江西省宜春市高安市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2. 若，则代数式可化简为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，先根据二次根式有意义的条件和已知条件推出，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3. 五根小木棒，其长度（单位：）分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，用勾股定理逆定理的条件去判断图中三角形是否为直角三角形即可，熟练掌握勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键．
【详解】解：、∵，，
∴它们不能摆成两个直角三角形；
、∵，，
∴它们不能摆成两个直角三角形；
、∵，，
∴它们能摆成两个直角三角形；
、∵，，
∴它们不能摆成两个直角三角形；
故选：．
4. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵，
，
，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
5. 在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接，若，则度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质可求出由直角三角形两锐角互余得出从而得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵菱形的对角线和相交于点，
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的中线性质；求出是解决问题的关键．
6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，且，则的长为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定及性质，熟练掌握相关判定及性质是解题关键．由，可得正方形边长为，由正方形的性质可证明，即可得，由此可证即可求解．
【详解】解：，
，
四边形与是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7. 若式子有意义，则实数x的取值范围是______
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，
根据被开方数为非负数，以及分式中分母不能为0，即可解答．
【详解】解：式子有意义，
，
解得：且，
故答案为：且．
8. 化简计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的减法计算，解题过程中，我们一般先将二次根式化为最简二次根式，然后再进行后续计算．
先将式子里的每一项化为最简二次根式，再合并同类项即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为．
9. 两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为________________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质．由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
，，
，
．
故答案为：．
10. 如图，在中，，，则边上的高的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本通主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式过作于点，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据勾股定理可解得，然后根据三角形面积公式计算求解即可．
【详解】解：过作于点，如下图，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴的面积为，
∴，即，
解得．
故答案为：．
11. 如图，已知是正方形的边中点，将正方形沿翻折，使点落在处，延长交于，若正方形边长为6，则的长是______________．
【答案】2
【解析】
【分析】由翻折的性质、正方形的性质、证明，设可得，，，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：是正方形的边中点，正方形边长为6，
，
由折叠可得，，，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的证明，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
12. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】分三种情况：①若∠ACP=90°，②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上，③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时，分别根据图形计算即可．
【详解】解：在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点，
∴AO=1，BO=，
①若∠ACP=90°时，
∵∠OCP=∠OAB=90°，CO=AO，∠COP=∠AOB，
∴△OCP≌△OAB，
∴OP=BO，
∴BP=OP+BO=2；
②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上时，
∵O为AC的中点，
∴OP=AC=1，
∴BP=OP+BO=；
③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时，
∵O为AC的中点，
∴OP=AC=1，
∴BP= BO-OP=；
综上，线段BP的长为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，分类讨论是解题的关键．
三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查了二次根式运算的知识；根据二次根式的乘除混合运算法则计算，即可得到答案；
（2）运用二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式的性质计算，即可完成求解．
【小问1详解】
【小问2详解】
．
14. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简．

【答案】
【解析】
【分析】利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可．
【详解】解：如图所示：
∴，，
则原式
．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键．
15. 如图，在菱形中，于点，于点，连接

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明．
（2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：菱形，
，
又，
．
在和中，
，
．
．
【小问2详解】
解：菱形，
，
，
．
又，
．
由（1）知，
．
．
，
等边三角形．
．
【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．
16. 如图，点E是正方形ABCD内一点，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，作出边BC的中点；
（2）在图2中，作出边CD中点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接AC，BD交于O，连接EO并延长交BC于F，点F即为所求；
（2）如图所示，连接DF交AC于G，连接BG并延长交CD于H，点H即为所求；
【小问1详解】
解：如图所示，点F即为所求；
连接AC，BD交于O，连接EO并延长交BC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，即点C在BC的线段垂直平分线上，
同理可证E在线段BC垂直平分线上，
∴EO是BC的线段垂直平分线，
∴F即为BC的中点；
【小问2详解】
解：如图所示，连接DF交AC于G，连接BG并延长交CD于H，点H即所求；
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCG=∠DCG=45°，
又∵CG=CG，
∴△BCG≌△DCG（SAS），
∴∠BGC=∠DGC，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴∠HGC=∠FGC，
∵CG=CG，∠CGH=∠CGF，
∴△CFG≌△CHG（ASA），
∴CH=CF，
∵F是BC的中点，即BC=2CF，
∴BC=CD=2CH，即点H为CD的中点；
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟知正方形的性质是解题的关键．
17. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米：
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）21.6米
（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出的长即可得出结果；
（2）根据勾股定理求出的长即可得出结果．
【小问1详解】
解：由勾股定理得，（米，
（米；
【小问2详解】
如图，由勾股定理得，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．
四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分）
18. （1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
（1）所求的式子可以化成，然后把和的值代入求解即可．
（2）所求的式子可以化成，进而化成，然后把和的值代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
，，
，
答：的值为．
（2）解：，，
，，
．
答：的值为．
19. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）20
【解析】
【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定；
（2）首先证明，求出和即可解决问题．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的面积是：，
即矩形的面积是20．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20. 如图，在中，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是．过点作于点，连接．
（1）请你判断四边形的形状，并说明理由；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由．
【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质和平行四边形的判定定理是解题的关键．
（1）由题意得到，求出，即可求出，再证明，即可证明四边形为平行四边形；
（2）当，平行四边形为菱形，由此建立方程求出的值，看是否满足即可得到结论．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
由题意知，
，
．
，，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
当时，平行四边形是菱形，理由如下：
当时，平行四边形是菱形，
，
，
，
．
五、（本大题共两个小题，每小题9分，共18分）
21. 定义：如图，点M，N把线段分割成．若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N把线段分割成，若，，，则点M，N 是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长．
【答案】（1）点M，N是线段的勾股分割点，见解析
（2）的长为8或10
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可判断点M，N是线段的勾股分割点；
（2）设，则，分3种情况，分类讨论：①当是最长边时，，②当是最长边时，，③当是最长边时，这种情况不存在；分别进行求解，即可．
【小问1详解】
点M，N是线段的勾股分割点，理由如下：
∵，
又∵ ，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形，
∴点M，N是线段的勾股分割点；
【小问2详解】
设，
则，
①当是斜边时，
∵点M，N是线段的勾股分割点，
∴，
∴，
解得：；
②当是斜边时，
∵点M，N是线段的勾股分割点，
∴，
∴，
解得：
综上所述，或10
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，根据题意，分类讨论，利用勾股定理列出方程，是解题的关键.
22. 如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
（1）若，，求的度数；
（2）求证：四边形为平行四边形；
（3）连接，交于点O，若，，直接写出长度．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接，，，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
【小问1详解】
解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：四边形为平行四边形，
，，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，，
四边形为平行四边形；
【小问3详解】
如图，连接，，，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
六、（本大题共一个小题，共12分）
23. 【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，对角线相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接．
①求证：；
②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，请你判断的大小是否发生变化，并请说明理由；
【迁移探究】
（2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变，请你探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②的大小不变，；理由见解析（2）；理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论；
②作，垂足分别伪点、，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明，得出，进而可得结论；
（2）先证明，作交于点交于点，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【详解】解：（1）①证明：四边形是正方形，
，
，
；
②解：的大小不变，；
理由如下：作于点，于点，如图，
四边形是正方形，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，即；
（2）；
理由如下：四边形是菱形，，
，
是等边三角形，垂直平分，
，，
，
，
作交于点，交于点，如图，
则四边形是平行四边形，，，
，都是等边三角形，
，
作于点，则，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．