福建省三明市大田县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中的无理数为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，无理数是无限不循环小数，熟练掌握概念是解题的关键．
根据无理数的概念即可判断．
【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意；
B、0是有理数，故本选项不符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、开方开不尽，是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 2024年3月5日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到2023年全国城镇新增就业1244万人．将数据12440000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将12440000写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故选D．
3. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合体的形状即可求出答案．
【详解】解：该主视图是：底层是3个正方形横放，右上角有一个正方形，左上角有一个正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是根据组合体的形状进行判断．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、除法法则等知识点，能正确根据法则求出每个式子的值是解此题的关键．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法法则逐项进行判断即可解答．
【详解】解：A、，本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算正确，符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，本选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．掌握对称点的坐标规律是解决本题的关键．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于y轴的对称点的坐标是即可得解答．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是．
故选：A．
6. 已知，，，，若n为整数且，则n的值为（ ）
A. 43B. 44C. 45D. 46
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
由已知条件的提示可得，即，然后结合即可解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，n为整数，
∴．
故选C．
7. 如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点A和点B的坐标建立坐标系即可得到答案．
【详解】解：如图所示，根据题意可建立如下坐标系，
∴点C坐标为，
故选：A．
8. 如图，是的直径，分别切于点B，C，若，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质、四边形的内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
如图：连接，根据切线的性质可得、，再结合已知条件可得，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，最后根据四边形的内角和定理列式计算即可．
【详解】解：如图：连接，
∵分别切于点B，C，
∴，，
∵，
∴，
∵,
∴,
∴,
∵,
∴．
故选B．
9. 若从，，0，1，2中随机选取一个数作为k的值，则关于x的方程有实数根的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了概率公式的应用，一元二次方程的判别式，解一元一次方程，掌握相关知识并分类讨论是解题的关键．根据关于的方程有实数根，分“”和“”两种情况讨论，求得的取值范围，即可得到符合题意的数值，再利用概率公式求即可．
【详解】解：关于的方程有实数根，
当时，且，
解得且，
当时，原方程化为，有实数根，
综上所述，，
符合条件的的值有，0，1共3个，
故方程有实数根的概率为．
故答案为：．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C均在抛物线上，且点B在y轴上．若四边形为正方形，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象及性质，正方形性质，完全平方公式应用．根据题意可知对称轴为轴，可得和点，根据正方形性质可得，再将点代入函数解析式即可得到的关系，即可得到本题答案．
【详解】解：∵点A，B，C均在抛物线上，且点B在y轴上，
∴，即：，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴将点代入中得：，
∴，
∵，
∴，即：，
∴的最小值为，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. △ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝_____度．
【答案】70
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可直接解答．
【详解】∵△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理是解题的关键.
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟知平方差公式是解题的关键．
13. 规定，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，理解并掌握规定的新运算法则，是解题的关键．
原式利用已知的新定义计算即可得到结果．
【详解】由新定义可得，
，
故答案为．
14. 已知一组数据，，，，的平均数为4，则，，，，的平均数为______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数的定义，灵活运用平均数的定义成为解题的关键．
先根据平均数的定义可得，然后再根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数为4，
∴，
∴、、、、的平均数为：
．
故答案为：7．
15 已知实数a满足，则______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，分式的加法运算，根据已有的等式整体代入求值是解题的关键．
根据得出，然后整体代入求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为12．
16. 如图，在矩形中，．为中点，是线段（不含端点）上的动点，连结．设交于点为中点，连结．在下列结论中：①为的垂直平分线；②四点可能共圆；③周长的最小值为；④若为中点，则为等边三角形．正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形性质和将军饮马问题，
证明，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，结合，由垂直平分线的判定即可判定①正确，根据，，即可判定四点不共圆；即②错误；根据将军饮马模型作点关于的对称点，连接，的周长，当N、F、D三点共线时，的周长最小，最小值为即可得出③正确，由为等边三角形反推F点不是中点，即可判定④错误．
【详解】解：∵在矩形中，．中点，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴为的垂直平分线；故①正确，
∵，，
∴四点不可能共圆；故②错误；
作点关于的对称点N，连接，
∴，，
∴的周长，
∴当N、F、D三点共线时，的周长最小，最小值为ND，
，
∴周长的最小值为；故③正确；
在上取一点Q，使，连接，如图，
若为等边三角形．则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴
∴，即，点F不是中点，故④错误，
综上所述：正确结论是①③，
故答案为①③．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂以及零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
18. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握运用加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键．
直接运用加减消元法解答即可．
【详解】解：，
得，解得．
把代入①，得，解得．
所以原方程组解为．
19. 如图，点在线段上，，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定．
20. 如图，在锐角三角形中，．
（1）在上求作点D，使得，不写作法，保留作图痕迹；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，解直角三角形．
（1）作的垂直平分线，交于点D，即可；
（2）分别求得，，再根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图，点D为所求．
；
【小问2详解】
解：由（1）得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即．
∴．
又∵，
∴，
∴．
则．
∴的面积．
21. 为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取25家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据进行整理、描述和分析．已知这25家企业B项指标成绩的平均值为分，中位数为分；A项指标成绩的频数分布直方图如图所示，其中按从小到大的顺序连续排列的10个数据为：．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）写出这25家企业A项指标成绩的中位数；
（2）在此次调研评估中，某企业A，B两项指标成绩都是7.5分，判断该企业成绩排名更靠前的是A项指标还是B项指标（在同一项指标中得分越高，排名越靠前），说明你的理由．
（3）若该地区共有200家企业，估计A项指标成绩超过8分的企业数量．
【答案】（1）这25家企业A项指标成绩的中位数为
（2）该企业成绩排名更靠前的是B项指标，理由见解析
（3）估计A项指标成绩超过8分的企业数量为72家
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数的定义、运用中位数的定义决策、用样本估计整体等知识点，理解中位数的定义成为解题的关键．
（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义进行分析即可解答；
（3）先根据直方图确定A项指标成绩超过8分的频率为，然后再乘以企业总数即可解答．
【小问1详解】
解：A项指标的25数据从小到大排列，处于第13位的数据分别为：，这25家企业A项指标成绩的中位数为．
【小问2详解】
解：该企业成绩排名更靠前的是B项指标，理由如下：
在这25家企业中，A、B两项指标成绩的中位数对应的成绩的排名均为第13位．
由（1）知，A项指标成绩的中位数为7.6分，因为，所以A项指标排名在该企业之前的至少有13家企业；
已知B项指标成绩的中位数为7.3分，因为，所以B项指标排名在该企业之前的至多有12家企业．
所以该企业成绩排名更靠前的是B项指标．
【小问3详解】
解：根据A项指标成绩的频数分布直方图知，这25家企业中A项指标成绩超过8分的共有9家，所以A项指标成绩超过8分的频率为．
所以．
所以若该地区共有200家企业，可估计A项指标成绩超过8分的企业数量为72家．
22. 如图，在菱形中，M为的中点，与的交点为E，点F在边上，交于点G，且．
（1）求证：；
（2）若，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）由平行线的性质可得，再结合已知条件可得，再结合即可证明结论；
（2）如图：连接CG，CM．根据菱形的性质可得，进而得到为等边三角形．再说明，根据可得，进而证明，最后根据相似三角形对应角相等即可证明结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
又∵，
∴．
【小问2详解】
解：如图：连接CG，CM．
∵四边形为菱形，
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
又∵M为的中点，
∴．
又∵，
∴．
由（1）得，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
23. 已知X，Y，Z三种食物的维生素含量及成本如下表所示：
某校准备利用X，Y，Z这三种食物混合制作成100kg的营养食品提供给学生，设使用的这三种食物的质量分别是x，y，z（计量单位均为kg）．
（1）用含x，y的代数式表示z；
（2）设该食品至少需要44000单位的维生素A及48000单位的维生素B．
①证明：，；
②不考虑其他因素，试确定x，y，z的值，使该食品的成本最低．
【答案】（1）
（2）①见解析；②当，，时，该混合食品的成本最低
【解析】
【分析】此题考查了三元一次方程、解不等式等知识，读懂题意，正确列方程和不等式解题的关键．
（1）根据利用X，Y，Z这三种食物混合制作成100kg的营养食品提供给学生，设使用的这三种食物的质量分别是x，y，z（计量单位均为kg）．即可得到答案；
（2）①根据混合食品至少需要44000单位的维生素A得到，结合（1）中的结论，即可得到．根据该混合食品至少需要48000单位的维生素B，进一步即可得到；②设该混合食品的成本为Q，则，当且仅当，时上式等号成立．得到方程组，解方程组即可得到答案．
【小问1详解】
依题意，，所以．
【小问2详解】
①∵该混合食品至少需要44000单位的维生素A，
∴，即．
∴，即．
∵该混合食品至少需要48000单位的维生素B，
，即．
∴，即．
②设该混合食品的成本为Q，
则
当且仅当，时上式等号成立．
由得，，．
所以当，，时，该混合食品的成本最低．
24. 在中，M是斜边中点，将绕点M旋转到，且C，D在同侧，连接，如图1．

（1）求证：；
（2）过M作的垂线交于点E，且，连接，如图2．
①求证：；
②若，，连接，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、解直角三角形、求正切等知识点，灵活运用上述知识是解题的关键．
（1）由旋转的性质可得，根据等边对等角可得，进而得到，最后根据三角形的内角和定理即可证明结论；
（2）①如图2：连接，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形是平行四边形．进而得出A，B，C，D都在为半径的上．根据圆周角定理可得，，最后根据角的和差即可证明结论；②如图3：作，垂足为H，由勾股定理可得，进而得到；再解直角三角形可得．则，进而得到，最后根据正切的定义即可解答．
【小问1详解】
解：根据旋转的性质，．
∴．
∵M是中点，
∴．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，即．
【小问2详解】
解：①如图2：连接．

由（1）知，．
又∵，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，．
又∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
又∵，
∴平分，即．
∵M是中斜边中点，
∴．
∴A，B，C，D都在为半径的上．
∴，．
∴．
∴．
②如图3：作，垂足为H，

在中，，，，则．
∵，M是的中点，
∴．
在中，，
又∵．
∴．则，
∴．
∴在中，．
25. 在平面直角坐标系中，已知点，，直线交直线l：于点C，函数的图象过点C．
（1）求C的坐标及k的值；
（2）设原点O关于B的对称点为D，过线段上的动点P作x轴的平行线，分别交直线及函数的图象于E，F两点．
①当四边形为平行四边形时，求点P的坐标；
②求面积的最大值．
【答案】（1），
（2）①点P的坐标为；②面积的最大值为
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出直线AB的函数解析式，可设点，代入直线AB的函数解析式，求出C值，然后再用待定系数法即可求出k的值．
（2）①先利用对称的性质求出点D的坐标，设，其中，由平行四边形的性质可得出，设，由点在反比例函数的图像上得出，再由平行四边形的性质可得出，即可求出t的值，进一步可得出点P的坐标．
②同①，设．由点在函数的图像上得出，分情况当时和当时，分别求出，分别列出关于a的一元二次函数，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设直线AB的函数解析式为．
由，，得
解得：
∴直线AB的函数解析式为．
依题意，可设点，所以．
解得：．
所以．
∵函数的图象过点C，
∴，解得
【小问2详解】
①∵B关于O的对称点为D，
∴．
∵，
∴．
设，其中．
∵轴，故可设．
∵点F在函数上，
∴，
∴．
∵四边形为平行四边形，
∴．
∴．
解得：．
即点P的坐标为．
②同①，设．
∵点E在直线上，
∴，
解得：．
依题意，当时，点E与点F重合，不符合题意．
（ⅰ）当时，，
此时的面积．
当时，取得最大值．
（ⅱ）当时，，
此时
∵当时，随着t的增大而增大，
∴当时，取得最大值1．
∵，
∴面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题，二次函数的性质以及平行四边形的性质，掌握这些性质是解题的关键．食物品种
X
Y
Z
维生素A（单位/kg）
400
600
400
维生素B（单位/kg）
800
200
400
成本（元/kg）
5
5
4