2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题06牛顿运动定律的综合应用(原卷版+解析)

这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题06牛顿运动定律的综合应用(原卷版+解析)，共115页。试卷主要包含了动力学中的连接体问题，动力学中的临界和极值问题，动力学中的图像问题，“传送带”模型问题，“滑块－木板”模型问题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19674" 题型一 动力学中的连接体问题 PAGEREF _Tc19674 \h 1
\l "_Tc8142" 类型1 共速连接体---力的“分配” PAGEREF _Tc8142 \h 2
\l "_Tc14555" 类型2 关联速度连接体 PAGEREF _Tc14555 \h 7
\l "_Tc12519" 题型二 动力学中的临界和极值问题 PAGEREF _Tc12519 \h 12
\l "_Tc21593" 类型1 板块模型中相对滑动的临界问题 PAGEREF _Tc21593 \h 12
\l "_Tc1971" 类型2 恰好脱离的动力学临界问题 PAGEREF _Tc1971 \h 17
\l "_Tc4933" 类型3 动力学中的极值问题 PAGEREF _Tc4933 \h 24
\l "_Tc17310" 题型三 动力学中的图像问题 PAGEREF _Tc17310 \h 28
\l "_Tc11669" 类型1 通过F-t、F-x图像分析运动情况 PAGEREF _Tc11669 \h 28
\l "_Tc25115" 类型2 通过v-t、a-t图像分析受力情况 PAGEREF _Tc25115 \h 33
\l "_Tc762" 类型3 通过a-F图像分析力与运动的关系 PAGEREF _Tc762 \h 36
\l "_Tc25588" 题型四 “传送带”模型问题 PAGEREF _Tc25588 \h 41
\l "_Tc14705" 类型1 动力学中水平传送带问题 PAGEREF _Tc14705 \h 42
\l "_Tc17962" 类型2 动力学中的倾斜传送带问题 PAGEREF _Tc17962 \h 46
\l "_Tc21793" 类型3 传送带中的动力学图像 PAGEREF _Tc21793 \h 54
\l "_Tc13000" 题型五 “滑块－木板”模型问题 PAGEREF _Tc13000 \h 60
\l "_Tc15459" 类型1 滑块带动木板 PAGEREF _Tc15459 \h 61
\l "_Tc12626" 类型2 滑板带动滑块 PAGEREF _Tc12626 \h 67
\l "_Tc28913" 类型3 斜面上的板块问题 PAGEREF _Tc28913 \h 73
题型一 动力学中的连接体问题
【解题指导】1．同一方向的连接体问题：这类问题通常具有相同的加速度，解题时一般采用先整体后隔离的方法.
不同方向的连接体问题：由跨过定滑轮的绳相连的两个物体，不在同一直线上运动，加速度大小相等，但方向不同，也可采用整体法或隔离法求解．
【核心总结】1．连接体
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体．连接体一般(含弹簧的系统，系统稳定时)具有相同的运动情况(速度、加速度)．
2．常见的连接体
(1)物物叠放连接体：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和加速度
速度、加速度相同
(2)轻绳连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等．
速度、加速度相同
速度、加速度大小相等，方向不同
(3)轻杆连接体：轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度．
速度、加速度相同
(4)弹簧连接体：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度、加速度不一定相等；在弹簧形变最大时，两端连接体的速度、加速度相等．
3．整体法与隔离法在连接体中的应用
(1)整体法
当连接体内(即系统内)各物体的加速度相同时，可以把系统内的所有物体看成一个整体，分析其受力和运动情况，运用牛顿第二定律对整体列方程求解的方法．
(2)隔离法
当求系统内物体间相互作用的内力时，常把某个物体从系统中隔离出来，分析其受力和运动情况，再用牛顿第二定律对隔离出来的物体列方程求解的方法．
(3)处理连接体方法
①共速连接体，一般采用先整体后隔离的方法．如图所示，先用整体法得出合力F与a的关系，F＝(mA＋mB)a，再隔离单个物体(部分物体)研究F内力与a的关系，例如隔离B，F内力＝mBa＝eq \f(mB,mA＋mB)F
②关联速度连接体
分别对两物体受力分析，分别应用牛顿第二定律列出方程，联立方程求解．
类型1 共速连接体---力的“分配”
两物块在力F作用下一起运动，系统的加速度与每个物块的加速度相同，如图：
地面光滑
m1、m2与地面间的动摩擦因数相同，地面粗糙

m1、m2与固定粗糙斜面间的动摩擦因数相同，
以上4种情形中，F一定，两物块间的弹力只与物块的质量有关且F弹＝eq \f(m2,m1＋m2)F.
【例1】(多选)(2023·山西大同市第一次联考)如图所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块紧靠在一起放在倾角为θ的斜面上，两物块与斜面间的动摩擦因数相同，用始终平行于斜面向上的恒力F推A，使它们沿斜面向上匀加速运动，为了增大A、B间的压力，可行的办法是( )
A.增大推力F B.减小倾角θ
C.减小B的质量 D.减小A的质量
【例2】（2023·广东·模拟预测）如图所示，2023个完全相同的小球通过完全相同的轻质弹簧（在弹性限度内）相连，在水平拉力F的作用下，一起沿水平面向右运动，设1和2之间弹簧的弹力为，2和3之间弹簧的弹力为，……，2022和2023之间弹簧的弹力为，则下列说法正确的是（ ）
A．若水平面光滑，从左到右每根弹簧长度之比为1∶2∶3∶…∶2021∶2022
B．若水平面粗糙，撤去F的瞬间，第2000号小球的加速度不变
C．若水平面光滑，
D．若水平面粗糙，
【例2】.（2023·全国·二模）如图所示，倾角为的粗糙斜面上有4个完全相同的物块，在与斜面平行的拉力F作用下恰好沿斜面向上做匀速直线运动，运动中连接各木块间的细绳均与斜面平行，此时第1、2物块间细绳的张力大小为，某时刻连接第3、4物块间的细绳突然断了，其余3个物块仍在力F的作用下沿斜面向上运动，此时第1、2物块间细绳的张力大小为，则等于（ ）
A．B．C．D．1：1
【例3】．（2023春·湖南常德·汉寿县第一中学校考阶段练习）如图所示，5块质量均为m的木块并排放在水平地面上，编号为3的木块与地面间的动摩擦因数为，其他木块与地面间的动摩擦因数为，当用水平力F推第1块木块使它们共同加速运动时，下列说法正确的是（ ）
A．由右向左，两块木块之间的摩擦力依次变小
B．木块加速度为0.2m/s2
C．第2块木块与第3块木块之间的弹力大小为0.90F
D．第3块木块与第4块木块之间的弹力大小为0.38F
【例4】．（2023春·江西上饶·江西省余干中学校考阶段练习）中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际抗疫贡献了中国力量。某运送防疫物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第2节车厢对最后一节车厢的牵引力为（ ）
A．FB．C．D．
类型2 关联速度连接体
【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考期中）如图所示，物体A质量为4kg，物体B质量为1kg，不计一切摩擦和绳的重力，当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【例2】(2023年四省联考)如图（a），足够高的水平长桌面上，P点左边光滑，右边粗糙，物块A在砝码B的拉动下从桌面左端开始运动，其图如图（b）所示，已知砝码质量为，重力加速度大小g取，求
（1）物块A的质量；
（2）物块A与P点右边桌面间的动摩擦因数。
【例3】（2023春·广东茂名市第一中学校考期中）质量分别为M和m的物块形状大小均相同，将它们通过轻绳和光滑定滑轮连接，如图甲所示，绳子在各处均平行于倾角为α的斜面，M恰好能静止在斜面上。若互换两物块位置，按图乙放置，然后释放M，斜面仍保持静止。则下列说法正确的是（不考虑两物块与斜面之间的摩擦）（ ）
A．轻绳的拉力等于MgB．轻绳的拉力等于mg
C．M运动加速度大小为D．M运动加速度大小为
【例4】．（2023春·北京东城·北京二中校考期中）如图所示三个装置，（）中桌面光滑，（）、（）中桌面粗糙程度相同，（）用大小为的力替代重物进行牵引，其余均相同。不计绳和滑轮质量及绳与滑轮摩擦，都由静止释放，在移动相同距离的过程中，下列关于三个实验装置的分析中，正确的是（ ）
A．装置（）的动能增加量大于（）中的动能增加量
B．装置（）中物块的加速度为
C．装置（）、（）中物块的动能增加量相同
D．装置（）中绳上的张力小于装置（）中绳上的张力
【例5】（2023秋·甘肃天水·统考期末）如图所示的装置叫作阿特伍德机，是阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律。绳子两端的物体下落（或上升）的加速度总是小于自由落体的加速度g。已知物体A、B的质量相等，均为4m，物体C的质量为2m，一切摩擦不计，轻绳不可伸长且足够长，现将装置从静止释放。下列说法正确的是（ ）
A．物体C的加速度为
B．物体C的加速度为
C．物体C对B的拉力为
D．物体C对B的拉力为
题型二 动力学中的临界和极值问题
【解题指导】1．直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a相同、FN＝0.
2.靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态.
3.极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程
4.数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值．
【核心归纳】1．常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件：FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0.
2．解题基本思路
(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；
(2)寻找过程中变化的物理量；
(3)探索物理量的变化规律；
(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．3．解题方法
类型1 板块模型中相对滑动的临界问题
【例1】【多选】（2023春·内蒙古·高三校联考阶段练习）如图所示，质量分别为和m的A、B两物块，静止叠放在水平地面上。A、B间的动摩擦因数为，B与地面间的动摩擦因数为。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对B施加一水平拉力F，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，A、B都相对地面静止
B．当时，A、B间相对滑动
C．当时，B的加速度等于
D．无论F为何值，A的加速度不会超过
【例2】．【多选】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）如图甲所示，粗糙的水平地面上有一块长木板P，小滑块Q（可视为质点）放置于长木板上的最右端。现将一个水平向右的恒力F作用在长木板的右端，让长木板从静止开始运动，后撤去力F。滑块、长木板的速度图像如图乙所示，已知物块与长木板的质量相等，均为，滑块Q始终没有从长木板P上滑下，重力加速度。则下列说法正确的是（ ）
A．时长木板P停下来B．长木板P的长度至少是
C．地面与长木板P之间的动摩擦因数是0.075D．恒力F等于
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲，水平地面上有一长木板，将一小物块放在长木板上，给小物块施加一水平外力F，通过传感器分别测出外力F大小和长木板及小物块的加速度a的数值如图乙所示。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则以下说法正确的是（ ）极限法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法
将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
A．小物块与长木板间的动摩擦因数B．长木板与地面间的动摩擦因数
C．小物块的质量D．长木板的质量
【例4】(多选)如图甲所示，足够长的木板B静置于光滑水平面上，其上放置小滑块A，滑块A受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出滑块A的加速度a，得到如图乙所示的a－F图像，A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．滑块A的质量为4 kg
B．木板B的质量为2 kg
C．当F＝10 N时滑块A加速度为6 m/s2
D．滑块A与木板B间动摩擦因数为0.2
类型2 恰好脱离的动力学临界问题
连接体恰好脱离满足两个条件
(1)物体间的弹力FN＝0；
(2)脱离瞬间系统、单个物体的加速度仍相等．
【例1】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）如图A、B两物体相互接触，但并不粘合，放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略，两个物体的质量分别为，。从开始，推力FA和分别作用与AB上，和随时间的变化规律为，，关于两个物体的运动。以下说法正确的是（ ）
A．经过，两物体将分离
B．经过1.5s，两物体将分离
C．A对B的弹力做功的功率一直增大D．A对B的弹力做功的功率最大值为2W
【例2】【多选】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，在水平地面上有一倾角为θ，表面光滑的斜面体。在斜面体顶端固定一与斜面垂直的挡板，用质量不计的细线系着一个质量为m的小球。现对斜面体施加一水平方向的外力F，使斜面体做加速度大小为a的匀加速直线运动。已知，重力加速度大小为g，则（ ）
A．若斜面体以加速度向右加速运动时，小球对滑块压力为零
B．若斜面体以加速度向右加速运动时，线中拉力为
C．当斜面体以加速度向右加速运动时，线中拉力为
D．当斜面体以加速度向左加速运动时，线中拉力为零
【例3】【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止，现用大小等于0.8mg的恒力F向上拉B，当运动距离为h时B与A恰好分离（ ）
A．弹簧的劲度系数等于
B．B和A刚分离时，弹簧为原长
C．B和A刚分离时，B和A的加速度相同
D．从开始运动到B和A刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减小
【例4】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）质量均为m的甲、乙两物块，中间连接一根劲度系数为k的轻弹簧，如图所示，把甲放在水平面上，系统处于静止状态。现给乙施加一个竖直向上的拉力，使乙向上做匀加速直线运动，加速度大小为g（g为重力加速度大小），下列说法正确的是（ ）
A．乙刚要运动时，竖直向上的拉力大小为2mg
B．从乙刚开始运动到甲刚要离开水平面时，乙的位移大小为
C．当弹簧处于原长时，竖直向上的拉力大小为3mg
D．甲刚要离开水平面时，乙的速度大小为g
类型3 动力学中的极值问题
【例1】【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，质量m=1kg物体以初速度滑上足够长的斜面。已知物体与斜面之间的动摩擦因数。调节斜面与水平方向的夹角从零开始增大到90°，发现物体沿斜面向上的最大位移x先减小后增大，重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，物体的最大位移为2.4m
B．当时，物体达到最大位移后，将保持静止
C．当时，物体的最大位移具有最小值
D．当时，物体克服摩擦力做功18J
【例2】．（2023·湖南怀化·高三校考阶段练习）如图甲所示，将某一物块每次以不变的初速率沿足够长的斜面向上推出，调节斜面与水平方向的夹角，实验测得物块运动的最远位移x与斜面倾角的关系如图乙所示，g取，则（ ）
A．物块的初速度为2m/s
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.4
C．物块沿斜面上滑的最大加速度为gD．物块沿斜面上滑的最小距离为
【例3】如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度v0＝10 m/s沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．
【例4】如图所示，将质量m＝1 kg的圆环套在固定的足够长的直杆上，杆的倾角为30°，环的直径略大于杆的截面直径．对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹角为30°、大小为10eq \r(3) N的拉力F，使圆环由静止开始沿杆加速向上运动，已知环与杆间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),2)，g＝10 m/s2，则：
(1)F作用t＝2 s时圆环的速度是多大？
(2)2 s后撤去力F，求圆环继续沿杆上滑的最大距离是多少？
题型三 动力学中的图像问题
【解题指导】1．两类问题：一类问题是从图像中挖掘信息，再结合题干信息解题；另一类是由题干信息判断出正确的图像.2.两种方法：一是函数法：列出所求物理量的函数关系式，理解图像的意义，理解斜率和截距的物理意义；二是特殊值法：将一些特殊位置或特殊时刻或特殊情况的物理量值与图像对应点比较．
【核心归纳】1．“两大类型”
(1)已知物体在某一过程中所受的合力(或某个力)随时间的变化图线，要求分析物体的运动情况．
(2)已知物体在某一过程中速度、加速度随时间的变化图线．要求分析物体的受力情况．
2．“一个桥梁”：加速度是联系v ­t图象与F­t图象的桥梁．
3．解决图象问题的方法和关键
(1)分清图象的类别：分清横、纵坐标所代表的物理量，明确其物理意义，掌握物理图象所反映的物理过程，会分析临界点．
(2)注意图象中的一些特殊点所表示的物理意义：图线与横、纵坐标的交点，图线的转折点，两图线的交点等表示的物理意义．
(3)明确能从图象中获得哪些信息：把图象与物体的运动情况相结合，再结合斜率、特殊点、面积等的物理意义，确定从图象中得出的有用信息．这些信息往往是解题的突破口或关键点．类型1 通过F-t、F-x图像分析运动情况
【例1】（2023·内蒙古包头·统考二模）用水平力F拉静止在水平桌面上的小物块，F大小随时间的变化如图甲所示，物块的加速度a随时间变化的图像如图乙所示，最大静摩擦力大于滑动摩擦力，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．物块的质量为
B．最大静摩擦力为
C．若在时撤去水平拉力，物块还可以继续滑行
D．若在时撤去水平拉力，物块还可以继续滑行
【例2】（2023秋·广东广州·广州市第二中学校考期末）如图甲所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接一质量为1kg 的物体，物体处于静止状态。用一竖直向上的外力F 作用于物体上，物体从静止开始竖直向上做一段匀加速直线运动，外力F 与物体离开静止位置的位移x 的关系如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度。下列说法正确的是（ ）
A．物体运动的加速度大小为
B．弹簧开始时形变量为4cm
C．弹簧的劲度系数为200N/m
D．从物体开始运动时计时，当t=0. 1s时弹簧的形变量为3cm
【例3】（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，质量为m的物块在水平力F的作用下可沿竖直墙面滑动，水平力F随时间t变化的关系图像如图乙所示，物块与竖直墙面间的动摩擦因数为μ，物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，竖直墙面足够高，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．物块一直做匀加速直线运动
B．物块先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动
C．物块的最大速度为
D．时，物块停止下滑
【例4】．（2023春·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校联考期中）地震引起的海啸会给人们带来巨大的损失。某中学的部分学生组成了一个课题小组，对海啸的威力进行了模拟研究，他们设计了如下的模型：如图甲所示，在水平地面上放置一个质量为的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力（模拟海啸）作用下运动，推力F随位移x变化的图像如图乙所示，已知物体与地面之间的动摩擦因数为，重力加速度g取，忽略空气阻力，则（ ）
A．运动过程中物体的最大加速度为
B．物体在水平地面上运动的最大位移是50m
C．整个过程中摩擦力对物体做功1kJ
D．在距出发点5.0m位置时物体的速度达到最大
类型2 通过v-t、a-t图像分析受力情况
【例1】（2023秋·山东聊城·统考期末）如图甲所示，一质量的小物块以一定的初速度冲上一倾角为37°的足够长的斜面，某同学利用传感器测出了小物块冲上斜面过程中多个时刻的瞬时速度，并用计算机作出了小物块上滑过程中的图线，如图乙所示。（sin37°=0.6，cs37°=0.8，g=10m/s2）则下列说法正确的是（ ）
A．小物块冲上斜面过程中加速度的大小为8.0m/s2
B．小物块在斜面上滑行的最大位移为8m
C．小物块与斜面间的动摩擦因数为0.25
D．小物块在上滑过程中所受摩擦力大小为5N
【例2】.（2023春·全国·高三校联考阶段练习）如图甲所示，质量为的物体受水平拉力作用，在粗糙水平面上做初速度为零的加速直线运动，其图像如图乙所示，物体与地面之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取，则（ ）
A．水平拉力随时间的变化关系
B．时，物体的速度大小为
C．在内，合力对物体做功为
D．在内，拉力F对物体的冲量大小为
【例3】(2022·宁夏银川模拟)将一个质量为1 kg的小球竖直向上抛出，最终落回抛出点，运动过程中所受阻力大小恒定，方向与运动方向相反．该过程的v ­t图象如图所示，g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．小球所受重力和阻力之比为6∶1
B．小球上升与下落所用时间之比为2∶3C．小球回落到抛出点的速度大小为8eq \r(6) m/s
D．小球下落过程，受到向上的空气阻力，处于超重状态
【例4】如图甲所示，广州塔，昵称小蛮腰，总高度达600米，游客乘坐观光电梯大约一分钟就可以到达观光平台。若电梯简化成只受重力与绳索拉力，已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a－t 图像如图乙所示。则下列相关说法正确的是( )
A.t＝4.5 s时，电梯处于失重状态
B.5～55 s时间内，绳索拉力最小
C.t＝59.5 s时，电梯处于超重状态
D.t＝60 s时，电梯速度恰好为零
类型3 通过a-F图像分析力与运动的关系
【例1】(多选)如图甲所示，一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置一质量为m的小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出其加速度a，得到如图乙所示的a­F图象．g取10 m/s2.则下列说法正确的是( )
A．滑块的质量m＝4 kg
B．木板的质量M＝4 kg
C．滑块与木板间动摩擦因数为0.1
D．当F＝8 N时滑块加速度为2 m/s2
【例2】（2023春·山东济宁·校考阶段练习）如图（a），一水平外力F作用在物体上，使物体静止在倾角为θ的光滑斜面上，逐渐增大F，物体做变加速运动，其加速度a随外力变化的图像如图（b）所示。重力加速度g取10m/s2。根据图（b）判断，下列说法正确的是（ ）
A．物体的质量m=2kg
B．斜面的倾角θ=53°
C．加速度为时力F的大小为25N
D．物体静止在斜面上时，水平外力的大小为F=15N
【例3】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）一个质量为m小物体，静止在水平地面上。当受到一个水平外力F作用时，物体会静止或做加速直线运动。随着水平外力大小变化，其加速度a也随之发生改变。如图是a和F的变化关系图像（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取），则（ ）
A．物体质量1kg
B．物体所受滑动摩擦力大小为2N
C．该图像斜率表示物体的质量
D．当时，物体的加速度大小为2m/s2
【例4】．（2023秋·吉林长春·长春市第五中学校考期末）如图甲所示，地面上有一质量为M的重物，用力F向上提它，力F变化而引起物体加速度变化的函数关系如图乙所示，则以下说法中正确的是（ ）
A．当F小于图中A点值时，物体的重力Mg>F，物体不动
B．图中A点值即为物体的重力值
C．物体向上运动的加速度和力F成正比
D．图线延长线和纵轴的交点B的数值等于该地的重力加速度
【例5】．（2023春·陕西西安·西安市铁一中学校考期中）物体A、B都静止在同一水平面上，它们的质量分别是和，与水平面之间的动摩擦因数分别为和，用平行于水平面的力分别拉物体A、B得到加速度和拉力的关系图像分别如图中A、B所示，已知，利用图像可求出A、B两物体与水平面之间的动摩擦因数和的数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型四 “传送带”模型问题
【解题指导】1．水平传送带问题：求解的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断．物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻.2.倾斜传送带问题：求解的关键在于分析清楚物体与传送带的相对运动情况，从而确定其是否受到滑动摩擦力作用．当物体速度与传送带速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变．
【必备知识】1．水平传送带
2．倾斜传送带情景
滑块的运动情况
传送带不足够长
传送带足够长
一直加速
先加速后匀速
v0v0v0>v时，一直减速
v0>v时，先减速再匀速
滑块一直减速到右端
滑块先减速到速度为0，后被传送带传回左端．
若v0v返回到左端时速度为v.
类型1 动力学中水平传送带问题
【例1】 (2022·山东枣庄市第二次模拟)某工厂检查立方体工件表面光滑程度的装置如图2所示，用弹簧将工件弹射到反向转动的水平皮带传送带上，恰好能传送到另一端是合格的最低标准。假设皮带传送带的长度为10 m、运行速度是8 m/s，工件刚被弹射到传送带左端时的速度是10 m/s，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.工件与皮带间动摩擦因数不大于0.32才为合格
B.工件被传送到另一端的最长时间是2 s
C.若工件不被传送过去，返回的时间与正向运动的时间相等
D.若工件不被传送过去，返回到出发点的速度为10 m/s
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行，初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v-t图像（以地面为参考系）如图乙所示，已知v2>v1，则（ ）情景
滑块的运动情况
传送带不足够长
传送带足够长
一直加速(一定满足关系gsin θ<μgcs θ)
先加速后匀速
一直加速(加速度为gsin θ＋μgcs θ)
若μ≥tan θ，先加速后匀速
若μv0若μ≥tan θ，先加速后匀速；若μv0>v时，一直减速(加速度为gsin θ－μgcs θ)
若μ≥tan θ，先减速后匀速；若μ
(摩擦力方向一定沿斜面向上)
gsin θ>μgcs θ，一直加速；
gsin θ＝μgcs θ，一直匀速
gsin θ<μgcs θ，一直减速
先减速到速度为0后反向加速到原位置时速度大小为v0(类竖直上抛运动)
A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C．0~t2时间内，小物块受到的摩擦力方向一直向右
D．0~t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，水平放置的传送带在电机的作用下以=4m/s的速度顺时针转动，两轮轴心间距为L=5m。质量为m=0.5kg的物块（视为质点），从左轮的正上方以速度水平向右滑上传送带后物块与传送带的v-t图像如图乙所示，经过时间t0从右轮的正上方离开传送带，物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度取g=10m/s2，物块在传送带上运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块在传送带上运动时先受滑动摩擦力再受静摩擦力
B．物块在传送带上运动的时间为t0=1s
C．物块滑上传送带的速度=6m/s
D．物块与传送带之间的相对位移为
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）快递分拣站利用传送带可以大幅提高分拣效率，其过程可以简化为如图所示的装置，水平传送带长为L，以一定的速度顺时针匀速运动，工作人员可以一定的初速度将快递箱推放到传送带左端。若快递箱被从左端由静止释放，到达右端过程中加速时间和匀速时间相等，快递箱可视为质点，快递箱与传送带间的动摩擦因数，g取，则（ ）
A．传送带长L为B．若，全程快递箱在传送带上留下的痕迹长为
C．若，则全程快递箱的路程与传送带的路程之比为
D．若仅将传送带速度增大为原来的2倍，则快递箱先匀加速运动再匀速运动
类型2 动力学中的倾斜传送带问题
【解题要点】1．求解传送带问题的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析与判断．
2．临界状态：当v物＝v带时，摩擦力发生突变，物体的加速度发生突变．
3．滑块与传送带的划痕长度Δx等于滑块与传送带的相对位移的大小，若有两次相对运动且两次相对运动方向相同，Δx＝Δx1＋Δx2(图甲)；若两次相对运动方向相反，Δx等于较长的相对位移大小．(图乙)
【例1】（2023·山西·校联考模拟预测）如图所示，有一条传送带与水平面的夹角，传送带以的速度匀速运动。现将一小物块轻放在最高点A，经过时间t小物块运动到最低点B。已知A、B之间的距离为，物块与传送带之间的动摩擦因数，小物块可看做质点，重力加速度g取，。则小物块从A到B的时间可能是（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）如图所示，倾角为37°的传送带以速度逆时针匀速传动，小滑块（视为质点）以平行于传送带的初速度从顶端滑上传送带，经过滑块滑到传送带的底端，在此过程中，滑块的平均速度为，重力加速度g取，、，下列说法正确的是（ ）。
A．传送带转轴中心间的距离为
B．滑块与传送带之间的动摩擦因数为0.8
C．当滑块向上运动到两轮间的中点位置时速度大小正好为，则滑块在上升过程中经历的总时间为
D．若，则滑块在传送带上运动的整个过程中，滑块与传送带的相对位移为
【例3】（2022秋·陕西安康·高三统考阶段练习）如图所示，一传送带与水平面之间的夹角为，在电动机的带动下，传送带以速度沿顺时针方向稳定运行，现让一物块（视为质点）从传送带的底端以速度冲上传送带，当物块运动到传送带的顶端时速度刚好为0，物块与传送带之间的动摩擦因数为，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．与之间的关系为
B．物块在做减速运动的过程中，加速度不变
C．物块与传送带在速度相等前后，加速度的大小之差为
D．共速前物块在传送带上的划痕长度一定等于物块位移大小的一半
【例4】．（2022秋·贵州黔南·高三统考期中）如图所示，机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。以恒定速率运行的传送带与水平面间的夹角，转轴间距L＝3.95m。工作人员沿传送方向以速度从传送带顶端推下一件小包裹（可视为质点）。包裹与传送带间的动摩擦因数。重力加速度g取，，。则该小包裹（ ）
A．相对传送带滑动时加速度的大小为B．通过传送带的时间为4.5s
C．在传送带上滑动的距离为2.75mD．到达传带底端时的速度为0
【例5】（2023春·四川·高三统考阶段练习）如图所示，一足够长的传送带倾斜放置，倾角，以恒定速率顺时针转动。一煤块以初速度从A端冲上传送带，煤块与传送带之间动摩擦因数，取。下列说法正确的是（ ）
A．煤块冲上传送带后经1s与传送带速度相同
B．煤块向上滑行的最大位移为8m
C．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为5s
D．煤块在传送带上留下的痕迹长为
类型3 传送带中的动力学图像
【例1】（2023·全国·二模）如图1所示，一倾角为的传送带以恒定的速率逆时针转动。将两个不同的物块A、B轻轻并排放在传送带上，二者并不接触（图中只显示一个物块）。以平行于传送带向下的方向为正方向，两物块的速度—时间图像如图2所示。不计空气阻力，重力加速度g取，，。关于两物块在传送带上的运动，下列说法正确的是（ ）
A．传送带的速度的大小为
B．传送带与物块B间的动摩擦因数为0.75
C．在内，两物块与传送带间产生的热量相等
D．后，若物块A在传送带上运动的时间少于，则A、B间的最大距离就不会变
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）为了保证乘客的安全，通常情况下在进入火车站前应对旅客携带的物品安检，安检时将物品无初速度地放到沿水平方向向右传送的运输带一端，已知运输带以恒定的速度匀速传动，如图甲所示，整个过程中物品的速度随时间的变化规律如图乙所示。物品可视为质点，且质量为，运输带两端相距，经测量该物品在运输带上留下了一条长为的划痕，重力加速度g取。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，物品始终受到向右的摩擦力
B．物品与运输带间的动摩擦因数为0.25
C．运输带对物品摩擦力的冲量大小为
D．整个过程因传送该物品多消耗的电能为
【例3】（2023·重庆·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）如图甲所示，倾角为的传送带以恒定速率逆时针运行，现将一质量为的煤块轻轻放在传送带的A端，煤块的速度随时间变化的关系如图乙所示，末煤块到达端，取沿传送带向下为正方向，取，则（ ）
A．倾角
B．物体与传送带间的动摩擦因数0.4
C．内传送带上留下的痕迹长为
D．内物体与传送带摩擦产生的内能
【例4】（2023·辽宁阜新·统考模拟预测）如图甲所示，足够长的传送带的倾角为θ，在传送带上某位置轻轻放置一物块，结果物块的速度随时间变化的关系如图乙所示，其中、已知。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．物块可能沿传送带向上运动
B．物块与传送带间的动摩擦因数大于tanθ
C．时间后物块的加速度大小为
D．若传送带反转，则物块将一直以大小为的加速度做匀加速直线运动
题型五 “滑块－木板”模型问题
【解题指导】1．“滑块—木板”模型问题中，靠摩擦力带动的那个物体的加速度有最大值：am＝eq \f(Ffm,m).假设两物体同时由静止开始运动，若整体加速度小于该值，则二者相对静止，二者间是静摩擦力；若整体加速度大于该值，则二者相对滑动，二者间为滑动摩擦力.2.滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；若反向运动，位移大小之和等于板长．
【要点归纳】
1．模型特点：滑块(视为质点)置于木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动．
2．位移关系：如图所示，滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移之差Δx＝x1－x2＝L(板长)；滑块和木板反向运动时，位移大小之和x2＋x1＝L.
3．解题关键点
(1)由滑块与木板的相对运动来判断“板块”间的摩擦力方向．
(2)当滑块与木板速度相同时，“板块”间的摩擦力可能由滑动摩擦力转变为静摩擦力或者两者间不再有摩擦力(水平面上共同匀速运动)．
4．处理“板块”模型中动力学问题的流程
【技巧点拨】
1.滑块不受拉力而木板受拉力
木板受逐渐增大的水平拉力而滑块不受拉力，这种情况下，开始滑块和木板一起做变加速运动，当滑块加速度达到其最大值μg时，滑块、木板开始发生相对滑动，此后滑块加速度保持不变，木板加速度逐渐增大。
2.给滑块一初速度v0，两者都不受拉力且叠放在光滑水平面上
(1)若木板足够长，这种情况下，滑块减速、木板加速，直至两者速度相等，之后将一起匀速运动下去，其速度关系为v0－a滑t＝a板t。
(2)若木板不够长，这种情况下，滑块会一直减速到滑下木板，木板会一直加速到滑块滑下。分离前滑块加速度大小a滑＝μg，木板的加速度大小a板＝eq \f(μm滑g,m板)。
3.木板有初速度v0，两者都不受拉力且叠放在光滑水平面上(1)若木板足够长，木板减速、滑块加速，直至两者速度相等，之后将一起匀速运动下去，其速度关系为v0－a板t＝a滑t。
(2)若木板不够长，则木板会一直减速到滑块滑下，滑块会一直加速到滑下木板。分离前滑块的加速度大小a滑＝μg，木板的加速度大小a板＝eq \f(μm滑g,m板)。
类型1 滑块带动木板
【例1】（2023·湖南株洲·统考三模）如图，一平板车静止在光滑水平地面上，小物块A和B分别从车的最左端和最右端同时开始相向运动，两物块在平板车上发生碰撞，最终都与平板车保持相对静止。已知平板车的质量，长度，A、B的质量均为，A的初速度大小为，与平板车之间的动摩擦因数；B的初速度大小为，与平板车之间的动摩擦因数，A、B均可视为质点，它们之间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度取，求：
（1）整个过程中，A、B以及平板车组成的系统损失的机械能；
（2）A、B发生碰撞的位置与平板车最左端的距离；
（3）A、B与车保持相对静止时，A、B之间的距离。
【例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）如图甲所示，一长木板静止在水平地面上，时刻一小物块以一定的速度从左端滑上长木板，之后小物块运动的图像如图乙所示．已知小物块与长木板的质量均为，前内小物块在长木板上滑动，之后两者相对静止，取重力加速度大小，求：
（1）小物块与长木板间因摩擦产生的热量Q；
（2）小物块与长木板间的静摩擦力大小f．
【例2】．（2023·高三课时练习）如图甲所示，足够长的木板静止在水平面上，木板的质量M＝0.4 kg，长木板与水平面间的动摩擦因数μ1＝0.1，质量m＝0.4 kg的小滑块以v0＝1.8 m/s的速度从右端滑上长木板，小滑块刚滑上长木板的0.2 s内的速度图象如图乙所示，小滑块可看成质点，重力加速度g取10 m/s2。
（1）求小滑块与长木板间的动摩擦因数μ2和小滑块刚滑上长木板时长木板的加速度大小a1；
（2）求小滑块从滑上长木板到与长木板速度相等过程中相对长木板滑行的距离L；
（3）求小滑块从滑上长木板到最后停下来的过程中运动的总距离s。
【例3】（2023·安徽宿州·统考一模）如图所示，质量、长度的木板A静止在水平面上，A与水平面间的动摩擦因数。在A的左端放置一质量的铁块可视为质点，B与A间的动摩擦因数，现用一水平恒力作用在B上，取，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力。求：
（1）要保持A、B一起做匀加速运动，求力的取值范围；
（2）若，求铁块运动到木块右端所用的时间。
类型2 滑板带动滑块
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，质量、长度的长木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数。在木板上左端放置一质量的小滑块，滑块与木板间的动摩擦因数，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。若在木板上施加一方向水平向左的恒力F，同时给滑块一水平向右的初速度，滑块在木板上滑行，恰好从木板的右端掉下，此过程中木板始终保持静止状态。
（1）求初速度的大小；
（2）若滑块在木板上从左端开始运动后撤去力F，求木板在地面上滑行的距离x。
【例2】（2023秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）如图甲所示，质量为M=0.8kg上表面光滑、下表面粗糙的长木板静止放置在粗糙的水平地面上，质量为m=0.4kg的物块（视为质点）静止放置在长木板的最右端，突然让长木板获得一个水平向右的速度，长木板在以后运动过程中的v—t图像如图乙所示，重力加速度为g=10m/s2，求：
（1）长木板的下表面与水平地面之间的滑动摩擦因数以及长木板获得的初速度；
（2）长木板的长度以及长木板在整个运动过程中的平均速度。
【例3】（2023秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）如图所示，长为L＝3 m，质量为M＝2 kg的平板车在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v＝4.5 m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m＝1 kg的滑块，已知平板车与地面间的动摩擦因数为μ1＝0.2，滑块与平板车间的动摩擦因数为μ2＝0.1，求：
（1）刚放上滑块时滑块和平板车加速度大小各为多少；
（2）从放上滑块开始到第一次速度相等过程中，滑块相对平板车的位移；
（3）从放上滑块开始到最终二者均静止的过程中，滑块相对平板车的位移。
【例4】（2023秋·河南·高三郑州外国语学校校联考阶段练习）如图所示，质量为1kg的小物块静止在木板的最右端，物块可视为质点，木板的质量也为1kg，长度为L。物块与木板间的动摩擦因数为0.1，木板与地面间的动摩擦因数为0.2。现给木板一个向右的初速度，若小物块运动的时间不超过2s，且物块没有滑下木板，。求：
（1）木板初速度的最大值；
（2）木板的初速度为最大值时，求物块相对于木板的位移是多大。
类型3 斜面上的板块问题
【例1】（2023春·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）如图所示，倾斜角的光滑斜面底端有一挡板1，木板A置于斜面上，小物块B置于A底端，A、B质量均为2kg，挡板2到B和到挡板1的距离均为L=0.2m。t=0时刻，将A、B一起由静止释放，A、B分别与挡板1和挡板2发生弹性碰撞，碰撞时间极短忽略不计。已知A、B间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，小物块B始终未离开木板A。求：（1）小物块B第一次与挡板2碰撞后瞬间的动量大小；
（2）木板A的长度至少为多少；
（3）从t=0时刻开始到木板A与挡板1第3次碰撞前瞬间，重力对木板A的总冲量。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一倾角的足够长斜面体固定于地面上，斜面体上有一质量为的木板，时刻另一质量为的木块（可视为质点）以初速度从木板下端沿斜面体向上冲上木板，同时给木板施加一个沿斜面体向上的拉力，使木板从静止开始运动。当时撤去拉力F，已知木板和木块间动摩擦因数，，木板和斜面体间动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取，，求：
（1）木块和木板速度相等之前各自的加速度；
（2）若要求木块不从木板的上端冲出，木板至少为多长？
【例3】（2023秋·吉林·高三校联考阶段练习）如图所示，在倾角的足够长固定斜面上，将质量的长木板由静止释放的同时，一质量的物块以的初速度从木板的下端滑上木板。在物块上滑的过程中，木板恰好不往下滑，且物块到达木板上端时物块的速度恰好为零。已知物块与木板之间的动摩擦因数，最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。求：
（1）木板的长度L；
（2）木板与斜面之间的动摩擦因数；
（3）物块滑离木板时，木板的速度大小v。
公众号：高中试卷君
专题06 牛顿运动定律的综合应用
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19674" 题型一 动力学中的连接体问题 PAGEREF _Tc19674 \h 1
\l "_Tc8142" 类型1 共速连接体---力的“分配” PAGEREF _Tc8142 \h 2
\l "_Tc14555" 类型2 关联速度连接体 PAGEREF _Tc14555 \h 7
\l "_Tc12519" 题型二 动力学中的临界和极值问题 PAGEREF _Tc12519 \h 12
\l "_Tc21593" 类型1 板块模型中相对滑动的临界问题 PAGEREF _Tc21593 \h 12
\l "_Tc1971" 类型2 恰好脱离的动力学临界问题 PAGEREF _Tc1971 \h 17
\l "_Tc4933" 类型3 动力学中的极值问题 PAGEREF _Tc4933 \h 24
\l "_Tc17310" 题型三 动力学中的图像问题 PAGEREF _Tc17310 \h 28
\l "_Tc11669" 类型1 通过F-t、F-x图像分析运动情况 PAGEREF _Tc11669 \h 28
\l "_Tc25115" 类型2 通过v-t、a-t图像分析受力情况 PAGEREF _Tc25115 \h 33
\l "_Tc762" 类型3 通过a-F图像分析力与运动的关系 PAGEREF _Tc762 \h 36
\l "_Tc25588" 题型四 “传送带”模型问题 PAGEREF _Tc25588 \h 41
\l "_Tc14705" 类型1 动力学中水平传送带问题 PAGEREF _Tc14705 \h 42
\l "_Tc17962" 类型2 动力学中的倾斜传送带问题 PAGEREF _Tc17962 \h 46
\l "_Tc21793" 类型3 传送带中的动力学图像 PAGEREF _Tc21793 \h 54
\l "_Tc13000" 题型五 “滑块－木板”模型问题 PAGEREF _Tc13000 \h 60
\l "_Tc15459" 类型1 滑块带动木板 PAGEREF _Tc15459 \h 61
\l "_Tc12626" 类型2 滑板带动滑块 PAGEREF _Tc12626 \h 67
\l "_Tc28913" 类型3 斜面上的板块问题 PAGEREF _Tc28913 \h 73
题型一 动力学中的连接体问题
【解题指导】1．同一方向的连接体问题：这类问题通常具有相同的加速度，解题时一般采用先整体后隔离的方法.
不同方向的连接体问题：由跨过定滑轮的绳相连的两个物体，不在同一直线上运动，加速度大小相等，但方向不同，也可采用整体法或隔离法求解．
【核心总结】1．连接体
多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆、弹簧等联系)在一起构成的物体系统称为连接体．连接体一般(含弹簧的系统，系统稳定时)具有相同的运动情况(速度、加速度)．
2．常见的连接体
(1)物物叠放连接体：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和加速度
速度、加速度相同
(2)轻绳连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等．
速度、加速度相同
速度、加速度大小相等，方向不同
(3)轻杆连接体：轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度．
速度、加速度相同
(4)弹簧连接体：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度、加速度不一定相等；在弹簧形变最大时，两端连接体的速度、加速度相等．
3．整体法与隔离法在连接体中的应用
(1)整体法
当连接体内(即系统内)各物体的加速度相同时，可以把系统内的所有物体看成一个整体，分析其受力和运动情况，运用牛顿第二定律对整体列方程求解的方法．
(2)隔离法
当求系统内物体间相互作用的内力时，常把某个物体从系统中隔离出来，分析其受力和运动情况，再用牛顿第二定律对隔离出来的物体列方程求解的方法．
(3)处理连接体方法
①共速连接体，一般采用先整体后隔离的方法．如图所示，先用整体法得出合力F与a的关系，F＝(mA＋mB)a，再隔离单个物体(部分物体)研究F内力与a的关系，例如隔离B，F内力＝mBa＝eq \f(mB,mA＋mB)F
②关联速度连接体
分别对两物体受力分析，分别应用牛顿第二定律列出方程，联立方程求解．
类型1 共速连接体---力的“分配”
两物块在力F作用下一起运动，系统的加速度与每个物块的加速度相同，如图：
地面光滑
m1、m2与地面间的动摩擦因数相同，地面粗糙

m1、m2与固定粗糙斜面间的动摩擦因数相同，
以上4种情形中，F一定，两物块间的弹力只与物块的质量有关且F弹＝eq \f(m2,m1＋m2)F.
【例1】(多选)(2023·山西大同市第一次联考)如图所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块紧靠在一起放在倾角为θ的斜面上，两物块与斜面间的动摩擦因数相同，用始终平行于斜面向上的恒力F推A，使它们沿斜面向上匀加速运动，为了增大A、B间的压力，可行的办法是( )
A.增大推力F B.减小倾角θ
C.减小B的质量 D.减小A的质量
【答案】 AD
【解析】 设物块与斜面间的动摩擦因数为μ，对A、B整体受力分析，有
F－(mA＋mB)gsin θ－μ(mA＋mB)gcs θ＝(mA＋mB)a
对B受力分析，有
FAB－mBgsin θ－μmBgcs θ＝mBa
由以上两式可得
FAB＝eq \f(mB,mA＋mB)F＝eq \f(F,\f(mA,mB)＋1)
为了增大A、B间的压力，即FAB增大，应增大推力F或减小A的质量，增大B的质量。
故A、D正确，B、C错误。
【例2】（2023·广东·模拟预测）如图所示，2023个完全相同的小球通过完全相同的轻质弹簧（在弹性限度内）相连，在水平拉力F的作用下，一起沿水平面向右运动，设1和2之间弹簧的弹力为，2和3之间弹簧的弹力为，……，2022和2023之间弹簧的弹力为，则下列说法正确的是（ ）
A．若水平面光滑，从左到右每根弹簧长度之比为1∶2∶3∶…∶2021∶2022
B．若水平面粗糙，撤去F的瞬间，第2000号小球的加速度不变
C．若水平面光滑，
D．若水平面粗糙，
【答案】BCD
【详解】AC．若水平面光滑，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得
解得
分别以后面的第1、2、3…、2022个小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得
以此类推
可得
由胡克定律可知
可知从左到右每根弹簧伸长量之比为
但长度之比不满足，故A错误，C正确；
B．若水平面粗糙，撤去的瞬间，第2000号小球所受的两边弹簧的弹力以及摩擦力都不变，则加速度不变，故B正确；
D．若水平面粗糙，设每个小球受的滑动摩擦力为，则以整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得
解得
分别以后面的第1、2、3…、2022个小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得
以此类推
则
故D正确。
故选BCD。
【例2】.（2023·全国·二模）如图所示，倾角为的粗糙斜面上有4个完全相同的物块，在与斜面平行的拉力F作用下恰好沿斜面向上做匀速直线运动，运动中连接各木块间的细绳均与斜面平行，此时第1、2物块间细绳的张力大小为，某时刻连接第3、4物块间的细绳突然断了，其余3个物块仍在力F的作用下沿斜面向上运动，此时第1、2物块间细绳的张力大小为，则等于（ ）
A．B．C．D．1：1
【答案】B
【详解】匀速运动时，设每一个物块所受的摩擦力为，质量为，根据平衡条件可得
对2、3、4物块由平衡条件可得
可得
连接第3、4物块间的细绳突然断了，对1、2、3根据牛顿第二定律可得
对2、3物块根据牛顿第二定律可得
可得
可得
故选B。
【例3】．（2023春·湖南常德·汉寿县第一中学校考阶段练习）如图所示，5块质量均为m的木块并排放在水平地面上，编号为3的木块与地面间的动摩擦因数为，其他木块与地面间的动摩擦因数为，当用水平力F推第1块木块使它们共同加速运动时，下列说法正确的是（ ）
A．由右向左，两块木块之间的摩擦力依次变小
B．木块加速度为0.2m/s2
C．第2块木块与第3块木块之间的弹力大小为0.90F
D．第3块木块与第4块木块之间的弹力大小为0.38F
【答案】D
【详解】A．木块之间只有弹力，无摩擦力，A错误；
B．对整体进行受力分析，由牛顿第二定律
得
由于未知，加速度无法求得结果，B错误；
C．对前两块木块进行受力分析，由牛顿第二定律得
得
C错误；
D．对前三块木块进行受力分析，由牛顿第二定律得
得
D正确；
故选D。
【例4】．（2023春·江西上饶·江西省余干中学校考阶段练习）中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路”，为国际抗疫贡献了中国力量。某运送防疫物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第2节车厢对最后一节车厢的牵引力为（ ）
A．FB．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意可知第2节车厢对第3节车厢的牵引力为F，因为每节车厢质量相等，阻力相同，故第2节对第3节车厢根据牛顿第二定律有
设倒数第2节车厢对最后一节车厢的牵引力为F1，则根据牛顿第二定律有
解得
故选C。
类型2 关联速度连接体
【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考期中）如图所示，物体A质量为4kg，物体B质量为1kg，不计一切摩擦和绳的重力，当两物体由静止释放后，物体A的加速度与绳子上的张力分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【详解】对物体A
对B
解得
故选D。
【例2】(2023年四省联考)如图（a），足够高的水平长桌面上，P点左边光滑，右边粗糙，物块A在砝码B的拉动下从桌面左端开始运动，其图如图（b）所示，已知砝码质量为，重力加速度大小g取，求
（1）物块A的质量；
（2）物块A与P点右边桌面间的动摩擦因数。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由题图（b）可知，物块A在点左边运动的加速度
根据牛顿第二定律
代入数据解得
（2）物块A在P点右边运动的加速度
根据牛顿第二定律
代入数据解得
【例3】（2023春·广东茂名市第一中学校考期中）质量分别为M和m的物块形状大小均相同，将它们通过轻绳和光滑定滑轮连接，如图甲所示，绳子在各处均平行于倾角为α的斜面，M恰好能静止在斜面上。若互换两物块位置，按图乙放置，然后释放M，斜面仍保持静止。则下列说法正确的是（不考虑两物块与斜面之间的摩擦）（ ）
A．轻绳的拉力等于MgB．轻绳的拉力等于mg
C．M运动加速度大小为D．M运动加速度大小为
【答案】BCD
【详解】CD．第一次放置时质量为M的物体静止，则由平衡条件可得
第二次放置，对整体，由牛顿第二定律得
联立解得
故CD正确；
AB．对质量为m的物体研究，由牛顿第二定律得
解得
故B正确，A错误。
故选BCD。
【例4】．（2023春·北京东城·北京二中校考期中）如图所示三个装置，（）中桌面光滑，（）、（）中桌面粗糙程度相同，（）用大小为的力替代重物进行牵引，其余均相同。不计绳和滑轮质量及绳与滑轮摩擦，都由静止释放，在移动相同距离的过程中，下列关于三个实验装置的分析中，正确的是（ ）
A．装置（）的动能增加量大于（）中的动能增加量B．装置（）中物块的加速度为
C．装置（）、（）中物块的动能增加量相同
D．装置（）中绳上的张力小于装置（）中绳上的张力
【答案】AD
【详解】A．由于装置（b）有摩擦力，可知装置（a）中物块的加速度较大，在移动相同距离的过程中得到的速度较大，则装置（）的动能增加量大于（）中的动能增加量，选项A正确；
B．装置（）中对系统列方程可知，物块的加速度为
选项B错误；
C．装置（）中的加速度
装置（c）中的加速度
可知装置（）中物块的加速度较大，在移动相同距离的过程中得到的速度较大，则装置（c）的动能增加量大于（）中的动能增加量，选项C错误；
D．装置（）中绳上的张力
装置（）中绳上的张力
装置（）中绳上的张力小于装置（）中绳上的张力，选项D正确。
故选AD。
【例5】（2023秋·甘肃天水·统考期末）如图所示的装置叫作阿特伍德机，是阿特伍德创制的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律。绳子两端的物体下落（或上升）的加速度总是小于自由落体的加速度g。已知物体A、B的质量相等，均为4m，物体C的质量为2m，一切摩擦不计，轻绳不可伸长且足够长，现将装置从静止释放。下列说法正确的是（ ）
A．物体C的加速度为
B．物体C的加速度为
C．物体C对B的拉力为
D．物体C对B的拉力为
【答案】AC
【详解】AB．对ABC的整体由牛顿第二定律
即物体C的加速度为，选项A正确，B错误；
CD．对物体C分析可知
解得
即物体C对B的拉力为，选项C正确，D错误。
故选AC。
题型二 动力学中的临界和极值问题
【解题指导】1．直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a相同、FN＝0.
2.靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态.
3.极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程
4.数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值．
【核心归纳】1．常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件：FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0.
2．解题基本思路
(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；
(2)寻找过程中变化的物理量；
(3)探索物理量的变化规律；
(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．
3．解题方法
类型1 板块模型中相对滑动的临界问题
【例1】【多选】（2023春·内蒙古·高三校联考阶段练习）如图所示，质量分别为和m的A、B两物块，静止叠放在水平地面上。A、B间的动摩擦因数为，B与地面间的动摩擦因数为。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对B施加一水平拉力F，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，A、B都相对地面静止
B．当时，A、B间相对滑动
C．当时，B的加速度等于
D．无论F为何值，A的加速度不会超过
【答案】CD
【详解】A．地面的最大静摩擦力为
可知，A、B都相对地面发生运动，A错误；
C．物块A能够获得的最大加速度
当时，假设A、B能够保持相对地面静止，则有
极限法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法
将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
解得
可知，当时，A、B保持相对静止， B的加速度等于，C正确；
B．若A、B恰好发生相对运动，对B有
对A、B有
解得
可知，当时，A、B间才能发生相对滑动，B错误；
D．根据上述可知，物块A能够获得的最大加速度为
即无论F为何值，A的加速度不会超过，D正确。
故选CD。
【例2】．【多选】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）如图甲所示，粗糙的水平地面上有一块长木板P，小滑块Q（可视为质点）放置于长木板上的最右端。现将一个水平向右的恒力F作用在长木板的右端，让长木板从静止开始运动，后撤去力F。滑块、长木板的速度图像如图乙所示，已知物块与长木板的质量相等，均为，滑块Q始终没有从长木板P上滑下，重力加速度。则下列说法正确的是（ ）
A．时长木板P停下来B．长木板P的长度至少是
C．地面与长木板P之间的动摩擦因数是0.075D．恒力F等于
【答案】CD
【详解】C．由乙图可知，力F在时撤去，此时长木板P的速度，时二者速度相同，为，前长木板P的速度大于滑块Q的速度。后长木板P的速度小于滑块Q的速度，过程中，以滑块Q为研究对象，根据牛顿第二定律可得
解得
过程中，以长木板P为研究对象，根据牛顿第二定律可得
解得
C正确。
A．末到长木板停下来过程中，根据牛顿第二定律可得
解得
这段时间为
所以时长木板P停下来，A错误。
B．长木板P的长度至少是前过程中，滑块Q在长木板P上滑行的距离，即
B错误。
D．对长木板受力分析，据牛顿第二定律可得
其中
解得
D正确。
故选CD。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲，水平地面上有一长木板，将一小物块放在长木板上，给小物块施加一水平外力F，通过传感器分别测出外力F大小和长木板及小物块的加速度a的数值如图乙所示。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则以下说法正确的是（ ）
A．小物块与长木板间的动摩擦因数B．长木板与地面间的动摩擦因数
C．小物块的质量D．长木板的质量
【答案】B
【详解】由题图乙知，当F=F1时小物块与长木板均恰好要相对地面滑动，则有
当F1即
则结合图像有
a0=μ2g
联立解得
，
当F>F3时，小物块相对长木板滑动，对小物块有
F-μ1mg=ma
整理得
结合图像有
=
对长木板有
联立解得，
由图乙知
=
所以
M=，
故选B。
【例4】(多选)如图甲所示，足够长的木板B静置于光滑水平面上，其上放置小滑块A，滑块A受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出滑块A的加速度a，得到如图乙所示的a－F图像，A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．滑块A的质量为4 kg
B．木板B的质量为2 kg
C．当F＝10 N时滑块A加速度为6 m/s2
D．滑块A与木板B间动摩擦因数为0.2
【答案】 BC
【解析】 设滑块A的质量m，木板B的质量为M，滑块A与木板B间的动摩擦因数为μ.由题图乙可知，当F＝Fm＝6 N时，滑块A与木板B达到最大共同加速度为am＝2 m/s2，根据牛顿第二定律有Fm＝(M＋m)am，解得M＋m＝3 kg；当F＞6 N时，A与B将发生相对滑动，对A单独应用牛顿第二定律有F－μmg＝ma，整理得a＝eq \f(F,m)－μg；根据题图乙解得m＝1 kg，μ＝0.4，则M＝2 kg，A、D错误，B正确；当F＝10 N时，木板A的加速度为aA＝eq \f(F－μmg,m)＝6 m/s2，C正确．
类型2 恰好脱离的动力学临界问题
连接体恰好脱离满足两个条件
(1)物体间的弹力FN＝0；
(2)脱离瞬间系统、单个物体的加速度仍相等．
【例1】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）如图A、B两物体相互接触，但并不粘合，放置在水平面上，水平面与物体间的摩擦力可忽略，两个物体的质量分别为，。从开始，推力FA和分别作用与AB上，和随时间的变化规律为，，关于两个物体的运动。以下说法正确的是（ ）
A．经过，两物体将分离
B．经过1.5s，两物体将分离
C．A对B的弹力做功的功率一直增大
D．A对B的弹力做功的功率最大值为2W
【答案】D
【详解】CD．以A、B整体为研究对象，A、B整体受到的合力为
解得
故合力保持不变，即开始一段时间内、以相同的加速度做匀加速运动，对整体研究有
解得
设A、B之间的弹力为F，对B受力分析可得
解得
且B在做匀加速直线运动，则B的速度为
故A对B的弹力做功的功率为
由数学知识可知，当时，功率有最大值
故C错误，D正确；
AB．当A、B恰好分离时，A、B间的弹力为0，此时两者的加速度仍然相等，有
解得
所以在2s内，A、B两物体一直以的加速度做匀加速直线运动，在2s后A、B两物体分离，故AB错误。
故选D。
【例2】【多选】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，在水平地面上有一倾角为θ，表面光滑的斜面体。在斜面体顶端固定一与斜面垂直的挡板，用质量不计的细线系着一个质量为m的小球。现对斜面体施加一水平方向的外力F，使斜面体做加速度大小为a的匀加速直线运动。已知，重力加速度大小为g，则（ ）
A．若斜面体以加速度向右加速运动时，小球对滑块压力为零
B．若斜面体以加速度向右加速运动时，线中拉力为
C．当斜面体以加速度向右加速运动时，线中拉力为
D．当斜面体以加速度向左加速运动时，线中拉力为零
【答案】BCD
【详解】A．若斜面体以临界加速度向右加速运动时，小球对滑块压力为零，则小球只受到重力和细线的拉力，将细线拉力正交分解后有
又由牛顿第二定律有
代入数据解得小球刚好离开斜面的零临界加速度为
若斜面体以加速度向右加速运动时，此时向右的加速度小于临界加速度，则小球对滑块压斜面仍然有压力，故A错误；B．若斜面体以加速度向右加速运动时，由牛顿第二定律有水平方向的合力大小为
对小球受力分析可知，小球受力分析如下
水平和竖直方向分别满足如下关系
代入数据解得细线的拉力大小为
故B正确；
C．当斜面体以加速度向右加速运动时，超过临界加速度，小球离开斜面，由牛顿第二定律有水平方向绳子的分力大小为
由勾股定理可知线中拉力为
故C正确；
D．若斜面体以临界加速度向左加速运动时，细线对小球的拉力为零，则小球只受到重力和斜面的支持力，将支持力正交分解后如图所示
满足
又由牛顿第二定律有
代入数据解得细线刚好没有拉力的零临界加速度为
当斜面体以加速度向左加速运动时，可知超过临界加速度，细线对小球没有拉力，故D正确。
故选BCD。
【例3】【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止，现用大小等于0.8mg的恒力F向上拉B，当运动距离为h时B与A恰好分离（ ）
A．弹簧的劲度系数等于
B．B和A刚分离时，弹簧为原长
C．B和A刚分离时，B和A的加速度相同
D．从开始运动到B和A刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减小
【答案】ACD
【详解】ABC．当A和B两物体叠放在竖直轻质弹簧并保持静止时，弹簧的弹力为
由胡克定律可得弹簧的压缩量为
当A和B两物体一起上升时，把A和B两物体看成一个整体，由牛顿第二定律可得
对B物体进行隔离分析，得
当A和B开始分离时， ，解得
负号表示方向竖直向下，此时弹簧的弹力为
由胡克定律可得弹簧的压缩量为
由题中条件可得
可得
综上分析可知B和A刚分离时，弹簧处于压缩状态，B和A的加速度相同，故AC正确，B错误；
D．从开始运动到B和A刚分离的过程中，两物体的加速度方向先向上后向下，两物体向上先加速运动，后减速运动，两物体的动能先增大后减小，故D正确。
故选ACD。
【例4】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）质量均为m的甲、乙两物块，中间连接一根劲度系数为k的轻弹簧，如图所示，把甲放在水平面上，系统处于静止状态。现给乙施加一个竖直向上的拉力，使乙向上做匀加速直线运动，加速度大小为g（g为重力加速度大小），下列说法正确的是（ ）
A．乙刚要运动时，竖直向上的拉力大小为2mgB．从乙刚开始运动到甲刚要离开水平面时，乙的位移大小为
C．当弹簧处于原长时，竖直向上的拉力大小为3mg
D．甲刚要离开水平面时，乙的速度大小为g
【答案】B
【详解】A．乙刚要运动时，合力即竖直向上的拉力，则有
故A错误；
B．系统处于静止状态时，弹簧的压缩量为
甲刚要离开水平面时，弹簧的伸长量为
则从乙刚开始运动到甲刚要离开水平面时，乙的位移大小为
故B正确；
C．当弹簧处于原长时，对乙分析有
解得
故C错误；
D．从乙刚开始运动到甲刚要离开水平面时，对乙分析有
解得
故D错误。
故选B。
类型3 动力学中的极值问题
【例1】【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，质量m=1kg物体以初速度滑上足够长的斜面。已知物体与斜面之间的动摩擦因数。调节斜面与水平方向的夹角从零开始增大到90°，发现物体沿斜面向上的最大位移x先减小后增大，重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，物体的最大位移为2.4m
B．当时，物体达到最大位移后，将保持静止
C．当时，物体的最大位移具有最小值
D．当时，物体克服摩擦力做功18J
【答案】ABC
【详解】A．当时，物体沿水平方向故匀减速直线运动。由动能定理
解得
故A选项正确；
B．当时，有
物体速度减小到零后，在斜面上保持静止，故B正确；
C．物体在斜面上滑行的过程中，由动能定理可得
解得
其中
由数学知识可知，当时，物体的最大位移具有最小值，故C正确；
D．当时，物体与竖直平面之间的支持力为零，摩擦力为零，故D错误。
故选ABC。
【例2】．（2023·湖南怀化·高三校考阶段练习）如图甲所示，将某一物块每次以不变的初速率沿足够长的斜面向上推出，调节斜面与水平方向的夹角，实验测得物块运动的最远位移x与斜面倾角的关系如图乙所示，g取，则（ ）
A．物块的初速度为2m/s
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.4
C．物块沿斜面上滑的最大加速度为g
D．物块沿斜面上滑的最小距离为
【答案】AD
【详解】A．由图可知，当夹角为时，位移为，由竖直上拋运动规律
解得
故A正确；
B．当夹角为时，位移为，根据
可得
故B错误；
CD．根据
可得
因此最大加速度为
此时的位移为
解得
故C错误，D正确。
故选AD。
【例3】如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度v0＝10 m/s沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．
【答案】 (1)eq \f(\r(3),3) (2)θ＝60° eq \f(5\r(3),2) m
【解析】 (1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则mgsin θ＝Ff，Ff＝μmgcs θ
联立解得：μ＝eq \f(\r(3),3).
(2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为a，则－mgsin θ－μmgcs θ＝ma，
由0－v02＝2ax得x＝eq \f(v02,2gsin θ＋μcs θ)，
令cs α＝eq \f(1,\r(1＋μ2))，sin α＝eq \f(μ,\r(1＋μ2))，
即tan α＝μ＝eq \f(\r(3),3)，
故α＝30°，
又因x＝eq \f(v02,2g\r(1＋μ2)sin θ＋α)
当α＋θ＝90°时x最小，即θ＝60°，
所以x最小值为xmin＝eq \f(v02,2gsin 60°＋μcs 60°)
＝eq \f(\r(3)v02,4g)＝eq \f(5\r(3),2) m.
【例4】如图所示，将质量m＝1 kg的圆环套在固定的足够长的直杆上，杆的倾角为30°，环的直径略大于杆的截面直径．对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹角为30°、大小为10eq \r(3) N的拉力F，使圆环由静止开始沿杆加速向上运动，已知环与杆间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),2)，g＝10 m/s2，则：
(1)F作用t＝2 s时圆环的速度是多大？
(2)2 s后撤去力F，求圆环继续沿杆上滑的最大距离是多少？
【答案】 (1)20 m/s (2)16 m
【解析】 (1)F作用时，对圆环受力分析，如图甲所示．
沿杆方向：Fcs 30°－mgsin 30°－Ff＝ma1
垂直杆方向：mgcs 30°＝FN＋Fsin 30°
又Ff＝μFN
联立解得：a1＝10 m/s2
由运动学公式得：2 s时圆环的速度大小v＝a1t
代入数据解得：v＝20 m/s
(2)撤去力F后，对圆环受力分析如图乙所示．
沿杆方向：mgsin 30°＋Ff′＝ma2
垂直杆方向：mgcs 30°＝FN′
又Ff′＝μFN′
联立解得：a2＝12.5 m/s2
圆环继续沿杆上滑的最大距离
x＝eq \f(v2,2a2)＝eq \f(202,2×12.5) m＝16 m.
题型三 动力学中的图像问题
【解题指导】1．两类问题：一类问题是从图像中挖掘信息，再结合题干信息解题；另一类是由题干信息判断出正确的图像.2.两种方法：一是函数法：列出所求物理量的函数关系式，理解图像的意义，理解斜率和截距的物理意义；二是特殊值法：将一些特殊位置或特殊时刻或特殊情况的物理量值与图像对应点比较．
【核心归纳】1．“两大类型”(1)已知物体在某一过程中所受的合力(或某个力)随时间的变化图线，要求分析物体的运动情况．
(2)已知物体在某一过程中速度、加速度随时间的变化图线．要求分析物体的受力情况．
2．“一个桥梁”：加速度是联系v ­t图象与F­t图象的桥梁．
3．解决图象问题的方法和关键
(1)分清图象的类别：分清横、纵坐标所代表的物理量，明确其物理意义，掌握物理图象所反映的物理过程，会分析临界点．
(2)注意图象中的一些特殊点所表示的物理意义：图线与横、纵坐标的交点，图线的转折点，两图线的交点等表示的物理意义．
(3)明确能从图象中获得哪些信息：把图象与物体的运动情况相结合，再结合斜率、特殊点、面积等的物理意义，确定从图象中得出的有用信息．这些信息往往是解题的突破口或关键点．
类型1 通过F-t、F-x图像分析运动情况
【例1】（2023·内蒙古包头·统考二模）用水平力F拉静止在水平桌面上的小物块，F大小随时间的变化如图甲所示，物块的加速度a随时间变化的图像如图乙所示，最大静摩擦力大于滑动摩擦力，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．物块的质量为
B．最大静摩擦力为
C．若在时撤去水平拉力，物块还可以继续滑行
D．若在时撤去水平拉力，物块还可以继续滑行
【答案】ABC
【详解】B．根据图乙可知，在1s时刻，物块恰好开始运动，此时拉力大小等于最大静摩擦力，根据图甲可知，最大静摩擦力为，B正确；
A．在2s时刻拉力为6N，加速度为1m/s2，则有
A正确；
C．图像的面积表示速度的变化量，结合上述则有
撤去拉力的加速度
则物块还可以继续滑行的时间
C正确；
D．根据上述，若在时撤去水平拉力，物块还可以继续滑行的距离
D错误。
故选ABC。
【例2】（2023秋·广东广州·广州市第二中学校考期末）如图甲所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接一质量为1kg 的物体，物体处于静止状态。用一竖直向上的外力F 作用于物体上，物体从静止开始竖直向上做一段匀加速直线运动，外力F 与物体离开静止位置的位移x 的关系如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度。下列说法正确的是（ ）
A．物体运动的加速度大小为
B．弹簧开始时形变量为4cm
C．弹簧的劲度系数为200N/m
D．从物体开始运动时计时，当t=0. 1s时弹簧的形变量为3cm
【答案】ACD
【详解】A．物体从静止开始运动时重力与弹簧弹力平衡，从图上读出外力
则开始运动时合力为
根据牛顿第二定律
解得物体运动的加速度为
故A正确；
BC．假设开始时弹簧形变量为，此时弹簧弹力
根据胡克定律可得
①
当
时，根据牛顿第二定律
解得弹簧弹力
从图上读出此时的位移为，则根据胡克定律可得
②
联立①②解得
故B错误，C正确；
D．物体做初速度为0的匀加速直线运动，当时位移为
则此时弹簧的形变量为
故D正确。
故选ACD。
【例3】（2023·全国·模拟预测）如图甲所示，质量为m的物块在水平力F的作用下可沿竖直墙面滑动，水平力F随时间t变化的关系图像如图乙所示，物块与竖直墙面间的动摩擦因数为μ，物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，竖直墙面足够高，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．物块一直做匀加速直线运动
B．物块先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动
C．物块的最大速度为
D．时，物块停止下滑
【答案】C
【详解】根据物块的受力，由牛顿第二定律有
由图像可知
而
解得
故随时间的增大，物块先做加速度逐渐减小的加速运动，后做加速逐渐增大的减速运动，最后停止下滑，静止后物块的加速度为零，处于平衡状态；当时，物块的加速度为零，此时物块的速度最大，做出图像如下图所示
根据其面积求出最大速度为
故选C。【例4】．（2023春·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校联考期中）地震引起的海啸会给人们带来巨大的损失。某中学的部分学生组成了一个课题小组，对海啸的威力进行了模拟研究，他们设计了如下的模型：如图甲所示，在水平地面上放置一个质量为的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力（模拟海啸）作用下运动，推力F随位移x变化的图像如图乙所示，已知物体与地面之间的动摩擦因数为，重力加速度g取，忽略空气阻力，则（ ）
A．运动过程中物体的最大加速度为
B．物体在水平地面上运动的最大位移是50m
C．整个过程中摩擦力对物体做功1kJ
D．在距出发点5.0m位置时物体的速度达到最大
【答案】B
【详解】A．由牛顿第二定律有
可得当推力F＝200N时，物体加速度最大，为45m/s2，A错误；
BC．由F-x图像中图线与坐标轴所围的“面积”表示功可知，推力对物体做功为
由动能定理有
代入数据得
即物体在水平面上运动的最大位移是50m，整个过程中摩擦力对物体做功-1000J ，B正确，C错误；
D．由题图乙可得推力F随位移x变化的关系为
F＝200-20x（N）
物体速度最大时，加速度为零，有
解得x＝9m
即在距出发点9m位置时物体的速度达到最大，D错误。
故选B。
类型2 通过v-t、a-t图像分析受力情况
【例1】（2023秋·山东聊城·统考期末）如图甲所示，一质量的小物块以一定的初速度冲上一倾角为37°的足够长的斜面，某同学利用传感器测出了小物块冲上斜面过程中多个时刻的瞬时速度，并用计算机作出了小物块上滑过程中的图线，如图乙所示。（sin37°=0.6，cs37°=0.8，g=10m/s2）则下列说法正确的是（ ）
A．小物块冲上斜面过程中加速度的大小为8.0m/s2
B．小物块在斜面上滑行的最大位移为8m
C．小物块与斜面间的动摩擦因数为0.25
D．小物块在上滑过程中所受摩擦力大小为5N
【答案】AC
【详解】A．由小物块上滑过程的速度－时间图线，可得加速度大小为
可知小物块冲上斜面过程中加速度的大小为，故A正确；
B．设物块冲上斜面所能达到的最高点距斜面底端距离为，则有
故B错误。
CD．小物块受重力、支持力、摩擦力，沿斜面方向
摩擦力为
代入数据解得
故C正确，D错误。
故选AC。
【例2】.（2023春·全国·高三校联考阶段练习）如图甲所示，质量为的物体受水平拉力作用，在粗糙水平面上做初速度为零的加速直线运动，其图像如图乙所示，物体与地面之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取，则（ ）
A．水平拉力随时间的变化关系
B．时，物体的速度大小为
C．在内，合力对物体做功为
D．在内，拉力F对物体的冲量大小为
【答案】ABD
【详解】A．由图乙可知
对物体受力分析，有
解得
A正确；
B．内图像与坐标轴围成的面积为速度变化量，则
B正确；
C．在内，合力对物体做功为
C错误；
D．在内
解得
D正确。
故选ABD。
【例3】(2022·宁夏银川模拟)将一个质量为1 kg的小球竖直向上抛出，最终落回抛出点，运动过程中所受阻力大小恒定，方向与运动方向相反．该过程的v ­t图象如图所示，g取10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．小球所受重力和阻力之比为6∶1
B．小球上升与下落所用时间之比为2∶3
C．小球回落到抛出点的速度大小为8eq \r(6) m/s
D．小球下落过程，受到向上的空气阻力，处于超重状态
【答案】：C
【解析】：小球向上做匀减速运动的加速度大小a1＝12 m/s2，根据牛顿第二定律得mg＋f＝ma1，解得阻力f＝ma1－mg＝2 N，则重力和阻力大小之比为5∶1，故选项A错误；小球下降的加速度大小a2＝eq \f(mg－f,m)＝eq \f(10－2,1) m/s2＝8 m/s2，根据x＝eq \f(1,2)at2得t＝eq \r(\f(2x,a))，知上升的时间和下落的时间之比为t1∶t2＝eq \r(a2)∶eq \r(a1)＝eq \r(6)∶3，故选项B错误；小球匀减速上升的位移x＝eq \f(1,2)×2×24 m＝24 m，根据v2＝2a2x得，v＝eq \r(2a2x)＝eq \r(2×8×24) m/s＝8eq \r(6) m/s，故选项C正确；下落的过程中，加速度向下，处于失重状态，故选项D错误．
【例4】如图甲所示，广州塔，昵称小蛮腰，总高度达600米，游客乘坐观光电梯大约一分钟就可以到达观光平台。若电梯简化成只受重力与绳索拉力，已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a－t 图像如图乙所示。则下列相关说法正确的是( )
A.t＝4.5 s时，电梯处于失重状态
B.5～55 s时间内，绳索拉力最小
C.t＝59.5 s时，电梯处于超重状态
D.t＝60 s时，电梯速度恰好为零
【答案】 D
【解析】 利用a－t图像可判断：t＝4.5 s时，电梯有向上的加速度，电梯处于超重状态，则选项A错误；0～5 s时间内，电梯处于超重状态，拉力大于重力，5～55 s时间内，a＝0，电梯处于匀速上升过程，拉力等于重力，55～60 s时间内，电梯处于失重状态，拉力小于重力，综上所述，选项B、C错误；因a－t图线与t轴所围的“面积”代表速度改变量，而图中横轴上方的“面积”与横轴下方的“面积”相等，则电梯的速度在t＝60 s时为零，选项D正确。
类型3 通过a-F图像分析力与运动的关系
【例1】(多选)如图甲所示，一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置一质量为m的小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出其加速度a，得到如图乙所示的a­F图象．g取10 m/s2.则下列说法正确的是( )
A．滑块的质量m＝4 kg
B．木板的质量M＝4 kg
C．滑块与木板间动摩擦因数为0.1
D．当F＝8 N时滑块加速度为2 m/s2
【答案】AC
【解析】由题图乙，当F等于6 N时，加速度a＝1 m/s2，对整体：F＝(M＋m)a，解得：M＋m＝6 kg，当F大于6 N时，根据牛顿第二定律得a＝eq \f(F－μmg,M)，知图线的斜率k＝eq \f(1,M)＝eq \f(1,2)，解得M＝2 kg，故滑块的质量m＝4 kg，故A正确，B错误；根据F大于6 N的图线延长线知，F＝4 N时，a＝0，又a＝eq \f(F－μmg,M)，解得μ＝0.1，故C正确；根据μmg＝ma′，得F＝8 N时滑块的加速度为a′＝1 m/s2，故D错误．【例2】（2023春·山东济宁·校考阶段练习）如图（a），一水平外力F作用在物体上，使物体静止在倾角为θ的光滑斜面上，逐渐增大F，物体做变加速运动，其加速度a随外力变化的图像如图（b）所示。重力加速度g取10m/s2。根据图（b）判断，下列说法正确的是（ ）
A．物体的质量m=2kg
B．斜面的倾角θ=53°
C．加速度为时力F的大小为25N
D．物体静止在斜面上时，水平外力的大小为F=15N
【答案】AD
【详解】AB．当，，时
，，
其中，，解得
，
故A正确，B错误；
C．加速度为时，由
解得
故C错误；
D．物体静止在斜面上时，有
解得
故D正确。
故选AD。
【例3】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）一个质量为m小物体，静止在水平地面上。当受到一个水平外力F作用时，物体会静止或做加速直线运动。随着水平外力大小变化，其加速度a也随之发生改变。如图是a和F的变化关系图像（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取），则（ ）
A．物体质量1kg
B．物体所受滑动摩擦力大小为2N
C．该图像斜率表示物体的质量
D．当时，物体的加速度大小为2m/s2
【答案】AD
【详解】AC．由牛顿第二定律
可得
故图像的斜率表示，是物体质量的倒数，C错误；由图像得
故物体质量为1kg，A正确；
B．由图像知，当时，物体的加速度为零，说明物体保持静止状态；当F>1N时，物体放开始加速运动，故物体所受滑动摩擦力大小为1N，B错误；
D．由图像可知，当时，物体的加速度大小为2m/s2，故D正确。
故选AD。
【例4】．（2023秋·吉林长春·长春市第五中学校考期末）如图甲所示，地面上有一质量为M的重物，用力F向上提它，力F变化而引起物体加速度变化的函数关系如图乙所示，则以下说法中正确的是（ ）
A．当F小于图中A点值时，物体的重力Mg>F，物体不动
B．图中A点值即为物体的重力值C．物体向上运动的加速度和力F成正比
D．图线延长线和纵轴的交点B的数值等于该地的重力加速度
【答案】ABD
【详解】A．当F小于图中A点值时，物体的加速度为零，则Mg>F，物体不动，A正确；
BCD．根据
得
当加速度为0时，F值等于重力。由表达式可知，加速度与力不成正比，图线延长线和纵轴的交点B的数值等于该地的重力加速度，C错误，BD正确。
故选ABD。
【例5】．（2023春·陕西西安·西安市铁一中学校考期中）物体A、B都静止在同一水平面上，它们的质量分别是和，与水平面之间的动摩擦因数分别为和，用平行于水平面的力分别拉物体A、B得到加速度和拉力的关系图像分别如图中A、B所示，已知，利用图像可求出A、B两物体与水平面之间的动摩擦因数和的数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】对物体A，根据牛顿第二定律可得
则有
由图像可知
联立解得
对物体B，根据牛顿第二定律可得
则有
由图像可知
联立解得
故选C。
题型四 “传送带”模型问题
【解题指导】1．水平传送带问题：求解的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断．物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻.2.倾斜传送带问题：求解的关键在于分析清楚物体与传送带的相对运动情况，从而确定其是否受到滑动摩擦力作用．当物体速度与传送带速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变．
【必备知识】1．水平传送带
情景
滑块的运动情况
传送带不足够长
传送带足够长
一直加速
先加速后匀速
v0v02．倾斜传送带
类型1 动力学中水平传送带问题
【例1】 (2022·山东枣庄市第二次模拟)某工厂检查立方体工件表面光滑程度的装置如图2所示，用弹簧将工件弹射到反向转动的水平皮带传送带上，恰好能传送到另一端是合格的最低标准。假设皮带传送带的长度为10 m、运行速度是8 m/s，工件刚被弹射到传送带左端时的速度是10 m/s，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.工件与皮带间动摩擦因数不大于0.32才为合格v0>v时，一直减速
v0>v时，先减速再匀速
滑块一直减速到右端
滑块先减速到速度为0，后被传送带传回左端．
若v0v返回到左端时速度为v.
情景
滑块的运动情况
传送带不足够长
传送带足够长
一直加速(一定满足关系gsin θ<μgcs θ)
先加速后匀速
一直加速(加速度为gsin θ＋μgcs θ)
若μ≥tan θ，先加速后匀速
若μv0若μ≥tan θ，先加速后匀速；若μv0>v时，一直减速(加速度为gsin θ－μgcs θ)
若μ≥tan θ，先减速后匀速；若μ
(摩擦力方向一定沿斜面向上)
gsin θ>μgcs θ，一直加速；
gsin θ＝μgcs θ，一直匀速
gsin θ<μgcs θ，一直减速
先减速到速度为0后反向加速到原位置时速度大小为v0(类竖直上抛运动)
B.工件被传送到另一端的最长时间是2 s
C.若工件不被传送过去，返回的时间与正向运动的时间相等
D.若工件不被传送过去，返回到出发点的速度为10 m/s
【答案】 B
【解析】 工件恰好传送到右端，有0－veq \\al(2,0)＝－2μgL，代入数据解得μ＝0.5，工件与皮带间动摩擦因数不大于0.5才为合格，此过程用时t＝eq \f(v0,μg)＝2 s，故A错误，B正确；若工件不被传送过去，当反向运动时，最大速度与传送带共速，由于传送带的速度小于工件的初速度，根据匀变速运动速度时间关系可知，返回的时间与正向运动的时间不相等，故C、D错误。
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行，初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v-t图像（以地面为参考系）如图乙所示，已知v2>v1，则（ ）
A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C．0~t2时间内，小物块受到的摩擦力方向一直向右
D．0~t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力
【答案】BC
【详解】A．相对地面而言，小物块在0~t1时间内向左做匀减速运动，t1时刻之后反向向右运动，故小物块在t1时刻离A处距离最大，A错误；
B．小物块在0~t1时间内向左做匀减速运动，相对传送带也是向左运动，t1~t2时间内反向向右做匀加速运动，但速度小于传送带向右的速度，仍是相对传送带向左运动，t2时刻两者同速，在t2~t3时间内，小物块与传送带相对静止，一起向右匀速运动，所以t2时刻小物块相对传送带滑动的距离达到最大，B正确；
C．由于0~t2时间内，小物块相对传送带一直向左运动，所以受到的摩擦力方向一直向右，C正确；
D．在0~t2时间内，小物块相对传送带一直向左运动，则小物块一直受向右的滑动摩擦力，在t2~t3时间内，小物块相对于传送带静止，则小物块不受摩擦力作用，故D错误。
故选BC。
【例3】．（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，水平放置的传送带在电机的作用下以=4m/s的速度顺时针转动，两轮轴心间距为L=5m。质量为m=0.5kg的物块（视为质点），从左轮的正上方以速度水平向右滑上传送带后物块与传送带的v-t图像如图乙所示，经过时间t0从右轮的正上方离开传送带，物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度取g=10m/s2，物块在传送带上运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块在传送带上运动时先受滑动摩擦力再受静摩擦力
B．物块在传送带上运动的时间为t0=1s
C．物块滑上传送带的速度=6m/s
D．物块与传送带之间的相对位移为
【答案】BCD
【详解】A．由图像可知物块在传送带上运动的过程中，始终做减速运动，对其分析受力可知，物块在传送带上运动时始终受滑动摩擦力的作用。故A错误；
BC．物块在传送带上运动的过程中，以初速度方向为正反向，由牛顿第二定律可得
物块在传送带上运动的过程中，由匀变速直线运动的规律可得
解得
故BC正确；
D．传送带的位移为
物块与传送带之间的相对位移为
故D正确。故选BCD。
【点睛】理解图像的物理意义，确定物体的运动情况，结合匀变速直线运动的规律及牛顿第二定律进行解答。
【例4】．（2023·全国·高三专题练习）快递分拣站利用传送带可以大幅提高分拣效率，其过程可以简化为如图所示的装置，水平传送带长为L，以一定的速度顺时针匀速运动，工作人员可以一定的初速度将快递箱推放到传送带左端。若快递箱被从左端由静止释放，到达右端过程中加速时间和匀速时间相等，快递箱可视为质点，快递箱与传送带间的动摩擦因数，g取，则（ ）
A．传送带长L为
B．若，全程快递箱在传送带上留下的痕迹长为
C．若，则全程快递箱的路程与传送带的路程之比为
D．若仅将传送带速度增大为原来的2倍，则快递箱先匀加速运动再匀速运动
【答案】AC
【详解】A．根据传送带与快递箱间动摩擦因数，快递箱加速时加速度
快递箱加速位移
快递箱匀速位移
所以传送带总长
故A正确；
B．若，快递箱全程位移为
则传送带路程为
痕迹长
故B错误；
C．如果，快递箱加速时间
加速位移
匀速时间
在此期间传送带匀速位移
所以两者路程之比为12∶13。故C正确；
D．如果传送带速度加倍，则快递箱加速时间
加速位移
大于，故D错误。
故选AC。
类型2 动力学中的倾斜传送带问题
【解题要点】1．求解传送带问题的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析与判断．
2．临界状态：当v物＝v带时，摩擦力发生突变，物体的加速度发生突变．
3．滑块与传送带的划痕长度Δx等于滑块与传送带的相对位移的大小，若有两次相对运动且两次相对运动方向相同，Δx＝Δx1＋Δx2(图甲)；若两次相对运动方向相反，Δx等于较长的相对位移大小．(图乙)
【例1】（2023·山西·校联考模拟预测）如图所示，有一条传送带与水平面的夹角，传送带以的速度匀速运动。现将一小物块轻放在最高点A，经过时间t小物块运动到最低点B。已知A、B之间的距离为，物块与传送带之间的动摩擦因数，小物块可看做质点，重力加速度g取，。则小物块从A到B的时间可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】没有明确传送带的运动方向，因此，传送带可能沿顺时针方向线动，也可能沿逆时针方向转动。若传送带顺时针转动，则物体从A到B一直匀加速运动
解得
则有
代入数据解得
若传送带逆时针转动，物体的加速度
则物体加速至与传送带速度相等需要的时间为
发生的位移为
可知物体加速到时仍未到达B点，设此后物块加速度为，则
解得
则有
解得
故物体从A运动到B所用的总时间
故选BD。
【例2】（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）如图所示，倾角为37°的传送带以速度逆时针匀速传动，小滑块（视为质点）以平行于传送带的初速度从顶端滑上传送带，经过滑块滑到传送带的底端，在此过程中，滑块的平均速度为，重力加速度g取，、，下列说法正确的是（ ）。
A．传送带转轴中心间的距离为
B．滑块与传送带之间的动摩擦因数为0.8
C．当滑块向上运动到两轮间的中点位置时速度大小正好为，则滑块在上升过程中经历的总时间为
D．若，则滑块在传送带上运动的整个过程中，滑块与传送带的相对位移为
【答案】AC
【详解】AB．由匀变速直线运动的规律可得
，
滑块下滑过程，受到的滑动摩擦力斜向上，由牛顿第二定律可得
联立解得
，，
A正确，B错误；
C．设滑块运动到传送带的底端时速度为，则有
解得
滑块刚向上运动的受力与向下运动的受力情况相同，说明滑块先向上做初速度为0、加速度为的匀加速直线运动，由题意可得
，，，
联立解得
C正确；
D．若，分析可知，滑块在传送带上做双向可逆运动，返回到顶端时速度正好为，根据对称性，滑块在传送带上运动的整个过程中的时间为，传送带的位移为
滑块的位移为
则物块与传送带的相对位移为
联立解得
D错误。
故选AC。
【例3】（2022秋·陕西安康·高三统考阶段练习）如图所示，一传送带与水平面之间的夹角为，在电动机的带动下，传送带以速度沿顺时针方向稳定运行，现让一物块（视为质点）从传送带的底端以速度冲上传送带，当物块运动到传送带的顶端时速度刚好为0，物块与传送带之间的动摩擦因数为，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．与之间的关系为
B．物块在做减速运动的过程中，加速度不变
C．物块与传送带在速度相等前后，加速度的大小之差为
D．共速前物块在传送带上的划痕长度一定等于物块位移大小的一半
【答案】AC
【详解】A．根据题意可知，物块与传送带速度相等后继续向上减速，则有
可得
故A正确；
B．由于，物块与传送带速度相等之前，物块受到的滑动摩擦力沿斜面向下，加速度沿斜面向下，大小为
物块与传送带速度相等之后，加速度沿斜面向下，大小为
故B错误；
C．物块与传送带在速度相等前后，加速度的大小之差为
故C正确；
D．设物块从冲上传送带到与传送带速度相等所用时间为，此过程物块的位移为
传送带的位移为
可知此过程物块在传送带上的划痕长度为
若满足
则有
由于不一定等于，则共速前物块在传送带上的划痕长度不一定等于物块位移大小的一半，故D错误。
故选AC。
【例4】．（2022秋·贵州黔南·高三统考期中）如图所示，机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。以恒定速率运行的传送带与水平面间的夹角，转轴间距L＝3.95m。工作人员沿传送方向以速度从传送带顶端推下一件小包裹（可视为质点）。包裹与传送带间的动摩擦因数。重力加速度g取，，。则该小包裹（ ）
A．相对传送带滑动时加速度的大小为B．通过传送带的时间为4.5s
C．在传送带上滑动的距离为2.75mD．到达传带底端时的速度为0
【答案】ABC
【详解】A．小包裹的速度大于传动带的速度，所以小包裹受到传送带的摩擦力沿传动带向上，根据牛顿第二定律可知
解得
故A正确；
BCD．小包裹开始阶段在传动带上做匀减速直线运动，用时
在传动带上滑动的距离为
因为小包裹所受滑动摩擦力大于重力沿传动带方向上的分力，即，所以小包裹与传动带共速后做匀速直线运动至传送带底端，匀速运动的时间为
所以小包裹通过传送带的时间为
故BC正确，D错误。
故选ABC。
【例5】（2023春·四川·高三统考阶段练习）如图所示，一足够长的传送带倾斜放置，倾角，以恒定速率顺时针转动。一煤块以初速度从A端冲上传送带，煤块与传送带之间动摩擦因数，取。下列说法正确的是（ ）
A．煤块冲上传送带后经1s与传送带速度相同
B．煤块向上滑行的最大位移为8m
C．煤块从冲上传送带到返回A端所用的时间为5s
D．煤块在传送带上留下的痕迹长为
【答案】AD
【详解】A．煤块先做匀减速，由牛顿第二定律可得
解得
设经t时间与传送带共速，由
解得
故A正确；
B．共速后，摩擦力方向向上，由牛顿第二定律得
解得
煤块先以12m/s的初速度，的加速度减速至4m/s，后又以的加速度减速至0，再反向加速至回到A点，图像如图所示
由图像煤块上升到最高点的位移大小等于速度－时间图线与时间轴所包围的面积的大小，有
故B错误；
C．物块上升到最高点后反向向下做初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，设返回到A点所需的时间为，下滑的位移
解得
结合图像知，物块从冲上传送带到返回A端所用时间
s
故C错误；
D．在0到1s内传送带比物块速度慢，则滑块在传送带上的划痕
此时划痕在物块的下方，在1s到2s内，传送带速度比物块速度大，则
因为，所以在上升阶段产生的划痕为4m，此时煤块在产生的划痕的中点，在2s到时间内，煤块向下滑了10m，传送带向上滑了，则煤块在传送带上的划痕
故D正确。
故选AD。
类型3 传送带中的动力学图像
【例1】（2023·全国·二模）如图1所示，一倾角为的传送带以恒定的速率逆时针转动。将两个不同的物块A、B轻轻并排放在传送带上，二者并不接触（图中只显示一个物块）。以平行于传送带向下的方向为正方向，两物块的速度—时间图像如图2所示。不计空气阻力，重力加速度g取，，。关于两物块在传送带上的运动，下列说法正确的是（ ）
A．传送带的速度的大小为
B．传送带与物块B间的动摩擦因数为0.75
C．在内，两物块与传送带间产生的热量相等
D．后，若物块A在传送带上运动的时间少于，则A、B间的最大距离就不会变
【答案】AB
【详解】A．由物体B的图像可知，在0.50s后物体B与传送带共速，即此时物块B的速度为传送带的速度，所以传送带的速度大小为6m/s，故A项正确；
B．0.50s前物块B在传送带上做匀加速直线运动，其加速度根据图像可知为
对其受力分析有
解得
故B项正确；
C．在，物块B与传送带相对位移为
产生的热量为
对物体A有
解得
在，物块A与传送带相对位移为
产生的热量为
因为两物块的质量未知，所以其产生的热量不一定相等，故C项错误；
D．0.75s时，两物块的速度大小相等，根据追及相遇的知识点可知，此时两物块在相遇前其距离达到了最大值，其距离为
设0.75s后在经过时间物块A超过物块B后其距离达到，则有
解得
所以在0.75s后，物块A在传送带上运动的时间小于等于时，A、B间的最大距离就不会变，故D项错误。
故选AB。
【例2】．（2023·全国·高三专题练习）为了保证乘客的安全，通常情况下在进入火车站前应对旅客携带的物品安检，安检时将物品无初速度地放到沿水平方向向右传送的运输带一端，已知运输带以恒定的速度匀速传动，如图甲所示，整个过程中物品的速度随时间的变化规律如图乙所示。物品可视为质点，且质量为，运输带两端相距，经测量该物品在运输带上留下了一条长为的划痕，重力加速度g取。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，物品始终受到向右的摩擦力
B．物品与运输带间的动摩擦因数为0.25
C．运输带对物品摩擦力的冲量大小为D．整个过程因传送该物品多消耗的电能为
【答案】BC
【详解】A．由图乙可知，物品在内做匀加速直线运动，则运输带对物品的摩擦力为滑动摩擦力，方向沿运输带水平向右；末物品与运输带具有相同的速度，则的时间内物品所受的摩擦力为零，故A错误；
B．在内物品加速的位移为
物品匀速的位移为
在内运输带的位移为
又
由以上可解得
则物品加速时的加速度大小为
由牛顿第二定律得
代入数据解得
故B正确；
C．物体在运输带上加速时受摩擦力的作用，匀速时不受摩擦力，则运输带对物品摩擦力的冲量为
故C正确；D．由能量守恒定律得因传送物品多消耗的电能为
故D错误。
故选BC。
【例3】（2023·重庆·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）如图甲所示，倾角为的传送带以恒定速率逆时针运行，现将一质量为的煤块轻轻放在传送带的A端，煤块的速度随时间变化的关系如图乙所示，末煤块到达端，取沿传送带向下为正方向，取，则（ ）
A．倾角
B．物体与传送带间的动摩擦因数0.4
C．内传送带上留下的痕迹长为
D．内物体与传送带摩擦产生的内能
【答案】AC
【详解】AB．由图乙可知，0~1s物体的加速度为a1=10m/s2，1~2s物体的加速度为a2=2m/s2，皮带的速度为v1=10m/s，根据牛顿第二定律得
解得
故A正确，B错误；
C．0~1s内皮带的位移及物体的位移分别为
它们的相对位移为
1~2s内皮带的位移及物体的位移分别为
它们的相对位移为
0~1s内物体位移小于皮带位移，在皮带上出现5m长的痕迹，1~2s内物体位移大于皮带的位移，这1m长的痕迹与刚才的痕迹重合，所以皮带上出现的痕迹长为5m，故C正确；
D．2s内物体与传送带摩擦产生的内能为
故D错误。
故选AC。
【例4】（2023·辽宁阜新·统考模拟预测）如图甲所示，足够长的传送带的倾角为θ，在传送带上某位置轻轻放置一物块，结果物块的速度随时间变化的关系如图乙所示，其中、已知。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．物块可能沿传送带向上运动
B．物块与传送带间的动摩擦因数大于tanθ
C．时间后物块的加速度大小为
D．若传送带反转，则物块将一直以大小为的加速度做匀加速直线运动
【答案】C
【详解】A．图像的斜率表示加速度，根据图乙可知，时刻之前的加速度大于时刻之后的加速度，可知物块时刻之前受到的滑动摩擦力沿传送带向下，即开始时物块相对传送带向上运动，传送带逆时针转动，根据图乙可知，物块始终向下做加速直线运动，A错误；
B．根据上述，时刻之后物块向下做加速度较小的匀加速直线运动，则有
解得
B错误；
C．根据上述，时刻之前有
，
时刻之后有
解得
C正确；
D．由于
若传送带反转，物块始终相对传送带向下运动，摩擦力始终沿传送带向上，对物块始终有
即若传送带反转，则物块将一直以大小为的加速度做匀加速直线运动，D错误。
故选C。
题型五 “滑块－木板”模型问题
【解题指导】1．“滑块—木板”模型问题中，靠摩擦力带动的那个物体的加速度有最大值：am＝eq \f(Ffm,m).假设两物体同时由静止开始运动，若整体加速度小于该值，则二者相对静止，二者间是静摩擦力；若整体加速度大于该值，则二者相对滑动，二者间为滑动摩擦力.2.滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；若反向运动，位移大小之和等于板长．
【要点归纳】
1．模型特点：滑块(视为质点)置于木板上，滑块和木板均相对地面运动，且滑块和木板在摩擦力的作用下发生相对滑动．
2．位移关系：如图所示，滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移之差Δx＝x1－x2＝L(板长)；滑块和木板反向运动时，位移大小之和x2＋x1＝L.
3．解题关键点
(1)由滑块与木板的相对运动来判断“板块”间的摩擦力方向．
(2)当滑块与木板速度相同时，“板块”间的摩擦力可能由滑动摩擦力转变为静摩擦力或者两者间不再有摩擦力(水平面上共同匀速运动)．
4．处理“板块”模型中动力学问题的流程
【技巧点拨】
1.滑块不受拉力而木板受拉力
木板受逐渐增大的水平拉力而滑块不受拉力，这种情况下，开始滑块和木板一起做变加速运动，当滑块加速度达到其最大值μg时，滑块、木板开始发生相对滑动，此后滑块加速度保持不变，木板加速度逐渐增大。
2.给滑块一初速度v0，两者都不受拉力且叠放在光滑水平面上
(1)若木板足够长，这种情况下，滑块减速、木板加速，直至两者速度相等，之后将一起匀速运动下去，其速度关系为v0－a滑t＝a板t。
(2)若木板不够长，这种情况下，滑块会一直减速到滑下木板，木板会一直加速到滑块滑下。分离前滑块加速度大小a滑＝μg，木板的加速度大小a板＝eq \f(μm滑g,m板)。
3.木板有初速度v0，两者都不受拉力且叠放在光滑水平面上
(1)若木板足够长，木板减速、滑块加速，直至两者速度相等，之后将一起匀速运动下去，其速度关系为v0－a板t＝a滑t。
(2)若木板不够长，则木板会一直减速到滑块滑下，滑块会一直加速到滑下木板。分离前滑块的加速度大小a滑＝μg，木板的加速度大小a板＝eq \f(μm滑g,m板)。
类型1 滑块带动木板
【例1】（2023·湖南株洲·统考三模）如图，一平板车静止在光滑水平地面上，小物块A和B分别从车的最左端和最右端同时开始相向运动，两物块在平板车上发生碰撞，最终都与平板车保持相对静止。已知平板车的质量，长度，A、B的质量均为，A的初速度大小为，与平板车之间的动摩擦因数；B的初速度大小为，与平板车之间的动摩擦因数，A、B均可视为质点，它们之间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度取，求：
（1）整个过程中，A、B以及平板车组成的系统损失的机械能；
（2）A、B发生碰撞的位置与平板车最左端的距离；
（3）A、B与车保持相对静止时，A、B之间的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意，设平板车最终的速度为，以A、B以及平板车为系统，根据动量守恒定律有
解得
则系统损失的机械能为
解得
（2）根据题意，设开始运动时A、B和平板车的加速度大小分别为、和a，根据牛顿第二定律有
设经时间A、B发生碰撞，则有
代入数据得
或（舍去）
A、B发生碰撞的位置与平板车最左端的距离
解得
（3）设A、B发生碰撞前瞬间，A、B和平板车的速度分别为、和v，则有
A、B质量相等，发生弹性碰撞后速度交换，则碰撞后有
碰后B与平板车速度相等，分析可知此后B与平板车始终保持相对静止。设此后A与平板车的相对位移为，则有
最终A、B之间的距离
【例2】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）如图甲所示，一长木板静止在水平地面上，时刻一小物块以一定的速度从左端滑上长木板，之后小物块运动的图像如图乙所示．已知小物块与长木板的质量均为，前内小物块在长木板上滑动，之后两者相对静止，取重力加速度大小，求：
（1）小物块与长木板间因摩擦产生的热量Q；
（2）小物块与长木板间的静摩擦力大小f．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设小物块与长木板间的动摩擦因数为，前内小物块的加速度大小为，则有
因2s末木板和物块共速，则小物块在长木板上滑动的痕迹长度

对物块由牛顿第二定律
小物块与长木板间因摩擦产生的热量
解得
（2）设长木板与地面间的动摩擦因数为，前内长木板的加速度大小为，后小物块和长木板一起做匀减速直线运动时的加速度大小为，则有
对木板
对木板和木块的整体
对物块
解得
【例2】．（2023·高三课时练习）如图甲所示，足够长的木板静止在水平面上，木板的质量M＝0.4 kg，长木板与水平面间的动摩擦因数μ1＝0.1，质量m＝0.4 kg的小滑块以v0＝1.8 m/s的速度从右端滑上长木板，小滑块刚滑上长木板的0.2 s内的速度图象如图乙所示，小滑块可看成质点，重力加速度g取10 m/s2。
（1）求小滑块与长木板间的动摩擦因数μ2和小滑块刚滑上长木板时长木板的加速度大小a1；
（2）求小滑块从滑上长木板到与长木板速度相等过程中相对长木板滑行的距离L；
（3）求小滑块从滑上长木板到最后停下来的过程中运动的总距离s。
【答案】（1）0.4，2 m/s2；（2）0.27 m；（3）0.54 m
【详解】（1）小滑块向左减速运动，由v­t图象的斜率可得加速度大小
对滑块，由牛顿第二定律有
则
μ2＝0.4
长木板向左加速运动，由牛顿第二定律得
μ2mg－μ1（M＋m）g＝Ma1
解得
a1＝2 m/s2
（2）小滑块与长木板速度相等时，有v0－a2t＝a1t
解得
t＝0.3 s
小滑块运动的距离
木板运动的距离
故
L＝s2－s1＝0.27 m
（3）此后一起做匀减速运动
v＝a1t＝0.6 m/s
根据牛顿第二定律得
μ1（M＋m）g＝（M＋m）a3
解得加速度的大小
a3＝1 m/s2
运动的距离为
s3＝＝0.18 m
所以小滑块滑行的总距离
s＝s2＋s3＝0.54 m.
【例3】（2023·安徽宿州·统考一模）如图所示，质量、长度的木板A静止在水平面上，A与水平面间的动摩擦因数。在A的左端放置一质量的铁块可视为质点，B与A间的动摩擦因数，现用一水平恒力作用在B上，取，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力。求：
（1）要保持A、B一起做匀加速运动，求力的取值范围；
（2）若，求铁块运动到木块右端所用的时间。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）A与地面间的最大静摩擦力大小
A与B间的最大静摩擦力
A、B要一起做匀加速直线运动拉力
设拉力大小为时A、B恰好发生相对滑动，对A，由牛顿第二定律得
对A、B系统，由牛顿第二定律得
代入数据解得
要保持A、B一起做匀加速运动，力的取值范围是
（2）拉力时，A、b相对滑动，A的加速度大小
对B，由牛顿第二定律得
代入数据解得
设经过时间铁块运动到木板的右端，则
代入数据解得
，不符合实际，舍去
类型2 滑板带动滑块
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，质量、长度的长木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数。在木板上左端放置一质量的小滑块，滑块与木板间的动摩擦因数，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。若在木板上施加一方向水平向左的恒力F，同时给滑块一水平向右的初速度，滑块在木板上滑行，恰好从木板的右端掉下，此过程中木板始终保持静止状态。
（1）求初速度的大小；
（2）若滑块在木板上从左端开始运动后撤去力F，求木板在地面上滑行的距离x。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）滑块与木板间的滑动摩擦力
根据牛顿第二定律可知，滑块的加速度大小
滑块在木板上做匀减速运动，到木板右端时速度恰好为零，则有
解得
（2）由
解得
撤去力F后，由于木板与地面间的最大静摩擦力
则木板做加速运动，木板的加速度大小
设滑块与木板共速时的速度大小为，滑块速率从减到所用的时间为，则有
解得
木板滑行的距离
之后滑块与木板一起做匀减速运动，直至停下，设此过程中整体的加速度大小为a，则有
解得
【例2】（2023秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）如图甲所示，质量为M=0.8kg上表面光滑、下表面粗糙的长木板静止放置在粗糙的水平地面上，质量为m=0.4kg的物块（视为质点）静止放置在长木板的最右端，突然让长木板获得一个水平向右的速度，长木板在以后运动过程中的v—t图像如图乙所示，重力加速度为g=10m/s2，求：
（1）长木板的下表面与水平地面之间的滑动摩擦因数以及长木板获得的初速度；
（2）长木板的长度以及长木板在整个运动过程中的平均速度。
【答案】（1）0.3，8m/s；（2），3.6m/s
【详解】（1）由于长木板上表面光滑，则木板向右运动过程中，物块处于静止状态，根据图乙可知，时刻后，物块脱离木板，之后过程木板做匀减速运动的加速度大小
根据牛顿第二定律有
解得
时刻之前，物块静止在木板上，根据牛顿第二定律有
根据图乙可知
解得
（2）根据图乙可知，木板的长度为
物块脱离木板后木板的位移
则长木板在整个运动过程中的平均速度
【例3】（2023秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）如图所示，长为L＝3 m，质量为M＝2 kg的平板车在粗糙水平面上向右滑行，当其速度为v＝4.5 m/s时，在其右端轻轻放上一个质量为m＝1 kg的滑块，已知平板车与地面间的动摩擦因数为μ1＝0.2，滑块与平板车间的动摩擦因数为μ2＝0.1，求：
（1）刚放上滑块时滑块和平板车加速度大小各为多少；
（2）从放上滑块开始到第一次速度相等过程中，滑块相对平板车的位移；
（3）从放上滑块开始到最终二者均静止的过程中，滑块相对平板车的位移。
【答案】（1）1 m/s2，3.5 m/s2；（2）2.25 m；（3）1.95m
【详解】（1）对滑块
解得
a1＝1 m/s2
对滑板
解得
a2＝3.5 m/s2
（2）经过t1时间速度相等，则
解得
此时共同速度
滑块位移
滑板位移
故第一阶段相对位移
（3）此后，如果以共同速度减速，则
加速度
a＝2 m/s2
则滑块受摩擦力
故此后两个物体的加速度不同；相同的速度后，滑块加速度小，有
解得
a1′＝1 m/s2
对滑板，有
解得
a2′＝2.5 m/s2滑板位移
滑块位移
故第二阶段相对位移
全过程滑块相对平板车的位移
【例4】（2023秋·河南·高三郑州外国语学校校联考阶段练习）如图所示，质量为1kg的小物块静止在木板的最右端，物块可视为质点，木板的质量也为1kg，长度为L。物块与木板间的动摩擦因数为0.1，木板与地面间的动摩擦因数为0.2。现给木板一个向右的初速度，若小物块运动的时间不超过2s，且物块没有滑下木板，。求：
（1）木板初速度的最大值；
（2）木板的初速度为最大值时，求物块相对于木板的位移是多大。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设木板和物块的质量为m，物块与木板间的动摩擦因数为，木板与地面间的动摩擦因数为，由牛顿第二定律知，物块的加速度大小
木板的加速度大小为
经二者共速
共速后，由于，所以二者分开运动，物块的加速度大小仍为
则共速之前和共速之后，小物块的运动是对称的。如果物块的运动时间不超过2s，则加速时间不超过1s，即
所以
木板的初速度的最大值为。
（2）二者共速之前物块相对于木板向左运动，物块相对木板向左运动的位移为
共速之后物块相对于木板向右运动，此时木板的加速度大小为
木块和木板的共速速度为
物块相对木板向右运动的位移为
物块相对于木板的位移为
类型3 斜面上的板块问题
【例1】（2023春·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）如图所示，倾斜角的光滑斜面底端有一挡板1，木板A置于斜面上，小物块B置于A底端，A、B质量均为2kg，挡板2到B和到挡板1的距离均为L=0.2m。t=0时刻，将A、B一起由静止释放，A、B分别与挡板1和挡板2发生弹性碰撞，碰撞时间极短忽略不计。已知A、B间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，小物块B始终未离开木板A。求：
（1）小物块B第一次与挡板2碰撞后瞬间的动量大小；
（2）木板A的长度至少为多少；
（3）从t=0时刻开始到木板A与挡板1第3次碰撞前瞬间，重力对木板A的总冲量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）斜面光滑，A、B共同下滑的加速度为
得小物块B与挡板2碰撞的速度为
由于发生弹性碰撞，则小物块B第一次与挡板2碰撞后瞬间的动量大小为
（2）物块B沿斜面向上运动，对木板A分析
说明木板A匀速下滑，从物块B与挡板2碰撞到木板A与挡板1碰撞的过程，所用时间为
物块B减速上滑的加速度大小为
物块B减速从碰撞减速至0所用时间为
则木板A的长度至少
（3）木板A与挡板1碰撞后原速率返回，由于重力的下滑分力与B施加的摩擦力同向，则匀减速运动的加速度也为。由于B所受摩擦力与重力沿斜面的下滑分力平衡，故B保持静止状态。木板A上滑至速度为0的位移为
时间为
然后二者从静止开始再次加速度下滑，同时与挡板碰撞，运动时间为
二者相对静止直至第三次碰撞。则从释放开始到第三次碰撞的总时间为
重力对木板A的总冲量为
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一倾角的足够长斜面体固定于地面上，斜面体上有一质量为的木板，时刻另一质量为的木块（可视为质点）以初速度从木板下端沿斜面体向上冲上木板，同时给木板施加一个沿斜面体向上的拉力，使木板从静止开始运动。当时撤去拉力F，已知木板和木块间动摩擦因数，，木板和斜面体间动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取，，求：
（1）木块和木板速度相等之前各自的加速度；
（2）若要求木块不从木板的上端冲出，木板至少为多长？
【答案】（1），方向沿斜面向下，，方向沿斜面向上；（2）
【详解】（1）设二者共速前木块和长木板的加速度大小分别为和，木块和长木板受力分析如图甲、乙所示，用牛顿运动定律可得
解得，方向沿斜面向下；，方向沿斜面向上
（2）设木块和长木板达到共速所用时间为，则有
解得

假设木块、木板在力F撤去能保持相对静止，则对木块和木板组成整体有
解得
当木块受到向下的摩擦力达到最大静摩擦力（大小等于滑动摩擦力）时，加速度最大，其加速度大小为，，假设不成立，木块相对木板继续发生相对运动。
木块继续沿斜面向上运动，所以其加速度仍然为，方向沿斜面向下。设此过程长木板加速度大小为，受力分析如图丙所示，则有
解得
由于，长木板速度先减到零，木块继续上滑，假设此过程中长木板静止在斜面上，受到斜面的静摩擦力为f，则有
因为，故假设成立，木板静止在斜面上，直到木块上滑过程中速度减为零。
在木块和长木板速度减为零过程中的图像如图丁所示，设木块的位移为，长木板在加速过程和减速过程的位移为和，由运动学公式可得：
解得
【例3】（2023秋·吉林·高三校联考阶段练习）如图所示，在倾角的足够长固定斜面上，将质量的长木板由静止释放的同时，一质量的物块以的初速度从木板的下端滑上木板。在物块上滑的过程中，木板恰好不往下滑，且物块到达木板上端时物块的速度恰好为零。已知物块与木板之间的动摩擦因数，最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。求：
（1）木板的长度L；
（2）木板与斜面之间的动摩擦因数；
（3）物块滑离木板时，木板的速度大小v。
【答案】（1）4.5m；（2）；（3）
【详解】（1）物块刚滑上木板时，设物块的加速度大小为a1，对物块受力分析，根据牛顿第二定律有
根据匀变速直线运动的规律有
解得
L=4.5m
（2）物块上滑的过程中，木板恰好不往下滑，对木板受力分析，根据受力平衡有
解得
（3）当物块到达木板上端后，物块与木板都从静止开始沿斜面向下做匀加速运动，设物块的加速度大小为a2、木板的加速度大小为a3，物块经时间t滑到木板下端，对物块受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
对木板受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
时间t内物块的位移大小为
时间t内木板的位移大小
根据几何关系有
物块滑离木板时，木板的速度大小为
联立解得
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