2022年北京市石景山区高考数学一模试卷

这是一份2022年北京市石景山区高考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）设全集U＝{x∈R|x≥1}，集合A＝{x∈R*|x2≥3}，则∁UA＝（　　）
A．[1，） B．[1，] C．（，+∞） D．[，+∞）
2．（4分）复数z满足（1+i）•z＝1﹣i，则z＝（　　）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
3．（4分）从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝9，过点（1，2）的直线l与圆C交于A，B两点，则弦AB长度的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（4分）函数的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）在等差数列{an}中，a3+a6+a9＝36，设数列{an}的前n项和为Sn，则S11＝（　　）
A．12 B．99 C．132 D．198
8．（4分）在△ABC中，sin2A＝sinBsinC，若，则∠B的大小是（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）“m＜4”是“2x2﹣mx+1＞0在x∈（1，+∞）上恒成立”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（4分）设A，B为抛物线C：y＝x2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点P．则下列结论：
①点P一定在抛物线C的准线上；
②PF⊥AB；
③△PAB的面积有最大值无最小值．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝的定义域是 　 　．
12．（5分）在的展开式中，x5的系数是 　 　.（用数字填写答案）
13．（5分）正项数列{an}满足anan+2＝an+12，n∈N*．若a5＝9，a2a4＝1，则a2的值为 　 　．
14．（5分）设点F1，F2分别为椭圆C：＝1的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得＝m成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为 　 　．
15．（5分）已知非空集合A，B满足：A∪B＝R，A∩B＝∅，函数对于下列结论：
①不存在非空集合对（A，B），使得f（x）为偶函数；
②存在唯一非空集合对（A，B），使得f（x）为奇函数；
③存在无穷多非空集合对（A，B），使得方程f（x）＝0无解．
其中正确结论的序号为 　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程。
16．（13分）已知函数f（x）＝msin（ωx+）（m＞0，ω＞0）只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数f（x）的最大值为2；
②函数f（x）的图象可由y＝sin（2x﹣）的图象平移得到；
③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π．
（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，a＝f（A），求△ABC面积的最大值．
17．（13分）某学校高中三个年级共有300名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间，数据如表（单位：小时）：
高一年级
7
7.5
8
8.5
9



高二年级
7
8
9
10
11
12
13

高三年级
6
6.5
7
8.5
11
13.5
17
18.5
（1）试估计该校高三年级的学生人数；
（2）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率：
（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，9，10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小．（结论不要求证明）
18．（14分）如图1，在平面四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝．将△PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示．
（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
（2）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合），使得二面角Q﹣BD﹣C的余弦值为，请说明理由．


19．（15分）设函数f（x）＝x2+mln（x+1）（m∈R）．
（1）若m＝﹣1，
①求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
②当x∈（1，+∞）时，求证：f（x）＜x3．
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上存在唯一零点，求实数m的取值范围．
20．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的短轴长等于2，离心率e＝．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，判断是否为定值，请说明理由．
21．（15分）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．
（1）已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断{an}，{bn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（2）已知数列{cn}的通项公式为cn＝2n﹣1+1，判断{cn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（3）已知数列{dn}为单调递增的等差数列，且d1≠0，dn∈Z（n∈N*），求证：{dn}为“等比源数列”．

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）设全集U＝{x∈R|x≥1}，集合A＝{x∈R*|x2≥3}，则∁UA＝（　　）
A．[1，） B．[1，] C．（，+∞） D．[，+∞）
【分析】求出集合A，利用补集定义能求出∁UA．
【解答】解：全集U＝{x∈R|x≥1}，
集合A＝{x∈R|x2≥3}＝{x|x}，
则∁UA＝{x|1≤x＜}＝[1，）．
故选：A．
【点评】本题考集合的运算，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）复数z满足（1+i）•z＝1﹣i，则z＝（　　）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵（1+i）•z＝1﹣i，
∴＝＝﹣i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（4分）从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设事件Ai为第i次抽到偶数，i＝1，2，利用条件概率计算公式能求出在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率．
【解答】解：设事件Ai为第i次抽到偶数，i＝1，2，
则P（A1）＝＝，P（A1）＝＝，
∴在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率为：
P（|A1）＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【分析】对于A，α与β相交或平行；对于B，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于C，l与β平行或l⊂β；对于D，l与β相交、平行或l⊂β．
【解答】解：设l是直线，α，β是两个不同的平面，
对于A，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；
对于B，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；
对于C，若α⊥β，l⊥α，则l与β平行或l⊂β，故C错误；
对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
5．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝9，过点（1，2）的直线l与圆C交于A，B两点，则弦AB长度的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据已知条件，结合垂径定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点（1，2）为D点，
∵圆C：（x﹣3）2+y2＝9，
∴圆心C（3，0），半径r＝3，
当直线DC垂直于直线l时，弦AB最短，
∵|DC|＝
∴|AB|min＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查垂径定理，以及两点之间的距离公式，属于基础题．
6．（4分）函数的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】求得f（x）的定义域，讨论x＞0，x＜0时，f（x）的单调性，结合图象可得结论．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，f（x）＝（）x；当x＜0时，f（x）＝﹣（）x．
则f（x）在（0，+∞）单调递减；在（﹣∞，0）单调递增，
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判断，注意运用单调性判断，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于基础题．
7．（4分）在等差数列{an}中，a3+a6+a9＝36，设数列{an}的前n项和为Sn，则S11＝（　　）
A．12 B．99 C．132 D．198
【分析】根据已知条件，结合等差中项的定义，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：∵a3+a6+a9＝36，
∴3a6＝36，解得a6＝12，
∴＝11a6＝132．
故选：C．
【点评】本题主要考查等差中项的定义，以及等差数列的前n项和公式，属于基础题．
8．（4分）在△ABC中，sin2A＝sinBsinC，若，则∠B的大小是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用三角形的内角和定理及诱导公式得到cosA＝﹣cos（B+C），再利用两角和与差的余弦函数公式化简，把A的度数代入已知等式求出sinBsinC的值，代入计算求出cosBcosC的值，再利用两角和与差的余弦函数公式求出cos（B﹣C）的值，进而得到∠B＝∠C，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，sin2A＝sinBsinC，
∴cosA＝﹣cos（B+C）＝﹣cosBcosC+sinBsinC＝﹣cosBcosC+sin2A＝﹣cosBcosC+＝，
∴cosBcosC＝，
∵sinBsinC＝，
∴cos（B﹣C）＝cosBcosC+sinBsinC＝1，即∠B﹣∠C＝0，
∴∠B＝∠C＝，
故选：C．
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
9．（4分）“m＜4”是“2x2﹣mx+1＞0在x∈（1，+∞）上恒成立”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先由不等式恒成立问题求出m的范围，再结合充分必要条件判断即可．
【解答】解：“2x2﹣mx+1＞0在x∈（1，+∞）上恒成立”，
则m＜在x∈（1，+∞）上恒成立，
又g（x）＝在x∈（1，+∞）上为增函数，
则g（x）＞3，
即m≤3，
又“m＜4”是“m≤3”的必要不充分条件，
即m＜4”是“2x2﹣mx+1＞0在x∈（1，+∞）上恒成立”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了充分必要条件，属基础题．
10．（4分）设A，B为抛物线C：y＝x2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点P．则下列结论：
①点P一定在抛物线C的准线上；
②PF⊥AB；
③△PAB的面积有最大值无最小值．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由直线与抛物线的有关知识，结结论依次判断．
【解答】解：由抛物线知焦点F（0，），可设直线AB的方程为y＝kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线方程得x2﹣kx﹣＝0，有x1+x2＝k，x1x2＝﹣，
y1+y2＝k2+，y1y2＝，
切线AP的方程为y﹣y1＝2x1（x﹣x1），化简得y+y1＝2x1x，
同理切线BP的方程为y+y2＝2x2x，
联立解得P（，﹣），故①正确；
kPF＝＝﹣，∴kPF•k＝﹣1，故②正确；
S△PAB＝|AB|d＝×（k2+1）×＝，
当k＝0时，S△PAB有最小值，无最大值，故③错误．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，判断直线与直线的位置关系，以及三角形的面积的最值问题，属中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝的定义域是 　（﹣1，+∞）　．
【分析】由题意可得，从而求出不等式组的解集即可．
【解答】解：根据题意，由，得x＞﹣1，
所以函数f（x）＝的定义域为（﹣1，+∞），
故答案为：（﹣1，+∞），
【点评】本题考查求函数定义域的应用问题，解题关键是列出使解析式有意义的不等式组，属于基础题．
12．（5分）在的展开式中，x5的系数是 　35　.（用数字填写答案）
【分析】先求展开式的通项公式，再求展开式的项系数即可．
【解答】解：的展开式中的通项公式为Tr+1＝＝，
令21﹣4r＝5，
解得r＝4，
即x5的系数是＝35，
故答案为：35．
【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了展开式的项系数的求法，属基础题．
13．（5分）正项数列{an}满足anan+2＝an+12，n∈N*．若a5＝9，a2a4＝1，则a2的值为 　　．
【分析】根据可知该数列为等比数列，根据a5＝9，a2a4＝1求出其公比和首项即可求a2．
【解答】解：∵，
∴，
∴{an}是等比数列，设{an}公比为q，且q＞0，
由a5＝9，a2a4＝1得，，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了数列的递推式，属于基础题．
14．（5分）设点F1，F2分别为椭圆C：＝1的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得＝m成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为 　0（答案不唯一）　．
【分析】当时，说明椭圆上存在4点满足条件．
【解答】解：当m＝0时，，则，
由椭圆方程可知，a2＝4，b2＝1，c2＝3，
因为c＞b，所以以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点，
使得成立的点恰好有4个，所以实数m的一个取值可以为0．
故答案为：0（答案不唯一）
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
15．（5分）已知非空集合A，B满足：A∪B＝R，A∩B＝∅，函数对于下列结论：
①不存在非空集合对（A，B），使得f（x）为偶函数；
②存在唯一非空集合对（A，B），使得f（x）为奇函数；
③存在无穷多非空集合对（A，B），使得方程f（x）＝0无解．
其中正确结论的序号为 　①③　．
【分析】通过求解x3＝3x﹣2可以得到在集合A，B含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当x与﹣x都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程f（x）＝0判断③是否正确．
【解答】解：①若x∈A，﹣x∈A，则f（x）＝x3，f（﹣x）＝﹣x3，f（x）≠f（﹣x），
若x∈B，﹣x∈B，则f（x）＝3x﹣2，f（﹣x）＝﹣3x﹣2，f（x）≠f（﹣x），
若x∈A，﹣x∈B，则f（x）＝x3，f（﹣x）＝﹣3x﹣2，f（x）≠f（﹣x），
若x∈B，﹣x∈A，则f（x）＝3x﹣2，f（﹣x）＝﹣x3，f（x）≠f（﹣x），
综上不存在非空集合对（A，B），使得f（x）为偶函数；
②若x3＝3x﹣2，则x＝1或x＝﹣2，
当B＝{1}，A＝∁RB时，f（1）＝3×1﹣2满足当x＝1时x3＝1，所以f（x）可统一为f（x）＝x3，此时f（﹣x）＝﹣x3＝﹣f（x）为奇函数，
当B＝{﹣2}，A＝∁RB时，f（﹣2）＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8满足当x＝﹣2时x3＝﹣8，所以f（x）可统一为f（x）＝x3，此时f（﹣x）＝﹣x3＝﹣f（x）为奇函数，
所以存在非空集合对（A，B），使得f（x）为奇函数，且不唯一；
③x3＝0解的x＝0，3x﹣2＝0解的，
当非空集合对（A，B）满足0∉A且，则方程无解，
又因为A∪B＝R，A∩B＝∅，所以存在无穷多非空集合对（A，B），使得方程f（x）＝0无解，
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理，属于难题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步稆或证明过程。
16．（13分）已知函数f（x）＝msin（ωx+）（m＞0，ω＞0）只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数f（x）的最大值为2；
②函数f（x）的图象可由y＝sin（2x﹣）的图象平移得到；
③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π．
（1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，a＝f（A），求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）选②③时，直接利用已知条件求出函数的关系式，出现矛盾；
（1）选①②时，直接利用已知条件求出函数的关系式，出现矛盾；
（1）选①③时，直接利用已知条件求出函数的关系式；（1）进一步利用函数的关系式，再利用余弦定理和三角形的面积公式和基本关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）对于函数f（x）＝msin（ωx+）（m＞0，ω＞0）同时满足②③时，
②函数f（x）的图象可由y＝sin（2x﹣）的图象平移得到，ω＝2；③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π．
故ω＝1，一个题中出现两个ω的值，故矛盾；
（1）同时选①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象可由y＝sin（2x﹣）的图象平移得到；函数的最大值2和出现矛盾，故不能同时选；
（1）同时选①函数f（x）的最大值为2；③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，
整理得m＝2，ω＝1，
故函数f（x）＝2sin（x+）；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，a＝f（A），
a＝f（A）＝；
利用余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc≥bc，
整理得bc≤4，
故；
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
17．（13分）某学校高中三个年级共有300名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间，数据如表（单位：小时）：
高一年级
7
7.5
8
8.5
9



高二年级
7
8
9
10
11
12
13

高三年级
6
6.5
7
8.5
11
13.5
17
18.5
（1）试估计该校高三年级的学生人数；
（2）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率：
（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，9，10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小．（结论不要求证明）
【分析】（1）利用分层抽样的方法，可以估计该校高三年级的学生人数；
（2）利用互斥事件、独立事件的概率计算公式能求出该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；
（3）分别求出三组总平均值和新加入的三个数的平均值，能判断与的大小．
【解答】解：（1）抽出的20名学生中，来自高三的有8名，
根据分层抽样方法，估计高二的学生人数为：
300×＝120（人）．
（2）设事件Ai表示“高一年级的第i名学生”，i＝1，2，3，4，5，
事件∁j表示“乙是高二年级的第j名学生”，j＝1，2，3，4，5，6，7，
由题意P（Ai）＝，P（∁j）＝，P（Ai∁j）＝P（Ai）P（∁j）＝＝，
设事件M表示“该周甲的课后学习时间大于乙的课后学习时间”，
由题意P（M）＝P（A2C1）+P（A3C1）+P（ A4C1）+P（A5C1）+P（A4C2）+P（A5C2）＝6×＝，
∴该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为：
P（）＝1﹣P（M）＝．
（3）＝＝8，＝＝10，
＝＝11，
三组总平均值＝＝9.9，
加入的三个数8，9，10的平均数为9，比小，拉低了平均值，
∴＞．
【点评】本题考查频数、平均数、概率的求法，考查平均数、分层抽样、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（14分）如图1，在平面四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝．将△PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示．
（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
（2）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合），使得二面角Q﹣BD﹣C的余弦值为，请说明理由．


【分析】（1）延长BA，CD相交于点E，连接SE，得到SE为平面SCD与平面SBA的交线l，结合线面垂直的判定定理，证得AD⊥平面SAB，得到BC⊥平面SAB，进而证得BC⊥l．
（2）以A为坐标原点，以AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，求得平面QBD和平面BDC的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可求解．
【解答】（1）证明：延长BA，CD相交于点E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l．
证明如下：
由平面SAB⊥平面ABCD，BA⊥AD，AD⊂平面ABCD，
且平面SAB⋂平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面SAB，
又由AD∥BC，所以BC⊥平面SAB，
因为SE⊂平面SAB，所以BC⊥SE，所以BC⊥l．
（2）解：由（1）知：SA⊥AB，AD⊥AB，SA⊥AD，
以A为坐标原点，以AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

可得，则，
设（其中0＜λ＜1），则Q（λ，λ，1﹣λ），所以，
设平面QBD的法向量为，则，
令x＝2，可得，所以，
又由SA⊥平面BDC，所以平面BDC的一个法向量为，
则，解得，
所以存在点Q为SC的中点时，使得二面角Q﹣BD﹣C的余弦值为．
【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，空间向量及其应用，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．
19．（15分）设函数f（x）＝x2+mln（x+1）（m∈R）．
（1）若m＝﹣1，
①求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
②当x∈（1，+∞）时，求证：f（x）＜x3．
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上存在唯一零点，求实数m的取值范围．
【分析】（1）①求导，根据导数的几何意义，即可求得切线方程；
②构造函数h（x）＝f（x）﹣x3＝﹣x3+x2﹣ln（x+1），根据导数与函数单调性的关系，即可证明f（x）＜x3；
（2）构造函数f（x）＝x2+mln（x+1），求导，根据二次函数的性质及导数与函数单调性的关系，利用函数零点存在定理，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）①当m＝﹣1时，f（x）＝x2﹣ln（x+1），，
f′（0）＝﹣1，f（0）＝0，
可得曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程y﹣0＝﹣1（x﹣0），即x+y＝0；
②证明：令h（x）＝f（x）﹣x3＝﹣x3+x2﹣ln（x+1），则，
当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
又因为h（1）＝﹣ln2＜0，所以h（x）＜0，即x2﹣ln（x+1）＜x3，即f（x）＜x3，
即当x∈（1，+∞）时，f（x）＜x3；
（2）由函数f（x）＝x2+mln（x+1），x∈（0，1），可得，
令g（x）＝2x2+2x+m（x∈（0，1）），
当m≥0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增，
因为f（0）＝0，所以f（x）＞f（0）＝0，
所以在区间（0，1）上没有零点，不符合题意，
当m＜0时，g（x）＝2x2+2x+m的图像开口向上，且对称轴为，
由g（1）＝2+2+m≤0，解得m≤﹣4，
当m≤﹣4时，g（x）＜0在区间（0，1）上恒成立，
即f′（x）＜0，f（x）在区间（0，1）上单调递减，因为f（0）＝0，f（x）＜f（0）＝0，
所以函数f（x）在区间（0，1）上没有零点，不符合题意，
综上可得﹣4≤m＜0，
设x0∈（0，1）使得g（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
因为f（0）＝0，要使得函数f（x）在区间（0，1）上存在唯一零点，
则满足f（1）＝1+mln（1+1）＞0，解得，
所以实数m的取值范围为．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，导数与函数单调性和极值的关系，考查函数思想，构造法，计算能力，属于难题．
20．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的短轴长等于2，离心率e＝．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过右焦点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，判断是否为定值，请说明理由．
【分析】（1）根据题意，列出a，b，c的方程组，求得a，b的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立方程组得到x1+x2＝，x1x2＝，进而求得AB中点Q（，），得出中垂线的方程，求得|PF|＝，再由弦长公式求得|AB|＝，即可求解．
【解答】解：（1）由椭圆C：C：＝1（a＞b＞0）的短轴长等于2，离心率e＝，
可得，
解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＝1；
（2）由椭圆的方程＝1，可得右焦点F（1，0），设直线l的方程为y＝k（x﹣1），
联立方程组，整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
可得x1+x2＝，x1x2＝，

设AB的中点为Q，
所以xQ＝＝，
则yQ＝k（xQ﹣1）＝，
即Q（，），
则中垂线的方程为y﹣＝﹣（x﹣），
令y＝0，可得x＝，
即P（，0），
所以|PF|＝|﹣1|＝，
又由|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝•＝，
所以＝＝（定值）．
【点评】本题考查了椭椭圆的方程及直线与椭圆相交的弦长问题，也考查了学生的计算能力，能够进行准确的计算是解答本题的关键，属于中档题．
21．（15分）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．
（1）已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断{an}，{bn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（2）已知数列{cn}的通项公式为cn＝2n﹣1+1，判断{cn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（3）已知数列{dn}为单调递增的等差数列，且d1≠0，dn∈Z（n∈N*），求证：{dn}为“等比源数列”．
【分析】（1）根据题中定义判断
（2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解
（3）假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解
【解答】解：（1）{an}是“等比源数列”，{bn}不是“等比源数列”．
{an}中“1，2，4”构成等比数列，所以{an}是“等比源数列”；
{bn}中“1，2，6“，“1，2，24”，“1，6，24”，2，6，24”均不能构成等比数列，所以{bn}不是“等比源数列””．
（2）{cn}不是“等比源数列”．
假设{cn}是“等比源数列”，因为{cn}是单调递增数列，
即{cn}中存在的cm，cn，ck（m＜n＜k）三项成等比数列，也就是，即（2n﹣1+1）2＝（2m﹣1+1）（2k﹣1+1），
22n﹣2+2n＝2m﹣k﹣2+2m﹣1+2k﹣1，两边时除以2m﹣1得22n﹣m﹣1+2n﹣m+1＝2k﹣1+1+2k﹣m，
等式左边22n﹣m﹣1+2n﹣m+1为偶数，
等式右边2k﹣1+1+2k﹣m为奇数．
所以数列{cn}中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得{cn}不是“等比源数列”．
（3）证明：因为等差数列{dn}单调递增，所以d＞0．
因为dn∈Z则d≥1，且d∈Z，所以数列{dn}中必有一项dm＞0．
为了使得{dn}为“等比源数列”，只需要{dn}中存在第n项，第k项（m＜n＜k），
使得成立，即，
即（n﹣m）[2dm+（n﹣m）d]＝dm（k﹣m）成立．
当n＝dm+m，k＝2dm+（n﹣m）d+m时，上式成立．所以{dn}中存在dm，dn，dk成等比数列．
所以，数列{dn}为“等比源数列“．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
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