福建省三明市大田县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份福建省三明市大田县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共13页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各数中的无理数为（ ）
A．B．0C．D．
2．2024年3月5日，李强总理在十四届全国人大二次会议上提到2023年全国城镇新增就业1244万人．将数据12440000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系xOy中，点关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，，若n为整数且，则n的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
7．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A．（2，2）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，3）
8．如图，AB是的直径，DB，DE分别切于点B，C，若，则的度数为（ ）
A．22°B．44°C．46°D．58°
9．若从，，0，1，2中随机选取一个数作为k的值，则关于x的方程有实数根的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在抛物线上，且点B在y轴上．若四边形OABC为正方形，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．在中，若，，则______．
12．因式分解：______．
13．规定，则______．
14．已知一组数据，，，，的平均数为4，则，，，，的平均数为______．
15．已知实数a满足，则______．
16．如图，在矩形ABCD中，．E为BC中点，F是线段AB（不含端点）上的动点，连结AE，DE，DF，EF．设AE，DF交于点G，M为DG中点，连结ME，MC．在下列结论中：
①MC为DE的垂直平分线；
②A，D，E，F四点可能共圆；
③周长的最小值为；
④若F为AB中点，则为等边三角形．
正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）
计算：
18．（8分）
解方程组：
19．（8分）
如图，点B在线段AC上，，，．求证：．
20．（8分）
如图，在锐角三角形ABC中，．
（1）在AC上求作点D，使得，不写作法，保留作图痕迹；
（2）若，，，求的面积．
21．（8分）
为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取25家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据进行整理、描述和分析．已知这25家企业B项指标成绩的平均值为7.21分，中位数为7.3分；A项指标成绩的频数分布直方图如图所示，其中按从小到大的顺序连续排列的10个数据为：6.8 6.9 7.2 7.5 7.6 7.8 7.8 7.9 8.1 8.3．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）写出这25家企业A项指标成绩的中位数；
（2）在此次调研评估中，某企业A，B两项指标成绩都是7.5分，判断该企业成绩排名更靠前的是A项指标还是B项指标（在同一项指标中得分越高，排名越靠前），说明你的理由．
（3）若该地区共有200家企业，估计A项指标成绩超过8分的企业数量．
22．（10分）
如图，在菱形ABCD中，M为AD的中点，BM与AC的交点为E，点F在边BC上，AF交BM于点G，且．
（1）求证：；
（2）若，连接CG，求证：．
23．（10分）
已知X，Y，Z三种食物的维生素含量及成本如下表所示：
某校准备利用X，Y，Z这三种食物混合制作成100kg的营养食品提供给学生，设使用的这三种食物的质量分别是x，y，z（计量单位均为kg）．
（1）用含x，y的代数式表示z；
（2）设该食品至少需要44000单位的维生素A及48000单位的维生素B．
①证明：，；
②不考虑其他因素，试确定x，y，z的值，使该食品的成本最低．
24．（12分）
在中，M是斜边AB中点，将MA绕点M旋转到MD，且C，D在AB同侧，连接BD，如图1．
（1）求证：；
（2）过M作AD的垂线交AC于点E，且，连接CD，如图2．
①求证：；
②若，，连接BE，求的值．
25．（14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点，B（0，3），直线AB交直线l：于点C，函数的图象过点C．
（1）求C的坐标及k的值；
（2）设原点O关于B的对称点为D，过线段OD上的动点P作x轴的平行线，分别交直线AB及函数的图象于E，F两点．
①当四边形OAPF为平行四边形时，求点P的坐标；
②求面积的最大值．
大田县2023—2024学年第二学期期中考试
九年级数学试题答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识与基本技能。每小题4分，满分40分。
1．D2．D3．C4．B5．A
6．C7．A8．B9．C10．C
二、填空题：本题考查基础知识与基本技能。每小题4分，满分24分。
11．70°12．13．714．715．1216．①③
三、解答题：本题共9小题，共86分。
17．本小题考查有理数的运算、绝对值、负整数指数幂、零指数幂等基础知识，考查运算能力，满分8分。
解：原式
18．本小题考查二元一次方程组的解法等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化思想，满分8分。
解法一，，得，解得．
把代入①，得，解得．所以原方程组的解为
解法二由①得③，把③代入②，得，解得．
把代入③，得．所以原方程组的解是
解法三
得．即．③
得．④
得，解得．
把代入③，得．所以原方程组的解是
19．本小题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，满分8分．
证明：∵∴．
又∵，，∴，∴．
20．本小题考查尺规作图、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想，满分8分。
解法一：（1）如图，点D为所求．
（2）由（1）得，，∴
又∵，∴，∴，即．
∴．
又∵，∴，∴．
则．∴的面积．
解法二：（1）如图，点D为所求．
（2）同解法一．
21．本小题考查中位数、条形统计图等基础知识，考查运算能力、推理能力、数据分析观念、应用意识，考查统计与概率思想，满分10分。
（1）依题意，这25家企业A项指标成绩的中位数为7.6．
（2）该企业成绩排名更靠前的是B项指标，理由如下：
在这25家企业中，A、B两项指标成绩的中位数对应的成绩的排名均为第13位．
由（1）知，A项指标成绩的中位数为7.6分，因为，所以A项指标排名在该企业之前的至少有13家企业；
已知B项指标成绩的中位数为7.3分，因为，所以B项指标排名在该企业之前的至多有12家企业．
所以该企业成绩排名更靠前的是B项指标．
（3）根据A项指标成绩的频数分布直方图知，这25家企业中A项指标成绩超过8分的共有9家，所以A项指标成绩超过8分的频率为．
因为．
所以若该地区共有200家企业，可估计A项指标成绩超过8分的企业数量为72家．
22．本小题考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的性质，邻补角，比例的性质等基础知识；考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念；考查化归于转化思想；满分10分。
（1）∵，∴
∵，∴
∵，∴
又∵，∴．
（2）连接CG，CM．
∵四边形ABCD为菱形，∴．
∵，∴为等边三角形．∴．
又∵M为AD的中点，∴．又∵，∴．
由（1）得，，∴．∴．∴．
又∵，∴．∴．∴．
23．本小题考查等式的性质、不等式的性质、二元一次方程组等基础知识，考查运算能力、推理能力、应用意识与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想，满分10分。
（1）依题意，，所以．
（2）因为该混合食品至少需要44000单位的维生素A，
所以，即．
所以，即．
因为该混合食品至少需要48000单位的维生素B，
，即．
所以，即．
（3）设该混合食品的成本为Q，
则
当且仅当，时上式等号成立．
由得，，．
所以当，，时，该混合食品的成本最低．
24．本小题考查直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆的有关性质、一元二次方程等基础知识，考查推理能力、运算能力、空间观念、几何直观与创新意识，考查化归与转化思想、函数与方程思想，满分12分．
解法一（1）根据旋转的性质，．∴．
∵M是AB中点，∴．∴，∴．
∴．
∵，∴．∴．
（2）①连接CD，DE，CM，如图2．
由（1）知，．
又∵，∴．
又∵，∴四边形BDEM为平行四边形．∴，．
又∵，∴．∴四边形AMDE是平行四边形．∴．
又∵，∴AD平分，即．
∵M是中斜边AB的中点，∴．
∴A，B，C，D都在MA为半径的上．∴，．
∴．∴．
②作，垂足为H，如图3．
在中，，，，则．
∵，M是AB的中点，∴．
在中，，
又∵．∴．
则，∴．
∴在中，．
解法二（1）同解法一．
（2）①连接CD，DE，CM，设BC交MD于点G，如图4．
由（1）知，．又∵，∴．
又∵，∴四边形BDEM为平行四边形．∴，．
又∵，∴．∴四边形AMDE是平行四边形．∴．
又∵，即，∴．
∵M是中斜边AB的中点，∴．
∴G为BC的中点．∴直线MD为BC的垂直平分线．∴，
②作，垂足为H，如图5．
在，，，，则．
∵，M是AB的中点，∴．
∵的面积，
∴，∴．
在中，，则．
∴在中，．
解法三（1）同解法一．
（2）①延长AC，BD交于点F，连接DE，CM，如图2．
由（1）知，．又∵，∴．
又∵，∴四边形BDEM为平行四边形．∴，．
又∴，∴．∴四边形AMDE是平行四边形．∴．
又∵，∴AD平分，即．
又∵，，∴．∴．
又∵，∴．
②作，垂足为H，如图3．
在中，，，，则．
∵，M是AB的中点，∴．则．
∴．
设，则．
∵，∴，∴．
∴．解得，即，
则．∴在中，．
25．本小题考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一元一次方程、分式方程、二元一次方程组、平行四边形的性质、三角形的面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、空间观念、几何直观与创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分．
解法一（1）设直线AB的函数解析式为．
由，B（0，3），得解得
所以直线AB的函数解析式为．
依题意，可设点，所以．解得．所以．
因为函数的图象过点C，所以，解得．
（2）①因为B关于O的对称点为D，所以．
因为B（0，3），所以D（0，6）．
设，其中．因为轴，故可设．
因为点F在函数上，所以，所以．
因为四边形OAPF为平行四边形，所以．所以．解得．
即点P的坐标为．
②同①，设．
因为点E在直线上，所以，所以．
依题意，当时，点E与点F重合，不符合题意．
（ⅰ）当时，，
此时的面积．
当时，取得最大值．
（ⅱ）当时，，
此时
因为，当时，随着t的增大而增大，
所以当时，取得最大值1．
综合（ⅰ）（ⅱ），因为，所以面积的最大值为．
食物品种
X
Y
Z
维生素A（单位/kg）
400
600
400
维生素B（单位/kg）
800
200
400
成本（元/kg）
5
5
4