2022-2023学年重庆市涪陵第二中学校高一上学期期中数学试题（A卷）（解析版）

2022-2023学年重庆市涪陵第二中学校高一上学期期中数学试题（A卷）

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】将特称命题否定为全称命题即可.

【详解】命题“，”的否定是“，”，

故选：D

2．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出，再求即可.

【详解】因为集合，，

所以，

因为，

所以，

故选：B

3．下列图形能表示函数的图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数的定义判断即可.

【详解】由函数的定义：对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为A→B从集合到集合的一个函数可知，只有B选项能表示函数的图象.

故选：B

4．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．充分必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由必要不充分条件的定义判断即可．

【详解】由不能推出，而可以推出

所以“”是“”的必要而不充分条件

故选：C

5．已知函数，则 （  　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】首先计算，再计算即可.

【详解】因为，所以.

故选：A

6．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据开平方时被开平方数要大于等于0及分式中分母不能为0列不等式求解即可.

【详解】函数意义的满足且，

解得，

故选：C.

7．校门外有两个摊点卖瓜子，但价格不同，由于不清楚哪一处好吃一些，于是，同学甲在每个摊点都买了元钱的瓜子，同学乙在每个摊点都买了斤瓜子，总的来看，你认为他俩谁买得便宜？（  ）

A．同学甲 B．同学乙 C．一样的 D．由于价格不知道，没办法确定

【答案】A

【分析】设校门外两个摊点所卖瓜子的价格分别为、（单位：元/斤），计算出两个同学所买瓜子的价格，作差可得出结论.

【详解】设校门外两个摊点所卖瓜子的价格分别为、（单位：元/斤），其中，

则甲同学所买瓜子的重量为斤，价格为（元/斤），

乙同学所买瓜子的总重量为斤，总花费为元，价格为（元/斤），

因为，

所以，甲同学买的瓜子便宜些.

故选：A.

8．已知函数，则函数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用换元法求函数解析式即可.

【详解】令，因为，所以，则，

所以，

即.

故选：D.

二、多选题

9．下列函数在区间上单调递增的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据各选项中的函数，分析在上的单调性即可判断作答.

【详解】二次函数在上单调递增，A是；

反比例函数在上单调递减，B不是；

一次函数在上单调递增，C是，

函数在上单调递减，D不是.

故选：AC

10．下列结论中错误的是（     ）

A．若a>b，c>d，则a-d >b-c B．若a>b，则 C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a >b，则

【答案】BCD

【分析】利用不等式性质推理判断A；举例说明判断B，C，D作答.

【详解】对于A，因c>d，则-d>-c，而a>b，因此a-d >b-c，A正确；

对于B，a>b，当时，有，B不正确；

对于C，取，显然满足a>b，c>d，而，C不正确；

对于D，取，满足a >b，而，D不正确.

故选：BCD

11．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ）

A． B．

C．不等式的解集为 D．不等式的解集为

【答案】AD

【分析】根据给定的解集，借助根与系数的关系用a表示b，c，再逐项判断作答.

【详解】因关于的不等式的解集为，则是方程的二根，且，

于是得，即有，

，即，A正确；

，B不正确；

不等式化为：，解得，即不等式的解集为，C不正确；

不等式化为：，即，解得，

所以不等式的解集为，D正确.

故选：AD

12．函数的图象可能是　　

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，分、以及三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．

【详解】解：根据题意，

当时，，，其图象与选项对应，

当时，，在区间上，，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项对应，

当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项对应，

故选：．

三、填空题

13．为庆祝“二十大”成功召开，学校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动 . 高一某班选派了部分同学参演了两个节目，已知有20名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，15名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》， 其中同时参加了两个节目有7名同学. 则这一个班参演了节目的共有______ 人．

【答案】28

【分析】分别得到只合唱和诗朗诵、以及都参加的人数，然后相加即可.

【详解】由题可知：只参加合唱的同学又人

只参加诗朗诵的同学有：人，

都参加了的同学有：7人

所以这个班表演节目的共有人

故答案为：28.

14．已知是一个偶函数，当时，则时，y的最小值是_____

【答案】

【分析】根据偶函数的性质结合已知条件可求得结果.

【详解】因为是一个偶函数，当时，

所以当时，

所以当时，y的最小值是，

故答案为：.

15．函数在区间上递增，则的取值范围是________

【答案】

【分析】求出函数的对称轴，根据函数在区间上的单调性，即可得到不等式，解得即可.

【详解】解：因为的对称轴为，开口向下，

又函数在区间上递增，

所以，解得，即的取值范围是.

故答案为：

16．设函数，若函数，则____

【答案】-1

【分析】变形给定的函数式，构造函数并探讨其奇偶性即可计算作答.

【详解】函数，令，

显然有，即函数是奇函数，

又，所以.

故答案为：-1

四、解答题

17．（1）求不等式的解集；

（2）设（1）中不等式的解集为，，若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）将式子变形为，即可求出不等式的解集；

（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【详解】解：（1）由，即，即，解得，

所以不等式的解集为.

（2）由（1）可得，又，

因为，所以，

所以，解得，所以的取值范围为.

18．已知函数二次函数的图像过点，.

(1)求函数的解析式;

(2)若的定义域为， 求的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为3，最小值为-6.

【分析】（1）将所过点代入解析式，可得答案.

（2）由（1）可得对称轴，后结合单调性可得答案.

【详解】（1）由题，，.则，

解得，故.

（2）由（1），图像开口向上，其对称轴为.

又的定义域为，则在单调递减，在上单调递增.

则，.

19．已知都是正实数，解决下列问题：

(1)若，求的最小值.

(2)若，求 的最小值.

(3)若,求的取值范围.

【答案】(1)5.

(2)18.

(3).

【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案；

（2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案；

（3）利用基本不等式将化为，换元后结合解一元二次不等式即可得答案.

【详解】（1）由题意，知，

所以，

（当且仅当 ，即取等号），

故的最小值为5.

（2）因为都是正实数，，

所以

 ，

当且仅当 即时取等号，

故 的最小值为18；

（3）由都是正实数,得，

当且仅当时取等号，

即有，

设 ，则，解得(舍去)或，

∴的范围为.

20．已知函数，.

(1)判定函数的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；

(2)若实数满足，求的取值范围.

【答案】(1)减函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）利用对勾函数的单调性可得出结论，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；

（2）根据函数的单调性与定义域结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解：函数在上为减函数，证明如下：

任取、且，则，，

所以，，

则，故函数在上为减函数.

（2）解：因为函数是定义在上的减函数，

由可得，解得.

所以，实数的取值范围是.

21．已知函数的定义域为的奇函数，若当时，

(1)求解析式；

(2)若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由奇函数的性质可得出，当时，可得出，综合可得出函数的解析式；

（2）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为函数的定义域为的奇函数，则，

当时，.

综上所述，.

（2）解：由可得对任意的恒成立，

当时，则有，解得，不合乎题意；

当时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

22．已知函数的定义域为R，且满足下列两个条件:

①对任意实数，成立，

②当时，.

(1)求；

(2)判定的奇偶性并证明；

(3)设，试求的最大值

【答案】(1)，

(2)奇函数，证明见解析，

(3)答案见解析.

【分析】（1）令，代入已知等式可求出，

（2）令，代入已知等式化简结合奇偶性的定义进行判断，

（3）先利用单调性的定义结合已知判断的单调性，然后分，和三种情况求出的最小值，从而可求出的最大值.

【详解】（1）令，则，

得，

（2）为奇函数，理由如下：

由题意可知的定义域为R，关于原点对称，

设，令，则

，

所以，

所以，

所以为奇函数，

（3）先判断的单调性，

任取，且，

取，则由，得

，

因为为奇函数，所以，

因为，所以，所以，

所以，即，

所以在上为减函数，

所以当取得最小值时，取得最大值，

接下来求的最大值，

因为的图象开口向上，对称轴为，

所以①当，即时，在上递减，

所以，

所以的最大值为，

②当，即时，在上递减，在上递增，

所以，

所以的最大值为，

③当时，在上递增，

所以，

所以的最大值为，

综上，当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为.