福建省泉州市丰泽区北峰中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省泉州市丰泽区北峰中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算，错误的是( )
A. B. C. D.
3.下列各式中，能与合并的是( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程配方后可化为( )
A. B. C. D.
5.下列线段成比例的是( )
A. 1，2，3，4B. 5，6，7，8C. 2，4，4，8D. 3，5，6，9
6.如图，∽，若，，那么( )
A.
B.
C.
D.
7.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 且
8.某商店以每件60元的价格购进一批货物，零售价为每件80元时，可以卖出100件按相关规定零售价不能超过80元如果零售价在80元的基础上每降价1元，可以多卖出10件，当零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润，根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
9.如图，H为平行四边形ABCD中AD边上一点，且，AC和BH交于点K，则AK：KC等于( )
A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：3
10.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若二次根式有意义，则x的取值范围是______.
12.若，则的值为______.
13.如图，已知，BD：：2，，那么______.
14.已知m是方程的一个根，则代数式的值等于______.
15.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为_________________________
16.如图，是等腰直角三角形，，E为AC上的一点，过A作交BD的延长线于D，若，则______.
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.计算：
18.解方程：
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
先化简，再求值：，其中
20.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
若方程的一个根为2，求m的值；
求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
21.本小题8分
如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，于
与相似吗？请说明理由．
若，，，求DF的长．
22.本小题10分
在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
填空：______，______；
判断与是否相似，并证明你的结论.
23.本小题10分
李师傅今年初开了一家商店，九月份开始赢利，十月份的赢利是3000元，十二月份的赢利是3630元，且从十月到十二月，每月赢利的平均增长率都相同．
求每月赢利的平均增长率；
按照这个增长率，预计明年一月份的赢利将达到多少元？
24.本小题12分
如图1，中，点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上，且，交直线CD于点P，交直线AB于点F，
当，，时，求线段PE的长.
若将“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”改为“点D在线段BA上，点E在线段CB延长线上”，其他条件不变如图图2中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说明理由.
25.本小题14分
如图，在直角坐标系中，直线BC经过点和点，A点坐标为，点P为直线BC上一点，连接AC、
求直线BC的解析式；
如图1，当点P在线段BC上，时，求P点坐标；
如图2，当点P在直线BC上移动，将沿AC翻折得到，直线与直线BC交于点D，的面积为7，求点D坐标直接写出结果
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是一元一次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是二元二次方程，故C错误；
D、是分式方程，故D错误；
故选：
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2.【答案】A
【解析】解：A、，故此选项错误，符合题意；
B、，正确，不合题意；
C、，正确，不合题意；
D、，正确，不合题意；
故选：
直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：，与不能合并，故本选项不符合题意；
B.，与不能合并，故本选项不符合题意；
C.，与能合并，故本选项符合题意；
D.，与不能合并，故本选项不符合题意；
故选：
根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
4.【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
故选：
利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意；
B、，故四条线段不成比例，不符合题意；
C、，故四条线段成比例，符合题意；
D、，故四条线段不成比例，不符合题意．
故选：
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
6.【答案】A
【解析】解：∽，，
在中，
，，
即，
故选：
由∽，，根据相似三角形的对应角相等，即可求得的度数，又由三角形的内角和等于，即可求得的度数．
此题考查了相似三角形的性质与三角形内角定理．题目比较简单，注意相似三角形的对应角相等．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且
故选
8.【答案】B
【解析】解：设零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润，
则，
故选：
设零售价在80元的基础上降价x元时，能获得2160元的利润根据题意列方程即可得到结论；
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够读懂题意并找到题目中的等量关系，难度不大．
9.【答案】B
【解析】解：，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
∽，
，
故选
根据“”求出AH：AD即AE：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．
10.【答案】

【解析】
11.【答案】
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，，
故答案为：
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
12.【答案】
【解析】解：
设，则，
故答案为：
设，则，代入代数式再化简即可．
本题考查分式的化简，设出参数并代入化简是解题关键．
13.【答案】6
【解析】解：，
，
：：2，，
，
，
故答案为：
根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
14.【答案】3
【解析】解：把代入方程可得：，
所以，
故答案是：
将代入原方程即可求的值．
此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把当成一个整体．利用了整体的思想．
15.【答案】2
【解析】解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为，宽为，
由已知得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，，不符合题意舍去，
即
答：人行通道的宽度为2米．
故答案为
设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为，宽为，根据矩形绿地的面积为，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出不符合题意，此题得解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
可以假设，，则，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：
设，，则，想办法用k表示AD，BE即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题．
17.【答案】解：原式

【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．
18.【答案】解：
，
或，
，
【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
通过观察方程形式，利用因式分解法解方程比较简单．
19.【答案】解：
，
当时，原式

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：方程的一个根为2，
，
解得，
即m的值为；
证明：，
无论x取何值，，
即无论x取何值，，
不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【解析】将代入方程得，解出m的值即可；
计算，无论x取何值，，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
21.【答案】解：与相似．理由如下：
四边形ABCD为矩形，，
，
，
∽
∽
，
在中，，，
答：DF的长为
【解析】根据矩形的性质和，可得，，即可证明∽
利用∽，得，再利用勾股定理，求出AE的长，然后将已知数值代入即可求出DF的长．
此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质、勾股定理和矩形的性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
22.【答案】
【解析】解：根据图形可得：，，
，
；
相似，理由如下：
在中：，，，
在中：，，，
，，，
，
∽
由图形可以直接得到：和的度数，求其和即可；DE的长利用勾股定理即可算出；
根据勾股定理分别计算出和的长，再根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可得到结论．
此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，关键是熟练运用勾股定理计算出三角形的三边长．
23.【答案】解：设每月赢利的平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去
答：每月赢利的平均增长率为
元
答：预计明年一月份的赢利将达到3993元．
【解析】设每月赢利的平均增长率为x，根据该商店十月份及十二月份的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据明年一月份的盈利额=今年十二月份的盈利额增长率，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，
即，
又，
∽，
：：：CD，
即：，
，，
，
又，
，
点C为BE的中点，
，
为的中位线，
，，
，
点F为AD的中点，
又，
为的中位线，
，
与AC相等的线段是BF，证明如下：
，
而，，
，
，
∽，
：：CD①，
，
∽，
：：BE，
即：AB：：BE②，
由①②得：AC：：BE，
，

【解析】先求出，证和相似，利用相似三角形的性质可求出，，进而得，再证AC为的中位线得，，然后证FP为的中位线得，据此即可求出PE的长；
先证，进而可证和相似，得AB：：CD①，再由得和相似，进而得AB：：BE，根据已知条件再比较两个比例式即可得出结论．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
25.【答案】解：设直线BC的解析式为：，
直线BC经过点点和点，
，解得，
直线BC的解析式为：；
当点P在线段BC上，
点，A点坐标为，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
∽，
，
设
，点，
，
，
，
过点P作轴于点Q，
在中，，
即，
或舍去正值，
此时，
；
点，，
直线AC的解析式为，
过点D作交AC延长线于H，
，，
，
设，，
，
，
，
，
，即，
，
，
将代入，
得，解得，
在第二象限，
，
，

【解析】用待定系数法求解即可；
当点P在线段BC上时，得出∽，进而得出，设可得，在中，，代入求解舍去正值即可解答；
过点D作交AC延长线于H，利用，可得，设，，根据勾股定理得，则，由，则，可得，等量代换可得方程，求出，代入，求出p的值，即可求解．
本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形相似的判定和性质．等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键．3
4