2024年北京市石景山区高三年级一模数学试卷及参考答案

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一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）D （3）C （4）B （5）A
（6）B （7）A （8）B （9）C （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14）
（15）②③④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）在锐角中，根据正弦定理，有
，
因为，所以，所以，
因为，即 【6分】
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
在锐角中，因为，所以
所以 【13分】
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为平面，平面，
所以
在中，，
所以.
因为
所以，即
又因为
所以平面. 【6分】
（Ⅱ）选条件①
在平面上过点作交于点，
根据（Ⅰ）知，建立以为原点，
向量方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系.
连接，易知，因为，，
在中，
所以，因为，所以，
易证四边形为正方形.
，，，，
，
设平面的法向量为，则
即
解得，令，则，
由（Ⅰ）知平面的法向量为，
.
所以，平面与平面所成锐二面角的大小为. 【14分】
选条件②
因为平面，平面平面，平面
所以.
在平面上过点作交于点，
易证四边形为正方形，
根据（Ⅰ）知，建立以为原点，
向量方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系.
则，，，，
，
设平面的法向量为，则
即
解得，令，则，
由（Ⅰ）知平面的法向量为，
.
所以，平面与平面所成锐二面角的大小为. 【14分】
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）设事件为“从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选株，株植物的类型都是乔木幼苗”，由表格知，样本中老山油松人工林林下灌木层的植物共有株，其中乔木幼苗有株，所以估计为. 【3分】
（Ⅱ）由题意可知，从抽取的妙峰山油松次生林灌木层的植物样本中随机抽取株植物是灌木的概率估计为，的可能取值是.
所以估计为； 估计为；
估计为；估计为.
随机变量的分布列为
所以估计为.
或因为，所以估计为 【10分】
（Ⅲ）. 【13分】
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ），
所以，.
所以在点处的切线方程为. 【4分】
（Ⅱ）因为，令，由已知，解得.
当变化时，随的变化如下表：
所以①当，即时，在为增函数，
则，.
②当，即时，
在为减函数，在为增函数.
则，而，，
所以，即.
【10分】
（Ⅲ）当时，，
令 ，
则，
令，则当时，，
所以函数在区间上是增函数，
又，，
所以函数存在唯一的零点，
且当时，；当时，.
所以当时，；当时，.
所以函数在上为减函数，在上为增函数，
故，
由得，即.
两边取对数得，故，
所以恒成立，即. 【15分】
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得解得，．
所以椭圆的方程为． 【5分】
（Ⅱ）直线与直线平行．证明如下：
显然直线斜率存在，设直线方程为．
由 得．
因为直线与椭圆相切，
，
令解得或.
因为直线与椭圆相切于第三象限内的点，所以舍去.
所以，所以，，
所以，
所以，直线斜率为，
直线的斜率不存在时，，
所以，不成立.
设直线的方程为，，，
由，得．
直线交椭圆于两点．，
所以或.
所以，．
，同理
所以
.
所以，解得或;
因为或，所以.
所以直线与直线平行. 【15分】
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ），，，． 【4分】
（Ⅱ）
所以.
同理.
①当，即时
.
例如当，时，等号成立.
②当，即时
.
同理可知等号成立.
所以. 【10分】
（Ⅲ）记，
①显然集合中元素的个数小于等于集合中元素的个数；
②且，假设它们满足，
则由定义必有，与中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而．
从而集合中元素的个数等于集合中元素的个数，即均为个.
又因为中元素有个分量，
所以集合至多有个元素，从而成立．【15分】
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
0
1
2
3
减函数
极小值
增函数