专题10 一次函数（11类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）

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正比例函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数．
一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：
1.k≠0，
2.x的次数是1；
3.常数b可以为任意实数.
一次函数与正比例函数的区别与联系
正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx+b（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的一条直线
一条直线
k，b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限
求解析式的条件
只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
注意
1.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
2.一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
3.判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0
图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小
一次函数的图象特征与性质
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
1.当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2.当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
1.当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；
2.当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
3.当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；
4.当k1·k2=–1时，两直线垂直．
待定系数法求一次函数解析式
1.待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
2.待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤：
①设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
③解方程，求出待定系数k．
④将求得的待定系数k的值代入解析式．
3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：
①设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
②把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
③解二元一次方程组，求出k，b．
④将求得的k，b的值代入解析式．
一次函数与一元一次方程
1.任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
2.从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
一次函数与一元一次不等式
1.任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
2.从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
一次函数与二元一次方程组
1.一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
2.从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
主要题型
1.求相应的一次函数表达式；
2.结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
用一次函数解决实际问题的一般步骤为
1.设定实际问题中的自变量与因变量；
2.通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
3.确定自变量的取值范围；
4.利用函数性质解决问题；
5.检验所求解是否符合实际意义；
6.答．
方案最值问题
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
正比例函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数．
一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：
1.k≠0，
2.x的次数是1；
3.常数b可以为任意实数.
一次函数与正比例函数的区别与联系
正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx+b（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的一条直线
一条直线
k，b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限
求解析式的条件
只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系
比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
注意
1.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
2.一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
3.判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.