专题12 二次函数（10类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

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二次函数
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
二次函数解析式的三种形式
1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
2.顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）
3.交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，
y最小值=
当x=–时，
y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
二次函数图像的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
二次函数与一元二次方程
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
二次函数的实际应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等
二次函数与几何图形
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．
运动产生的线段问题
1.确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）.
2.线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）
3.线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，并进行解决。
运动产生的面积问题
探究面积问题的备考方法如下：
1.设动点或图形运动的时间并表示出点的坐标；
2.用含有未知数的代数式表示出图形的面积；
3.用二次函数的知识来求最大值或最小值时，常采用配方法求解；
4.特别注意，当所研究的图形在运动过程中发生变化，要根据图形的形状进行分类讨论，注意分析整个过程中图形的变化情况，以防漏解.分类讨论时要注意在每一种情况下的自变量的取值范围.求面积最值时，分别求出图形的面积在每种情况下的最值，比较即可得到面积的最值.
5.面积为定值时，可将图形面积与图形中动点的坐标结合起来，列方程求得参数的值即可求得点坐标.
运动产生的等腰三角形、菱形问题
法一：分别表示出三点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，列方程解出坐标.
法二：作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系
运动产生的直角三角形、矩形问题
法一：分别表示出三点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，列方程解出坐标.
法二：作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系.
运动产生的平行四边形问题
法一：分别表示出四点坐标，再利用中点公式，分类讨论，列方程解出坐标.
法二：作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系.
二次函数其它综合问题
解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．