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广东省深圳外国语学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
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这是一份广东省深圳外国语学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共7页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，8+1等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，U是全集，M,N,P是U的子集，则阴影部分表示的集合是 （ ）
A．M∩N∩PB．M∪N∩PC．∁UM∩N∩PD．∁UM∪N∩P
2．下列两个函数为同一函数的为（ ）
A．y=x;y=x2xB．y=csx⋅tanx;y=sinx
C．y=lg2x;y=lg4x2D．y=x;y=x2
3．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解. 例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震级数M之间的关系式为lgE=4.8+1.5M. 2022年9月18日14时44分在中国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的m倍，则下列各数中最接近m的值为（ ）
A．100B．310C．500D．1000
4．已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（ ）
A．4sin21B．4cs21C．4sin21D．4cs21
5．若两个正实数x,y满足x+y=3，且不等式4x+1+16y>m2−3m+5恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．{m|−44}
C．{m|−13}
6．已知函数y=max{a,b,c}=a,a≥b,a≥cb,b≥a,b≥cc,c≥a,c≥b，设fx=max{x2,x−1,3x}，则fx的最小值为：
A．1B．3+52C．9D．34
7．已知函数fx=cssinx，fx=32在[−π,π]内解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数fx=1x=1∣ln∣x−1∣∣x≠1，若方程f2x+afx+b=0有九个不同实根，则ab的取值范围是（ ）
A．−∞,−2∪−2,0B．−∞,−1∪−1,+∞C．(−∞,14]D．−2,+∞
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，每个小题至少有两个正确选项，漏选得2分，错选或多选得0分。
9．下列条件中，其中p是q的充分不必要条件的是 （ ）
A．p:a≥1,b≥1；q:a+b≥2
B．p:tanα=1；q:α=kπ+π4k∈Z
C．p:x>1；q:lnex+1>1
D．p:a2<1；q：函数fx=x2+2−ax−2a在0,1上有零点
10．设函数fx=sinxcsx+3cs2x−32，给出下列命题，正确的是（ ）
A．fx的图象关于点π3,0对称
B．若fx1−fx2=2，则|x1−x2|min=π
C．把fx的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象
D．在0,2π内使fx=12的所有x的和为133π
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数. 例如：[−2.3]=−3,[3.2]=3，下列命题正确的是 （ ）
A．[xy]=[x][y]B．[x+y]=[x]+[y]C．[x+1]=[x|+1D．[x]+[x+12]=[2x]
12．已知x0是函数fx=ex+x−2的零点（其中e=2.71828…为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）
A．x0∈0,12B．ln2−x0=x0C．x0−e−x0<0D．x02−x0>e
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知α∈0,π，若sinα−π6=33，则sin2α+π6= .
14．写出一个符合下列要求的函数： 。
①fx的值域为R ②fx+1为偶函数
15．函数fx=x−1与函数gx=2cs[5π2x−1]的图象所有交点的横坐标之和为 .
16．函数fx=lne2x+1x在区间[−e,−1]∪[1,e]上的最大值与最小值之和为a+ba>0,b>0，则1a+3b的最小值为 .
解答题：本题共6个小题，其中第17题10，第18到22题每题12分，共及70分
17．
（1）计算：6lg67+2lg5−sin10+lg4+82723
（2）已知x−2+x2=6，求x3+x3的值.
18．如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A,B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=π2,记∠MOA=α,∠MOB=β.
（1）若α=π3，求点A,B的坐标；
（2）若点A的坐标为45,m，求sinα−sinβ的值.
19．深圳市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备. 生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需要另投入成本ℎx（万元），当年产量小于60台时，ℎx=x2+20x（万元）；当年产量不少于60台时ℎx=102x+9800x−2080（万元）. 若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式？
（2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？
20．设函数fx=3sinxcsx+3sin2x−32.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数y=fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=gx的图象，求gx在[−π4,3π4]上的值域.
21．已知函数fx=3x−a3x+1+3是奇函数.
（1）求a的值，判断fx的单调性（不必证明）。
（2）解不等式：lg2fx+2≤0.
22．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质. 例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数y=fx，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有−x∈D，并且fx⋅f−x=1，就称函数y=fx为“倒函数”.
（1）已知fx=10x，gx=2−x2+x，判断y=fx和y=gx是不是倒函数，并说明理由；
（2）若fx是定义在R上的倒函数，当x≤0时，fx=13−x+x4，方程fx=2023是否有整数解？并说明理由；
（3）若fx是定义在R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上单调递增，记Fx=[fx]2−1fx，证明：x1+x2>0是Fx1+Fx2>0的充要条件.
【参考答案】
2023-2024学年度高一第一学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．D 8．A
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，每个小题至少有两个正确选项，漏选得2分，错选或多选得0分。
9．AC 10．ACD 11．CD 12．ABC
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．13
14．fx=lnx−1，或fx=x−12csx−1或fx=x−1sinx−1，其他只要符合条件的个函数都可以。
15．10
【解析】因为f2−x=2−x−1=1−x=fx，所以函数fx的图象关于直线x=1对称，
且fx在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以fx的最小值为f1=0.
gx=2cs[5π2x−1]=2cs5π2x−5π2=2sin5π2x
所以函数gx的图象关于直线x=1对称，且gx的最大值为2.
由于fx的图象和gx的图象都关于直线x=1对称，
所以先考虑两个图象在1,+∞上的情形，
易知gx在1,75上单调递减，在75,95上单调递增，在95,115上单调递减，在115,135上单调递增，在135,3上单调递减。
易知f135=135−1=85<2，f3=3−1=2,
所以可作出函数fx与gx的大致图象如图所示，
所以fx的图象和gx的图象在1,+∞上有5个交点.
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线x=1对称，
因此所有交点的横坐标之和为2×5=10.
故答案为10.
16．2+3
【解析】fx=lne2x+1x=lnexex+e−xx=lnex+lnex+e−xx
=x+lnex+e−xx=1+lnex+e−xx，
令gx=lnex+e−xx,x∈[−e,−1]∪[1,e]，因为定义域关于原点对称，且g−x=lne−x+ex−x=−gx,
所以gx为奇函数，所以gx在区间[−e,−1]∪[1,e]上的最大值与最小值之和为0,
则函数fx在区间[−e,−1]∪[1,e]上的最大值与最小值之和为2，即a+b=2.
又a>0,b>0,
所以1a+3b=121a+3ba+b=124+ba+3ab=2+12ba+3ab
≥2+12×2ba⋅3ab=3+2,
当且仅当ba=3ab，a+b=2，即a=3−1，b=3−3，等号成立. 故答案为：3+2
【点睛】难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到a+b=2，从而利用“1”的妙用得解.
解答题：本题共6个小题，其中第17题10，第18到22题每题12分，共及70分
17．（1）
解：原式=6+2lg5+lg2+232 …………3分
=8+49=769 …………5分；
（2）
因为x−2+x2=6，…………6分
所以x−1+x2=x−2+x2+2=8，…………7分
所以x−1+x=±22，…………8分
所以x−3+x3=x−1+xx−2+x2−1=±22×5=±102…………10分
18．（1）
解：因为α=π3，所以csα=12，sinα=32，所以点A坐标为12,32，…………2分
因为β=π2+α=5π6，所以csβ=−32，sinβ=12，所以点B坐标为−32,12，…………5分
所以A,B两点坐标分别为12,32,−32,12…………6分
（2）
由A点在单位圆上，得452+m2=1，又点A位于第一象限，则m=35，…………8分
所以点A的坐标为45,35，即sinα=35，csα=45，…………9分
所以sinβ=sinπ2+α=csα=45，…………11分所以sinα−sinβ=−15…………12分
19．（1）
解：由题意可得0当x≥60且x∈N时,y=100x−102x+9800x−2080−500=1580−2x+4900x …………3分
所以年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式为：
y=−x2+80x−500,0（2）
由（1）得0此时x=40时，ymax=−402+80×40−500=1100万元，…………8分
当x≥60时，y=1580−2x+4900x≤1580−2×2x×4900x=1580−2×2×70=1300，…………10分
当且仅当x=4900x即x=70时等号成立，ymax=1300，…………11分
综上所述：年产量为70台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大 …………12分
20．（1）
解：fx=32sin2x+322sin2x−1=32sin2x−32cs2x
=3sin2x−π3…………2分
因为：2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+32π⇔kπ+512π≤x≤kπ+1112π.…………4分
所以函数的单调递减区间是[kπ+512π,kπ+1112π]k∈Z…………5分
（2）
由题可知，gx=3sinx+π4−π3=3sinx−π12…………7分
因为−14π≤x≤34π⇒−13π≤x−π12≤23π，…………9分
所以−32≤sinx−π12≤1…………11分
故gx在[−π4,3π4]上的值域为[−32,3]…………12分
21．（1）
解：由已知得函数fx的定义域是R，则有f0=0，所以f0=30−a30+1+3=0解得a=1…………1分
即fx=3x−13x+1+3=3x−133x+1，此时f−x=3−x−133−x+1=1−3x31+3x=−fx满足题意…………2分
（2分段处，写经验证fx=3x−13x+1+3=3x−133x+1为奇函数也给分）fx=3x−13x+1+3=3x−133x+1=13−23⋅13x+1，由此可判断出fx是R上的递增函数 …………5分
（2）
由lg2fx+2≤0得lg2fx≤−2，…………6分
所以0即：0<13−23⋅13x+1≤14或−14≤13−23⋅13x+1<0…………8分
所以12<13x+1≤78或18≤13x+1<12 …………9分
所以17≤3<1或1<3≤7…………10分
所以−lg37≤x<0或0所以不等式lg2fx+2≤0的解集为[−lg37,0)∪(0,lg37] …………12分
22．（1）
解：函数fx的定义域为R，对任意的x∈R，fx⋅f−x=10x⋅10−x=1,
所以，函数fx为倒函数，…………1分
函数gx=2−x2+x的定义域为{x∣x≠−2}，该函数的定义域关于原点对称，
故函数gx不是倒函数；…………2分
（2）
当x>0时，则−x<0，由倒函数的定义可得fx=1f−x=3x+x4,
由f0=1满足倒函数的定义，…………3分
当x≤0时，fx=13−x+x4<1，此时，fx=2023无解 …………4分
当x>0时，函数y=3x，y=x4均为增函数，故函数fx在0,+∞上为增函数，
当x>0时，3x>1,x4>0，fx>1,
若函数fx=2023有整数解x0，则x0∈0,+∞，…………5分
设ℎx=fx−2023，则函数ℎx在0,+∞上单调递增，
因为ℎ5=35+54−2023<0，ℎ6=36+64−2023>0, …………6分
故方程fx=2023无整数解，…………7分
（3）
因为函数y=fx是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是严格增函数，所以,Fx=[fx]2−1fx=fx1fx=fx−f−x，…………8分
任取m、n∈R且m>n，则−m<−n，所以，fm>fn,f−n>f−m,
所以，Fm−Fn=[fm−f−m]−[fn−f−n]
=[fm−fn]+[f−n−f−m]>0 …………9分
（单调性的证明也可以通分证明，证明化简过程为2分）
所以，函数Fx为R上的增函数，…………10分
因为F−x=f−x−fx=−Fx，故函数Fx为R上的奇函数.
当x1+x2>0时，即x1>−x2，则Fx1>F−x2=−Fx2，所以，Fx1+Fx2>0,
即“x1+x2>0”⇒“Fx1+Fx2>0”;…………11分
若Fx1+Fx2>0，则Fx1>−Fx2=F−x2，所以，x1>−x2，即x1+x2>0.
所以，“x1+x2>0”⇐“Fx1+Fx2>0”.
因此，x1+x2>0是Fx1+Fx2>0的充要条件…………12分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，U是全集，M,N,P是U的子集，则阴影部分表示的集合是 （ ）
A．M∩N∩PB．M∪N∩PC．∁UM∩N∩PD．∁UM∪N∩P
2．下列两个函数为同一函数的为（ ）
A．y=x;y=x2xB．y=csx⋅tanx;y=sinx
C．y=lg2x;y=lg4x2D．y=x;y=x2
3．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解. 例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震级数M之间的关系式为lgE=4.8+1.5M. 2022年9月18日14时44分在中国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的m倍，则下列各数中最接近m的值为（ ）
A．100B．310C．500D．1000
4．已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（ ）
A．4sin21B．4cs21C．4sin21D．4cs21
5．若两个正实数x,y满足x+y=3，且不等式4x+1+16y>m2−3m+5恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．{m|−4
C．{m|−1
6．已知函数y=max{a,b,c}=a,a≥b,a≥cb,b≥a,b≥cc,c≥a,c≥b，设fx=max{x2,x−1,3x}，则fx的最小值为：
A．1B．3+52C．9D．34
7．已知函数fx=cssinx，fx=32在[−π,π]内解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数fx=1x=1∣ln∣x−1∣∣x≠1，若方程f2x+afx+b=0有九个不同实根，则ab的取值范围是（ ）
A．−∞,−2∪−2,0B．−∞,−1∪−1,+∞C．(−∞,14]D．−2,+∞
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，每个小题至少有两个正确选项，漏选得2分，错选或多选得0分。
9．下列条件中，其中p是q的充分不必要条件的是 （ ）
A．p:a≥1,b≥1；q:a+b≥2
B．p:tanα=1；q:α=kπ+π4k∈Z
C．p:x>1；q:lnex+1>1
D．p:a2<1；q：函数fx=x2+2−ax−2a在0,1上有零点
10．设函数fx=sinxcsx+3cs2x−32，给出下列命题，正确的是（ ）
A．fx的图象关于点π3,0对称
B．若fx1−fx2=2，则|x1−x2|min=π
C．把fx的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象
D．在0,2π内使fx=12的所有x的和为133π
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数. 例如：[−2.3]=−3,[3.2]=3，下列命题正确的是 （ ）
A．[xy]=[x][y]B．[x+y]=[x]+[y]C．[x+1]=[x|+1D．[x]+[x+12]=[2x]
12．已知x0是函数fx=ex+x−2的零点（其中e=2.71828…为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）
A．x0∈0,12B．ln2−x0=x0C．x0−e−x0<0D．x02−x0>e
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知α∈0,π，若sinα−π6=33，则sin2α+π6= .
14．写出一个符合下列要求的函数： 。
①fx的值域为R ②fx+1为偶函数
15．函数fx=x−1与函数gx=2cs[5π2x−1]的图象所有交点的横坐标之和为 .
16．函数fx=lne2x+1x在区间[−e,−1]∪[1,e]上的最大值与最小值之和为a+ba>0,b>0，则1a+3b的最小值为 .
解答题：本题共6个小题，其中第17题10，第18到22题每题12分，共及70分
17．
（1）计算：6lg67+2lg5−sin10+lg4+82723
（2）已知x−2+x2=6，求x3+x3的值.
18．如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A,B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=π2,记∠MOA=α,∠MOB=β.
（1）若α=π3，求点A,B的坐标；
（2）若点A的坐标为45,m，求sinα−sinβ的值.
19．深圳市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备. 生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需要另投入成本ℎx（万元），当年产量小于60台时，ℎx=x2+20x（万元）；当年产量不少于60台时ℎx=102x+9800x−2080（万元）. 若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式？
（2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？
20．设函数fx=3sinxcsx+3sin2x−32.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数y=fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=gx的图象，求gx在[−π4,3π4]上的值域.
21．已知函数fx=3x−a3x+1+3是奇函数.
（1）求a的值，判断fx的单调性（不必证明）。
（2）解不等式：lg2fx+2≤0.
22．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质. 例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数y=fx，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有−x∈D，并且fx⋅f−x=1，就称函数y=fx为“倒函数”.
（1）已知fx=10x，gx=2−x2+x，判断y=fx和y=gx是不是倒函数，并说明理由；
（2）若fx是定义在R上的倒函数，当x≤0时，fx=13−x+x4，方程fx=2023是否有整数解？并说明理由；
（3）若fx是定义在R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上单调递增，记Fx=[fx]2−1fx，证明：x1+x2>0是Fx1+Fx2>0的充要条件.
【参考答案】
2023-2024学年度高一第一学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．D 8．A
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，每个小题至少有两个正确选项，漏选得2分，错选或多选得0分。
9．AC 10．ACD 11．CD 12．ABC
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．13
14．fx=lnx−1，或fx=x−12csx−1或fx=x−1sinx−1，其他只要符合条件的个函数都可以。
15．10
【解析】因为f2−x=2−x−1=1−x=fx，所以函数fx的图象关于直线x=1对称，
且fx在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以fx的最小值为f1=0.
gx=2cs[5π2x−1]=2cs5π2x−5π2=2sin5π2x
所以函数gx的图象关于直线x=1对称，且gx的最大值为2.
由于fx的图象和gx的图象都关于直线x=1对称，
所以先考虑两个图象在1,+∞上的情形，
易知gx在1,75上单调递减，在75,95上单调递增，在95,115上单调递减，在115,135上单调递增，在135,3上单调递减。
易知f135=135−1=85<2，f3=3−1=2,
所以可作出函数fx与gx的大致图象如图所示，
所以fx的图象和gx的图象在1,+∞上有5个交点.
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线x=1对称，
因此所有交点的横坐标之和为2×5=10.
故答案为10.
16．2+3
【解析】fx=lne2x+1x=lnexex+e−xx=lnex+lnex+e−xx
=x+lnex+e−xx=1+lnex+e−xx，
令gx=lnex+e−xx,x∈[−e,−1]∪[1,e]，因为定义域关于原点对称，且g−x=lne−x+ex−x=−gx,
所以gx为奇函数，所以gx在区间[−e,−1]∪[1,e]上的最大值与最小值之和为0,
则函数fx在区间[−e,−1]∪[1,e]上的最大值与最小值之和为2，即a+b=2.
又a>0,b>0,
所以1a+3b=121a+3ba+b=124+ba+3ab=2+12ba+3ab
≥2+12×2ba⋅3ab=3+2,
当且仅当ba=3ab，a+b=2，即a=3−1，b=3−3，等号成立. 故答案为：3+2
【点睛】难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到a+b=2，从而利用“1”的妙用得解.
解答题：本题共6个小题，其中第17题10，第18到22题每题12分，共及70分
17．（1）
解：原式=6+2lg5+lg2+232 …………3分
=8+49=769 …………5分；
（2）
因为x−2+x2=6，…………6分
所以x−1+x2=x−2+x2+2=8，…………7分
所以x−1+x=±22，…………8分
所以x−3+x3=x−1+xx−2+x2−1=±22×5=±102…………10分
18．（1）
解：因为α=π3，所以csα=12，sinα=32，所以点A坐标为12,32，…………2分
因为β=π2+α=5π6，所以csβ=−32，sinβ=12，所以点B坐标为−32,12，…………5分
所以A,B两点坐标分别为12,32,−32,12…………6分
（2）
由A点在单位圆上，得452+m2=1，又点A位于第一象限，则m=35，…………8分
所以点A的坐标为45,35，即sinα=35，csα=45，…………9分
所以sinβ=sinπ2+α=csα=45，…………11分所以sinα−sinβ=−15…………12分
19．（1）
解：由题意可得0
所以年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式为：
y=−x2+80x−500,0
由（1）得0
当x≥60时，y=1580−2x+4900x≤1580−2×2x×4900x=1580−2×2×70=1300，…………10分
当且仅当x=4900x即x=70时等号成立，ymax=1300，…………11分
综上所述：年产量为70台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大 …………12分
20．（1）
解：fx=32sin2x+322sin2x−1=32sin2x−32cs2x
=3sin2x−π3…………2分
因为：2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+32π⇔kπ+512π≤x≤kπ+1112π.…………4分
所以函数的单调递减区间是[kπ+512π,kπ+1112π]k∈Z…………5分
（2）
由题可知，gx=3sinx+π4−π3=3sinx−π12…………7分
因为−14π≤x≤34π⇒−13π≤x−π12≤23π，…………9分
所以−32≤sinx−π12≤1…………11分
故gx在[−π4,3π4]上的值域为[−32,3]…………12分
21．（1）
解：由已知得函数fx的定义域是R，则有f0=0，所以f0=30−a30+1+3=0解得a=1…………1分
即fx=3x−13x+1+3=3x−133x+1，此时f−x=3−x−133−x+1=1−3x31+3x=−fx满足题意…………2分
（2分段处，写经验证fx=3x−13x+1+3=3x−133x+1为奇函数也给分）fx=3x−13x+1+3=3x−133x+1=13−23⋅13x+1，由此可判断出fx是R上的递增函数 …………5分
（2）
由lg2fx+2≤0得lg2fx≤−2，…………6分
所以0
所以12<13x+1≤78或18≤13x+1<12 …………9分
所以17≤3<1或1<3≤7…………10分
所以−lg37≤x<0或0
22．（1）
解：函数fx的定义域为R，对任意的x∈R，fx⋅f−x=10x⋅10−x=1,
所以，函数fx为倒函数，…………1分
函数gx=2−x2+x的定义域为{x∣x≠−2}，该函数的定义域关于原点对称，
故函数gx不是倒函数；…………2分
（2）
当x>0时，则−x<0，由倒函数的定义可得fx=1f−x=3x+x4,
由f0=1满足倒函数的定义，…………3分
当x≤0时，fx=13−x+x4<1，此时，fx=2023无解 …………4分
当x>0时，函数y=3x，y=x4均为增函数，故函数fx在0,+∞上为增函数，
当x>0时，3x>1,x4>0，fx>1,
若函数fx=2023有整数解x0，则x0∈0,+∞，…………5分
设ℎx=fx−2023，则函数ℎx在0,+∞上单调递增，
因为ℎ5=35+54−2023<0，ℎ6=36+64−2023>0, …………6分
故方程fx=2023无整数解，…………7分
（3）
因为函数y=fx是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是严格增函数，所以,Fx=[fx]2−1fx=fx1fx=fx−f−x，…………8分
任取m、n∈R且m>n，则−m<−n，所以，fm>fn,f−n>f−m,
所以，Fm−Fn=[fm−f−m]−[fn−f−n]
=[fm−fn]+[f−n−f−m]>0 …………9分
（单调性的证明也可以通分证明，证明化简过程为2分）
所以，函数Fx为R上的增函数，…………10分
因为F−x=f−x−fx=−Fx，故函数Fx为R上的奇函数.
当x1+x2>0时，即x1>−x2，则Fx1>F−x2=−Fx2，所以，Fx1+Fx2>0,
即“x1+x2>0”⇒“Fx1+Fx2>0”;…………11分
若Fx1+Fx2>0，则Fx1>−Fx2=F−x2，所以，x1>−x2，即x1+x2>0.
所以，“x1+x2>0”⇐“Fx1+Fx2>0”.
因此，x1+x2>0是Fx1+Fx2>0的充要条件…………12分
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