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2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题02运动学图像、多过程运动模型及追击相遇(原卷版+解析)
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这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题02运动学图像、多过程运动模型及追击相遇(原卷版+解析)，共91页。试卷主要包含了运动学图像的理解与应用，常见的多过程运动模型，追及相遇问题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3564" 题型一 运动学图像的理解与应用 PAGEREF _Tc3564 \h 1
\l "_Tc11332" 类型1 x－t图象与v－t图象的比较 PAGEREF _Tc11332 \h 1
\l "_Tc15592" 类型2 v-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc15592 \h 4
\l "_Tc7976" 类型3 x-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc7976 \h 7
\l "_Tc30292" 题型二 常见的多过程运动模型 PAGEREF _Tc30292 \h 22
\l "_Tc1977" 类型1 “0—v—0”运动模型 PAGEREF _Tc1977 \h 22
\l "_Tc7356" 类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型 PAGEREF _Tc7356 \h 26
\l "_Tc6226" 类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题 PAGEREF _Tc6226 \h 30
\l "_Tc29471" 类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题 PAGEREF _Tc29471 \h 34
\l "_Tc16830" 类型5 三倍加速度运动模型 PAGEREF _Tc16830 \h 35
\l "_Tc8639" 题型三 追及相遇问题 PAGEREF _Tc8639 \h 39
\l "_Tc9037" 类型1 变速物体追匀速物体 PAGEREF _Tc9037 \h 40
\l "_Tc27231" 类型2 变速物体追变速物体 PAGEREF _Tc27231 \h 41
\l "_Tc24742" 类型3 体育赛事中的追及问题 PAGEREF _Tc24742 \h 45
\l "_Tc20301" 类型4 图像法在追及相遇问题中的应用 PAGEREF _Tc20301 \h 50
\l "_Tc13077" 类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题 PAGEREF _Tc13077 \h 56
题型一 运动学图像的理解与应用
【解题指导】1．x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹.
x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇.
v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速度方向不变.
v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．图线在t轴上方，表示位移为正；图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和.
5.有些特殊图像，比如v2－x图像、eq \f(x,t)－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量．
类型1 x－t图象与v－t图象的比较
x－t图象
v－t图象
图象
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
【例1】（2023秋·天津河西·高三统考期末）有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的图像如图甲所示，物体C、D从同一地点沿同一方向运动的图像如图乙所示。根据图像做出以下判断正确的是（ ）
A．在前时间内，A、B两物体的位移不相同
B．在时，B物体的运动方向发生了变化
C．时，物体C与D间距离最大
D．时，物体C追上物体D
【例2】（2023春·广西·高三校联考阶段练习）如图所示，分别为汽车甲的位移-时间图像和汽车乙的速度-时间图像，则（ ）
A．甲的加速度大小为B．乙的加速度大小为
C．甲在内的位移大小为D．乙在内的位移大小为
【例3】（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）如图所示，甲图是x-t即位置与时间图像，乙图是v-t图像，图中给出的四条曲线1、2、3、4，分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是（ ）特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动
情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
A．两图像中，t2、t4时刻分别表示物体2、物体4已经向负方向运动
B．两图像中，物体1和物体2在t1时刻相遇，物体3和物体4在t3时刻相遇
C．x-t图像中0至t1时间内物体1和物体2的平均速度相等
D．v-t图像中0至t3时间内物体3和物体4的平均速度相等
类型2 v-t图像中的曲线问题
【例1】（2023秋·广东潮州·高三校考期中）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v一t图像如图所示。在这段时间内（ ）
A．汽车甲的平均速度比乙的小
B．汽车甲的平均速度大于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐增大，汽车乙的加速度大小逐渐减小
【例2】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）t
O
v
t0
匀加速
变加速
v1
v2
t
O
v
t0
变加速
匀加速
v2
v1
t
O
v
t0
匀减速
变减速
v1
v2
t
O
v
t0
变减速
匀减速
v2
v1
<(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
<(v1+v2)/2
加速度增大
加速度减小
加速度增大
加速度减小
曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动
刚刚结束的奥运会上，广东小将全红婵（图甲）以总分466.2分打破世界纪录，获得跳水单人十米台金牌。自运动员离开跳台开始计时到完全落入水中，其速度随时间变化情况可简化如图乙，选向下为正方向，下列结论正确的是（ ）
A．0-t2为空中运动时间，速度始终向下
B．t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度大
C．在0-t1内，平均速度等于
D．在t2-t3内，平均速度
【例3】（2023·全国·高三专题练习）2022年2月，北京市和张家口市联合举办了第24届冬季奥林匹克运动会，让世界瞩目。冰壶是冬奥会上一种投掷性竞赛项目。如图甲所示，运动员以一定初速度投出冰壶使其在冰面上沿直线自由滑行，冰壶的v-t图像如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．冰壶做加速度逐渐增大的减速运动
B．冰壶在0~t0时间内运动的位移x>v0t0
C．冰面的动摩擦因数逐渐减小
D．冰壶在位移中点的瞬时速度小于时间中点的瞬时速度
【例4】（2023·西藏·统考一模）在抗击“新冠”疫情期间，为了保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”即用无人机配送快递（如图1）。某次快递员操作无人机竖直向上由地面向10楼阳台配送快递，无人机飞行过程的v-t图像如图2所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．0~t1时间内，无人机做匀加速直线运动B．时间内，无人机的平均速度小于
C．t3时刻，无人机仅受重力作用D．t1-t2时间内，无人机的机械能增加
类型3 x-t图像中的曲线问题
t
O
x
t2
瞬时速度
x2
平均速度
t1
x1
(1)一般曲线
①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动；
②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度；
③注意路程和位移区别。0~t1，路程等于位移大小(x1)；0~t2，路程(2x1-x2)大于位移大小(x2)。
（2）抛物线
t
O
x
1 2 3
匀加速直线运动
x3
x1
x2
t
O
x
1 2 3 4
匀减速直线运动
x0
①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速；
②加速度用逐差法计算：(x3-x2)-(x2-x1)=aT2；
③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v2=(x3-x1)/2T。
【例1】（2023·广西·统考三模）在水平面上做匀减速直线运动的质点通过O、A、B三点的过程中，其位移随时间变化规律图像如图所示。则质点（ ）
A．从O点运动到B点过程的平均速度为
B．通过A点时的速度为
C．加速度为
D．从A点运动到B点，速度的变化量为
【例2】（2023春·湖南岳阳·高三岳阳一中校联考阶段练习）物体从t=0时开始做匀变速直线运动，其x-t图像的一段图线如图所示，图线经过图中坐标（3，10）和（4，9）的点，其中（3，10）为抛物线的顶点。关于该物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．t=0时，物体从坐标原点出发B．物体的初速度为
C．物体加速度大小为2m/s2D．物体0~4s内的路程为8m
【例3】（2023·山西·校联考模拟预测）在平直的公路上行驶的甲车和乙车，其位置x随时间t变化的图像分别为图中直线和曲线。已知乙车做匀变速直线运动，当时，直线和曲线相切，下列说法中正确的是（ ）
A．时刻乙车的速度大小为
B．时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度
C．时间内甲车与乙车间的距离一直在增大
D．乙车的加速度大小为
【例4】（2023·河北·校联考模拟预测）某同学应用航拍飞机进行实验并得到如图所示的位移—时间图像，时，飞机由静止向上运动，当时，飞机上升到高度并立即关闭发动机，让其自由上升，时，飞机达到最高点，整个过程中飞机在竖直方向做直线运动，图中的，，两段曲线均为抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．飞机在时间内处于失重状态
B．飞机在时间内的加速度大小等于时间内的加速度大小
C．图像中的两段曲线在时刻相切
D．飞机的最大速度为
类型四 非常规运动学图像
1．四类图象
(1)a－t图象
由vt＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示．
(2)eq \f(s,t)－t图象
由s＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(s,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，图象的斜率为eq \f(1,2)a，如图乙所示．
(3)v2－s图象
由vt2－v02＝2as可知vt2＝v02＋2as，图象斜率为2a.
(4)s－v图象
s与v的关系式：2as＝v2－v02，图象表达式：s＝eq \f(1,2a)v2－eq \f(1,2a)v02.
2．解题技巧
(1)用函数思想分析图象：
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度．
【例1】（2023春·全国·高三校联考阶段练习）一只翠鸟发现露出水面的游鱼，从高空由静止俯冲扎入水中捕鱼。若在翠鸟由静止俯冲至水面的过程中，位移与时间的比值随时间变化的图像为直线，如图所示，其中、均已知，翠鸟在空中运动的时间为，则下列说法正确的是（ ）
A．翠鸟在空中运动的最大速度为B．翠鸟在空中运动的最大速度为
C．翠鸟在空中运动的距离为D．翠鸟在空中运动的距离为
【例2】．（2023秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考期末）除夕夜无人机表演方阵中，一架无人机从大剧院广场启动，由静止开始，竖直向上加速运动的过程中，其加速度随上升高度关系，如图所示，取竖直向上为正方向，无人机的质量为，重力加速度为，忽略空气阻力，则无人机上升的过程中（ ）
A．无人机先加速后匀速运动B．上升时，无人机的速度为
C．上升时，无人机发动机的功率为
D．上升过程中，无人机机械能增加量为
【例3】．（2023秋·山西·高三校联考期末）如图甲所示，运动员在进行蹦床比赛，取向上为正方向，运动员离开蹦床后的图像如图乙所示，运动员可视为质点，取重力加速度大小，则下列叙述正确的是（ ）
A．运动员离开蹦床后加速度大小为
B．运动员在时的速度大小为
C．运动员离开蹦床前的过程中，速度最大值是
D．运动员在最高点的速度为零，只受重力的作用
【例4】．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）放在水平面上的物体，在力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．0～x2过程中物体做匀加速直线运动，x2～x3过程中物体做匀减速直线运动
B．0～x2段，物体的运动的时间
C．位移为x2时，物体的速度达到最大
D．物体的最大速度为
【例5】．（2023·北京门头沟·统考一模）“加速度的变化率”可以表示加速度随时间变化的快慢。汽车加速度的变化率越小，乘客舒适感越好。某汽车由静止启动，前3s内加速度随时间的变化关系如图所示，则（ ）
A．内汽车做匀加速运动
B．加速度变化率的单位为
C．第3s末，汽车速度达到
D．乘客感觉内比内更舒适
【例6】（2023秋·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校联考期中）速度—位移（vx）图像可以直观表示物体运动的速度随空间位置的变化情况。如图，某物体运动的vx图线为抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．物体做加速度越来越小的加速运动
B．m与m时物体的速度之比等于1：2
C．物体在0～1m和1～4m内的时间之比等于1：2
D．物体在0～1m和1～4m内的平均速度之比等于1：3
【例7】（2023·山东·校联考模拟预测）图甲所示是采用36V、10Ah电池和180W额定功率电机设计的无人配送小车，车重为60kg，载重40kg。在某次进行刹车性能测试时，其位移x与时间t的关系可用图乙所示的图像表示，则下列说法正确的是（ ）
A．小车运动的加速度大小为B．小车运动的初速度大小为6m/s
C．前2s内小车的位移大小为4mD．前2s内合力对小车做功的平均功率为1200W
【例8】（2023·山西·统考二模）一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀加速直线运动，计时开始的图像如甲所示v2-x图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列说法正确的是（ ）
A．x=1m时物体的速度为8m/s
B．图乙的斜率是图甲的斜率的2倍
C．图甲中的y=8m/s
D．t=1s时物体的速度为4m/s
题型二 常见的多过程运动模型
类型1 “0—v—0”运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v0
1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
= 1 \* GB3 ①速度公式 推导可得：
= 2 \* GB3 ②速度位移公式 推导可得：
= 3 \* GB3 ③平均速度位移公式 推导可得：
2.位移三个公式：；；
【例1】【多选】（2021·全国·高考真题）水平桌面上，一质量为m的物体在水平恒力F拉动下从静止开始运动，物体通过的路程等于时，速度的大小为，此时撤去F，物体继续滑行的路程后停止运动，重力加速度大小为g，则（ ）
A．在此过程中F所做的功为
B．在此过中F的冲量大小等于
C．物体与桌面间的动摩擦因数等于
D．F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的2倍
【例2】（2023秋·吉林白城·高三校联考期末）甲、乙两辆车沿平直公路行驶，从A地到B地，乙车以速度v0匀速行驶，用时t0；甲车从静止开始先以加速度大小a1加速到vmax，所用时间为t1，再以加速度大小a2减速到0，所用时间为t2，总共用时也为t0。则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例3】在国庆节阅兵仪式中，某直升机在地面上空某高度A处于静止待命状态，要求该直升机在零时刻由静止状态沿着直线方向做匀加速直线运动，经过AB段加速区后，进入BC段的匀速受阅区，在时刻t达到C位置，已知AB段长度为L1，BC段长度为L2，求：
(1)直升机在BC段的速度大小；
(2)直升机在AB段运动时的加速度大小．
【例4】.（2023秋·山东济宁·高三期中）为了研究汽车的启动和制动性能，现用甲、乙两辆完全相同的汽车在平直公路上分别进行实验。让甲车以加速度，加速到最大速度后匀速运动一段时间再以最大加速度制动，直到停止；乙车以最大加速度加速到最大速度后立即以加速度制动，直到停止。实验测得甲、乙两车的运动时间相等，且两车运动的位移之比为7：5.则（ ）
A．甲加速的时间和甲减速的时间之比为1∶2
B．甲加速的时间和甲减速的时间之比为3∶1
C．
D．
类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v1
v2
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式；
平均速度位移公式
（3）三个比例式： = 1 \* GB3 ① ； = 2 \* GB3 ② ； = 3 \* GB3 ③
【例1】【多选】（2021·全国·高考真题）一质量为m的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为g。则（ ）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【例2】(2022·安徽省亳州市高三上学期期末)一物块沿倾角为θ的固定斜面底端上滑，到达最高点后又返回至斜面底端。已知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为 ( )
A．eq \f(1,3)tanθ B．eq \f(1,9)tanθ
C．eq \f(4,5)tanθ D．eq \f(5,4)tanθ
【例3】(2023·全国理综押题卷)如图甲所示，一物块从倾角为的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动的速度一时间图像如图乙所示，2t0时刻速度减为零，5t0时刻回到出发点。则下列说法正确的是（ ）
A. 物块返回斜面底端时的速度大小为
B. 物块返回斜面底端时的速度大小为
C. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
D. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
【例4】（2023春·全国·高三专题练习）海洋馆中一潜水员把一质量为m的小球以初速度从手中竖直抛出，从抛出开始计时，时刻小球返回手中，小球始终在水中且在水中所受阻力大小不变，小球的速度随时间变化的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，则小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为（ ）
A．B．C．D．
类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题
t
O
v
x2
t1
a
v0
x1
总位移
【例1】（2022届云南省高三（下）第一次统测物理试题）无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A. 24mB. 26mC. 28mD. 30m
【例2】（2023秋·内蒙古包头·高三包钢一中校考期末）汽车的刹车性能至关重要，关乎到乘车人员的人身安全，研发阶段应在不同情形下进行实验测量分析。如图所示，两条图线是驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v-t图像。驾驶员的反应时间为1s（从发现问题到开始制动的时间），汽车与湿滑路面间的动摩擦因数为μ1，汽车与干燥路面的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．从t=1s到停下，汽车在干燥路面的平均速度较小
D．从t=0到停下，汽车在湿滑路面上比在干燥路面上多滑行75m
【例3】（2023·辽宁·校联考一模）一辆质量为m的货车以速度在平直公路上做匀速直线运动。司机突然发现正前方有障碍物，司机反应过来后立即紧急刹车，刹车过程中货车受到的阻力大小恒为。已知司机的反应时间为，反应时间内车匀速行驶。
（1）求从司机发现障碍物到车停下来货车前进的距离；
（2）安全驾驶人人有责，为防止发生交通事故，请通过分析第（1）问中影响货车前进距离的因素，给货车司机提出两条安全驾驶的建议（写出给出的建议的依据，只给建议不写依据不得分）。
【例4】(2022·山东济南市5月高考模拟)(多选)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加．如图所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v－t图像，驾驶员的反应时间为1 s．下列说法正确的是( )
A．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
B．从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
C．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 m
D．从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题
t
O
v
t
a
v0
加速时间；加速距离
匀速时间；匀速距离
总位移
【例1】(2022·贵州省贵阳一中高三月考)在东京奥运会田径赛场上，中国运动员在100 m的半决赛中取得了9.83 s的好成绩，打破了亚洲纪录，成功挺进了决赛．我们把该运动员的这次比赛简化为匀加速直线运动和匀速直线运动两个阶段，假设该运动员加速了2.83 s，则他加速阶段的加速度大小及匀速阶段的速度大小分别约为( )
A．4.2 m/s2 10.17 m/s
B．3.6 m/s2 10.17 m/s
C．4.2 m/s2 11.88 m/s
D．3.6 m/s2 11.88 m/s
类型5 三倍加速度运动模型
t
O
v
t2
t1
-a2
a1
v1
-v2
（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式：；
（3）特殊结论：若 ,则有 ,
【例1】（2023·高三课时练习）物体从A点由静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，经时间t到达B点，速度大小为，这时突然改为做加速度大小为的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点，速度大小为，求：和。
【例2】（2022·吉林吉林市·高三期末）由于氢气比氦气廉价，因此市面上销售的基本上都是氢气球，但氢气可能爆炸，所以氦气球相对更安全，某同学用一氦气球悬挂一重物（可视为质点），从地面释放后沿竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动过了一段时间后，悬挂重物的细线断裂，又经过相同的时间，重物恰好落到地面，重物脱落后仅受到重力，重力加速度大小为，下列说法正确的是（ ）
A．细线断裂前氦气球匀加速上升时的加速度大小为
B．细线断裂前重物匀加速上升时的加速度大小为
C．细线断裂时重物的速度大小等于重物落地时速度大小的一半
D．由于条件不足，无法确定细线断裂时重物的速度与落地时的速度的关系
【例3】（2023·浙江台州·高三统考）如图所示，静置于光滑斜面（倾角为）的质量为m的物块，受到沿斜面方向的恒力F的作用，作用时间t后撤去F，再经时间后刚好返回起点，则（ ）
A．F与的比应该为3比7
B．F与的比应该为9比5
C．F与的比应该为7比3
D．F与的比应该为2比3
【例4】质量为m的小球由空中A点无初速度自由下落，加速度大小为g；在t秒末使其加速度大小变为方向竖直向上，再经过t秒小球又回到A点．不计空气阻力且小球从未落地，则以下说法中正确的是：( )
A．a＝4g B．返回到A点的速率2aC．自由下落秒时小球的速率为at D．小球下落的最大高度eq \f(2,9)at2
【例5】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）一质点从A点做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为，又经过同样的时间到达C点。已知、的距离为、的距离的一半，则与的大小之比可能为（ ）
A．B．C．D．
题型三 追及相遇问题
【解题指导】1．(1)“慢追快”型：v后＝v前时，Δx最大．追匀减速运动的机车时，注意要判断追上时前车是否已停下．(2)“快追慢”型：v后＝v前时，Δx最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若此时还没追上就追不上了；若此之前追上则是撞上.
在已知出发点的前提下，可由v－t图像“面积”判断相距最远、最近及相遇等情况.
3.基本解题思路是：利用速度相等找位移关系．
【必备知识与关键能力】
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
类型1 变速物体追匀速物体
【例1】（2023·河北沧州·统考一模）在某次军事演习中，歼击机以的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机。当两者相距时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为的匀加速直线运动，时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的时间不计，发射导弹对歼击机速度无影响。求：
（1）无人靶机被击中前飞行的速度大小；
（2）导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离；
（3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置且要求歼击机到达时速度为零继而悬停在空中。已知歼击机以最大加速度加速后达到最大速度，且歼击机加速和减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击中无人靶机至歼击机到达无人靶机所在位置的最短时间。（结果保留3位有效数字）
类型2 变速物体追变速物体
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，一小汽车停在小山坡底部，突然司机发现山坡上距坡底x1=60m处，因地震产生的小泥石流以v0=4m/s的初速度、a1=0.4m/s2的加速度匀加速倾斜而下，泥石流到达坡底后以a2=0.3m/s2的加速度沿水平地面做匀减速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了t0=2s，设汽车启动后一直以a3=0.5m/s2的加速度，沿与泥石流的同一直线做匀加速直线运动。求：
（1）泥石流到达坡底速度的大小；
（2）泥石流与汽车相距的最近距离。
【例2】（2023·河北张家口·统考一模）小明和小强玩遥控赛车，他们让两个小车在同一直线上沿同一方向匀速运动，小明的车在前，速度为2m/s，小强的车在后，速度为5m/s。当两小车相距3m时小明和小强同时开始刹车，两玩具车刹车过程均可视为匀变速运动，已知小明的玩具车刹车时加速度大小为1。
（1）如果小强的玩具车刹车的加速度大小为2.5m/s2，求两车的最小距离；
（2）如果两玩具车相距5m时开始刹车，小强的玩具车刹车的加速度大小为2，求整个过程两车的距离s与时间t的关系。
【例3】．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）一列火车和一辆汽车沿同一方向做匀变速直线运动，速度分别为v1和v2。t=0时刻，火车在汽车前方26m处，此后v1、v2在各个时刻的大小如表所示。根据表格中的数据，通过计算求：
（1）经过多长时间两车相遇？
（2）两车初始间距满足什么条件可以相遇两次？
类型3 体育赛事中的追及问题
【例4】（2023春·河南·高三统考阶段练习）如图，短道速滑接力比赛时，“交棒”的运动员在到达接力地点时，需要推送一下前面“接棒”的队友以完成接力。在某次直道交接训练中，质量为50kg的队员甲以的速度匀速向质量为60kg的队员乙滑来，当甲运动到P点时，乙从Q点开始滑动，乙起滑后到交接前的运动可看做匀加速直线运动，其加速度大小为，甲、乙两人在M点完成交接，交接时间很短。交接前瞬间乙的速度大小是甲的，交接后乙的速度大小为14.6m/s。队员甲完成推送后在水平直道上自然向前滑行了，直至撞上缓冲垫后停下，此过程甲与冰面间的动摩擦因数为，重力加速度的大小g取10m/s2。求：
（1）在直道上，乙在距甲多远的距离处开始滑动；
（2）队员甲撞上缓冲垫时的速度大小。
【例5】．（2023秋·青海海东·高三校考阶段练习）4×100米接力中的交接棒过程会直接影响比赛成绩。甲、乙两名运动员在直跑道上进行交接棒训练，某次训练中，甲在距离接力区前端x0=24m处向乙发出起跑口令，并以10m/s的速度跑完全程，乙在接力区前端听到起跑口令后立即起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。已知乙在起跑加速阶段的第4s内通过的距离为7m，乙从起跑到接棒前做的是匀加速直线运动，接力区的长度为L=20m，求：
（1）乙加速阶段的加速度大小及交接棒时乙的速度大小；
（2）为使甲、乙在速度相等时完成交接棒且保证交接棒时的位置距接力区前端16m，求甲在距离乙多远时发出起跑口令及乙起跑时与接力区前端的距离。t/s
0
1
2
3
4
5
v1/m•s-¹
16.0
14.0
12.0
10.0
…
…
v2/m•s-¹
4.0
5.0
6.0
7.0
…
…
【例6】（2023·全国·高三专题练习）重庆市某学校成功举行了秋季田径运动会，高-16班同学小王和小杨在赛前进行了接力赛交接棒的练习。小王、小杨两位同学分别为第四棒和第三棒，小王一小段加速后能保持的速度跑完全程，小杨也能以的速度接力跑，但由于体力原因，离接力区8.5m时，开始以的加速度做匀减速运动，进入接力区后做匀速运动。两人为了确定小王起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，小杨在距离接力区前端d处作了标记，当小杨跑到此标记时向小王发出起跑口令，此后小杨在接力区恰能在两人速度相同时追上小王完成交接棒。已知小王在接力区的前端听到口令且有0.1s的反应时间（忽略声音传播的时间），接力区的长度为，小王起跑后以的加速度做匀加速运动（练习时两人均做直线运动）。求：
(1)小杨追上小王时，小杨的速度大小及此时小王离接力区末端的距离；
(2)标记处离接力区的距离d。
【例7】．（2023秋·广东韶关·高三校考阶段练习）如图，甲、乙两名运动员在训练2×100m接力赛跑。已知甲、乙两运动员的起跑过程可看成加速度大小为2m/s2的匀加速运动，且经加速后都能达到并保持vm=8m/s的速度跑完全程。已知接力区的长度为L=18m，乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲乙相遇时完成交接棒，假设接棒动作不影响运动员的速度大小。
(1)在某次练习中，甲以vm=8m/s的速度跑到接力区前端s合=12m处时，向乙发出起跑口令，求此次练习中交接棒处离接力区前端的距离；
(2)为了取得最好成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在距离接力区前端多远时对乙发出起跑口令?
(3)若接力区的长度只有L′=9m，他们跑完2×100m全程的最好成绩（从甲起跑开始，至乙到达终点的总时间）是多少?
类型4 图像法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．【例1】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的图线，根据这些信息，可以判断（ ）
A．5s末两车速度均为9m/sB．0时刻之后，两车只会相遇一次
C．20s末两车相遇D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍
【例2】．（2023·全国·模拟预测）某同学用甲、乙两个物块来模拟研究汽车相遇规律问题，下图是他根据运动规律绘制的甲、乙两个物块的运动位移时间图线。已知甲物块的运动图线为一条顶点为的抛物线，乙的运动图线为一过原点的直线。两条图线中其中一个交点坐标为。则下列说法正确的是（ ）
A．时刻甲物块速度为
B．甲物块在做匀加速直线运动的加速度为
C．图中甲、乙两个物块再次相遇时刻为
D．如果两个物块只相遇一次，则必有
【例3】．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）、两质点沿直线轴正方向运动，时，两质点同时到达坐标原点，测得两质点在之后的运动中，其位置坐标与时间的比值（平均速度）随时间变化的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．质点由静止开始做匀加速运动，质点做匀加速直线运动
B．质点做匀加速运动的加速度为
C．时，，第1次相遇
D．质点，有可能第2次相遇
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示；以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点，以甲车速度方向为正方向，乙车的位置随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在x＝30m处的抛物线的一部分。下列说法正确的是（ ）
A．乙车在做匀变速直线运动，加速度大小为4.5m/s2B．当t＝2s，乙车在甲车前方10m处
C．当t＝4s，两车速度大小相等D．在0~7s内，两车共相遇两次
【例5】．（2023·甘肃·统考二模）假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前乙车在后，速度均为。甲、乙两车相距，在时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是（ ）
A．0~3s内两车间距逐渐增大
B．时两车距离最近，且最近距离为10mC．6~9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大
D．两车在0~9s内会相撞
【例6】．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）张卫和黄亮精准遥控小车A和B沿百米直线跑道正对着行进，取小车A的出发点为坐标原点，小车A的运动方向为正方向建立x轴，两小车的图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．两小车若同时出发，一定不会在图像交点处相遇
B．两小车若不同时出发，一定会在图像交点处相遇
C．A车匀加速，B车匀减速，且加速度大小分别为和
D．A车匀加速，B车匀减速，且加速度大小分别为和
类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题
【例1】（2023·广东·高三统考学业考试）如图，在车厢长度的小货车上，质量、厚度的冰块用绳绑住并紧贴车厢前端，与货车一起以的速度沿坡度为5%（即斜面倾角θ满足，，）的斜坡向上行动。 某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。 已知冰块与车厢底板间动摩擦因数，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取重力加速度。
（1）求从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离；
（2）若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，求a的最大值。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以和的速度在限速的路面上匀速行驶，其中甲车车身长、货车车身长，某时刻货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为，假定货车速度保持不变，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度，求：
（1）甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间（结果保留2位小数）；
（2）一般情况下，汽车时速超过限速不到的，仅给予警告，不予扣分和罚款。若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者车头相距，乙车速度为，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车在不被扣分和罚款的前提下，能否安全超车？若甲车不能安全超车，则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车？
【例3】．（2023秋·广东·高三统考阶段练习）如图所示，某路面由斜坡AB和水平路面BC两部分组成，斜坡与水平面的夹角，一质量为M的卡车正沿斜坡AB往下运动，此时水平路而上有多辆质量为m的小汽车正以m/s的速度匀速行驶，它们之间的距离均为m。已知卡车和小汽车在各路面上行驶时受到的摩擦力均为正压力的0.2倍，，重力加速度，忽略车辆本身长度，，。当卡车以m/s的速度行驶至距离斜坡底端m的A点时，突然出现故障失去控制。
（1）为避免发生交通事故，卡车发生故障时，在水平路面上行驶的小汽车距离斜坡底端至少多远？
（2）若卡车发生故障时，与卡车距离最近的小汽车恰好位于斜坡的底端B，则卡车最多会与几辆小汽车发生连环碰撞？（假设所有碰撞为一维完全非弹性碰撞，且小汽车一旦发生碰撞会立即失去控制）
公众号：高中试卷君
专题02 运动学图像、多过程运动模型及追击相遇
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3564" 题型一 运动学图像的理解与应用 PAGEREF _Tc3564 \h 1
\l "_Tc11332" 类型1 x－t图象与v－t图象的比较 PAGEREF _Tc11332 \h 1
\l "_Tc15592" 类型2 v-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc15592 \h 4
\l "_Tc7976" 类型3 x-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc7976 \h 7
\l "_Tc30292" 题型二 常见的多过程运动模型 PAGEREF _Tc30292 \h 22
\l "_Tc1977" 类型1 “0—v—0”运动模型 PAGEREF _Tc1977 \h 22
\l "_Tc7356" 类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型 PAGEREF _Tc7356 \h 26
\l "_Tc6226" 类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题 PAGEREF _Tc6226 \h 30
\l "_Tc29471" 类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题 PAGEREF _Tc29471 \h 34
\l "_Tc16830" 类型5 三倍加速度运动模型 PAGEREF _Tc16830 \h 35
\l "_Tc8639" 题型三 追及相遇问题 PAGEREF _Tc8639 \h 39
\l "_Tc9037" 类型1 变速物体追匀速物体 PAGEREF _Tc9037 \h 40
\l "_Tc27231" 类型2 变速物体追变速物体 PAGEREF _Tc27231 \h 41
\l "_Tc24742" 类型3 体育赛事中的追及问题 PAGEREF _Tc24742 \h 45
\l "_Tc20301" 类型4 图像法在追及相遇问题中的应用 PAGEREF _Tc20301 \h 50
\l "_Tc13077" 类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题 PAGEREF _Tc13077 \h 56
题型一 运动学图像的理解与应用
【解题指导】1．x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹.
x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇.
v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速度方向不变.
v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．图线在t轴上方，表示位移为正；图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和.
5.有些特殊图像，比如v2－x图像、eq \f(x,t)－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量．
类型1 x－t图象与v－t图象的比较
x－t图象
v－t图象
图象
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
【例1】（2023秋·天津河西·高三统考期末）有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的图像如图甲所示，物体C、D从同一地点沿同一方向运动的图像如图乙所示。根据图像做出以下判断正确的是（ ）
A．在前时间内，A、B两物体的位移不相同
B．在时，B物体的运动方向发生了变化
C．时，物体C与D间距离最大
D．时，物体C追上物体D
【答案】AC
【详解】A．由图像可知，前时间内，A、B两物体的位移等大反向，故A正确；
B．图像中斜率表示速度，B物体整个过程斜率不变表示速度不变，大小方向都不变，所以运动方向不变，故B错误；
CD．物体C、D从同一地点沿同一方向运动，时，两者速度相同，相遇之前两者相距最远，即物体C与D间距离最大，故C正确，D错误。
故选AC。
【例2】（2023春·广西·高三校联考阶段练习）如图所示，分别为汽车甲的位移-时间图像和汽车乙的速度-时间图像，则（ ）特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动
情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
A．甲的加速度大小为B．乙的加速度大小为
C．甲在内的位移大小为D．乙在内的位移大小为
【答案】B
【详解】A．由图可知，甲做匀速直线运动，加速度为零，A错误；
B．由图可知，乙的加速度大小为
B正确；
C．由图可知甲在内的位移大小为，C错误；
D．由图可知乙在内的位移大小为
D错误。
故选B。
【例3】（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）如图所示，甲图是x-t即位置与时间图像，乙图是v-t图像，图中给出的四条曲线1、2、3、4，分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是（ ）
A．两图像中，t2、t4时刻分别表示物体2、物体4已经向负方向运动
B．两图像中，物体1和物体2在t1时刻相遇，物体3和物体4在t3时刻相遇
C．x-t图像中0至t1时间内物体1和物体2的平均速度相等
D．v-t图像中0至t3时间内物体3和物体4的平均速度相等【答案】C
【详解】A．x-t图像切线的斜率表示物体运动的速度，速度的正负表示物体的运动方向，所以甲图中t2时刻物体2已经向负方向运动，而乙图中t4时刻速度为正，物体4仍向正方向运动，故A错误；
B．x-t图像的交点表示两物体相遇，而v-t图像的交点表示速度相等，故B错误；
C．平均速度等于物体发生的位移与所用时间的比值，甲图中两物体位移相等，时间相等，所以平均速度相等，故C正确；
D．v-t图像与横轴所围区域的面积表示物体发生的位移，乙图中物体4的位移大于物体3的位移，两物体运动时间相等，所以物体4的平均速度大于物体3的平均速度，故D错误。
故选C。
类型2 v-t图像中的曲线问题
【例1】（2023秋·广东潮州·高三校考期中）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v一t图像如图所示。在这段时间内（ ）
A．汽车甲的平均速度比乙的小
B．汽车甲的平均速度大于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐增大，汽车乙的加速度大小逐渐减小
【答案】B
【详解】AC．在v-tt
O
v
t0
匀加速
变加速
v1
v2
t
O
v
t0
变加速
匀加速
v2
v1
t
O
v
t0
匀减速
变减速
v1
v2
t
O
v
t0
变减速
匀减速
v2
v1
<(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
<(v1+v2)/2
加速度增大
加速度减小
加速度增大
加速度减小
曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动
图像中图形的面积代表位移的大小，根据图像可知，在这段时间内，甲的位移大于乙的位移，时间相同，根据平均速度等于位移与时间之比，可知汽车甲的平均速度比乙的大，故AC错误；
B．若甲做匀加速直线运动，其平均速度等于，而实际上，甲做变加速直线运动，通过的位移大于匀加速直线运动的位移，所以甲的平均速度大于，故B正确；
D．因为速度时间图像切线的斜率等于物体的加速度，汽车甲和乙的加速度大小都是逐渐减小，故D错误。
故选B。
【例2】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）刚刚结束的奥运会上，广东小将全红婵（图甲）以总分466.2分打破世界纪录，获得跳水单人十米台金牌。自运动员离开跳台开始计时到完全落入水中，其速度随时间变化情况可简化如图乙，选向下为正方向，下列结论正确的是（ ）
A．0-t2为空中运动时间，速度始终向下
B．t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度大
C．在0-t1内，平均速度等于
D．在t2-t3内，平均速度
【答案】C
【详解】A．0～t2为空中运动时间内，速度先为负值，后为正值，则速度方向先向上，后向下，故A错误；
B．v-t图像斜率的绝对值表示加速度大小，由图可以看出，t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度小，故B错误；
C．在0~t1内，图线斜率不变，表示匀变速直线运动，则由匀变速直线运动推论，平均速度等于初、末速度和的一半，即为，故C正确；
D．v-t图像与坐标轴所围的面积表示位移，由图像可以看出，实际图线在t2~t3时间内围的面积小于虚线（匀减速到零）所围面积，平均速度等于位移与所用时间的比值，所以此段时间内的平均速度小于此段时间内匀减速到零的平均速度，故D错误。故选C。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）2022年2月，北京市和张家口市联合举办了第24届冬季奥林匹克运动会，让世界瞩目。冰壶是冬奥会上一种投掷性竞赛项目。如图甲所示，运动员以一定初速度投出冰壶使其在冰面上沿直线自由滑行，冰壶的v-t图像如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．冰壶做加速度逐渐增大的减速运动
B．冰壶在0~t0时间内运动的位移x>v0t0
C．冰面的动摩擦因数逐渐减小
D．冰壶在位移中点的瞬时速度小于时间中点的瞬时速度
【答案】C
【详解】A．v-t图线的斜率表示加速度，由图像可知，图线的斜率逐渐减小，故冰壶做加速度逐渐减小的减速运动，故A错误；
B．v-t图线与时间轴围成的面积表示位移，将该图线与匀减速直线运动的图线比较，可知冰壶在t0时间内运动的位移小于v0t0，故B错误；
C．冰壶运动的加速度是摩擦力产生的，由牛顿第二定律得
ma=μmg
则
a=μg
由于冰壶的加速度逐渐减小，说明冰面的动摩擦因数逐渐减小，故C正确；
D．冰壶在位移的中点处，两侧的位移大小相等，在v-t图线上找到并标出冰壶在位移中点的瞬时速度和时间中点的瞬时速度，如图所示，v-t图线的斜率表示加速度，可知冰壶在位移中点的瞬时速度v1大于时间中点的瞬时速度v2，故D错误。故选C。
【例4】（2023·西藏·统考一模）在抗击“新冠”疫情期间，为了保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”即用无人机配送快递（如图1）。某次快递员操作无人机竖直向上由地面向10楼阳台配送快递，无人机飞行过程的v-t图像如图2所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．0~t1时间内，无人机做匀加速直线运动B．时间内，无人机的平均速度小于
C．t3时刻，无人机仅受重力作用D．t1-t2时间内，无人机的机械能增加
【答案】BD
【详解】A．根据v-t图像的斜率表示加速度可知，时间内斜率在变小，即加速度在变小，无人机做加速度减小的加速运动，A错误；
B．根据v-t图像与时间轴围成的“面积”表示无人机运动的位移，可知图像与横轴围成的面积小于连接曲线上和两点直线时与横轴围成的面积，再根据匀变速直线运动的平均速度表达式可得，时间内无人机的平均速度，B正确；
C．根据v-t图像，时刻无人机悬停，速度为零，处于平衡状态，受到升力和重力作用，C错误；
D．时间内，无人机的动能不变，而高度升高，则重力势能增加，机械能增加，D正确。
故选BD。
类型3 x-t图像中的曲线问题
t
O
x
t2
瞬时速度
x2
平均速度
t1
x1
(1)一般曲线
①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动；
②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度；
③注意路程和位移区别。0~t1，路程等于位移大小(x1)；0~t2，路程(2x1-x2)大于位移大小(x2)。
（2）抛物线t
O
x
1 2 3
匀加速直线运动
x3
x1
x2
t
O
x
1 2 3 4
匀减速直线运动
x0
①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速；
②加速度用逐差法计算：(x3-x2)-(x2-x1)=aT2；
③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v2=(x3-x1)/2T。
【例1】（2023·广西·统考三模）在水平面上做匀减速直线运动的质点通过O、A、B三点的过程中，其位移随时间变化规律图像如图所示。则质点（ ）
A．从O点运动到B点过程的平均速度为
B．通过A点时的速度为
C．加速度为
D．从A点运动到B点，速度的变化量为
【答案】AD
【详解】A．从O点运动到B点过程的平均速度为
故A正确；
BCD．设O点的速度为，加速度大小为；从O点运动到A点过程，有
从O点运动到B点过程，有
联立解得
，
从A点运动到B点，速度的变化量为
通过A点时的速度为
故BC错误，D正确。故选AD。
【例2】（2023春·湖南岳阳·高三岳阳一中校联考阶段练习）物体从t=0时开始做匀变速直线运动，其x-t图像的一段图线如图所示，图线经过图中坐标（3，10）和（4，9）的点，其中（3，10）为抛物线的顶点。关于该物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．t=0时，物体从坐标原点出发B．物体的初速度为
C．物体加速度大小为2m/s2D．物体0~4s内的路程为8m
【答案】C
【详解】BC．物体匀变速直线运动，由x-t图像的斜率表示速度可知，末速度，时瞬时速度等于间平均速度，即
则有加速度的大小
物体初速度
B错误，C正确；
A．位移
解得初始时的位移
A错误；
D．路程
则有物体0~4s内的路程为
D错误。故选C。
【例3】（2023·山西·校联考模拟预测）在平直的公路上行驶的甲车和乙车，其位置x随时间t变化的图像分别为图中直线和曲线。已知乙车做匀变速直线运动，当时，直线和曲线相切，下列说法中正确的是（ ）
A．时刻乙车的速度大小为
B．时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度
C．时间内甲车与乙车间的距离一直在增大
D．乙车的加速度大小为
【答案】A
【详解】AD．根据图像可知，甲做匀速直线运动。其速度为
乙车做匀减速直线运动，根据图像可知t=2s时，位移为
x=6m速度为
根据位移时间公式
可得
又有
解得
故A正确，D错误；
B．时间内，根据图像可知，甲车的位移小于乙车的位移，所以甲车的平均速度小于乙车的平均速度，故B错误；
C．根据图像可知时间内甲车与乙车间的距离先减小后增大，故C错误。
故选A。
【例4】（2023·河北·校联考模拟预测）某同学应用航拍飞机进行实验并得到如图所示的位移—时间图像，时，飞机由静止向上运动，当时，飞机上升到高度并立即关闭发动机，让其自由上升，时，飞机达到最高点，整个过程中飞机在竖直方向做直线运动，图中的，，两段曲线均为抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．飞机在时间内处于失重状态
B．飞机在时间内的加速度大小等于时间内的加速度大小
C．图像中的两段曲线在时刻相切D．飞机的最大速度为
【答案】C
【详解】根据题意可知，两段曲线均为抛物线，则飞机在两段时间内均做匀变速直线运动
A．根据图像中斜率表示速度，由图像可知，飞机在时间内，向上做加速运动，具有向上的加速度，则处于超重状态，故A错误；
B．根据题意，设飞机在时间内的加速度大小为，由公式可得
解得
设时间内的加速度大小为，由图可知，飞机在时速度为0，则可看成反向加速，由公式可得
解得
可知
故B错误；
C．根据图像中斜率表示速度可知，图像中的两段曲线在时刻相切，故C正确；
D．根据图像中斜率表示速度，由图像可知，飞机在时速度最大，由公式可得，最大速度为
故D错误。故选C。
类型四 非常规运动学图像
1．四类图象
(1)a－t图象
由vt＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示．
(2)eq \f(s,t)－t图象由s＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(s,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，图象的斜率为eq \f(1,2)a，如图乙所示．
(3)v2－s图象
由vt2－v02＝2as可知vt2＝v02＋2as，图象斜率为2a.
(4)s－v图象
s与v的关系式：2as＝v2－v02，图象表达式：s＝eq \f(1,2a)v2－eq \f(1,2a)v02.
2．解题技巧
(1)用函数思想分析图象：
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度．
【例1】（2023春·全国·高三校联考阶段练习）一只翠鸟发现露出水面的游鱼，从高空由静止俯冲扎入水中捕鱼。若在翠鸟由静止俯冲至水面的过程中，位移与时间的比值随时间变化的图像为直线，如图所示，其中、均已知，翠鸟在空中运动的时间为，则下列说法正确的是（ ）
A．翠鸟在空中运动的最大速度为B．翠鸟在空中运动的最大速度为
C．翠鸟在空中运动的距离为D．翠鸟在空中运动的距离为
【答案】BC
【详解】AB．由图像可得
变形得
可知翠鸟从高空由静止俯冲，做匀加速直线运动。根据得加速度为
所以当时，速度最大，大小为
故A错误，B正确；
CD．由匀加速直线运动位移与时间关系可得翠鸟在空中运动的距离为
故C正确，D错误。
故选BC。
【例2】．（2023秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考期末）除夕夜无人机表演方阵中，一架无人机从大剧院广场启动，由静止开始，竖直向上加速运动的过程中，其加速度随上升高度关系，如图所示，取竖直向上为正方向，无人机的质量为，重力加速度为，忽略空气阻力，则无人机上升的过程中（ ）
A．无人机先加速后匀速运动
B．上升时，无人机的速度为
C．上升时，无人机发动机的功率为
D．上升过程中，无人机机械能增加量为
【答案】BD
【详解】A．根据题意，由图可知，无人机的加速度方向一直向上，无人机一直做加速运动，故A错误；
B．根据公式可知，图像中面积表示，设上升时，无人机的速度为，则有
解得
故B正确；C．根据题意，设上升时，无人机的牵引力为，由牛顿第二定律有
由图可知，上升时
解得
无人机发动机的功率为
故C错误；
D．根据题意可知，上升过程中，无人机机械能增加量为
故D正确。
故选BD。
【例3】．（2023秋·山西·高三校联考期末）如图甲所示，运动员在进行蹦床比赛，取向上为正方向，运动员离开蹦床后的图像如图乙所示，运动员可视为质点，取重力加速度大小，则下列叙述正确的是（ ）
A．运动员离开蹦床后加速度大小为
B．运动员在时的速度大小为
C．运动员离开蹦床前的过程中，速度最大值是
D．运动员在最高点的速度为零，只受重力的作用
【答案】BD
【详解】A．运动员离开弹簧后竖直向上运动，设其加速度大小为a，则
由图可知图像的表达式为
解得
选项A错误；
B．运动员在时的速度为
选项B正确；
C．运动员离开蹦床前先加速后减速，所以运动员离开蹦床前的过程中速度的最大值大于，选项C错误；
D．运动员在最高点时，速度为零，只受到重力作用，选项D正确。
故选BD。
【例4】．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）放在水平面上的物体，在力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．0～x2过程中物体做匀加速直线运动，x2～x3过程中物体做匀减速直线运动
B．0～x2段，物体的运动的时间
C．位移为x2时，物体的速度达到最大
D．物体的最大速度为
【答案】BD
【详解】A．由图知，0～x2过程中物体做匀加速直线运动，但x2～x3过程中物体做加速度逐渐减小的变加速运动，故A错误；
B．0～x2段，由
得
故B正确。
C．x2～x3过程中物体做加速度逐渐减小的加速运动，速度仍然在增加，故位移为x2时速度没有达到最大，故C错误；
D．由v2=2ax可得：图象中面积表示；即有
故最大速度
故D正确；
故选BD。
【例5】．（2023·北京门头沟·统考一模）“加速度的变化率”可以表示加速度随时间变化的快慢。汽车加速度的变化率越小，乘客舒适感越好。某汽车由静止启动，前3s内加速度随时间的变化关系如图所示，则（ ）
A．内汽车做匀加速运动
B．加速度变化率的单位为
C．第3s末，汽车速度达到
D．乘客感觉内比内更舒适
【答案】C
【详解】A．由图可知，内汽车的加速度增大，不是匀加速运动，故A错误；
B．加速度变化率为加速度变化量与时间的比值，则单位为
故B错误；
C．图像中面积表示速度的变化量，则内汽车速度的变化量为
则第3s末，汽车速度达到，故C正确；D．由题意可知，加速度的变化率越小，乘客舒适感越好，由图可知，内比内的加速度的变化率大，则内更舒适，故D错误。
故选C。
【例6】（2023秋·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校联考期中）速度—位移（vx）图像可以直观表示物体运动的速度随空间位置的变化情况。如图，某物体运动的vx图线为抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．物体做加速度越来越小的加速运动
B．m与m时物体的速度之比等于1：2
C．物体在0～1m和1～4m内的时间之比等于1：2
D．物体在0～1m和1～4m内的平均速度之比等于1：3
【答案】BD
【详解】A．根据匀变速公式
可知
物体运动的vx图线为抛物线，可知，物体加速度不变，故A错误；
B．根据图像可知
所以m与m时物体的速度之比等于1：2，故B正确；
C．物体初速度为零，根据
可知，在0～1m内时间
在0～4m内的时间
所以物体在0～1m和1～4m内的时间之比
故C错误；
D．物体在0～1m内的平均速度
物体在1～4m内的平均速度
所以平均速度之比等于1：3，故D正确。
故选BD。
【例7】（2023·山东·校联考模拟预测）图甲所示是采用36V、10Ah电池和180W额定功率电机设计的无人配送小车，车重为60kg，载重40kg。在某次进行刹车性能测试时，其位移x与时间t的关系可用图乙所示的图像表示，则下列说法正确的是（ ）
A．小车运动的加速度大小为B．小车运动的初速度大小为6m/s
C．前2s内小车的位移大小为4mD．前2s内合力对小车做功的平均功率为1200W
【答案】B
【详解】ABC．根据匀变速直线运动位移时间公式得
即图像是一条倾斜的直线，由图像可知，图线斜率为小车运动的初速度，则
截距为小车运动的加速度的，则
小车刹车时间为1.5s，故前2s内物体的位移
故B正确，AC错误；D．根据牛顿第二定律，可得合力为
1.5s末小车已停止运动，运动位移为4.5m，根据平均功率定义可知
故D错误。
故选B。
【例8】（2023·山西·统考二模）一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀加速直线运动，计时开始的图像如甲所示v2-x图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列说法正确的是（ ）
A．x=1m时物体的速度为8m/s
B．图乙的斜率是图甲的斜率的2倍
C．图甲中的y=8m/s
D．t=1s时物体的速度为4m/s
【答案】D
【详解】A．当x=1m，由图乙可知
解得
故A错误；
BC．由初速度为0的匀加速直线运动规律可得
则有
可得甲图的斜率为
由
可知乙图的斜率为
解得
则
图甲中的y=4m/s，故BC错误；
D．t=1s时物体的速度为
故D正确。
故选D。
题型二 常见的多过程运动模型
类型1 “0—v—0”运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v0
1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
= 1 \* GB3 ①速度公式 推导可得：
= 2 \* GB3 ②速度位移公式 推导可得：
= 3 \* GB3 ③平均速度位移公式 推导可得：2.位移三个公式：；；
【例1】【多选】（2021·全国·高考真题）水平桌面上，一质量为m的物体在水平恒力F拉动下从静止开始运动，物体通过的路程等于时，速度的大小为，此时撤去F，物体继续滑行的路程后停止运动，重力加速度大小为g，则（ ）
A．在此过程中F所做的功为
B．在此过中F的冲量大小等于
C．物体与桌面间的动摩擦因数等于
D．F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的2倍
【答案】BC
【详解】CD．外力撤去前，由牛顿第二定律可知
①
由速度位移公式有
②
外力撤去后，由牛顿第二定律可知
③
由速度位移公式有
④
由①②③④可得，水平恒力
动摩擦因数
滑动摩擦力
可知F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的3倍，故C正确，D错误；
A．在此过程中，外力F做功为
故A错误；
B．由平均速度公式可知，外力F作用时间
在此过程中，F的冲量大小是
故B正确。
故选BC。
【例2】（2023秋·吉林白城·高三校联考期末）甲、乙两辆车沿平直公路行驶，从A地到B地，乙车以速度v0匀速行驶，用时t0；甲车从静止开始先以加速度大小a1加速到vmax，所用时间为t1，再以加速度大小a2减速到0，所用时间为t2，总共用时也为t0。则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】AB．如图所示为甲、乙两车的图像
两车位移相同，有
得
故AB错误；
C．甲车在t1时间内
t2时间内
即
故C错误；
D．因为
所以
即
故D正确。
故选D。
【例3】在国庆节阅兵仪式中，某直升机在地面上空某高度A处于静止待命状态，要求该直升机在零时刻由静止状态沿着直线方向做匀加速直线运动，经过AB段加速区后，进入BC段的匀速受阅区，在时刻t达到C位置，已知AB段长度为L1，BC段长度为L2，求：
(1)直升机在BC段的速度大小；
(2)直升机在AB段运动时的加速度大小．
【答案】：(1)eq \f(L2＋2L1,t) (2)eq \f(（L2＋2L1）2,2L1t2)
【解析】：(1)设在BC段的速度为v，通过AB、BC的时间分别为t1、t2，则在AB段：xAB＝eq \f(1,2)vt1＝L1；
在BC段：L2＝vt2，t1＋t2＝t，所以：v＝eq \f(L2＋2L1,t).
(2)在AB段做匀加速直线运动时的加速度大小：a＝eq \f(v2,2L1)
所以：a＝eq \f(（L2＋2L1）2,2L1t2).
【例4】.（2023秋·山东济宁·高三期中）为了研究汽车的启动和制动性能，现用甲、乙两辆完全相同的汽车在平直公路上分别进行实验。让甲车以加速度，加速到最大速度后匀速运动一段时间再以最大加速度制动，直到停止；乙车以最大加速度加速到最大速度后立即以加速度制动，直到停止。实验测得甲、乙两车的运动时间相等，且两车运动的位移之比为7：5.则（ ）A．甲加速的时间和甲减速的时间之比为1∶2
B．甲加速的时间和甲减速的时间之比为3∶1
C．
D．
【答案】AC
【详解】AB．根据题目描述画出图像
甲的位移
乙的位移
两车运动的位移之比为7：5，则
因为甲车减速时加速度为，乙车为，所以乙车匀减速时间是甲车匀减速时间的2倍，则甲车匀减速和匀速时间相等，因此甲车加速的时间和减速的时间之比为1∶2，故A正确，B错误；
CD．由上可知，乙车匀加速时间和匀减速时间之比为，故加速度之比为
故
故C正确，D错误。
故选AC。类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v1
v2
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式；
平均速度位移公式
（3）三个比例式： = 1 \* GB3 ① ； = 2 \* GB3 ② ； = 3 \* GB3 ③
【例1】【多选】（2021·全国·高考真题）一质量为m的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为g。则（ ）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【详解】AC．物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
整理得
；
A错误，C正确；
B．物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
求解得出
B正确；
D．物体向上滑动时的根据牛顿第二定律有
物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
由上式可知
a上 > a下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式
则可得出
D错误。
故选BC。
【例2】(2022·安徽省亳州市高三上学期期末)一物块沿倾角为θ的固定斜面底端上滑，到达最高点后又返回至斜面底端。已知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为 ( )
A．eq \f(1,3)tanθ B．eq \f(1,9)tanθ
C．eq \f(4,5)tanθ D．eq \f(5,4)tanθ
【答案】C
【解析】 向上运动的末速度等于0，其逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，设加速度的大小为a1，则：x＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)，设向下运动的加速度的大小为a2，则向下运动的过程中：x＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)，由题知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，即t2＝3t1，联立可得：a1＝9a2，对物块进行受力分析，可知向上运动的过程中：ma1＝mgsinθ＋μmgcsθ，向下运动的过程中：ma2＝mgsinθ－μmgcsθ，联立得μ＝eq \f(4,5)tanθ，故C正确，ABD错误，故选C。
【例3】(2023·全国理综押题卷)如图甲所示，一物块从倾角为的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动的速度一时间图像如图乙所示，2t0时刻速度减为零，5t0时刻回到出发点。则下列说法正确的是（ ）
A. 物块返回斜面底端时的速度大小为
B. 物块返回斜面底端时的速度大小为
C. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
D. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
【答案】C
【解析】
【详解】AB．上滑过程有
，
下滑过程有
，
联立解得
，
所以AB错误；
CD．根据牛顿第二定律，上滑过程有
联立解得
所以C正确；D错误；
故选C。【例4】（2023春·全国·高三专题练习）海洋馆中一潜水员把一质量为m的小球以初速度从手中竖直抛出，从抛出开始计时，时刻小球返回手中，小球始终在水中且在水中所受阻力大小不变，小球的速度随时间变化的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，则小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据小球的速度随时间变化的关系图像分析知，第一阶段加速度大，大小为，第二阶段加速度小，故小球先竖直向上做匀减速直线运动，再竖直向下做匀加速直线运动，从抛出开始计时，时刻小球返回手中
解得
故球在水中竖直下落过程中的加速度大小
根据牛顿第二定律，先竖直向上做匀减速直线运动
再竖直向下做匀加速直线运动
联立解得，小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为
故选B。类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题
t
O
v
x2
t1
a
v0
x1
总位移
【例1】（2022届云南省高三（下）第一次统测物理试题）无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A. 24mB. 26mC. 28mD. 30m
【答案】A
【解析】
【详解】设汽车运动的速度为v0，则人驾驶时发现情况到停下的运动距离为
即
解得
v0=20m/s
无人驾驶汽车时发现情况到停下的运动距离为
故选A。
【例2】（2023秋·内蒙古包头·高三包钢一中校考期末）汽车的刹车性能至关重要，关乎到乘车人员的人身安全，研发阶段应在不同情形下进行实验测量分析。如图所示，两条图线是驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v-t图像。驾驶员的反应时间为1s（从发现问题到开始制动的时间），汽车与湿滑路面间的动摩擦因数为μ1，汽车与干燥路面的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．从t=1s到停下，汽车在干燥路面的平均速度较小
D．从t=0到停下，汽车在湿滑路面上比在干燥路面上多滑行75m
【答案】AD
【详解】AB．由图可得
所以
故A正确，B错误；
C．根据匀变速直线运动的推论有
由此可知，从t=1s到停下，汽车在干、湿路面的平均速度大小相等，故C错误；
D．v-t图线与横轴所围区域的面积表示物体发生的位移，所以从t=0到停下，汽车在湿滑路面上与在干燥路面上的位移差为
故D正确。
故选AD。
【例3】（2023·辽宁·校联考一模）一辆质量为m的货车以速度在平直公路上做匀速直线运动。司机突然发现正前方有障碍物，司机反应过来后立即紧急刹车，刹车过程中货车受到的阻力大小恒为。已知司机的反应时间为，反应时间内车匀速行驶。
（1）求从司机发现障碍物到车停下来货车前进的距离；
（2）安全驾驶人人有责，为防止发生交通事故，请通过分析第（1）问中影响货车前进距离的因素，给货车司机提出两条安全驾驶的建议（写出给出的建议的依据，只给建议不写依据不得分）。
【答案】（1）（2）不要超载；不要超速；不要疲劳；不要饮酒驾车；注意观察路面变化，雨雪天要减低车速等等。
【详解】（1）设刹车过程中货车运动的位移为x1，由牛顿第二定律得
f＝ma
刹车过程中，由位移—速度公式得
货物前进得距离
联立解得
（2）由
可知，货车质量越大，初速度越大，反应时间越长，刹车得阻力越小，货车得刹车距离越大，越容易发生交通事故。所以在驾驶时不要超载；不要超速；不要疲劳；不要饮酒驾车；注意观察路面变化，雨雪天要减低车速等等。
【例4】(2022·山东济南市5月高考模拟)(多选)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加．如图所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v－t图像，驾驶员的反应时间为1 s．下列说法正确的是( )
A．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
B．从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
C．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 m
D．从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍
【答案】 CD【解析】 从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移为x1＝30×1 m＋eq \f(4×30,2) m＝90 m
平均速度为v1＝eq \f(90,5) m/s＝18 m/s汽车在干燥路面的位移为x2＝30×1 m＋eq \f(3×30,2) m＝75 m
平均速度为v2＝eq \f(75,4) m/s＝18.75 m/s，
x1－x2＝15 m，故A错误，C正确；
从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度v1′＝eq \f(30,2) m/s＝15 m/s，汽车在干燥路面的平均速度
v2′＝eq \f(30,2) m/s＝15 m/s，故B错误；
从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度大小a1＝eq \f(30,4) m/s2＝7.5 m/s2，汽车在干燥路面的加速度大小a2＝eq \f(30,3) m/s2＝10 m/s2，则从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍，故D正确．
类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题
t
O
v
t
a
v0
加速时间；加速距离
匀速时间；匀速距离
总位移
【例1】(2022·贵州省贵阳一中高三月考)在东京奥运会田径赛场上，中国运动员在100 m的半决赛中取得了9.83 s的好成绩，打破了亚洲纪录，成功挺进了决赛．我们把该运动员的这次比赛简化为匀加速直线运动和匀速直线运动两个阶段，假设该运动员加速了2.83 s，则他加速阶段的加速度大小及匀速阶段的速度大小分别约为( )
A．4.2 m/s2 10.17 m/s
B．3.6 m/s2 10.17 m/s
C．4.2 m/s2 11.88 m/s
D．3.6 m/s2 11.88 m/s【答案】 C
【解析】 该运动员运动的速度－时间图像如图，由图可知x＝eq \f(2.83v,2)＋7v＝100 m，
则v≈11.88 m/s
所以加速阶段的加速度大小为a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(11.88,2.83) m/s2≈4.2 m/s2，故C正确，A、B、D错误
类型5 三倍加速度运动模型
t
O
v
t2
t1
-a2
a1
v1
-v2
（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式：；
（3）特殊结论：若 ,则有 ,
【例1】（2023·高三课时练习）物体从A点由静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，经时间t到达B点，速度大小为，这时突然改为做加速度大小为的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点，速度大小为，求：和。
【答案】，
【详解】根据题意，画出示意图如图所示
以向右为正方向，内总位移为零，由运动学公式有
由运动学公式有
联立解得
【例2】（2022·吉林吉林市·高三期末）由于氢气比氦气廉价，因此市面上销售的基本上都是氢气球，但氢气可能爆炸，所以氦气球相对更安全，某同学用一氦气球悬挂一重物（可视为质点），从地面释放后沿竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动过了一段时间后，悬挂重物的细线断裂，又经过相同的时间，重物恰好落到地面，重物脱落后仅受到重力，重力加速度大小为，下列说法正确的是（ ）
A．细线断裂前氦气球匀加速上升时的加速度大小为
B．细线断裂前重物匀加速上升时的加速度大小为
C．细线断裂时重物的速度大小等于重物落地时速度大小的一半
D．由于条件不足，无法确定细线断裂时重物的速度与落地时的速度的关系
【答案】BC
【详解】
重物先匀加速上升，后竖直上抛，设断裂时的速度为vm，落地时的速度为v，断裂时的高度为h
解得
BC正确，AD错误；
故选BC。
【例3】（2023·浙江台州·高三统考）如图所示，静置于光滑斜面（倾角为）的质量为m的物块，受到沿斜面方向的恒力F的作用，作用时间t后撤去F，再经时间后刚好返回起点，则（ ）
A．F与的比应该为3比7
B．F与的比应该为9比5
C．F与的比应该为7比3
D．F与的比应该为2比3
【答案】B
【详解】向上运动过程有
撤去时物块速度为
向下运动过程有
解得
即有
由于
，
解得
可知
故选B。
【例4】质量为m的小球由空中A点无初速度自由下落，加速度大小为g；在t秒末使其加速度大小变为方向竖直向上，再经过t秒小球又回到A点．不计空气阻力且小球从未落地，则以下说法中正确的是：( )
A．a＝4g B．返回到A点的速率2a
C．自由下落秒时小球的速率为at D．小球下落的最大高度eq \f(2,9)at2
【答案】D
【解析】：根据匀变速运动的规律可知：eq \f(1,2)gt2＝－(gt·t－eq \f(1,2)at2)，解得a＝3g，选项A错误；返回到A点的速率v＝gt－at＝－eq \f(2,3)at，选项B错误；自由下落秒时小球的速率为gt＝eq \f(1,3)at，选项C错误；小球下落t的高度h1＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,6)at2，匀减速减到零时的位移h2＝eq \f(（gt）2,2a)＝eq \f(1,18)at2，故小球下落的最大高度h＝eq \f(1,6)at2＋eq \f(1,18)at2＝eq \f(2,9)at2，选项D正确
【例5】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）一质点从A点做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为，又经过同样的时间到达C点。已知、的距离为、的距离的一半，则与的大小之比可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】由题意可得如图所示，设，则，选A到B方向为正方向，则
从A到B则有
若C点在A点右侧，从B到C，则有
解得
若C点在A点左侧，从B到C，则有
解得
AD错误，BC正确。
故选BC。
题型三 追及相遇问题
【解题指导】1．(1)“慢追快”型：v后＝v前时，Δx最大．追匀减速运动的机车时，注意要判断追上时前车是否已停下．(2)“快追慢”型：v后＝v前时，Δx最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若此时还没追上就追不上了；若此之前追上则是撞上.
在已知出发点的前提下，可由v－t图像“面积”判断相距最远、最近及相遇等情况.
3.基本解题思路是：利用速度相等找位移关系．
【必备知识与关键能力】
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
类型1 变速物体追匀速物体
【例1】（2023·河北沧州·统考一模）在某次军事演习中，歼击机以的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机。当两者相距时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为的匀加速直线运动，时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的时间不计，发射导弹对歼击机速度无影响。求：
（1）无人靶机被击中前飞行的速度大小；
（2）导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离；
（3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置且要求歼击机到达时速度为零继而悬停在空中。已知歼击机以最大加速度加速后达到最大速度，且歼击机加速和减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击中无人靶机至歼击机到达无人靶机所在位置的最短时间。（结果保留3位有效数字）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意，设靶机速度为，则有
解得
（2）设导弹被发射后经时间与无人靶机速度相等，此时二者间距最大，则有
解得
最大距离为
解得
（3）导弹击中靶机时，歼击机与无人靶机的距离为
经分析可知，导弹击中靶机后，歼击机须先做匀加速直线运动，达到最大速度后再以最大速度做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，且到达歼击机所在位置时的速度为零。设歼击机的最大加速度为
歼击机做匀加速直线运动的位移大小为
歼击机做匀减速直线运动的时间和位移大小分别为
歼击机做匀速直线运动的时间为
所以从歼击机击中靶机至歼击机到达靶机所在位置的最短时间为
类型2 变速物体追变速物体
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，一小汽车停在小山坡底部，突然司机发现山坡上距坡底x1=60m处，因地震产生的小泥石流以v0=4m/s的初速度、a1=0.4m/s2的加速度匀加速倾斜而下，泥石流到达坡底后以a2=0.3m/s2的加速度沿水平地面做匀减速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了t0=2s，设汽车启动后一直以a3=0.5m/s2的加速度，沿与泥石流的同一直线做匀加速直线运动。求：
（1）泥石流到达坡底速度的大小；
（2）泥石流与汽车相距的最近距离。
【答案】（1）8m/s；（2）6m
【详解】（1）设泥石流到达坡底的时间为t1，速度为v1
根据位移公式有
由速度公式有
代入数据得
v1=8m/s
（2）泥石流到达坡底时，汽车速度
汽车位移
当汽车的速度与泥石流速度相等时，泥石流与汽车相距最近
设泥石流到达坡底后汽车又加速时间为t2，故有
泥石流水平位移
汽车位移
相距最近的距离
由以上各式解得
x=6m
【例2】（2023·河北张家口·统考一模）小明和小强玩遥控赛车，他们让两个小车在同一直线上沿同一方向匀速运动，小明的车在前，速度为2m/s，小强的车在后，速度为5m/s。当两小车相距3m时小明和小强同时开始刹车，两玩具车刹车过程均可视为匀变速运动，已知小明的玩具车刹车时加速度大小为1。
（1）如果小强的玩具车刹车的加速度大小为2.5m/s2，求两车的最小距离；
（2）如果两玩具车相距5m时开始刹车，小强的玩具车刹车的加速度大小为2，求整个过程两车的距离s与时间t的关系。
【答案】（1）两小车的最小距离为0；（2）见解析
【详解】（1）设小明的玩具车初速度为，加速度大小为，小强的玩具车初速度为，加速度大小为，运动学公式有
解得
故两车同时停下来，此时两车位移分别为
两车相距
由于开始刹车时两车相距3m，故两小车的最小距离为0。
（2）如果小强的玩具车刹车的加速度大小为2，小强的车停下来的时间为
则在小明的车停下来之前，即0~2s时间内，两车相距
在小明的车停下来之后，即2~2.5s时间内，两车相距
【例3】．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）一列火车和一辆汽车沿同一方向做匀变速直线运动，速度分别为v1和v2。t=0时刻，火车在汽车前方26m处，此后v1、v2在各个时刻的大小如表所示。根据表格中的数据，通过计算求：
（1）经过多长时间两车相遇？
（2）两车初始间距满足什么条件可以相遇两次？
【答案】（1）10s；（2）两车初始间距不大于
【详解】（1）由表格知，火车做匀减速直线运动，加速度为
汽车做匀加速直线运动，加速度为t/s
0
1
2
3
4
5
v1/m•s-¹
16.0
14.0
12.0
10.0
…
…
v2/m•s-¹
4.0
5.0
6.0
7.0
…
…
火车做匀减速直线运动，停下来所用的时间为
火车的位移
该段时间汽车的位移
此时有
故汽车还未追上火车；设经t2时间追上，有
解得
（2）首先，若要相遇两次，一定要汽车在前；其次，考虑临界情况，如果两车达到共速时，正好相遇，由速度相等有
得
t=4s
共同速度为
v=8m/s
该段时间火车位移
汽车位移
此时有
故可知若两车初始间距不大于，则两车可以相遇两次。类型3 体育赛事中的追及问题
【例4】（2023春·河南·高三统考阶段练习）如图，短道速滑接力比赛时，“交棒”的运动员在到达接力地点时，需要推送一下前面“接棒”的队友以完成接力。在某次直道交接训练中，质量为50kg的队员甲以的速度匀速向质量为60kg的队员乙滑来，当甲运动到P点时，乙从Q点开始滑动，乙起滑后到交接前的运动可看做匀加速直线运动，其加速度大小为，甲、乙两人在M点完成交接，交接时间很短。交接前瞬间乙的速度大小是甲的，交接后乙的速度大小为14.6m/s。队员甲完成推送后在水平直道上自然向前滑行了，直至撞上缓冲垫后停下，此过程甲与冰面间的动摩擦因数为，重力加速度的大小g取10m/s2。求：
（1）在直道上，乙在距甲多远的距离处开始滑动；
（2）队员甲撞上缓冲垫时的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设乙开始滑动时与甲之间的距离为x，乙从Q点滑到M点运动的路程为s。对甲有
对乙有
联立以上各式，代入相关已知数据得
（2）甲、乙两人在交接过程中动量守恒，则
代入相关数据解得
甲推送完乙直至刚要接触缓冲垫的过程中，根据动能定理有
代入相关已知数据，求得甲撞上缓冲垫时的速度大小
【例5】．（2023秋·青海海东·高三校考阶段练习）4×100米接力中的交接棒过程会直接影响比赛成绩。甲、乙两名运动员在直跑道上进行交接棒训练，某次训练中，甲在距离接力区前端x0=24m处向乙发出起跑口令，并以10m/s的速度跑完全程，乙在接力区前端听到起跑口令后立即起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。已知乙在起跑加速阶段的第4s内通过的距离为7m，乙从起跑到接棒前做的是匀加速直线运动，接力区的长度为L=20m，求：
（1）乙加速阶段的加速度大小及交接棒时乙的速度大小；
（2）为使甲、乙在速度相等时完成交接棒且保证交接棒时的位置距接力区前端16m，求甲在距离乙多远时发出起跑口令及乙起跑时与接力区前端的距离。
【答案】（1）2m/s2，8m/s；（2）25m，9m
【详解】（1）根据题意，设乙运动员在匀加速阶段的加速度为a，在前3s和前4s内通过的位移分别为x3和x4，根据运动学规律得
则第4s内的位移为
联立可得
设经过时间甲追上乙，则
解得
此刻乙的速度
可得
（2）甲、乙在速度相等时完成交接棒，乙加速度时间为
甲发出起跑口令时距离乙
乙起跑时与接力区前端的距离
【例6】（2023·全国·高三专题练习）重庆市某学校成功举行了秋季田径运动会，高-16班同学小王和小杨在赛前进行了接力赛交接棒的练习。小王、小杨两位同学分别为第四棒和第三棒，小王一小段加速后能保持的速度跑完全程，小杨也能以的速度接力跑，但由于体力原因，离接力区8.5m时，开始以的加速度做匀减速运动，进入接力区后做匀速运动。两人为了确定小王起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，小杨在距离接力区前端d处作了标记，当小杨跑到此标记时向小王发出起跑口令，此后小杨在接力区恰能在两人速度相同时追上小王完成交接棒。已知小王在接力区的前端听到口令且有0.1s的反应时间（忽略声音传播的时间），接力区的长度为，小王起跑后以的加速度做匀加速运动（练习时两人均做直线运动）。求：
(1)小杨追上小王时，小杨的速度大小及此时小王离接力区末端的距离；
(2)标记处离接力区的距离d。
【答案】(1)，；(2)
【详解】(1)由
得，小杨进入接力区的速度
小王离接力区末端的距离为
(2)在接力区内，设小杨经过时间追上小王，根据题意有速度关系
位移关系
解得
，
由题意可知，在小杨进入接力区前，小王的运动时间
乙发出口令的时间到追上经历
乙在接力区前做减速运动的时间是
因此
【例7】．（2023秋·广东韶关·高三校考阶段练习）如图，甲、乙两名运动员在训练2×100m接力赛跑。已知甲、乙两运动员的起跑过程可看成加速度大小为2m/s2的匀加速运动，且经加速后都能达到并保持vm=8m/s的速度跑完全程。已知接力区的长度为L=18m，乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲乙相遇时完成交接棒，假设接棒动作不影响运动员的速度大小。
(1)在某次练习中，甲以vm=8m/s的速度跑到接力区前端s合=12m处时，向乙发出起跑口令，求此次练习中交接棒处离接力区前端的距离；
(2)为了取得最好成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在距离接力区前端多远时对乙发出起跑口令?
(3)若接力区的长度只有L′=9m，他们跑完2×100m全程的最好成绩（从甲起跑开始，至乙到达终点的总时间）是多少?
【答案】(1)4m；(2)16m；(3)27.125s
【详解】(1)设乙起跑后经t时间被追上，则
解得（跑出接力区，舍去），
则
(2)乙从起跑到加速至最大速度时间为t0，则
这段时间内乙的位移
故乙起跑时，与甲的距离为
(3)由于L′＜x0，故不可能在乙达到最大速度时完成接棒。为取得最好成绩，应在接力区末端即乙跑出L′时完成交接棒，设乙此时的速度为v1，由代入数据解得
接棒后，乙继续加速至最大速度，设接棒后乙加速的时间为t2，则有
全程的时间除了甲的加速时间t0、乙接到棒后加速运动的时间t2外，接力棒均在做匀速运动，设接力棒匀速运动的总时间为t3，则有
则有
t′总=t0+t2+t3=27.125s
类型4 图像法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．
【例1】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的图线，根据这些信息，可以判断（ ）
A．5s末两车速度均为9m/sB．0时刻之后，两车只会相遇一次
C．20s末两车相遇D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍
【答案】AD
【详解】A．由v－t图象可以看出，5s末两车的速度相等，均为
A正确；
BC．0至10s，两图线与坐标轴围成图形的面积相等，由v－t图象的物理意义可知，10s末两车相遇，两车间距变大20s之后两车间距变小，25s后会再相遇一次，BC错误；
D．由v－t图象可知，5s末两车的速度均为9m/s，由9m/s增加到18m/s，越野车所花的时间是自动驾驶车的3倍，根据可知，自动驾驶车的加速度是越野车的3倍，D正确。
故选AD。
【例2】．（2023·全国·模拟预测）某同学用甲、乙两个物块来模拟研究汽车相遇规律问题，下图是他根据运动规律绘制的甲、乙两个物块的运动位移时间图线。已知甲物块的运动图线为一条顶点为的抛物线，乙的运动图线为一过原点的直线。两条图线中其中一个交点坐标为。则下列说法正确的是（ ）
A．时刻甲物块速度为B．甲物块在做匀加速直线运动的加速度为
C．图中甲、乙两个物块再次相遇时刻为
D．如果两个物块只相遇一次，则必有
【答案】CD
【详解】A．由图像可知，乙物块为匀速直线运动，其速度
第一次相遇时，为乙追上甲的情形，因此此时甲的速度应该小于乙速度，故A错误；
B．由题意可知，甲做匀速直线运动，根据
将点坐标代入可求出
故B错误；
C．两个物块相遇条件为抛物线与直线相交，根据题意有
代入可知
故C正确；
D．根据前面的相遇条件可知，当方程
有一个解时即为相遇一次，即二次方程中，解得
故D正确。
故选CD。
【例3】．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）、两质点沿直线轴正方向运动，时，两质点同时到达坐标原点，测得两质点在之后的运动中，其位置坐标与时间的比值（平均速度）随时间变化的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．质点由静止开始做匀加速运动，质点做匀加速直线运动
B．质点做匀加速运动的加速度为
C．时，，第1次相遇
D．质点，有可能第2次相遇
【答案】BC
【详解】AB．对质点a，根据数学知识得
变形得
可得
v0=0.5m/s
a=1.0m/s2
所以质点a做初速度为0.5m/s，加速度为1.0m/s2的匀加速运动；
由图知，对于b有
则b做速度为1.0m/s的匀速直线运动，故A错误，B正确；
CD．由图知，t=1s时，两者相等，时间相同，则位移x相等，初位置相同，所以t=ls时，a、b再次到达同一位置，在t=1s时，a的速度
此时b的速度为1.0m/s，以后a的速度始终大于b的速度，可知ab不可能再次相遇，故C正确，D错误；
故选BC。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示；以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点，以甲车速度方向为正方向，乙车的位置随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在x＝30m处的抛物线的一部分。下列说法正确的是（ ）
A．乙车在做匀变速直线运动，加速度大小为4.5m/s2B．当t＝2s，乙车在甲车前方10m处
C．当t＝4s，两车速度大小相等D．在0~7s内，两车共相遇两次
【答案】CD
【详解】A．乙车做初速度为零的匀加速直线运动，根据运动学公式及图乙中数据可知，乙车的加速度
故A错误；
B．由图像的斜率可得甲车的加速度大小为
t=0时，甲车在处，乙车在处，t＝2s时，甲车的位置
乙车的位置
即两车在t＝2s时相遇，故B错误；
C．t＝4s时，甲车的速度
乙车的速度
故C正确；
D．t＝2s时甲车追上乙车，t1＝7s时甲车的位置
乙车的位置
所以在0~7s内，两车共相遇两次，故D正确。
故选CD。
【例5】．（2023·甘肃·统考二模）假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前乙车在后，速度均为。甲、乙两车相距，在时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是（ ）
A．0~3s内两车间距逐渐增大
B．时两车距离最近，且最近距离为10m
C．6~9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大
D．两车在0~9s内会相撞
【答案】BC
【详解】A．由图可知0~3s内，甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动，初速度相等，则两车间距逐渐减小，故A错误；
B．根据题意作出两车的速度时间图象，如图：
由图可知时两车速度相等，阴影部分面积代表0~6s内两车的位移差为
所以最近距离为10m，故B正确
CD．由图可看出6~9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，由于6s时甲在前距离乙车10m的位置，所以在0~9s内两车不会相撞，故C正确，D错误；故选BC。
【例6】．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）张卫和黄亮精准遥控小车A和B沿百米直线跑道正对着行进，取小车A的出发点为坐标原点，小车A的运动方向为正方向建立x轴，两小车的图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．两小车若同时出发，一定不会在图像交点处相遇
B．两小车若不同时出发，一定会在图像交点处相遇
C．A车匀加速，B车匀减速，且加速度大小分别为和
D．A车匀加速，B车匀减速，且加速度大小分别为和
【答案】A
【详解】两小车沿跑道正对着行进，即B在100m处出发，由图像可知，两车都做匀加速运动，根据图像可求得两车加速度大小分别为
故CD错误；
由图像可知，两车都做初速度为零的匀加速直线运动，所以若两车同时出发，相遇时有
可得
所以一定不在图线相交处相遇，故A正确；
两小车若不同时出发，因为不知道那辆车先出发，所以相遇的位置无法判断，故B错误。
故选A。
类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题
【例1】（2023·广东·高三统考学业考试）如图，在车厢长度的小货车上，质量、厚度的冰块用绳绑住并紧贴车厢前端，与货车一起以的速度沿坡度为5%（即斜面倾角θ满足，，）的斜坡向上行动。 某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。 已知冰块与车厢底板间动摩擦因数，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取重力加速度。
（1）求从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离；
（2）若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，求a的最大值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）冰块滑向尾部的过程中做匀减速运动，对其加速度大小有
解得
冰块滑到尾挡板经过的时间为，该段时间内冰块位移为
，
货车的位移为
根据位移关系有
联立解得
所以从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离为
（2）冰块滑到尾挡板时的速度为
此时冰块速度与货车速度方向相同，相对车厢速度为，方向沿车厢向下；根据题意冰块与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹，故反弹后冰块的速度沿车厢向上，故可知此时速度为，此时冰块沿车厢向上做匀减速运动的加速度大小为，有
解得
若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端刚好不发生碰撞，此时加速度为最大值，设货车刹车的时间为，冰块从反弹到刚好到达车厢前端时间内货车的位移为
冰块从反弹到刚好到达车厢前端时的位移为
到达车厢前端时冰块和货车速度相同，有
位移关系有
联立解得
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以和的速度在限速的路面上匀速行驶，其中甲车车身长、货车车身长，某时刻货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为，假定货车速度保持不变，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度，求：
（1）甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间（结果保留2位小数）；
（2）一般情况下，汽车时速超过限速不到的，仅给予警告，不予扣分和罚款。若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者车头相距，乙车速度为，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车在不被扣分和罚款的前提下，能否安全超车？若甲车不能安全超车，则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车？
【答案】（1）；（2）不能，
【详解】（1）甲车初速度为
货车速度为
公路限速为
甲车速度从v1加速至vm所用时间为
该段时间内甲车和货车的位移分别为
因为
所以甲车加速至vm后还需要匀速行驶一段时间才能完成超车，该时间为
则甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间为
（2）假设甲车在超车过程中一直加速，设超车时间为t3，根据位移关系有
解得
超车完毕时甲车速度为
乙车初速度为
t3时间内甲、乙两车行驶的路程之和为
所以甲车在不被扣分和罚款的前提下不能安全超车，若要甲车能够安全超车，乙车在t3时间内行驶的路程最大值为
此时对应乙车刹车的加速度最小，则
解得
【例3】．（2023秋·广东·高三统考阶段练习）如图所示，某路面由斜坡AB和水平路面BC两部分组成，斜坡与水平面的夹角，一质量为M的卡车正沿斜坡AB往下运动，此时水平路而上有多辆质量为m的小汽车正以m/s的速度匀速行驶，它们之间的距离均为m。已知卡车和小汽车在各路面上行驶时受到的摩擦力均为正压力的0.2倍，，重力加速度，忽略车辆本身长度，，。当卡车以m/s的速度行驶至距离斜坡底端m的A点时，突然出现故障失去控制。
（1）为避免发生交通事故，卡车发生故障时，在水平路面上行驶的小汽车距离斜坡底端至少多远？
（2）若卡车发生故障时，与卡车距离最近的小汽车恰好位于斜坡的底端B，则卡车最多会与几辆小汽车发生连环碰撞？（假设所有碰撞为一维完全非弹性碰撞，且小汽车一旦发生碰撞会立即失去控制）
【答案】（1）64m；（2）2
【详解】（1）对卡车，根据牛顿第二定律有
解得
设卡车到达斜面底端的速度为，由运动学公式
解得
运动时间
在水平路面上，设卡车的加速度大小为，由牛顿第二定律得
可得
设经过，卡车和小汽车速度相等
得
为避免相撞，卡车发生故障时，在水平路面上行驶的小汽车距离斜坡底端至少为
解得
（2）设卡车由斜坡底端第一次追上小汽车用时，碰撞前后卡车的速度分别为和，则
解得
卡车与小汽车发生第一次碰撞，根据动量守恒定律
解得
设卡车从第一次碰撞到第二次碰撞时间为，第二次碰撞前后卡车的速度分别为和，则
解得
卡车与小汽车发生第二次碰撞，由动量守恒定律得
解得
设经过，卡车与小汽车的速度相等
解得
此时卡车位移
因为
所以卡车不会再与小汽车相撞，最多只会与2辆汽车相撞。
公众号：高中试卷君
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3564" 题型一 运动学图像的理解与应用 PAGEREF _Tc3564 \h 1
\l "_Tc11332" 类型1 x－t图象与v－t图象的比较 PAGEREF _Tc11332 \h 1
\l "_Tc15592" 类型2 v-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc15592 \h 4
\l "_Tc7976" 类型3 x-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc7976 \h 7
\l "_Tc30292" 题型二 常见的多过程运动模型 PAGEREF _Tc30292 \h 22
\l "_Tc1977" 类型1 “0—v—0”运动模型 PAGEREF _Tc1977 \h 22
\l "_Tc7356" 类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型 PAGEREF _Tc7356 \h 26
\l "_Tc6226" 类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题 PAGEREF _Tc6226 \h 30
\l "_Tc29471" 类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题 PAGEREF _Tc29471 \h 34
\l "_Tc16830" 类型5 三倍加速度运动模型 PAGEREF _Tc16830 \h 35
\l "_Tc8639" 题型三 追及相遇问题 PAGEREF _Tc8639 \h 39
\l "_Tc9037" 类型1 变速物体追匀速物体 PAGEREF _Tc9037 \h 40
\l "_Tc27231" 类型2 变速物体追变速物体 PAGEREF _Tc27231 \h 41
\l "_Tc24742" 类型3 体育赛事中的追及问题 PAGEREF _Tc24742 \h 45
\l "_Tc20301" 类型4 图像法在追及相遇问题中的应用 PAGEREF _Tc20301 \h 50
\l "_Tc13077" 类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题 PAGEREF _Tc13077 \h 56
题型一 运动学图像的理解与应用
【解题指导】1．x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹.
x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇.
v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速度方向不变.
v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．图线在t轴上方，表示位移为正；图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和.
5.有些特殊图像，比如v2－x图像、eq \f(x,t)－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量．
类型1 x－t图象与v－t图象的比较
x－t图象
v－t图象
图象
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
【例1】（2023秋·天津河西·高三统考期末）有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的图像如图甲所示，物体C、D从同一地点沿同一方向运动的图像如图乙所示。根据图像做出以下判断正确的是（ ）
A．在前时间内，A、B两物体的位移不相同
B．在时，B物体的运动方向发生了变化
C．时，物体C与D间距离最大
D．时，物体C追上物体D
【例2】（2023春·广西·高三校联考阶段练习）如图所示，分别为汽车甲的位移-时间图像和汽车乙的速度-时间图像，则（ ）
A．甲的加速度大小为B．乙的加速度大小为
C．甲在内的位移大小为D．乙在内的位移大小为
【例3】（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）如图所示，甲图是x-t即位置与时间图像，乙图是v-t图像，图中给出的四条曲线1、2、3、4，分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是（ ）特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动
情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
A．两图像中，t2、t4时刻分别表示物体2、物体4已经向负方向运动
B．两图像中，物体1和物体2在t1时刻相遇，物体3和物体4在t3时刻相遇
C．x-t图像中0至t1时间内物体1和物体2的平均速度相等
D．v-t图像中0至t3时间内物体3和物体4的平均速度相等
类型2 v-t图像中的曲线问题
【例1】（2023秋·广东潮州·高三校考期中）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v一t图像如图所示。在这段时间内（ ）
A．汽车甲的平均速度比乙的小
B．汽车甲的平均速度大于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐增大，汽车乙的加速度大小逐渐减小
【例2】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）t
O
v
t0
匀加速
变加速
v1
v2
t
O
v
t0
变加速
匀加速
v2
v1
t
O
v
t0
匀减速
变减速
v1
v2
t
O
v
t0
变减速
匀减速
v2
v1
<(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
<(v1+v2)/2
加速度增大
加速度减小
加速度增大
加速度减小
曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动
刚刚结束的奥运会上，广东小将全红婵（图甲）以总分466.2分打破世界纪录，获得跳水单人十米台金牌。自运动员离开跳台开始计时到完全落入水中，其速度随时间变化情况可简化如图乙，选向下为正方向，下列结论正确的是（ ）
A．0-t2为空中运动时间，速度始终向下
B．t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度大
C．在0-t1内，平均速度等于
D．在t2-t3内，平均速度
【例3】（2023·全国·高三专题练习）2022年2月，北京市和张家口市联合举办了第24届冬季奥林匹克运动会，让世界瞩目。冰壶是冬奥会上一种投掷性竞赛项目。如图甲所示，运动员以一定初速度投出冰壶使其在冰面上沿直线自由滑行，冰壶的v-t图像如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．冰壶做加速度逐渐增大的减速运动
B．冰壶在0~t0时间内运动的位移x>v0t0
C．冰面的动摩擦因数逐渐减小
D．冰壶在位移中点的瞬时速度小于时间中点的瞬时速度
【例4】（2023·西藏·统考一模）在抗击“新冠”疫情期间，为了保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”即用无人机配送快递（如图1）。某次快递员操作无人机竖直向上由地面向10楼阳台配送快递，无人机飞行过程的v-t图像如图2所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．0~t1时间内，无人机做匀加速直线运动B．时间内，无人机的平均速度小于
C．t3时刻，无人机仅受重力作用D．t1-t2时间内，无人机的机械能增加
类型3 x-t图像中的曲线问题
t
O
x
t2
瞬时速度
x2
平均速度
t1
x1
(1)一般曲线
①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动；
②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度；
③注意路程和位移区别。0~t1，路程等于位移大小(x1)；0~t2，路程(2x1-x2)大于位移大小(x2)。
（2）抛物线
t
O
x
1 2 3
匀加速直线运动
x3
x1
x2
t
O
x
1 2 3 4
匀减速直线运动
x0
①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速；
②加速度用逐差法计算：(x3-x2)-(x2-x1)=aT2；
③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v2=(x3-x1)/2T。
【例1】（2023·广西·统考三模）在水平面上做匀减速直线运动的质点通过O、A、B三点的过程中，其位移随时间变化规律图像如图所示。则质点（ ）
A．从O点运动到B点过程的平均速度为
B．通过A点时的速度为
C．加速度为
D．从A点运动到B点，速度的变化量为
【例2】（2023春·湖南岳阳·高三岳阳一中校联考阶段练习）物体从t=0时开始做匀变速直线运动，其x-t图像的一段图线如图所示，图线经过图中坐标（3，10）和（4，9）的点，其中（3，10）为抛物线的顶点。关于该物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．t=0时，物体从坐标原点出发B．物体的初速度为
C．物体加速度大小为2m/s2D．物体0~4s内的路程为8m
【例3】（2023·山西·校联考模拟预测）在平直的公路上行驶的甲车和乙车，其位置x随时间t变化的图像分别为图中直线和曲线。已知乙车做匀变速直线运动，当时，直线和曲线相切，下列说法中正确的是（ ）
A．时刻乙车的速度大小为
B．时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度
C．时间内甲车与乙车间的距离一直在增大
D．乙车的加速度大小为
【例4】（2023·河北·校联考模拟预测）某同学应用航拍飞机进行实验并得到如图所示的位移—时间图像，时，飞机由静止向上运动，当时，飞机上升到高度并立即关闭发动机，让其自由上升，时，飞机达到最高点，整个过程中飞机在竖直方向做直线运动，图中的，，两段曲线均为抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．飞机在时间内处于失重状态
B．飞机在时间内的加速度大小等于时间内的加速度大小
C．图像中的两段曲线在时刻相切
D．飞机的最大速度为
类型四 非常规运动学图像
1．四类图象
(1)a－t图象
由vt＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示．
(2)eq \f(s,t)－t图象
由s＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(s,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，图象的斜率为eq \f(1,2)a，如图乙所示．
(3)v2－s图象
由vt2－v02＝2as可知vt2＝v02＋2as，图象斜率为2a.
(4)s－v图象
s与v的关系式：2as＝v2－v02，图象表达式：s＝eq \f(1,2a)v2－eq \f(1,2a)v02.
2．解题技巧
(1)用函数思想分析图象：
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度．
【例1】（2023春·全国·高三校联考阶段练习）一只翠鸟发现露出水面的游鱼，从高空由静止俯冲扎入水中捕鱼。若在翠鸟由静止俯冲至水面的过程中，位移与时间的比值随时间变化的图像为直线，如图所示，其中、均已知，翠鸟在空中运动的时间为，则下列说法正确的是（ ）
A．翠鸟在空中运动的最大速度为B．翠鸟在空中运动的最大速度为
C．翠鸟在空中运动的距离为D．翠鸟在空中运动的距离为
【例2】．（2023秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考期末）除夕夜无人机表演方阵中，一架无人机从大剧院广场启动，由静止开始，竖直向上加速运动的过程中，其加速度随上升高度关系，如图所示，取竖直向上为正方向，无人机的质量为，重力加速度为，忽略空气阻力，则无人机上升的过程中（ ）
A．无人机先加速后匀速运动B．上升时，无人机的速度为
C．上升时，无人机发动机的功率为
D．上升过程中，无人机机械能增加量为
【例3】．（2023秋·山西·高三校联考期末）如图甲所示，运动员在进行蹦床比赛，取向上为正方向，运动员离开蹦床后的图像如图乙所示，运动员可视为质点，取重力加速度大小，则下列叙述正确的是（ ）
A．运动员离开蹦床后加速度大小为
B．运动员在时的速度大小为
C．运动员离开蹦床前的过程中，速度最大值是
D．运动员在最高点的速度为零，只受重力的作用
【例4】．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）放在水平面上的物体，在力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．0～x2过程中物体做匀加速直线运动，x2～x3过程中物体做匀减速直线运动
B．0～x2段，物体的运动的时间
C．位移为x2时，物体的速度达到最大
D．物体的最大速度为
【例5】．（2023·北京门头沟·统考一模）“加速度的变化率”可以表示加速度随时间变化的快慢。汽车加速度的变化率越小，乘客舒适感越好。某汽车由静止启动，前3s内加速度随时间的变化关系如图所示，则（ ）
A．内汽车做匀加速运动
B．加速度变化率的单位为
C．第3s末，汽车速度达到
D．乘客感觉内比内更舒适
【例6】（2023秋·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校联考期中）速度—位移（vx）图像可以直观表示物体运动的速度随空间位置的变化情况。如图，某物体运动的vx图线为抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．物体做加速度越来越小的加速运动
B．m与m时物体的速度之比等于1：2
C．物体在0～1m和1～4m内的时间之比等于1：2
D．物体在0～1m和1～4m内的平均速度之比等于1：3
【例7】（2023·山东·校联考模拟预测）图甲所示是采用36V、10Ah电池和180W额定功率电机设计的无人配送小车，车重为60kg，载重40kg。在某次进行刹车性能测试时，其位移x与时间t的关系可用图乙所示的图像表示，则下列说法正确的是（ ）
A．小车运动的加速度大小为B．小车运动的初速度大小为6m/s
C．前2s内小车的位移大小为4mD．前2s内合力对小车做功的平均功率为1200W
【例8】（2023·山西·统考二模）一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀加速直线运动，计时开始的图像如甲所示v2-x图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列说法正确的是（ ）
A．x=1m时物体的速度为8m/s
B．图乙的斜率是图甲的斜率的2倍
C．图甲中的y=8m/s
D．t=1s时物体的速度为4m/s
题型二 常见的多过程运动模型
类型1 “0—v—0”运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v0
1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
= 1 \* GB3 ①速度公式 推导可得：
= 2 \* GB3 ②速度位移公式 推导可得：
= 3 \* GB3 ③平均速度位移公式 推导可得：
2.位移三个公式：；；
【例1】【多选】（2021·全国·高考真题）水平桌面上，一质量为m的物体在水平恒力F拉动下从静止开始运动，物体通过的路程等于时，速度的大小为，此时撤去F，物体继续滑行的路程后停止运动，重力加速度大小为g，则（ ）
A．在此过程中F所做的功为
B．在此过中F的冲量大小等于
C．物体与桌面间的动摩擦因数等于
D．F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的2倍
【例2】（2023秋·吉林白城·高三校联考期末）甲、乙两辆车沿平直公路行驶，从A地到B地，乙车以速度v0匀速行驶，用时t0；甲车从静止开始先以加速度大小a1加速到vmax，所用时间为t1，再以加速度大小a2减速到0，所用时间为t2，总共用时也为t0。则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例3】在国庆节阅兵仪式中，某直升机在地面上空某高度A处于静止待命状态，要求该直升机在零时刻由静止状态沿着直线方向做匀加速直线运动，经过AB段加速区后，进入BC段的匀速受阅区，在时刻t达到C位置，已知AB段长度为L1，BC段长度为L2，求：
(1)直升机在BC段的速度大小；
(2)直升机在AB段运动时的加速度大小．
【例4】.（2023秋·山东济宁·高三期中）为了研究汽车的启动和制动性能，现用甲、乙两辆完全相同的汽车在平直公路上分别进行实验。让甲车以加速度，加速到最大速度后匀速运动一段时间再以最大加速度制动，直到停止；乙车以最大加速度加速到最大速度后立即以加速度制动，直到停止。实验测得甲、乙两车的运动时间相等，且两车运动的位移之比为7：5.则（ ）
A．甲加速的时间和甲减速的时间之比为1∶2
B．甲加速的时间和甲减速的时间之比为3∶1
C．
D．
类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v1
v2
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式；
平均速度位移公式
（3）三个比例式： = 1 \* GB3 ① ； = 2 \* GB3 ② ； = 3 \* GB3 ③
【例1】【多选】（2021·全国·高考真题）一质量为m的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为g。则（ ）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【例2】(2022·安徽省亳州市高三上学期期末)一物块沿倾角为θ的固定斜面底端上滑，到达最高点后又返回至斜面底端。已知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为 ( )
A．eq \f(1,3)tanθ B．eq \f(1,9)tanθ
C．eq \f(4,5)tanθ D．eq \f(5,4)tanθ
【例3】(2023·全国理综押题卷)如图甲所示，一物块从倾角为的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动的速度一时间图像如图乙所示，2t0时刻速度减为零，5t0时刻回到出发点。则下列说法正确的是（ ）
A. 物块返回斜面底端时的速度大小为
B. 物块返回斜面底端时的速度大小为
C. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
D. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
【例4】（2023春·全国·高三专题练习）海洋馆中一潜水员把一质量为m的小球以初速度从手中竖直抛出，从抛出开始计时，时刻小球返回手中，小球始终在水中且在水中所受阻力大小不变，小球的速度随时间变化的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，则小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为（ ）
A．B．C．D．
类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题
t
O
v
x2
t1
a
v0
x1
总位移
【例1】（2022届云南省高三（下）第一次统测物理试题）无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A. 24mB. 26mC. 28mD. 30m
【例2】（2023秋·内蒙古包头·高三包钢一中校考期末）汽车的刹车性能至关重要，关乎到乘车人员的人身安全，研发阶段应在不同情形下进行实验测量分析。如图所示，两条图线是驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v-t图像。驾驶员的反应时间为1s（从发现问题到开始制动的时间），汽车与湿滑路面间的动摩擦因数为μ1，汽车与干燥路面的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．从t=1s到停下，汽车在干燥路面的平均速度较小
D．从t=0到停下，汽车在湿滑路面上比在干燥路面上多滑行75m
【例3】（2023·辽宁·校联考一模）一辆质量为m的货车以速度在平直公路上做匀速直线运动。司机突然发现正前方有障碍物，司机反应过来后立即紧急刹车，刹车过程中货车受到的阻力大小恒为。已知司机的反应时间为，反应时间内车匀速行驶。
（1）求从司机发现障碍物到车停下来货车前进的距离；
（2）安全驾驶人人有责，为防止发生交通事故，请通过分析第（1）问中影响货车前进距离的因素，给货车司机提出两条安全驾驶的建议（写出给出的建议的依据，只给建议不写依据不得分）。
【例4】(2022·山东济南市5月高考模拟)(多选)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加．如图所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v－t图像，驾驶员的反应时间为1 s．下列说法正确的是( )
A．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
B．从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
C．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 m
D．从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题
t
O
v
t
a
v0
加速时间；加速距离
匀速时间；匀速距离
总位移
【例1】(2022·贵州省贵阳一中高三月考)在东京奥运会田径赛场上，中国运动员在100 m的半决赛中取得了9.83 s的好成绩，打破了亚洲纪录，成功挺进了决赛．我们把该运动员的这次比赛简化为匀加速直线运动和匀速直线运动两个阶段，假设该运动员加速了2.83 s，则他加速阶段的加速度大小及匀速阶段的速度大小分别约为( )
A．4.2 m/s2 10.17 m/s
B．3.6 m/s2 10.17 m/s
C．4.2 m/s2 11.88 m/s
D．3.6 m/s2 11.88 m/s
类型5 三倍加速度运动模型
t
O
v
t2
t1
-a2
a1
v1
-v2
（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式：；
（3）特殊结论：若 ,则有 ,
【例1】（2023·高三课时练习）物体从A点由静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，经时间t到达B点，速度大小为，这时突然改为做加速度大小为的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点，速度大小为，求：和。
【例2】（2022·吉林吉林市·高三期末）由于氢气比氦气廉价，因此市面上销售的基本上都是氢气球，但氢气可能爆炸，所以氦气球相对更安全，某同学用一氦气球悬挂一重物（可视为质点），从地面释放后沿竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动过了一段时间后，悬挂重物的细线断裂，又经过相同的时间，重物恰好落到地面，重物脱落后仅受到重力，重力加速度大小为，下列说法正确的是（ ）
A．细线断裂前氦气球匀加速上升时的加速度大小为
B．细线断裂前重物匀加速上升时的加速度大小为
C．细线断裂时重物的速度大小等于重物落地时速度大小的一半
D．由于条件不足，无法确定细线断裂时重物的速度与落地时的速度的关系
【例3】（2023·浙江台州·高三统考）如图所示，静置于光滑斜面（倾角为）的质量为m的物块，受到沿斜面方向的恒力F的作用，作用时间t后撤去F，再经时间后刚好返回起点，则（ ）
A．F与的比应该为3比7
B．F与的比应该为9比5
C．F与的比应该为7比3
D．F与的比应该为2比3
【例4】质量为m的小球由空中A点无初速度自由下落，加速度大小为g；在t秒末使其加速度大小变为方向竖直向上，再经过t秒小球又回到A点．不计空气阻力且小球从未落地，则以下说法中正确的是：( )
A．a＝4g B．返回到A点的速率2aC．自由下落秒时小球的速率为at D．小球下落的最大高度eq \f(2,9)at2
【例5】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）一质点从A点做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为，又经过同样的时间到达C点。已知、的距离为、的距离的一半，则与的大小之比可能为（ ）
A．B．C．D．
题型三 追及相遇问题
【解题指导】1．(1)“慢追快”型：v后＝v前时，Δx最大．追匀减速运动的机车时，注意要判断追上时前车是否已停下．(2)“快追慢”型：v后＝v前时，Δx最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若此时还没追上就追不上了；若此之前追上则是撞上.
在已知出发点的前提下，可由v－t图像“面积”判断相距最远、最近及相遇等情况.
3.基本解题思路是：利用速度相等找位移关系．
【必备知识与关键能力】
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。
(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
类型1 变速物体追匀速物体
【例1】（2023·河北沧州·统考一模）在某次军事演习中，歼击机以的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机。当两者相距时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为的匀加速直线运动，时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的时间不计，发射导弹对歼击机速度无影响。求：
（1）无人靶机被击中前飞行的速度大小；
（2）导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离；
（3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置且要求歼击机到达时速度为零继而悬停在空中。已知歼击机以最大加速度加速后达到最大速度，且歼击机加速和减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击中无人靶机至歼击机到达无人靶机所在位置的最短时间。（结果保留3位有效数字）
类型2 变速物体追变速物体
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，一小汽车停在小山坡底部，突然司机发现山坡上距坡底x1=60m处，因地震产生的小泥石流以v0=4m/s的初速度、a1=0.4m/s2的加速度匀加速倾斜而下，泥石流到达坡底后以a2=0.3m/s2的加速度沿水平地面做匀减速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了t0=2s，设汽车启动后一直以a3=0.5m/s2的加速度，沿与泥石流的同一直线做匀加速直线运动。求：
（1）泥石流到达坡底速度的大小；
（2）泥石流与汽车相距的最近距离。
【例2】（2023·河北张家口·统考一模）小明和小强玩遥控赛车，他们让两个小车在同一直线上沿同一方向匀速运动，小明的车在前，速度为2m/s，小强的车在后，速度为5m/s。当两小车相距3m时小明和小强同时开始刹车，两玩具车刹车过程均可视为匀变速运动，已知小明的玩具车刹车时加速度大小为1。
（1）如果小强的玩具车刹车的加速度大小为2.5m/s2，求两车的最小距离；
（2）如果两玩具车相距5m时开始刹车，小强的玩具车刹车的加速度大小为2，求整个过程两车的距离s与时间t的关系。
【例3】．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）一列火车和一辆汽车沿同一方向做匀变速直线运动，速度分别为v1和v2。t=0时刻，火车在汽车前方26m处，此后v1、v2在各个时刻的大小如表所示。根据表格中的数据，通过计算求：
（1）经过多长时间两车相遇？
（2）两车初始间距满足什么条件可以相遇两次？
类型3 体育赛事中的追及问题
【例4】（2023春·河南·高三统考阶段练习）如图，短道速滑接力比赛时，“交棒”的运动员在到达接力地点时，需要推送一下前面“接棒”的队友以完成接力。在某次直道交接训练中，质量为50kg的队员甲以的速度匀速向质量为60kg的队员乙滑来，当甲运动到P点时，乙从Q点开始滑动，乙起滑后到交接前的运动可看做匀加速直线运动，其加速度大小为，甲、乙两人在M点完成交接，交接时间很短。交接前瞬间乙的速度大小是甲的，交接后乙的速度大小为14.6m/s。队员甲完成推送后在水平直道上自然向前滑行了，直至撞上缓冲垫后停下，此过程甲与冰面间的动摩擦因数为，重力加速度的大小g取10m/s2。求：
（1）在直道上，乙在距甲多远的距离处开始滑动；
（2）队员甲撞上缓冲垫时的速度大小。
【例5】．（2023秋·青海海东·高三校考阶段练习）4×100米接力中的交接棒过程会直接影响比赛成绩。甲、乙两名运动员在直跑道上进行交接棒训练，某次训练中，甲在距离接力区前端x0=24m处向乙发出起跑口令，并以10m/s的速度跑完全程，乙在接力区前端听到起跑口令后立即起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。已知乙在起跑加速阶段的第4s内通过的距离为7m，乙从起跑到接棒前做的是匀加速直线运动，接力区的长度为L=20m，求：
（1）乙加速阶段的加速度大小及交接棒时乙的速度大小；
（2）为使甲、乙在速度相等时完成交接棒且保证交接棒时的位置距接力区前端16m，求甲在距离乙多远时发出起跑口令及乙起跑时与接力区前端的距离。t/s
0
1
2
3
4
5
v1/m•s-¹
16.0
14.0
12.0
10.0
…
…
v2/m•s-¹
4.0
5.0
6.0
7.0
…
…
【例6】（2023·全国·高三专题练习）重庆市某学校成功举行了秋季田径运动会，高-16班同学小王和小杨在赛前进行了接力赛交接棒的练习。小王、小杨两位同学分别为第四棒和第三棒，小王一小段加速后能保持的速度跑完全程，小杨也能以的速度接力跑，但由于体力原因，离接力区8.5m时，开始以的加速度做匀减速运动，进入接力区后做匀速运动。两人为了确定小王起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，小杨在距离接力区前端d处作了标记，当小杨跑到此标记时向小王发出起跑口令，此后小杨在接力区恰能在两人速度相同时追上小王完成交接棒。已知小王在接力区的前端听到口令且有0.1s的反应时间（忽略声音传播的时间），接力区的长度为，小王起跑后以的加速度做匀加速运动（练习时两人均做直线运动）。求：
(1)小杨追上小王时，小杨的速度大小及此时小王离接力区末端的距离；
(2)标记处离接力区的距离d。
【例7】．（2023秋·广东韶关·高三校考阶段练习）如图，甲、乙两名运动员在训练2×100m接力赛跑。已知甲、乙两运动员的起跑过程可看成加速度大小为2m/s2的匀加速运动，且经加速后都能达到并保持vm=8m/s的速度跑完全程。已知接力区的长度为L=18m，乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲乙相遇时完成交接棒，假设接棒动作不影响运动员的速度大小。
(1)在某次练习中，甲以vm=8m/s的速度跑到接力区前端s合=12m处时，向乙发出起跑口令，求此次练习中交接棒处离接力区前端的距离；
(2)为了取得最好成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在距离接力区前端多远时对乙发出起跑口令?
(3)若接力区的长度只有L′=9m，他们跑完2×100m全程的最好成绩（从甲起跑开始，至乙到达终点的总时间）是多少?
类型4 图像法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．【例1】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的图线，根据这些信息，可以判断（ ）
A．5s末两车速度均为9m/sB．0时刻之后，两车只会相遇一次
C．20s末两车相遇D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍
【例2】．（2023·全国·模拟预测）某同学用甲、乙两个物块来模拟研究汽车相遇规律问题，下图是他根据运动规律绘制的甲、乙两个物块的运动位移时间图线。已知甲物块的运动图线为一条顶点为的抛物线，乙的运动图线为一过原点的直线。两条图线中其中一个交点坐标为。则下列说法正确的是（ ）
A．时刻甲物块速度为
B．甲物块在做匀加速直线运动的加速度为
C．图中甲、乙两个物块再次相遇时刻为
D．如果两个物块只相遇一次，则必有
【例3】．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）、两质点沿直线轴正方向运动，时，两质点同时到达坐标原点，测得两质点在之后的运动中，其位置坐标与时间的比值（平均速度）随时间变化的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．质点由静止开始做匀加速运动，质点做匀加速直线运动
B．质点做匀加速运动的加速度为
C．时，，第1次相遇
D．质点，有可能第2次相遇
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示；以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点，以甲车速度方向为正方向，乙车的位置随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在x＝30m处的抛物线的一部分。下列说法正确的是（ ）
A．乙车在做匀变速直线运动，加速度大小为4.5m/s2B．当t＝2s，乙车在甲车前方10m处
C．当t＝4s，两车速度大小相等D．在0~7s内，两车共相遇两次
【例5】．（2023·甘肃·统考二模）假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前乙车在后，速度均为。甲、乙两车相距，在时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是（ ）
A．0~3s内两车间距逐渐增大
B．时两车距离最近，且最近距离为10mC．6~9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大
D．两车在0~9s内会相撞
【例6】．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）张卫和黄亮精准遥控小车A和B沿百米直线跑道正对着行进，取小车A的出发点为坐标原点，小车A的运动方向为正方向建立x轴，两小车的图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．两小车若同时出发，一定不会在图像交点处相遇
B．两小车若不同时出发，一定会在图像交点处相遇
C．A车匀加速，B车匀减速，且加速度大小分别为和
D．A车匀加速，B车匀减速，且加速度大小分别为和
类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题
【例1】（2023·广东·高三统考学业考试）如图，在车厢长度的小货车上，质量、厚度的冰块用绳绑住并紧贴车厢前端，与货车一起以的速度沿坡度为5%（即斜面倾角θ满足，，）的斜坡向上行动。 某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。 已知冰块与车厢底板间动摩擦因数，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取重力加速度。
（1）求从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离；
（2）若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，求a的最大值。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以和的速度在限速的路面上匀速行驶，其中甲车车身长、货车车身长，某时刻货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为，假定货车速度保持不变，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度，求：
（1）甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间（结果保留2位小数）；
（2）一般情况下，汽车时速超过限速不到的，仅给予警告，不予扣分和罚款。若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者车头相距，乙车速度为，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车在不被扣分和罚款的前提下，能否安全超车？若甲车不能安全超车，则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车？
【例3】．（2023秋·广东·高三统考阶段练习）如图所示，某路面由斜坡AB和水平路面BC两部分组成，斜坡与水平面的夹角，一质量为M的卡车正沿斜坡AB往下运动，此时水平路而上有多辆质量为m的小汽车正以m/s的速度匀速行驶，它们之间的距离均为m。已知卡车和小汽车在各路面上行驶时受到的摩擦力均为正压力的0.2倍，，重力加速度，忽略车辆本身长度，，。当卡车以m/s的速度行驶至距离斜坡底端m的A点时，突然出现故障失去控制。
（1）为避免发生交通事故，卡车发生故障时，在水平路面上行驶的小汽车距离斜坡底端至少多远？
（2）若卡车发生故障时，与卡车距离最近的小汽车恰好位于斜坡的底端B，则卡车最多会与几辆小汽车发生连环碰撞？（假设所有碰撞为一维完全非弹性碰撞，且小汽车一旦发生碰撞会立即失去控制）
公众号：高中试卷君
专题02 运动学图像、多过程运动模型及追击相遇
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3564" 题型一 运动学图像的理解与应用 PAGEREF _Tc3564 \h 1
\l "_Tc11332" 类型1 x－t图象与v－t图象的比较 PAGEREF _Tc11332 \h 1
\l "_Tc15592" 类型2 v-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc15592 \h 4
\l "_Tc7976" 类型3 x-t图像中的曲线问题 PAGEREF _Tc7976 \h 7
\l "_Tc30292" 题型二 常见的多过程运动模型 PAGEREF _Tc30292 \h 22
\l "_Tc1977" 类型1 “0—v—0”运动模型 PAGEREF _Tc1977 \h 22
\l "_Tc7356" 类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型 PAGEREF _Tc7356 \h 26
\l "_Tc6226" 类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题 PAGEREF _Tc6226 \h 30
\l "_Tc29471" 类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题 PAGEREF _Tc29471 \h 34
\l "_Tc16830" 类型5 三倍加速度运动模型 PAGEREF _Tc16830 \h 35
\l "_Tc8639" 题型三 追及相遇问题 PAGEREF _Tc8639 \h 39
\l "_Tc9037" 类型1 变速物体追匀速物体 PAGEREF _Tc9037 \h 40
\l "_Tc27231" 类型2 变速物体追变速物体 PAGEREF _Tc27231 \h 41
\l "_Tc24742" 类型3 体育赛事中的追及问题 PAGEREF _Tc24742 \h 45
\l "_Tc20301" 类型4 图像法在追及相遇问题中的应用 PAGEREF _Tc20301 \h 50
\l "_Tc13077" 类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题 PAGEREF _Tc13077 \h 56
题型一 运动学图像的理解与应用
【解题指导】1．x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹.
x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇.
v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速度方向不变.
v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．图线在t轴上方，表示位移为正；图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和.
5.有些特殊图像，比如v2－x图像、eq \f(x,t)－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量．
类型1 x－t图象与v－t图象的比较
x－t图象
v－t图象
图象
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
【例1】（2023秋·天津河西·高三统考期末）有四个运动的物体A、B、C、D，物体A、B运动的图像如图甲所示，物体C、D从同一地点沿同一方向运动的图像如图乙所示。根据图像做出以下判断正确的是（ ）
A．在前时间内，A、B两物体的位移不相同
B．在时，B物体的运动方向发生了变化
C．时，物体C与D间距离最大
D．时，物体C追上物体D
【答案】AC
【详解】A．由图像可知，前时间内，A、B两物体的位移等大反向，故A正确；
B．图像中斜率表示速度，B物体整个过程斜率不变表示速度不变，大小方向都不变，所以运动方向不变，故B错误；
CD．物体C、D从同一地点沿同一方向运动，时，两者速度相同，相遇之前两者相距最远，即物体C与D间距离最大，故C正确，D错误。
故选AC。
【例2】（2023春·广西·高三校联考阶段练习）如图所示，分别为汽车甲的位移-时间图像和汽车乙的速度-时间图像，则（ ）特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动
情况
甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移
0～t1时间内甲、乙位移相等
0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0～t1时间内甲、乙平均速度相等
0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
A．甲的加速度大小为B．乙的加速度大小为
C．甲在内的位移大小为D．乙在内的位移大小为
【答案】B
【详解】A．由图可知，甲做匀速直线运动，加速度为零，A错误；
B．由图可知，乙的加速度大小为
B正确；
C．由图可知甲在内的位移大小为，C错误；
D．由图可知乙在内的位移大小为
D错误。
故选B。
【例3】（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）如图所示，甲图是x-t即位置与时间图像，乙图是v-t图像，图中给出的四条曲线1、2、3、4，分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是（ ）
A．两图像中，t2、t4时刻分别表示物体2、物体4已经向负方向运动
B．两图像中，物体1和物体2在t1时刻相遇，物体3和物体4在t3时刻相遇
C．x-t图像中0至t1时间内物体1和物体2的平均速度相等
D．v-t图像中0至t3时间内物体3和物体4的平均速度相等【答案】C
【详解】A．x-t图像切线的斜率表示物体运动的速度，速度的正负表示物体的运动方向，所以甲图中t2时刻物体2已经向负方向运动，而乙图中t4时刻速度为正，物体4仍向正方向运动，故A错误；
B．x-t图像的交点表示两物体相遇，而v-t图像的交点表示速度相等，故B错误；
C．平均速度等于物体发生的位移与所用时间的比值，甲图中两物体位移相等，时间相等，所以平均速度相等，故C正确；
D．v-t图像与横轴所围区域的面积表示物体发生的位移，乙图中物体4的位移大于物体3的位移，两物体运动时间相等，所以物体4的平均速度大于物体3的平均速度，故D错误。
故选C。
类型2 v-t图像中的曲线问题
【例1】（2023秋·广东潮州·高三校考期中）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v一t图像如图所示。在这段时间内（ ）
A．汽车甲的平均速度比乙的小
B．汽车甲的平均速度大于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐增大，汽车乙的加速度大小逐渐减小
【答案】B
【详解】AC．在v-tt
O
v
t0
匀加速
变加速
v1
v2
t
O
v
t0
变加速
匀加速
v2
v1
t
O
v
t0
匀减速
变减速
v1
v2
t
O
v
t0
变减速
匀减速
v2
v1
<(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
>(v1+v2)/2
<(v1+v2)/2
加速度增大
加速度减小
加速度增大
加速度减小
曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动
图像中图形的面积代表位移的大小，根据图像可知，在这段时间内，甲的位移大于乙的位移，时间相同，根据平均速度等于位移与时间之比，可知汽车甲的平均速度比乙的大，故AC错误；
B．若甲做匀加速直线运动，其平均速度等于，而实际上，甲做变加速直线运动，通过的位移大于匀加速直线运动的位移，所以甲的平均速度大于，故B正确；
D．因为速度时间图像切线的斜率等于物体的加速度，汽车甲和乙的加速度大小都是逐渐减小，故D错误。
故选B。
【例2】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）刚刚结束的奥运会上，广东小将全红婵（图甲）以总分466.2分打破世界纪录，获得跳水单人十米台金牌。自运动员离开跳台开始计时到完全落入水中，其速度随时间变化情况可简化如图乙，选向下为正方向，下列结论正确的是（ ）
A．0-t2为空中运动时间，速度始终向下
B．t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度大
C．在0-t1内，平均速度等于
D．在t2-t3内，平均速度
【答案】C
【详解】A．0～t2为空中运动时间内，速度先为负值，后为正值，则速度方向先向上，后向下，故A错误；
B．v-t图像斜率的绝对值表示加速度大小，由图可以看出，t1-t2内的加速度比在t2-t3内加速度小，故B错误；
C．在0~t1内，图线斜率不变，表示匀变速直线运动，则由匀变速直线运动推论，平均速度等于初、末速度和的一半，即为，故C正确；
D．v-t图像与坐标轴所围的面积表示位移，由图像可以看出，实际图线在t2~t3时间内围的面积小于虚线（匀减速到零）所围面积，平均速度等于位移与所用时间的比值，所以此段时间内的平均速度小于此段时间内匀减速到零的平均速度，故D错误。故选C。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）2022年2月，北京市和张家口市联合举办了第24届冬季奥林匹克运动会，让世界瞩目。冰壶是冬奥会上一种投掷性竞赛项目。如图甲所示，运动员以一定初速度投出冰壶使其在冰面上沿直线自由滑行，冰壶的v-t图像如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．冰壶做加速度逐渐增大的减速运动
B．冰壶在0~t0时间内运动的位移x>v0t0
C．冰面的动摩擦因数逐渐减小
D．冰壶在位移中点的瞬时速度小于时间中点的瞬时速度
【答案】C
【详解】A．v-t图线的斜率表示加速度，由图像可知，图线的斜率逐渐减小，故冰壶做加速度逐渐减小的减速运动，故A错误；
B．v-t图线与时间轴围成的面积表示位移，将该图线与匀减速直线运动的图线比较，可知冰壶在t0时间内运动的位移小于v0t0，故B错误；
C．冰壶运动的加速度是摩擦力产生的，由牛顿第二定律得
ma=μmg
则
a=μg
由于冰壶的加速度逐渐减小，说明冰面的动摩擦因数逐渐减小，故C正确；
D．冰壶在位移的中点处，两侧的位移大小相等，在v-t图线上找到并标出冰壶在位移中点的瞬时速度和时间中点的瞬时速度，如图所示，v-t图线的斜率表示加速度，可知冰壶在位移中点的瞬时速度v1大于时间中点的瞬时速度v2，故D错误。故选C。
【例4】（2023·西藏·统考一模）在抗击“新冠”疫情期间，为了保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”即用无人机配送快递（如图1）。某次快递员操作无人机竖直向上由地面向10楼阳台配送快递，无人机飞行过程的v-t图像如图2所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．0~t1时间内，无人机做匀加速直线运动B．时间内，无人机的平均速度小于
C．t3时刻，无人机仅受重力作用D．t1-t2时间内，无人机的机械能增加
【答案】BD
【详解】A．根据v-t图像的斜率表示加速度可知，时间内斜率在变小，即加速度在变小，无人机做加速度减小的加速运动，A错误；
B．根据v-t图像与时间轴围成的“面积”表示无人机运动的位移，可知图像与横轴围成的面积小于连接曲线上和两点直线时与横轴围成的面积，再根据匀变速直线运动的平均速度表达式可得，时间内无人机的平均速度，B正确；
C．根据v-t图像，时刻无人机悬停，速度为零，处于平衡状态，受到升力和重力作用，C错误；
D．时间内，无人机的动能不变，而高度升高，则重力势能增加，机械能增加，D正确。
故选BD。
类型3 x-t图像中的曲线问题
t
O
x
t2
瞬时速度
x2
平均速度
t1
x1
(1)一般曲线
①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动；
②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度；
③注意路程和位移区别。0~t1，路程等于位移大小(x1)；0~t2，路程(2x1-x2)大于位移大小(x2)。
（2）抛物线t
O
x
1 2 3
匀加速直线运动
x3
x1
x2
t
O
x
1 2 3 4
匀减速直线运动
x0
①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速；
②加速度用逐差法计算：(x3-x2)-(x2-x1)=aT2；
③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v2=(x3-x1)/2T。
【例1】（2023·广西·统考三模）在水平面上做匀减速直线运动的质点通过O、A、B三点的过程中，其位移随时间变化规律图像如图所示。则质点（ ）
A．从O点运动到B点过程的平均速度为
B．通过A点时的速度为
C．加速度为
D．从A点运动到B点，速度的变化量为
【答案】AD
【详解】A．从O点运动到B点过程的平均速度为
故A正确；
BCD．设O点的速度为，加速度大小为；从O点运动到A点过程，有
从O点运动到B点过程，有
联立解得
，
从A点运动到B点，速度的变化量为
通过A点时的速度为
故BC错误，D正确。故选AD。
【例2】（2023春·湖南岳阳·高三岳阳一中校联考阶段练习）物体从t=0时开始做匀变速直线运动，其x-t图像的一段图线如图所示，图线经过图中坐标（3，10）和（4，9）的点，其中（3，10）为抛物线的顶点。关于该物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．t=0时，物体从坐标原点出发B．物体的初速度为
C．物体加速度大小为2m/s2D．物体0~4s内的路程为8m
【答案】C
【详解】BC．物体匀变速直线运动，由x-t图像的斜率表示速度可知，末速度，时瞬时速度等于间平均速度，即
则有加速度的大小
物体初速度
B错误，C正确；
A．位移
解得初始时的位移
A错误；
D．路程
则有物体0~4s内的路程为
D错误。故选C。
【例3】（2023·山西·校联考模拟预测）在平直的公路上行驶的甲车和乙车，其位置x随时间t变化的图像分别为图中直线和曲线。已知乙车做匀变速直线运动，当时，直线和曲线相切，下列说法中正确的是（ ）
A．时刻乙车的速度大小为
B．时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度
C．时间内甲车与乙车间的距离一直在增大
D．乙车的加速度大小为
【答案】A
【详解】AD．根据图像可知，甲做匀速直线运动。其速度为
乙车做匀减速直线运动，根据图像可知t=2s时，位移为
x=6m速度为
根据位移时间公式
可得
又有
解得
故A正确，D错误；
B．时间内，根据图像可知，甲车的位移小于乙车的位移，所以甲车的平均速度小于乙车的平均速度，故B错误；
C．根据图像可知时间内甲车与乙车间的距离先减小后增大，故C错误。
故选A。
【例4】（2023·河北·校联考模拟预测）某同学应用航拍飞机进行实验并得到如图所示的位移—时间图像，时，飞机由静止向上运动，当时，飞机上升到高度并立即关闭发动机，让其自由上升，时，飞机达到最高点，整个过程中飞机在竖直方向做直线运动，图中的，，两段曲线均为抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．飞机在时间内处于失重状态
B．飞机在时间内的加速度大小等于时间内的加速度大小
C．图像中的两段曲线在时刻相切D．飞机的最大速度为
【答案】C
【详解】根据题意可知，两段曲线均为抛物线，则飞机在两段时间内均做匀变速直线运动
A．根据图像中斜率表示速度，由图像可知，飞机在时间内，向上做加速运动，具有向上的加速度，则处于超重状态，故A错误；
B．根据题意，设飞机在时间内的加速度大小为，由公式可得
解得
设时间内的加速度大小为，由图可知，飞机在时速度为0，则可看成反向加速，由公式可得
解得
可知
故B错误；
C．根据图像中斜率表示速度可知，图像中的两段曲线在时刻相切，故C正确；
D．根据图像中斜率表示速度，由图像可知，飞机在时速度最大，由公式可得，最大速度为
故D错误。故选C。
类型四 非常规运动学图像
1．四类图象
(1)a－t图象
由vt＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示．
(2)eq \f(s,t)－t图象由s＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(s,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，图象的斜率为eq \f(1,2)a，如图乙所示．
(3)v2－s图象
由vt2－v02＝2as可知vt2＝v02＋2as，图象斜率为2a.
(4)s－v图象
s与v的关系式：2as＝v2－v02，图象表达式：s＝eq \f(1,2a)v2－eq \f(1,2a)v02.
2．解题技巧
(1)用函数思想分析图象：
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义．
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度．
【例1】（2023春·全国·高三校联考阶段练习）一只翠鸟发现露出水面的游鱼，从高空由静止俯冲扎入水中捕鱼。若在翠鸟由静止俯冲至水面的过程中，位移与时间的比值随时间变化的图像为直线，如图所示，其中、均已知，翠鸟在空中运动的时间为，则下列说法正确的是（ ）
A．翠鸟在空中运动的最大速度为B．翠鸟在空中运动的最大速度为
C．翠鸟在空中运动的距离为D．翠鸟在空中运动的距离为
【答案】BC
【详解】AB．由图像可得
变形得
可知翠鸟从高空由静止俯冲，做匀加速直线运动。根据得加速度为
所以当时，速度最大，大小为
故A错误，B正确；
CD．由匀加速直线运动位移与时间关系可得翠鸟在空中运动的距离为
故C正确，D错误。
故选BC。
【例2】．（2023秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考期末）除夕夜无人机表演方阵中，一架无人机从大剧院广场启动，由静止开始，竖直向上加速运动的过程中，其加速度随上升高度关系，如图所示，取竖直向上为正方向，无人机的质量为，重力加速度为，忽略空气阻力，则无人机上升的过程中（ ）
A．无人机先加速后匀速运动
B．上升时，无人机的速度为
C．上升时，无人机发动机的功率为
D．上升过程中，无人机机械能增加量为
【答案】BD
【详解】A．根据题意，由图可知，无人机的加速度方向一直向上，无人机一直做加速运动，故A错误；
B．根据公式可知，图像中面积表示，设上升时，无人机的速度为，则有
解得
故B正确；C．根据题意，设上升时，无人机的牵引力为，由牛顿第二定律有
由图可知，上升时
解得
无人机发动机的功率为
故C错误；
D．根据题意可知，上升过程中，无人机机械能增加量为
故D正确。
故选BD。
【例3】．（2023秋·山西·高三校联考期末）如图甲所示，运动员在进行蹦床比赛，取向上为正方向，运动员离开蹦床后的图像如图乙所示，运动员可视为质点，取重力加速度大小，则下列叙述正确的是（ ）
A．运动员离开蹦床后加速度大小为
B．运动员在时的速度大小为
C．运动员离开蹦床前的过程中，速度最大值是
D．运动员在最高点的速度为零，只受重力的作用
【答案】BD
【详解】A．运动员离开弹簧后竖直向上运动，设其加速度大小为a，则
由图可知图像的表达式为
解得
选项A错误；
B．运动员在时的速度为
选项B正确；
C．运动员离开蹦床前先加速后减速，所以运动员离开蹦床前的过程中速度的最大值大于，选项C错误；
D．运动员在最高点时，速度为零，只受到重力作用，选项D正确。
故选BD。
【例4】．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）放在水平面上的物体，在力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．0～x2过程中物体做匀加速直线运动，x2～x3过程中物体做匀减速直线运动
B．0～x2段，物体的运动的时间
C．位移为x2时，物体的速度达到最大
D．物体的最大速度为
【答案】BD
【详解】A．由图知，0～x2过程中物体做匀加速直线运动，但x2～x3过程中物体做加速度逐渐减小的变加速运动，故A错误；
B．0～x2段，由
得
故B正确。
C．x2～x3过程中物体做加速度逐渐减小的加速运动，速度仍然在增加，故位移为x2时速度没有达到最大，故C错误；
D．由v2=2ax可得：图象中面积表示；即有
故最大速度
故D正确；
故选BD。
【例5】．（2023·北京门头沟·统考一模）“加速度的变化率”可以表示加速度随时间变化的快慢。汽车加速度的变化率越小，乘客舒适感越好。某汽车由静止启动，前3s内加速度随时间的变化关系如图所示，则（ ）
A．内汽车做匀加速运动
B．加速度变化率的单位为
C．第3s末，汽车速度达到
D．乘客感觉内比内更舒适
【答案】C
【详解】A．由图可知，内汽车的加速度增大，不是匀加速运动，故A错误；
B．加速度变化率为加速度变化量与时间的比值，则单位为
故B错误；
C．图像中面积表示速度的变化量，则内汽车速度的变化量为
则第3s末，汽车速度达到，故C正确；D．由题意可知，加速度的变化率越小，乘客舒适感越好，由图可知，内比内的加速度的变化率大，则内更舒适，故D错误。
故选C。
【例6】（2023秋·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校联考期中）速度—位移（vx）图像可以直观表示物体运动的速度随空间位置的变化情况。如图，某物体运动的vx图线为抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．物体做加速度越来越小的加速运动
B．m与m时物体的速度之比等于1：2
C．物体在0～1m和1～4m内的时间之比等于1：2
D．物体在0～1m和1～4m内的平均速度之比等于1：3
【答案】BD
【详解】A．根据匀变速公式
可知
物体运动的vx图线为抛物线，可知，物体加速度不变，故A错误；
B．根据图像可知
所以m与m时物体的速度之比等于1：2，故B正确；
C．物体初速度为零，根据
可知，在0～1m内时间
在0～4m内的时间
所以物体在0～1m和1～4m内的时间之比
故C错误；
D．物体在0～1m内的平均速度
物体在1～4m内的平均速度
所以平均速度之比等于1：3，故D正确。
故选BD。
【例7】（2023·山东·校联考模拟预测）图甲所示是采用36V、10Ah电池和180W额定功率电机设计的无人配送小车，车重为60kg，载重40kg。在某次进行刹车性能测试时，其位移x与时间t的关系可用图乙所示的图像表示，则下列说法正确的是（ ）
A．小车运动的加速度大小为B．小车运动的初速度大小为6m/s
C．前2s内小车的位移大小为4mD．前2s内合力对小车做功的平均功率为1200W
【答案】B
【详解】ABC．根据匀变速直线运动位移时间公式得
即图像是一条倾斜的直线，由图像可知，图线斜率为小车运动的初速度，则
截距为小车运动的加速度的，则
小车刹车时间为1.5s，故前2s内物体的位移
故B正确，AC错误；D．根据牛顿第二定律，可得合力为
1.5s末小车已停止运动，运动位移为4.5m，根据平均功率定义可知
故D错误。
故选B。
【例8】（2023·山西·统考二模）一个物块在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀加速直线运动，计时开始的图像如甲所示v2-x图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列说法正确的是（ ）
A．x=1m时物体的速度为8m/s
B．图乙的斜率是图甲的斜率的2倍
C．图甲中的y=8m/s
D．t=1s时物体的速度为4m/s
【答案】D
【详解】A．当x=1m，由图乙可知
解得
故A错误；
BC．由初速度为0的匀加速直线运动规律可得
则有
可得甲图的斜率为
由
可知乙图的斜率为
解得
则
图甲中的y=4m/s，故BC错误；
D．t=1s时物体的速度为
故D正确。
故选D。
题型二 常见的多过程运动模型
类型1 “0—v—0”运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v0
1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
= 1 \* GB3 ①速度公式 推导可得：
= 2 \* GB3 ②速度位移公式 推导可得：
= 3 \* GB3 ③平均速度位移公式 推导可得：2.位移三个公式：；；
【例1】【多选】（2021·全国·高考真题）水平桌面上，一质量为m的物体在水平恒力F拉动下从静止开始运动，物体通过的路程等于时，速度的大小为，此时撤去F，物体继续滑行的路程后停止运动，重力加速度大小为g，则（ ）
A．在此过程中F所做的功为
B．在此过中F的冲量大小等于
C．物体与桌面间的动摩擦因数等于
D．F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的2倍
【答案】BC
【详解】CD．外力撤去前，由牛顿第二定律可知
①
由速度位移公式有
②
外力撤去后，由牛顿第二定律可知
③
由速度位移公式有
④
由①②③④可得，水平恒力
动摩擦因数
滑动摩擦力
可知F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的3倍，故C正确，D错误；
A．在此过程中，外力F做功为
故A错误；
B．由平均速度公式可知，外力F作用时间
在此过程中，F的冲量大小是
故B正确。
故选BC。
【例2】（2023秋·吉林白城·高三校联考期末）甲、乙两辆车沿平直公路行驶，从A地到B地，乙车以速度v0匀速行驶，用时t0；甲车从静止开始先以加速度大小a1加速到vmax，所用时间为t1，再以加速度大小a2减速到0，所用时间为t2，总共用时也为t0。则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】AB．如图所示为甲、乙两车的图像
两车位移相同，有
得
故AB错误；
C．甲车在t1时间内
t2时间内
即
故C错误；
D．因为
所以
即
故D正确。
故选D。
【例3】在国庆节阅兵仪式中，某直升机在地面上空某高度A处于静止待命状态，要求该直升机在零时刻由静止状态沿着直线方向做匀加速直线运动，经过AB段加速区后，进入BC段的匀速受阅区，在时刻t达到C位置，已知AB段长度为L1，BC段长度为L2，求：
(1)直升机在BC段的速度大小；
(2)直升机在AB段运动时的加速度大小．
【答案】：(1)eq \f(L2＋2L1,t) (2)eq \f(（L2＋2L1）2,2L1t2)
【解析】：(1)设在BC段的速度为v，通过AB、BC的时间分别为t1、t2，则在AB段：xAB＝eq \f(1,2)vt1＝L1；
在BC段：L2＝vt2，t1＋t2＝t，所以：v＝eq \f(L2＋2L1,t).
(2)在AB段做匀加速直线运动时的加速度大小：a＝eq \f(v2,2L1)
所以：a＝eq \f(（L2＋2L1）2,2L1t2).
【例4】.（2023秋·山东济宁·高三期中）为了研究汽车的启动和制动性能，现用甲、乙两辆完全相同的汽车在平直公路上分别进行实验。让甲车以加速度，加速到最大速度后匀速运动一段时间再以最大加速度制动，直到停止；乙车以最大加速度加速到最大速度后立即以加速度制动，直到停止。实验测得甲、乙两车的运动时间相等，且两车运动的位移之比为7：5.则（ ）A．甲加速的时间和甲减速的时间之比为1∶2
B．甲加速的时间和甲减速的时间之比为3∶1
C．
D．
【答案】AC
【详解】AB．根据题目描述画出图像
甲的位移
乙的位移
两车运动的位移之比为7：5，则
因为甲车减速时加速度为，乙车为，所以乙车匀减速时间是甲车匀减速时间的2倍，则甲车匀减速和匀速时间相等，因此甲车加速的时间和减速的时间之比为1∶2，故A正确，B错误；
CD．由上可知，乙车匀加速时间和匀减速时间之比为，故加速度之比为
故
故C正确，D错误。
故选AC。类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型
t
O
v
t2
t1
a2
a1
v1
v2
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式；
平均速度位移公式
（3）三个比例式： = 1 \* GB3 ① ； = 2 \* GB3 ② ； = 3 \* GB3 ③
【例1】【多选】（2021·全国·高考真题）一质量为m的物体自倾角为的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为。已知，重力加速度大小为g。则（ ）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【答案】BC
【详解】AC．物体从斜面底端回到斜面底端根据动能定理有
物体从斜面底端到斜面顶端根据动能定理有
整理得
；
A错误，C正确；
B．物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
求解得出
B正确；
D．物体向上滑动时的根据牛顿第二定律有
物体向下滑动时的根据牛顿第二定律有
由上式可知
a上 > a下
由于上升过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且走过相同的位移，根据公式
则可得出
D错误。
故选BC。
【例2】(2022·安徽省亳州市高三上学期期末)一物块沿倾角为θ的固定斜面底端上滑，到达最高点后又返回至斜面底端。已知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，则物块与斜面间的动摩擦因数为 ( )
A．eq \f(1,3)tanθ B．eq \f(1,9)tanθ
C．eq \f(4,5)tanθ D．eq \f(5,4)tanθ
【答案】C
【解析】 向上运动的末速度等于0，其逆过程为初速度为0的匀加速直线运动，设加速度的大小为a1，则：x＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)，设向下运动的加速度的大小为a2，则向下运动的过程中：x＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)，由题知物块下滑的时间是上滑时间的3倍，即t2＝3t1，联立可得：a1＝9a2，对物块进行受力分析，可知向上运动的过程中：ma1＝mgsinθ＋μmgcsθ，向下运动的过程中：ma2＝mgsinθ－μmgcsθ，联立得μ＝eq \f(4,5)tanθ，故C正确，ABD错误，故选C。
【例3】(2023·全国理综押题卷)如图甲所示，一物块从倾角为的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动的速度一时间图像如图乙所示，2t0时刻速度减为零，5t0时刻回到出发点。则下列说法正确的是（ ）
A. 物块返回斜面底端时的速度大小为
B. 物块返回斜面底端时的速度大小为
C. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
D. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
【答案】C
【解析】
【详解】AB．上滑过程有
，
下滑过程有
，
联立解得
，
所以AB错误；
CD．根据牛顿第二定律，上滑过程有
联立解得
所以C正确；D错误；
故选C。【例4】（2023春·全国·高三专题练习）海洋馆中一潜水员把一质量为m的小球以初速度从手中竖直抛出，从抛出开始计时，时刻小球返回手中，小球始终在水中且在水中所受阻力大小不变，小球的速度随时间变化的关系图像如图所示，重力加速度大小为g，则小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据小球的速度随时间变化的关系图像分析知，第一阶段加速度大，大小为，第二阶段加速度小，故小球先竖直向上做匀减速直线运动，再竖直向下做匀加速直线运动，从抛出开始计时，时刻小球返回手中
解得
故球在水中竖直下落过程中的加速度大小
根据牛顿第二定律，先竖直向上做匀减速直线运动
再竖直向下做匀加速直线运动
联立解得，小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为
故选B。类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题
t
O
v
x2
t1
a
v0
x1
总位移
【例1】（2022届云南省高三（下）第一次统测物理试题）无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为。同样条件下，无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A. 24mB. 26mC. 28mD. 30m
【答案】A
【解析】
【详解】设汽车运动的速度为v0，则人驾驶时发现情况到停下的运动距离为
即
解得
v0=20m/s
无人驾驶汽车时发现情况到停下的运动距离为
故选A。
【例2】（2023秋·内蒙古包头·高三包钢一中校考期末）汽车的刹车性能至关重要，关乎到乘车人员的人身安全，研发阶段应在不同情形下进行实验测量分析。如图所示，两条图线是驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v-t图像。驾驶员的反应时间为1s（从发现问题到开始制动的时间），汽车与湿滑路面间的动摩擦因数为μ1，汽车与干燥路面的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．从t=1s到停下，汽车在干燥路面的平均速度较小
D．从t=0到停下，汽车在湿滑路面上比在干燥路面上多滑行75m
【答案】AD
【详解】AB．由图可得
所以
故A正确，B错误；
C．根据匀变速直线运动的推论有
由此可知，从t=1s到停下，汽车在干、湿路面的平均速度大小相等，故C错误；
D．v-t图线与横轴所围区域的面积表示物体发生的位移，所以从t=0到停下，汽车在湿滑路面上与在干燥路面上的位移差为
故D正确。
故选AD。
【例3】（2023·辽宁·校联考一模）一辆质量为m的货车以速度在平直公路上做匀速直线运动。司机突然发现正前方有障碍物，司机反应过来后立即紧急刹车，刹车过程中货车受到的阻力大小恒为。已知司机的反应时间为，反应时间内车匀速行驶。
（1）求从司机发现障碍物到车停下来货车前进的距离；
（2）安全驾驶人人有责，为防止发生交通事故，请通过分析第（1）问中影响货车前进距离的因素，给货车司机提出两条安全驾驶的建议（写出给出的建议的依据，只给建议不写依据不得分）。
【答案】（1）（2）不要超载；不要超速；不要疲劳；不要饮酒驾车；注意观察路面变化，雨雪天要减低车速等等。
【详解】（1）设刹车过程中货车运动的位移为x1，由牛顿第二定律得
f＝ma
刹车过程中，由位移—速度公式得
货物前进得距离
联立解得
（2）由
可知，货车质量越大，初速度越大，反应时间越长，刹车得阻力越小，货车得刹车距离越大，越容易发生交通事故。所以在驾驶时不要超载；不要超速；不要疲劳；不要饮酒驾车；注意观察路面变化，雨雪天要减低车速等等。
【例4】(2022·山东济南市5月高考模拟)(多选)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加．如图所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v－t图像，驾驶员的反应时间为1 s．下列说法正确的是( )
A．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
B．从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度
C．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 m
D．从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍
【答案】 CD【解析】 从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移为x1＝30×1 m＋eq \f(4×30,2) m＝90 m
平均速度为v1＝eq \f(90,5) m/s＝18 m/s汽车在干燥路面的位移为x2＝30×1 m＋eq \f(3×30,2) m＝75 m
平均速度为v2＝eq \f(75,4) m/s＝18.75 m/s，
x1－x2＝15 m，故A错误，C正确；
从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度v1′＝eq \f(30,2) m/s＝15 m/s，汽车在干燥路面的平均速度
v2′＝eq \f(30,2) m/s＝15 m/s，故B错误；
从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度大小a1＝eq \f(30,4) m/s2＝7.5 m/s2，汽车在干燥路面的加速度大小a2＝eq \f(30,3) m/s2＝10 m/s2，则从t＝1 s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍，故D正确．
类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题
t
O
v
t
a
v0
加速时间；加速距离
匀速时间；匀速距离
总位移
【例1】(2022·贵州省贵阳一中高三月考)在东京奥运会田径赛场上，中国运动员在100 m的半决赛中取得了9.83 s的好成绩，打破了亚洲纪录，成功挺进了决赛．我们把该运动员的这次比赛简化为匀加速直线运动和匀速直线运动两个阶段，假设该运动员加速了2.83 s，则他加速阶段的加速度大小及匀速阶段的速度大小分别约为( )
A．4.2 m/s2 10.17 m/s
B．3.6 m/s2 10.17 m/s
C．4.2 m/s2 11.88 m/s
D．3.6 m/s2 11.88 m/s【答案】 C
【解析】 该运动员运动的速度－时间图像如图，由图可知x＝eq \f(2.83v,2)＋7v＝100 m，
则v≈11.88 m/s
所以加速阶段的加速度大小为a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(11.88,2.83) m/s2≈4.2 m/s2，故C正确，A、B、D错误
类型5 三倍加速度运动模型
t
O
v
t2
t1
-a2
a1
v1
-v2
（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式：；
（3）特殊结论：若 ,则有 ,
【例1】（2023·高三课时练习）物体从A点由静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，经时间t到达B点，速度大小为，这时突然改为做加速度大小为的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点，速度大小为，求：和。
【答案】，
【详解】根据题意，画出示意图如图所示
以向右为正方向，内总位移为零，由运动学公式有
由运动学公式有
联立解得
【例2】（2022·吉林吉林市·高三期末）由于氢气比氦气廉价，因此市面上销售的基本上都是氢气球，但氢气可能爆炸，所以氦气球相对更安全，某同学用一氦气球悬挂一重物（可视为质点），从地面释放后沿竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动过了一段时间后，悬挂重物的细线断裂，又经过相同的时间，重物恰好落到地面，重物脱落后仅受到重力，重力加速度大小为，下列说法正确的是（ ）
A．细线断裂前氦气球匀加速上升时的加速度大小为
B．细线断裂前重物匀加速上升时的加速度大小为
C．细线断裂时重物的速度大小等于重物落地时速度大小的一半
D．由于条件不足，无法确定细线断裂时重物的速度与落地时的速度的关系
【答案】BC
【详解】
重物先匀加速上升，后竖直上抛，设断裂时的速度为vm，落地时的速度为v，断裂时的高度为h
解得
BC正确，AD错误；
故选BC。
【例3】（2023·浙江台州·高三统考）如图所示，静置于光滑斜面（倾角为）的质量为m的物块，受到沿斜面方向的恒力F的作用，作用时间t后撤去F，再经时间后刚好返回起点，则（ ）
A．F与的比应该为3比7
B．F与的比应该为9比5
C．F与的比应该为7比3
D．F与的比应该为2比3
【答案】B
【详解】向上运动过程有
撤去时物块速度为
向下运动过程有
解得
即有
由于
，
解得
可知
故选B。
【例4】质量为m的小球由空中A点无初速度自由下落，加速度大小为g；在t秒末使其加速度大小变为方向竖直向上，再经过t秒小球又回到A点．不计空气阻力且小球从未落地，则以下说法中正确的是：( )
A．a＝4g B．返回到A点的速率2a
C．自由下落秒时小球的速率为at D．小球下落的最大高度eq \f(2,9)at2
【答案】D
【解析】：根据匀变速运动的规律可知：eq \f(1,2)gt2＝－(gt·t－eq \f(1,2)at2)，解得a＝3g，选项A错误；返回到A点的速率v＝gt－at＝－eq \f(2,3)at，选项B错误；自由下落秒时小球的速率为gt＝eq \f(1,3)at，选项C错误；小球下落t的高度h1＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,6)at2，匀减速减到零时的位移h2＝eq \f(（gt）2,2a)＝eq \f(1,18)at2，故小球下落的最大高度h＝eq \f(1,6)at2＋eq \f(1,18)at2＝eq \f(2,9)at2，选项D正确
【例5】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）一质点从A点做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为，又经过同样的时间到达C点。已知、的距离为、的距离的一半，则与的大小之比可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】由题意可得如图所示，设，则，选A到B方向为正方向，则
从A到B则有
若C点在A点右侧，从B到C，则有
解得
若C点在A点左侧，从B到C，则有
解得
AD错误，BC正确。
故选BC。
题型三 追及相遇问题
【解题指导】1．(1)“慢追快”型：v后＝v前时，Δx最大．追匀减速运动的机车时，注意要判断追上时前车是否已停下．(2)“快追慢”型：v后＝v前时，Δx最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若此时还没追上就追不上了；若此之前追上则是撞上.
在已知出发点的前提下，可由v－t图像“面积”判断相距最远、最近及相遇等情况.
3.基本解题思路是：利用速度相等找位移关系．
【必备知识与关键能力】
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
类型1 变速物体追匀速物体
【例1】（2023·河北沧州·统考一模）在某次军事演习中，歼击机以的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶机。当两者相距时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为的匀加速直线运动，时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的时间不计，发射导弹对歼击机速度无影响。求：
（1）无人靶机被击中前飞行的速度大小；
（2）导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离；
（3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置且要求歼击机到达时速度为零继而悬停在空中。已知歼击机以最大加速度加速后达到最大速度，且歼击机加速和减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击中无人靶机至歼击机到达无人靶机所在位置的最短时间。（结果保留3位有效数字）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意，设靶机速度为，则有
解得
（2）设导弹被发射后经时间与无人靶机速度相等，此时二者间距最大，则有
解得
最大距离为
解得
（3）导弹击中靶机时，歼击机与无人靶机的距离为
经分析可知，导弹击中靶机后，歼击机须先做匀加速直线运动，达到最大速度后再以最大速度做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，且到达歼击机所在位置时的速度为零。设歼击机的最大加速度为
歼击机做匀加速直线运动的位移大小为
歼击机做匀减速直线运动的时间和位移大小分别为
歼击机做匀速直线运动的时间为
所以从歼击机击中靶机至歼击机到达靶机所在位置的最短时间为
类型2 变速物体追变速物体
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，一小汽车停在小山坡底部，突然司机发现山坡上距坡底x1=60m处，因地震产生的小泥石流以v0=4m/s的初速度、a1=0.4m/s2的加速度匀加速倾斜而下，泥石流到达坡底后以a2=0.3m/s2的加速度沿水平地面做匀减速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了t0=2s，设汽车启动后一直以a3=0.5m/s2的加速度，沿与泥石流的同一直线做匀加速直线运动。求：
（1）泥石流到达坡底速度的大小；
（2）泥石流与汽车相距的最近距离。
【答案】（1）8m/s；（2）6m
【详解】（1）设泥石流到达坡底的时间为t1，速度为v1
根据位移公式有
由速度公式有
代入数据得
v1=8m/s
（2）泥石流到达坡底时，汽车速度
汽车位移
当汽车的速度与泥石流速度相等时，泥石流与汽车相距最近
设泥石流到达坡底后汽车又加速时间为t2，故有
泥石流水平位移
汽车位移
相距最近的距离
由以上各式解得
x=6m
【例2】（2023·河北张家口·统考一模）小明和小强玩遥控赛车，他们让两个小车在同一直线上沿同一方向匀速运动，小明的车在前，速度为2m/s，小强的车在后，速度为5m/s。当两小车相距3m时小明和小强同时开始刹车，两玩具车刹车过程均可视为匀变速运动，已知小明的玩具车刹车时加速度大小为1。
（1）如果小强的玩具车刹车的加速度大小为2.5m/s2，求两车的最小距离；
（2）如果两玩具车相距5m时开始刹车，小强的玩具车刹车的加速度大小为2，求整个过程两车的距离s与时间t的关系。
【答案】（1）两小车的最小距离为0；（2）见解析
【详解】（1）设小明的玩具车初速度为，加速度大小为，小强的玩具车初速度为，加速度大小为，运动学公式有
解得
故两车同时停下来，此时两车位移分别为
两车相距
由于开始刹车时两车相距3m，故两小车的最小距离为0。
（2）如果小强的玩具车刹车的加速度大小为2，小强的车停下来的时间为
则在小明的车停下来之前，即0~2s时间内，两车相距
在小明的车停下来之后，即2~2.5s时间内，两车相距
【例3】．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）一列火车和一辆汽车沿同一方向做匀变速直线运动，速度分别为v1和v2。t=0时刻，火车在汽车前方26m处，此后v1、v2在各个时刻的大小如表所示。根据表格中的数据，通过计算求：
（1）经过多长时间两车相遇？
（2）两车初始间距满足什么条件可以相遇两次？
【答案】（1）10s；（2）两车初始间距不大于
【详解】（1）由表格知，火车做匀减速直线运动，加速度为
汽车做匀加速直线运动，加速度为t/s
0
1
2
3
4
5
v1/m•s-¹
16.0
14.0
12.0
10.0
…
…
v2/m•s-¹
4.0
5.0
6.0
7.0
…
…
火车做匀减速直线运动，停下来所用的时间为
火车的位移
该段时间汽车的位移
此时有
故汽车还未追上火车；设经t2时间追上，有
解得
（2）首先，若要相遇两次，一定要汽车在前；其次，考虑临界情况，如果两车达到共速时，正好相遇，由速度相等有
得
t=4s
共同速度为
v=8m/s
该段时间火车位移
汽车位移
此时有
故可知若两车初始间距不大于，则两车可以相遇两次。类型3 体育赛事中的追及问题
【例4】（2023春·河南·高三统考阶段练习）如图，短道速滑接力比赛时，“交棒”的运动员在到达接力地点时，需要推送一下前面“接棒”的队友以完成接力。在某次直道交接训练中，质量为50kg的队员甲以的速度匀速向质量为60kg的队员乙滑来，当甲运动到P点时，乙从Q点开始滑动，乙起滑后到交接前的运动可看做匀加速直线运动，其加速度大小为，甲、乙两人在M点完成交接，交接时间很短。交接前瞬间乙的速度大小是甲的，交接后乙的速度大小为14.6m/s。队员甲完成推送后在水平直道上自然向前滑行了，直至撞上缓冲垫后停下，此过程甲与冰面间的动摩擦因数为，重力加速度的大小g取10m/s2。求：
（1）在直道上，乙在距甲多远的距离处开始滑动；
（2）队员甲撞上缓冲垫时的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设乙开始滑动时与甲之间的距离为x，乙从Q点滑到M点运动的路程为s。对甲有
对乙有
联立以上各式，代入相关已知数据得
（2）甲、乙两人在交接过程中动量守恒，则
代入相关数据解得
甲推送完乙直至刚要接触缓冲垫的过程中，根据动能定理有
代入相关已知数据，求得甲撞上缓冲垫时的速度大小
【例5】．（2023秋·青海海东·高三校考阶段练习）4×100米接力中的交接棒过程会直接影响比赛成绩。甲、乙两名运动员在直跑道上进行交接棒训练，某次训练中，甲在距离接力区前端x0=24m处向乙发出起跑口令，并以10m/s的速度跑完全程，乙在接力区前端听到起跑口令后立即起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。已知乙在起跑加速阶段的第4s内通过的距离为7m，乙从起跑到接棒前做的是匀加速直线运动，接力区的长度为L=20m，求：
（1）乙加速阶段的加速度大小及交接棒时乙的速度大小；
（2）为使甲、乙在速度相等时完成交接棒且保证交接棒时的位置距接力区前端16m，求甲在距离乙多远时发出起跑口令及乙起跑时与接力区前端的距离。
【答案】（1）2m/s2，8m/s；（2）25m，9m
【详解】（1）根据题意，设乙运动员在匀加速阶段的加速度为a，在前3s和前4s内通过的位移分别为x3和x4，根据运动学规律得
则第4s内的位移为
联立可得
设经过时间甲追上乙，则
解得
此刻乙的速度
可得
（2）甲、乙在速度相等时完成交接棒，乙加速度时间为
甲发出起跑口令时距离乙
乙起跑时与接力区前端的距离
【例6】（2023·全国·高三专题练习）重庆市某学校成功举行了秋季田径运动会，高-16班同学小王和小杨在赛前进行了接力赛交接棒的练习。小王、小杨两位同学分别为第四棒和第三棒，小王一小段加速后能保持的速度跑完全程，小杨也能以的速度接力跑，但由于体力原因，离接力区8.5m时，开始以的加速度做匀减速运动，进入接力区后做匀速运动。两人为了确定小王起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，小杨在距离接力区前端d处作了标记，当小杨跑到此标记时向小王发出起跑口令，此后小杨在接力区恰能在两人速度相同时追上小王完成交接棒。已知小王在接力区的前端听到口令且有0.1s的反应时间（忽略声音传播的时间），接力区的长度为，小王起跑后以的加速度做匀加速运动（练习时两人均做直线运动）。求：
(1)小杨追上小王时，小杨的速度大小及此时小王离接力区末端的距离；
(2)标记处离接力区的距离d。
【答案】(1)，；(2)
【详解】(1)由
得，小杨进入接力区的速度
小王离接力区末端的距离为
(2)在接力区内，设小杨经过时间追上小王，根据题意有速度关系
位移关系
解得
，
由题意可知，在小杨进入接力区前，小王的运动时间
乙发出口令的时间到追上经历
乙在接力区前做减速运动的时间是
因此
【例7】．（2023秋·广东韶关·高三校考阶段练习）如图，甲、乙两名运动员在训练2×100m接力赛跑。已知甲、乙两运动员的起跑过程可看成加速度大小为2m/s2的匀加速运动，且经加速后都能达到并保持vm=8m/s的速度跑完全程。已知接力区的长度为L=18m，乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲乙相遇时完成交接棒，假设接棒动作不影响运动员的速度大小。
(1)在某次练习中，甲以vm=8m/s的速度跑到接力区前端s合=12m处时，向乙发出起跑口令，求此次练习中交接棒处离接力区前端的距离；
(2)为了取得最好成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在距离接力区前端多远时对乙发出起跑口令?
(3)若接力区的长度只有L′=9m，他们跑完2×100m全程的最好成绩（从甲起跑开始，至乙到达终点的总时间）是多少?
【答案】(1)4m；(2)16m；(3)27.125s
【详解】(1)设乙起跑后经t时间被追上，则
解得（跑出接力区，舍去），
则
(2)乙从起跑到加速至最大速度时间为t0，则
这段时间内乙的位移
故乙起跑时，与甲的距离为
(3)由于L′＜x0，故不可能在乙达到最大速度时完成接棒。为取得最好成绩，应在接力区末端即乙跑出L′时完成交接棒，设乙此时的速度为v1，由代入数据解得
接棒后，乙继续加速至最大速度，设接棒后乙加速的时间为t2，则有
全程的时间除了甲的加速时间t0、乙接到棒后加速运动的时间t2外，接力棒均在做匀速运动，设接力棒匀速运动的总时间为t3，则有
则有
t′总=t0+t2+t3=27.125s
类型4 图像法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．
【例1】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知国产越野车和自动驾驶车都在同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度从旁边加速驶过，如图所示的粗折线和细折线分别是越野车和自动驾驶车的图线，根据这些信息，可以判断（ ）
A．5s末两车速度均为9m/sB．0时刻之后，两车只会相遇一次
C．20s末两车相遇D．加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的3倍
【答案】AD
【详解】A．由v－t图象可以看出，5s末两车的速度相等，均为
A正确；
BC．0至10s，两图线与坐标轴围成图形的面积相等，由v－t图象的物理意义可知，10s末两车相遇，两车间距变大20s之后两车间距变小，25s后会再相遇一次，BC错误；
D．由v－t图象可知，5s末两车的速度均为9m/s，由9m/s增加到18m/s，越野车所花的时间是自动驾驶车的3倍，根据可知，自动驾驶车的加速度是越野车的3倍，D正确。
故选AD。
【例2】．（2023·全国·模拟预测）某同学用甲、乙两个物块来模拟研究汽车相遇规律问题，下图是他根据运动规律绘制的甲、乙两个物块的运动位移时间图线。已知甲物块的运动图线为一条顶点为的抛物线，乙的运动图线为一过原点的直线。两条图线中其中一个交点坐标为。则下列说法正确的是（ ）
A．时刻甲物块速度为B．甲物块在做匀加速直线运动的加速度为
C．图中甲、乙两个物块再次相遇时刻为
D．如果两个物块只相遇一次，则必有
【答案】CD
【详解】A．由图像可知，乙物块为匀速直线运动，其速度
第一次相遇时，为乙追上甲的情形，因此此时甲的速度应该小于乙速度，故A错误；
B．由题意可知，甲做匀速直线运动，根据
将点坐标代入可求出
故B错误；
C．两个物块相遇条件为抛物线与直线相交，根据题意有
代入可知
故C正确；
D．根据前面的相遇条件可知，当方程
有一个解时即为相遇一次，即二次方程中，解得
故D正确。
故选CD。
【例3】．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）、两质点沿直线轴正方向运动，时，两质点同时到达坐标原点，测得两质点在之后的运动中，其位置坐标与时间的比值（平均速度）随时间变化的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．质点由静止开始做匀加速运动，质点做匀加速直线运动
B．质点做匀加速运动的加速度为
C．时，，第1次相遇
D．质点，有可能第2次相遇
【答案】BC
【详解】AB．对质点a，根据数学知识得
变形得
可得
v0=0.5m/s
a=1.0m/s2
所以质点a做初速度为0.5m/s，加速度为1.0m/s2的匀加速运动；
由图知，对于b有
则b做速度为1.0m/s的匀速直线运动，故A错误，B正确；
CD．由图知，t=1s时，两者相等，时间相同，则位移x相等，初位置相同，所以t=ls时，a、b再次到达同一位置，在t=1s时，a的速度
此时b的速度为1.0m/s，以后a的速度始终大于b的速度，可知ab不可能再次相遇，故C正确，D错误；
故选BC。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示；以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点，以甲车速度方向为正方向，乙车的位置随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在x＝30m处的抛物线的一部分。下列说法正确的是（ ）
A．乙车在做匀变速直线运动，加速度大小为4.5m/s2B．当t＝2s，乙车在甲车前方10m处
C．当t＝4s，两车速度大小相等D．在0~7s内，两车共相遇两次
【答案】CD
【详解】A．乙车做初速度为零的匀加速直线运动，根据运动学公式及图乙中数据可知，乙车的加速度
故A错误；
B．由图像的斜率可得甲车的加速度大小为
t=0时，甲车在处，乙车在处，t＝2s时，甲车的位置
乙车的位置
即两车在t＝2s时相遇，故B错误；
C．t＝4s时，甲车的速度
乙车的速度
故C正确；
D．t＝2s时甲车追上乙车，t1＝7s时甲车的位置
乙车的位置
所以在0~7s内，两车共相遇两次，故D正确。
故选CD。
【例5】．（2023·甘肃·统考二模）假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前乙车在后，速度均为。甲、乙两车相距，在时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是（ ）
A．0~3s内两车间距逐渐增大
B．时两车距离最近，且最近距离为10m
C．6~9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大
D．两车在0~9s内会相撞
【答案】BC
【详解】A．由图可知0~3s内，甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动，初速度相等，则两车间距逐渐减小，故A错误；
B．根据题意作出两车的速度时间图象，如图：
由图可知时两车速度相等，阴影部分面积代表0~6s内两车的位移差为
所以最近距离为10m，故B正确
CD．由图可看出6~9s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，由于6s时甲在前距离乙车10m的位置，所以在0~9s内两车不会相撞，故C正确，D错误；故选BC。
【例6】．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）张卫和黄亮精准遥控小车A和B沿百米直线跑道正对着行进，取小车A的出发点为坐标原点，小车A的运动方向为正方向建立x轴，两小车的图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．两小车若同时出发，一定不会在图像交点处相遇
B．两小车若不同时出发，一定会在图像交点处相遇
C．A车匀加速，B车匀减速，且加速度大小分别为和
D．A车匀加速，B车匀减速，且加速度大小分别为和
【答案】A
【详解】两小车沿跑道正对着行进，即B在100m处出发，由图像可知，两车都做匀加速运动，根据图像可求得两车加速度大小分别为
故CD错误；
由图像可知，两车都做初速度为零的匀加速直线运动，所以若两车同时出发，相遇时有
可得
所以一定不在图线相交处相遇，故A正确；
两小车若不同时出发，因为不知道那辆车先出发，所以相遇的位置无法判断，故B错误。
故选A。
类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题
【例1】（2023·广东·高三统考学业考试）如图，在车厢长度的小货车上，质量、厚度的冰块用绳绑住并紧贴车厢前端，与货车一起以的速度沿坡度为5%（即斜面倾角θ满足，，）的斜坡向上行动。 某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。 已知冰块与车厢底板间动摩擦因数，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取重力加速度。
（1）求从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离；
（2）若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，求a的最大值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）冰块滑向尾部的过程中做匀减速运动，对其加速度大小有
解得
冰块滑到尾挡板经过的时间为，该段时间内冰块位移为
，
货车的位移为
根据位移关系有
联立解得
所以从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离为
（2）冰块滑到尾挡板时的速度为
此时冰块速度与货车速度方向相同，相对车厢速度为，方向沿车厢向下；根据题意冰块与尾挡板发生碰撞后相对车厢等速反弹，故反弹后冰块的速度沿车厢向上，故可知此时速度为，此时冰块沿车厢向上做匀减速运动的加速度大小为，有
解得
若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端刚好不发生碰撞，此时加速度为最大值，设货车刹车的时间为，冰块从反弹到刚好到达车厢前端时间内货车的位移为
冰块从反弹到刚好到达车厢前端时的位移为
到达车厢前端时冰块和货车速度相同，有
位移关系有
联立解得
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以和的速度在限速的路面上匀速行驶，其中甲车车身长、货车车身长，某时刻货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为，假定货车速度保持不变，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度，求：
（1）甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间（结果保留2位小数）；
（2）一般情况下，汽车时速超过限速不到的，仅给予警告，不予扣分和罚款。若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者车头相距，乙车速度为，甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析，甲车在不被扣分和罚款的前提下，能否安全超车？若甲车不能安全超车，则乙车至少以多大的加速度减速才能使甲车安全超车？
【答案】（1）；（2）不能，
【详解】（1）甲车初速度为
货车速度为
公路限速为
甲车速度从v1加速至vm所用时间为
该段时间内甲车和货车的位移分别为
因为
所以甲车加速至vm后还需要匀速行驶一段时间才能完成超车，该时间为
则甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间为
（2）假设甲车在超车过程中一直加速，设超车时间为t3，根据位移关系有
解得
超车完毕时甲车速度为
乙车初速度为
t3时间内甲、乙两车行驶的路程之和为
所以甲车在不被扣分和罚款的前提下不能安全超车，若要甲车能够安全超车，乙车在t3时间内行驶的路程最大值为
此时对应乙车刹车的加速度最小，则
解得
【例3】．（2023秋·广东·高三统考阶段练习）如图所示，某路面由斜坡AB和水平路面BC两部分组成，斜坡与水平面的夹角，一质量为M的卡车正沿斜坡AB往下运动，此时水平路而上有多辆质量为m的小汽车正以m/s的速度匀速行驶，它们之间的距离均为m。已知卡车和小汽车在各路面上行驶时受到的摩擦力均为正压力的0.2倍，，重力加速度，忽略车辆本身长度，，。当卡车以m/s的速度行驶至距离斜坡底端m的A点时，突然出现故障失去控制。
（1）为避免发生交通事故，卡车发生故障时，在水平路面上行驶的小汽车距离斜坡底端至少多远？
（2）若卡车发生故障时，与卡车距离最近的小汽车恰好位于斜坡的底端B，则卡车最多会与几辆小汽车发生连环碰撞？（假设所有碰撞为一维完全非弹性碰撞，且小汽车一旦发生碰撞会立即失去控制）
【答案】（1）64m；（2）2
【详解】（1）对卡车，根据牛顿第二定律有
解得
设卡车到达斜面底端的速度为，由运动学公式
解得
运动时间
在水平路面上，设卡车的加速度大小为，由牛顿第二定律得
可得
设经过，卡车和小汽车速度相等
得
为避免相撞，卡车发生故障时，在水平路面上行驶的小汽车距离斜坡底端至少为
解得
（2）设卡车由斜坡底端第一次追上小汽车用时，碰撞前后卡车的速度分别为和，则
解得
卡车与小汽车发生第一次碰撞，根据动量守恒定律
解得
设卡车从第一次碰撞到第二次碰撞时间为，第二次碰撞前后卡车的速度分别为和，则
解得
卡车与小汽车发生第二次碰撞，由动量守恒定律得
解得
设经过，卡车与小汽车的速度相等
解得
此时卡车位移
因为
所以卡车不会再与小汽车相撞，最多只会与2辆汽车相撞。
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