2022-2023学年福建省泉州市丰泽区北峰中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市丰泽区北峰中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元一次方程的是( )
A. −5+3=−2B. 2x−3=5C. 3a−3<3D. 2x2+1=5
2.运用等式的性质，下列等式变形错误的是( )
A. 若x−1=2，则x=3B. 若12x−1=x，则x−1=2x
C. 若x−3=y−3，则x=yD. 若3x=2x+4，则3x−2x=4
3.如图所示的不等式的解集为( )
A. x>−1B. x≥−1C. x<−1D. x≤−1
4.小颖想用三根笔直的细木棒首尾相连拼成一个三角形，她已经选取了长度分别为4cm和7cm的两根细木棒，则第三根细术棒的长度不可以是( )
A. 4cmB. 7cmC. 10cmD. 11cm
5.不等式组x<32x>−1的整数解是( )
A. 0，1B. −1，0C. −1，0，1D. 无解
6.已知a，b满足方程组a+5b=123a−b=4，则a+b的值为( )
A. −4B. 4C. −2D. 2
7.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为( )
A. 85°B. 75°C. 65°D. 60°
8.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是( )
A. x=y+512x=y−5B. x=y−512x=y+5C. x=y+52x=y−5D. x=y−52x=y+5
9.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论不正确的是( )
A. ∠1=∠2B. ∠2<∠5
C. ∠1=∠4+∠5D. ∠3+∠4+∠5=180°
10.当三角形中一个内角β是另外一个内角α的12时，我们称此三角形为“友好三角形”.如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为( )
A. 108°或27°B. 108°或54°C. 27°或54°或108°D. 54°或84°或108°
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.把方程3x+y=6写成用含有x的代数式表示y的形式为：y=______．
12.若关于x的方程2k+3x=4与x+2=0的解相同，则k的值为______．
13.若x(m−2)y，则m的取值范围是______．
14.有一张数学竞赛练习卷，共有25道选择题，做对一道给4分，做错一道扣1分，某同学全部做完练习题，共得75分，问他一共选对了______道题．
15.如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG=2GD，连结BG，若S△ABC=12，则S△ABG为______．
16.已知关于x，y的方程组x−y=−2ax+2y=3+a其中−3≤a≤1，给出下列结论：
①当a=−1时，x，y的值互为相反数；
②x=3y=−1是方程组的解；
③若x≤−1，则3≤y≤4；
④无论a取何值，x，y恒有关系式x+y=2；
其中正确结论的序号是______.(把正确结论的序号都填上)
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：2(x−1)=4x−3．
18.(本小题8分)
解方程组：2x−3y=7x+3y=−1．
19.(本小题8分)
解不等式组x+2520.(本小题8分)
学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元．店方表示：如果多购可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．
21.(本小题8分)
如图，已知∠A=20°，∠B=27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．
22.(本小题10分)
定义：对于任何有理数m，符号【m】表示不大于m的最大整数.例如：【4.5】=4，【8】=8，【−3.2】=−4．
(1)填空：【π】= ______，【−2.1】+【5.1】= ______．
(2)如果【5−2x3】=−4，求满足条件的x的取值范围．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点E是BC边上一个动点(点E与A、C不重合)，连接B，若a、b满足b−6=02a−b=10，且c是不等式组x+3<4x−242x+2>3x−9的整数解．
(1)求a、b、c的长；
(2)当AE平分△ABC的周长时，此时AE是否平分△ABC的面积？
24.(本小题12分)
为了抓住将到来的“五一”小长假旅游商机，某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元，若购进A中纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，请问该商店有几种进货方案？
(3)已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利(4−m)元，在(2)的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？
25.(本小题14分)
已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E=90°，∠F=60°.如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α(0°<α<180°)，完成下列问题．
(1)在△ABC中，∠ACB=______°，∠BDC=______°；
(2)在旋转过程中，如图2，当α=______°时，DE/​/AC；当α=______°时，DE⊥AC；
(3)如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．
①此时，α的取值范围是______；
②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.该式子不含未知数，不是方程，故本选项不符合题意；
B.2x−3=5，是一元一次方程，故本选项符合题意；
C.3a−3<3，不是方程，故本选项不符合题意；
D.2x2+1=5，是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．
2.【答案】B
【解析】解：A、若x−1=2，根据等式的性质1，等式两边都加1，可得x=3，原变形正确，故这个选项不符合题意；
B、若12x−1=x，根据等式的性质2，两边都乘以2，可得x−2=2x，原变形错误，故这个选项符合题意；
C、两边都加上3，可得：x=y，原变形正确，故这个选项不符合题意；
D、两边都减去−2x，可得：3x−2x=4，原变形正确，故这个选项不符合题意；
故选：B．
利用等式的性质对每个式子进行变形，即可找出答案．
本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质．
等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个等式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)，所得结果仍是等式．
3.【答案】B
【解析】解：由图可得：x≥−1．
故选：B．
由图示可看出，从−1出发向右画出的折线且表示−1的点是实心圆，即可得解．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．
4.【答案】D
【解析】解：设第三边长为x cm，
则7−4∴3∴第三根细术棒的长度不可以是11cm，
故选：D．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．
此题主要考查了三角形中三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5.【答案】A
【解析】解：不等式组x<32x>−1的解集为−1∵x取整数，
∴x=0，1．
故选：A．
求得不等式组的解集，然后取整数解即可．
本题考查了解不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
【解答】
解：a+5b=12 ①3a−b=4 ②，
①+②×5得：16a=32，即a=2，
把a=2代入①得：b=2，
则a+b=4，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，
∵∠BCD=60°，∠BCA=45°，
∴∠ACD=∠BCD−∠BCA=60°−45°=15°，
∠α=180°−∠D−∠ACD=180°−90°−15°=75°，
故选B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】
解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：x=y+512x=y−5．
故选A．
9.【答案】B
【解析】解：A、∵∠1与∠2互为对顶角，∴∠1=∠2，故本选项不符合题意；
B、∵∠2=∠4+∠5，∴∠2>∠5，故本选项符合题意；
C、∵∠1=∠4+∠5，故本选项不符合题意；
D、∵∠2=∠4+∠5，∠2+∠3=180°，∴∠3+∠4+∠5=180°，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据对顶角相等和三角形外角的性质即可确定答案．
本题主要考查了对顶角的性质，三角形的外角性质，熟记相关知识点的解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①54°角是α，则友好角度数为54°；
②54°角是β，则12α=β=54°，
所以，友好角α=108°；
③54°角既不是α也不是β，
则α+β+54°=180°，
所以，α+12α+54°=180°，
解得α=84°，
综上所述，“友好角α”的度数为54°或84°或108°．
故选：D．
分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据友好三角形的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解友好角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
11.【答案】6−3x
【解析】解：3x+y=6，
y=6−3x，
故答案为：y=6−3x．
根据等式的性质1进行变形即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：解方程x+2=0得x=−2，
∵方程2k+3x=4与x+2=0的解相同，
∴把x=−2代入方程2k+3x=4得：2k−6=4，解得k=5．
故答案为：5．
根据同解方程的定义，先求出x+2=0的解，再将它的解代入方程2k+3x=4，求得k的值．
本题考查了同解方程的概念和方程的解法，解题的关键是根据同解方程的定义，先求出x+2=0的解．
13.【答案】m<2
【解析】【解答】
解：∵若x(m−2)y，
∴m−2<0，则m<2；
故答案为m<2．
【分析】
由x本题考查了不等式的性质：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
14.【答案】20
【解析】解：设他一共选对了x道题，则选错了(25−x)道题，
根据题意得：4x−(25−x)=75，
解得：x=20．
答：他一共选对了20道题．
故答案为：20．
设他一共选对了x道题，则选错了(25−x)道题，根据总分=4×答对题目数−1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC=12，
∴S△ABD=12S△ABC=12×12=6，
∵AG=2GD，
∴S△ABG=23S△ABD=23×6=4，
故答案为：4．
根据等高的两个三角形面积之比等于底之比进行解答即可．
本题考查三角形的面积问题．解答此题的关键是要明确：三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
16.【答案】②④
【解析】解：解方程组得x=1−ay=1+a，
①当a=−1时，x=2，y=0，x与y不是互为相反数，原结论错误；
②x=3y=−1时，a=−2，故y=1−2=−1，正确；
③当x≤−1时，1−a≤−1，解得a≥2，原结论错误；
④无论a取何值，x，y恒有关系式x+y=2，正确；
故答案为：②④．
解方程组得x=1−ay=1+a，结合各结论中a、x、y的值逐一判断即可．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：去括号，可得：2x−2=4x−3，
移项，可得：2x−4x=−3+2，
合并同类项，可得：−2x=−1，
系数化为1，可得：x=12．
【解析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
18.【答案】解：2x−3y=7①x+3y=−1②，
①+②得：3x=6，
解得：x=2，
将x=2代入①得4−3y=7，
解得：y=−1，
故原方程组的解为x=2y=−1．
【解析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
19.【答案】解：x+25由①得：x>3，
由②得：x≤4，
将解集在数轴上表示出来如下：

∴原不等式组的解集为：3【解析】先解每个不等式，再取公共解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤和取不等式组解集的一般方法．
20.【答案】解：设每套课桌椅的成本x元．
则：60×(100−x)=72×(100−3−x)．
解之得：x=82．
答：每套课桌椅成本82元．
【解析】此题主要考查了一元一次方程的解法．列方程解应用题，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
每套利润×套数=总利润，在本题中有两种方案，虽然单价不同，但是总利润相等，可依此列方程解应用题．
21.【答案】解：∵AC⊥DE，
∴∠APE=90°．
∵∠1是△AEP的外角，
∴∠1=∠A+∠APE．
∵∠A=20°，
∴∠1=20°+90°=110°．
在△BDE中，∠1+∠D+∠B=180°，
∵∠B=27°，
∴∠D=180°−110°−27°=43°．
【解析】本题主要考查三角形外角性质与内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理与三角形外角的性质．利用三角形外角性质，得∠1=∠A+∠APE，只需求∠APE，由AC⊥DE，得∠APE=90°；由三角形内角和定理得出∠D的度数．
22.【答案】3 2
【解析】解：(1)根据题意得：【π】=3，【−2.1】+【5.1】=−3+5=2，
故答案为：3，2；
(2)根据题意得：−4≤5−2x3<−3，
解得：7∴满足条件的x的取值范围为：7(1)根据题中所给的定义即可得到答案；
(2)根据题意得出−4≤5−2x3<−3，求出x的取值范围即可．
本题考查了有理数的加法、解一元一次不等式组，解答本题的关键是读懂题意，根据题目中所给的信息进行解答．
23.【答案】解：(1)解方程组b−6=02a−b=10得：a=8b=6，
解不等式组x+3<4x−242x+2>3x−9得：9∵它的整数解为10，
∴c=10；
(2)AE不平分△ABC的面积．
当AE平分△ABC的周长时，设CE=x，则BE=8−x，
∴6+x=10+8−x，
∴x=6，
∴CE=6，BE=2，
∵AC=6，∠C=90°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴△ACE的面积=12⋅AC⋅CE=12×6×6=18，
△ABE的面积=12⋅AC⋅BE=12×6×2=6，
∴此时AE不平分△ABC的面积．
【解析】(1)解方程组及不等式组即可得到a，b，c的长；
(2)当AE平分△ABC的周长时，设CE=x，则BE=8−x，列出方程，求出x的值就是CE的长，进而得出△ACE为等腰直角三角形，即可得出∠BEA度数，分别求出三角形ACE和三角形ABE的面积，即可得出AE是否平分△ABC的面积．
本题考查了解方程组，解不等式组，勾股定理，三角形面积的求法，熟练掌握各个知识点及它们之间的联系是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意，设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，
∴8x+3y=955x+6y=80．
解得x=10y=5．
答：购进A种纪念品每件需要10元，购进B种纪念品每件需要5元．
(2)设商家购进A纪念品x件，则购进B纪念品(100−x)件，
则750≤10x+5(100−x)≤764，
∴50≤x≤52.8．
∵x是整数，
∴x=50或51或52，
∴有三种进货方案：
方案一，购进A纪念品50件，B纪念品50件，
方案二，购进A纪念品51件，B纪念品49件，
方案三，购进A纪念品52件，B纪念品48件，
(3)设商家购进x件A纪念品，所获利润为w，
则y=mx+(100−x)(4−m)=(2m−4)x+400−100m，
又m≥0，4−m≥0，
∴0≤m≤4．
∵50≤x≤52.8，
∴当2m−4>0时，即2当2m−4=0时，即m=2时，3种方案获得利润一样大；
当2m−4<0时，即0≤m<2时，x=50时获得利润最大，即购进A种纪念品50件，则购进B种纪念品50件获得利润最大．
答：2【解析】(1)依据题意，设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，进而列方程组计算可以得解；
(2)依据题意，设购进A种纪念品x件，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式得出x的取值范围，即可得出结论；
(3)依据题意，设总利润为w，列出总利润关于购买A种纪念品x件的函数关系式，根据一次函数的性质可得答案．
本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
25.【答案】120 100 10 100 70°<α<100°
【解析】解：(1)在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，
∴∠BAC=180°×22+1+6=40°，∠ABC=180°×12+1+6=20°，∠ACB=180°×62+1+6=120°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=12∠ACB=60°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=60°+40°=100°，
故答案为：120°，100°；
(2)当DE/​/AC时，∠BDE=∠A=40°，
∵∠E=90°，∠F=60°．
∴∠EDF=180°−90°−60°=30°，
∴α=40°−30°=10°，
即当α=10°时，DE/​/AC；
当DE⊥AC时，即DE与AC成90°的角，
∠EDB=90°+∠A=130°，
∴α=130°−30°=100°，
即当α=100°时，DE⊥AC；
故答案为：10，100；
(3)①当DE与CD重合时，α为最小值，
∵∠BDE=∠A+∠ACD=100°，
∴α=100°−30°=70°；
当DF与CD重合时，α为最大值，此时α=100°，
∴70°<α<100°，
故答案为：70°<α<100°；
②∠CMD+∠CND=90°，理由如下：
如图，连接MN，
∵∠MCN=∠ACB=120°，
∴∠CMN+∠CNM=180°−∠MCN=60°，
在△DMN中，
∠DMN+∠DNM=180°−∠MDN=150°，
∴∠CMD+∠CND=150°−60°=90°．
(1)根据三角形内角和是180°，再按比例分配进行计算即可；
(2)根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算即可；由垂直的定义以及三角形的内角和进行计算即可；
(3)①根据“端值”检测计算，即当DE与CD重合时最小值，当DF与CD重合时最大值；②连接MN，根据三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质以及垂直的定义，掌握三角形内角和是180°，平行线的性质是正确解答的前提．