于点E，则，作平分，交一点P，则，故．
【详解】解：如图，作于点E，作平分，交于点P， 点P即为所求．
，
即
，
，
平分，
则，
．
17. 如图，在中，是边上一点，过点作，且，连接交于点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定，证明和全等，从而证明．
【详解】证明：，
；
和是对顶角，
；
∵，
，
．
18. 将1，2，3，4四个数字分别写在4张无差别不透明的卡片正面，卡片洗匀后正面朝下放在桌子上，小佳和小航按照以下规则进行游戏：两人使用同一枚棋子，轮流抽一张卡片，抽完后放回，抽中的数字是几，就将棋子前进几格（如图所示），开始时棋子在数字“1”格子内，小佳先抽卡片．请解答下列问题：
（1）小佳第一次抽出卡片，棋子前进到数字“3”那一格的概率为________．
（2）请利用列表或画树状图的方法，求小佳和小航第一次抽完卡片后，棋子前进到数字“7”那一格的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵一共有4张卡片，其中使棋子前进到数字“3”那一格的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小佳第一次抽出卡片，棋子前进到数字“3”那一格的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格可知，共有16种等可能性的结果数，和为6即骰子前进到数字“7”那一格的情况有3种，
∴骰子前进到数字“7”那一格的概率为．
19. 在进行氯化钠溶液配置实验中，小明配置了一瓶质量分数为20%的氯化纳溶液，小兰配置了一瓶质 量分数为25%的氯化钠溶液，两人用已配制好的溶液混合恰好得到质量分数为22%的氮化钠溶液，已知小明配置的溶液质量比小兰配置的溶液质量多7克，求两人配置的氯化钠溶液质量各有多少克？（提示：氯化钠质量=氯化钠溶液质量×质量分数）
【答案】小兰配置的氯化钠溶液质量为克，小明配置的溶液质量为克
【解析】
【分析】设小兰配置的氯化钠溶液质量为克，则小明配置的溶液质量为克，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设小兰配置的氯化钠溶液质量为克，则小明配置的溶液质量为克，依题意，
解得：，
∴克．
答：小兰配置的氯化钠溶液质量为克，小明配置的溶液质量为克．
20. 为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：
请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（结果精确到．参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，解直角三角形的应用，理解题意，弄清线段间的数量关系，直角三角形中的边角关系是解题的关键．
方案一：可利用，利用相似三角形的性质求出，进而求出；
方案二：在中求出，在中求出，进而求出．
【详解】解：方案一：由题意，，
，
，
解得
，
答：教学楼的高约为；
方案二：由题意，可知，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
答：教学楼的高约为；
21. 新能源汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较燃油汽车都有明显优势．某品牌新能源车为了满足客户需求，提升服务质量，推出如下新能源汽车充电售后服务表：
设充电方式为安装私人充电桩的总费用为（元），充电方式为品牌公共充电桩的总费用为（元），累计充电的度数为x（度）．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）请分别求出，与x之间的函数表达式；
（2）已知某客户计划两年内居住在同一地方，且每年汽车行驶的里程约10000公里，请你分析该客户选择哪种充电方式更合算，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）客户选择品牌公共充电桩更合适．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系正确列出函数解析式．
（1）根据总费用等于安装费用加上用电费用即可求解，
（2）先计算出两年内行驶总里程需要充多少电，再把用电量分别代入解析式求解出费用进行比较即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
则与x之间的函数表达式为，与x之间的函数表达式为；
【小问2详解】
解：该客户两年内汽车累计充电的度数为（度），
当时，
（元），
（元），
∵，
答：客户选择品牌公共充电桩更合适．
22. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校在七、八年级举行航天知识竞赛，并从两个年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩作为调查对象，整理数据并绘制了如下频数分布直方图．（竞赛成绩均为整数，满分10分，成绩得分用x表示，共分成4组：A：；B：；C：；D：）
七年级学生竞赛成绩频数分布直方图
七年级学生在C 组的竞赛成绩具体数据是：6，7，7，7，7
八年级学生的竞赛成绩如下：
8，7，9，3，5，6，7，8，3，4，8，8，10，9，5，8，9，7，8，4
分析数据绘制成如下统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，_______；
（2）若该校七年级有500名学生参加了此次知识竞赛，八年级有300名学生参加了此次知识竞赛，请估计两个年级本次竞赛成绩不低于8分的学生总人数；
（3）你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航天知识掌握得更好？请说明理由．
【答案】（1）7，6.8；
（2）估计两个年级本次竞赛成绩不低于8分的学生总人数为375名
（3）八年级的学生对航天航空知识掌握更好，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了频数（率）分布直方图，平均数，众数，中位数，方差及用样本估计总体，熟练掌握众数，中位数，方差及用样本估计总体的计算方法进行求解是解集本题的关键．
（1）分别根据中位数和平均数的定义解答即可；
（2）根据用样本估计总体即可；
（3）比较两个年级的平均数、众数、中位数和方差可得答案．
【小问1详解】
解：（1）把七年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为7，7，
中位数，
八年级的平均数为：
故答案为：7，6.8；
【小问2详解】
解：七年级抽取的20名学生的竞赛成绩在D组的有9名同学，八年级抽取的20名学生的竞赛成绩在D组的有10名同学，
（名），
答：估计两个年级本次竞赛成绩不低于8分学生总人数为375名；
【小问3详解】
解：八年级的学生对航天航空知识掌握更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，且八年级的方差低于七年级的，八年级的成绩更稳定，所以八年级的学生对航天航空知识掌握更好．
23. 如图，内接于，是的直径，平分交于点D，交于点E，延长至点F，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若的直径为6，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，等面积法，正确地找出辅助线是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等即可得到结论；
（2）过D作于H，于G，根据圆周角定理得到，根据角平分线性质得到，进而得出 四边形是正方形，，再根据圆周角定理得出，利用证明，即可求得，过C作于M，利用等面积法求出，连接，证明，即可利用相似三角形的性质即可求解
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：过D作于H，于G，连接，如图所示：
是的直径，
，
平分，
，
四边形是正方形，
，
，
，
是的直径，
在和中，
，
，
过C作于M，
在中，
，
连接，则，
，
，
，
，
24. 为了在学校举办的“青春杯”篮球赛中取得一个好成绩，小明在课后积极训练，提高投篮命中率．如图①为小明在距篮筐水平距离4m处练习跳跃投篮的示意图，篮球的运行轨迹可近似看作抛物线的一部分，已知小明的身高为1.75m，球在小明头顶上方0.25m的A处出手，且在距离篮筐B水平距离1.5m处时达到最大高度3.5m，然后精准落入篮筐B内，以小明起跳点O为原点，建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求篮球运行轨迹所在抛物线的函数表达式；
（2）跳跃投篮练习结束后，小明准备练习原地投篮（不起跳），通过跳跃投篮的经验分析，若球出手时到头顶的距离及篮球运动的抛物线形状均与跳跃投篮相同，则小明要原地投中篮筐；应该向前走多远？（投篮时，球从下方穿过篮筐无效）
【答案】（1）
（2）应该向前走多远米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数图象的平移；
（1）依题意，抛物线的顶点，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得小明的起跳高度为米，进而将抛物线向下平移得出，令，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，抛物线的顶点，
设抛物线解析式为
将代入得
解得：
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：令，则，
∴
∴小明的起跳高度为米，
当不起跳时，
即
当时，
解得：
（舍去），
答：小明要原地投中篮筐；应该向前走多远米
25. 问题提出：
（1）如图①，已知的周长为30，其内切圆的半径为2，则的面积为_______．
问题探究：
（2）如图②，在四边形中，，以为边作等边，使得点E在边上且，点F是等边的内心，求点F到边的距离；
问题解决：
（3）如图③所示的四边形为某公园的平面图，市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即，点E到的距离为，在广场的边上装满彩灯，并在的内心F处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉F处到边上修建一条最短的地下水渠以便抽水，已知，据了解彩灯每米30元，修建水渠每米60元，当彩灯费用最少时，求装满彩灯和修建水渠的总花费是多少？（结果保留根号）
【答案】（1）（2）2（3）元
【解析】
【分析】（1）分别过点O作，，，则可得，进而可得的面积为的周长内切圆的半径，即可求解．
（2）过点F作，连接并延长交于M点，连接．由点F是等边的内心，可得，，，．根据三角函数的定义可求得、的长，则可得的长．又由，可得，根据三角函数的定义可求得的长，即点F到边的距离．
（3）在边上取一点P，使，过P点作直线，则E点在直线上．作A点关于直线的对称点，连接交直线于E点，此时的周长最小．由勾股定理求出的长，即可知的周长最小值，求出．过E点作于M点，根据面积法即可求出的长．作于Q，根据勾股定理求出的长，作作于N，连接、、、 ，根据面积法即可求出的长，最后再求出总费用即可．
【详解】解：如图①，分别过点O作，，，如图：
（图①）
∵其内切圆的半径为2，
∴，，
∵已知的周长为30，
∴，
则的面积为，
（2）如图②，过点F作，连接并延长交于M点，连接，
（图②）
是等边三角形，
，，
点F是等边的内心，
∴平分，平分，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
点F到边的距离为2．
（3）
（图③）
如图③，在边上取一点P，使，过P点作直线，则直线与间的距离为，
∴E点在直线上．
，，
．
延长至，使，
则点与A 点关于直线对称．
连接交直线于E点，
则，
则，
此时的周长最小．
由勾股定理得，
．
过E点作于M点，
则，，
，
，
又，，
，
，
．
平分，且，
∴F点在上．
由（1）知，
，
，
解得．
如图④，作于Q，
则，，
，
．
作于N，连接、、、 ，
作于I，于J，则，，
由得，
∴，
，
，
解得，
∴总费用为：（元）．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形内心的性质、利用三角函数解直角三角形、勾股定理、轴对称的性质、矩形的性质以及利用面积法求三角形的高．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线，正确的计算是解题的关键．此题知识点多、综合性强、难度较大，是中考常考题型．
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
课题
测量教学楼高度
测量方案
方案一
方案二
测量工具
自制直角三角形模具，皮尺
皮尺，测角仪
测量示意图
测量步骤
甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上．
乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用 测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角．
说明
A，B，C，D，E，R均在同一平面内，测角仪高度忽略不计
测量数据
xx新能源汽车充电售后服务表
充电方式
安装费用（元）
充电服务费标准（元/度）
安装私人充电桩
2700
06
品牌公共充电桩
0
1.5
温馨提示：综合工况下，1度电汽车可行驶8公里
平均数
中位数
众数
方差
七年级
6.8
a
7
6.16
八年级
b
7.5
8
4.26