重庆市涪陵外国语学校高中部2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份重庆市涪陵外国语学校高中部2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共5页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量，，则
A． B．
C． D．
2．在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
3. 已知三条直线和两个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
4．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱长为 ，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B．C．D．
5. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为
正方体，那么直线AB，CD所成角为（ ）
A. 0 B.
C. D.
6．如图，在 中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，已知，， 为的中点，则线段 长度的最大值为（ ）
A．3B．C．2D．
8．已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C．若，则的最大值为
D．若是关于的方程的一个根，则
10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面
上的一个动点，且∥平面，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．平面截正方体所得的截面面积为
C．平面将正方体分成的两部分的体积比为7∶16
D．点的轨迹长度为
11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则面积的最大值为
B．若，且只有一解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为 ．
13．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
14. 中,，为边上一点，若，则 __________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
在复平面内，复数对应点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）.
（1）求m值；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
16. （本题满分15分）
已知与的夹角为.
（1）求在方向上的投影向量;
（2）求的值;
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17. （本题满分15分）
如图所示，在正三棱柱中，，点D是AB的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线 和BC所成角的余弦值.
18．（本题满分17分）
在锐角中，内角 所对边分别为，，，.
（1）求角 ；
（2）设是 角的平分线，与边交于，若，，求，；
（3）若，求面积的取值范围.
19. （本题满分17分）
如图，正方形 的边长为 分别为边上 的点，且 ；
（1）求 的大小；
（2）求 面积的最小值；
（3）某同学在探求过程中发现 的长也有最小值，结合（2）他猜想 “中边 上的高为定值”，他的猜想对吗？请说明理由．