广东省深圳中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份广东省深圳中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）
A．抽签法B．按性别分层随机抽样
C．按年龄段分层随机抽样D．随机数法
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．角的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg和60~89mmhg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmhg），为时间（min）．给出以下结论：
①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内
③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（ ）
A．2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于
B．2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于
C．2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为
D．2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为
7．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如果对于任意整数都是有理数，我们称正整数是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，一定等于弧度
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关
10．下列各式中，值是的是（ ）
A．B．
C．D．
11．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（ ）
A．该校竞赛成绩的极差为70分
B．的值为0.005
C．该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分
D．这组数据的第30百分位数为81
12．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是的图象的一条对称轴
C．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为
D．在内恰有3个零点
三、填空题
13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为 分.
14．已知，，，，则 .
15．已知函数是上的奇函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值为 .
16．的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
18．据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求和的值；
(2)若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值；
(3)在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？
19．已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围．
20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．
（参考数据：）．
21．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，且函数在内恰有2023个零点，求常数与的值．
22．已知二次函数满足：
(1)求的解析式；
(2)求的单调性与值域（不必证明）；
(3)设，若，求实数的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据抽样方法确定正确答案.
【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，
“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，
所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.
故选：C
2．B
【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D.
【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，
故与的终边相同的角的集合
即选项B正确；
选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.
故选：B.
3．A
【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.
【详解】根据三角函数定义可知，
又，则.
故选：A
4．B
【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以.
故选：.
5．C
【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.
【详解】因为某人的血压满足函数式，
又因为，所以，即，
即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg，故①正确；
因为收缩压为mmhg，舒张压为mmhg，均超过健康范围，
即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；
对于函数，其最小正周期（min），
则此人的心跳为次/分，故④正确；
故选：C
6．C
【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.
【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为，A说法正确；
2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为，B说法正确；
2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为，C说法错误；
2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为，D说法正确．
故选：C．
7．B
【分析】根据函数图象的变换可得，即可结合正弦函数的对称性得，进而，即可求解.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象，
再向右平移个单位长度，得到的图象．
当时，，令，，
则关于t的方程在上有两个不等的实数根，，所以，
即，则，所以．
故选：B
8．A
【分析】利用三角函数定义域代入选项逐个验证即可得出结论.
【详解】考虑三角函数的定义域，
对于选项A，当时，对于任意整数，都是整数，满足题意；
对于B，当时，对于整数，没有意义，不满足题意；
同理可得对于C和D，当或时，代入验证可知不满足题意；
所以可知最大“好整数”为1
故选：A
9．ABC
【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确；
由圆周角的定义知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正确；
根据弧度的定义知，一定等于弧度，所以C正确；
无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D不正确.
故选：ABC.
10．ACD
【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断.
【详解】
，A正确；
，B不对；
，C正确；
，D正确.
故选：ACD
11．BC
【分析】利用频率分布直方图，用样本估计总体，样本的极差、平均值、百分位数相关知识计算即可.
【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，
所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A错误；
因为，解得，
所以B正确；
该校竞赛成绩的平均分的估计值分，所以C正确．
设这组数据的第30百分位数为，
则，解得，
所以D错误．
故选：BC．
12．AB
【分析】利用三角函数的定义求得，从而得到的解析式，进而利用三角函数的性质与平移的结论，逐一分析各选项即可得解.
【详解】因为，所以由三角函数的定义得，，
所以，
则
，
A: ，故A正确；
B：因为，所以是的图象的一条对称轴，故B正确；
C：将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，
所得到的函数解析式为，故C错误；
D：令，得，
解得，
仅，1，即符合题意，
即在内恰有两个零点，故D错误.
故选：AB
13．95
【分析】利用平均数的求法计算即可.
【详解】设所求平均成绩为，由题意得，∴.
故答案为：95
14．/
【分析】根据题意，分别求得，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为且，则，
又，所以，且，
所以，则，
，
所以
.
故答案为：
15．
【分析】由函数为奇函数，得，再根据函数图像关于点对称，可知，根据函数的单调性可得，进而得解.
【详解】因为函数是上的奇函数，
则，即，
又因为，所以，因为，所以；
故；
又因为图象关于点对称，则，，所以，，
因为函数在区间上是单调函数，则，得；
所以，
故答案为：.
16．
【分析】由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数的性质用含的关系式表示，再借助二次函数最值求解即得.
【详解】
由，得，
令，则，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
且，当且仅当，即时取等号，
所以的取值范围为.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.
【详解】（1）因为
，
所以.
（2）由诱导公式可知，即，
又是第三象限角，所以，
所以.
18．(1)，
(2)16.6吨
(3)20.64吨
【分析】（1）频率分布直方图总面积为1，由此即可求解.
（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.
（3）按题意列不等式即可求解.
【详解】（1），
用水量在的频率为，（户）
（2），
，
（吨）
（3）设该市居民月用水量最多为吨，因为，所以，
则，解得，
答：该市居民月用水量最多为20.64吨．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简可得的表达式，结合，确定的范围，即可求得答案；
（2）由，确定，根据在区间上有且仅有两个零点，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即求得答案.
【详解】（1）由题意得
，
当，则，
则，则，
即函数的值域为；
（2）由题可得，当时，，
，且在区间上有且仅有两个零点，
而在有且仅有2个零点，分别为，
故，即.
20．(1)选择模型符合要求，
(2)六月份
【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；
（2）由（1）结合已知可得，再结合已知数据即可得出答案.
【详解】（1）函数与在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，
而函数的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求，
根据题意可知时，；时，，
所以，解得，
故该函数模型的解析式为；
（2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得，
所以，
又，
所以，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由周期求得，再由对称性求得得解析式；
（2）由图象变换求得，然后可得的表达式，令，化为，则关于的二次方程必有两不等实根，则，则异号，然后分类讨论在上解的个数后得出结论．
【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，所以，，
得，由于，则，
因此，；
（2）将函数的图象向右平移个单位，
得到函数，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，
横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为，
，
令，可得，
令，得，
则关于的二次方程必有两不等实根，则，则异号，
（i）当且时，
则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；
（ii）当时，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，
由于方程在区间上无实数根，
方程在区间上有两个实数解，
因此，关于的方程在区间上有2024个根，不合乎题意，
（iii）当，则，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，
方程在区间上无实数解，
因此，关于的方程在区间上有2023个根，合乎题意；
此时，，，
综上所述：．
22．(1)
(2)在上单调递减，值域是．
(3)
【分析】（1）利用换元法，令，代入化简即可求出函数的解析式；
（2）可设，利用复合函数的单调性，即可判定函数的单调性，进而求得值域；
（3）由（2）知，，，结合的单调性可知当时，时，，由恒成立，即为恒成立，设，只需不等式在上恒成立，讨论的取值范围即可求解.
【详解】（1）由题意，令，则，
有，故
（2）函数，由，即定义域为，
且在上单调递减及单调递增
所以在上单调递减．
因为，，所以的值域是
（3）结合（2）结论知在上单调递减且，
又在上单调递增且
故当时，时，，
由恒成立，
即在上恒成立，设，
则不等式在上恒成立，
①当时，不等式化为，显然不满足恒成立；
②当时，将代入得，与矛盾；
③当时，只需，
综上，实数的值为-1．
【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.