2024年北京市西城区高三年级一模数学试卷及参考答案

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本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 已知全集，集合，，则
A.B.
C.D.
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
A.B.
C.D.
3. 在的展开式中，常数项为
A.B.
C.D.
4. 已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是
A.B.
C.D.
5. 设，，，其中，则
A.B.
C.D.
6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为，
则
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数，若存在最小值，则的最大值为
A.B.C.D.
8. 在等比数列中，. 则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9. 关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数；
②曲线关于直线对称；
③在区间上恰有个零点.
其中真命题的个数为
A.B.C.D.
10. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”. “遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数
近似描述，则记忆率为时经过的时间约为
（参考数据：，）
A.小时B.小时C.小时D.小时
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 若复数满足，则_________.
12. 已知. 使成立的一组的值为_________，
_________.
13. 双曲线的渐近线方程为_________；若与圆交于
四点，且这四个点恰有正方形的四个顶点，则_________.
14. 在数列中，，. 数列满足. 若是公差为的等差数列，则的通项公式为_________，的最小值为_________.
15. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直. 点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动. 设，，给出下列四个结论：
①存在点，使；
②存在点，使；
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体体积的最大值为.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，
为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
17.（本小题13分）
在中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题13分）
米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击发子弹，总环数排名前的选手进入决赛. 三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.
（Ⅰ）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
（Ⅱ）若甲、乙各射击次，估计这次射击中出现个“环”和个“环”的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙各射击次，用分别表示甲、乙、丙的次射击中大于环的次数，其中. 写出一个的值，使.
（结论不要求证明）
19.（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点. 直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点. 直线分别与直线交于点. 求证：.
20.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的斜率；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性；
（Ⅲ）若集合有且只有一个元素，求的值.
21.（本小题15分）
对正整数，，设数列，. 是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个；②每列至少有一个；③任意两行不相同.
记集合中元素的个数为.
（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）若对任意，中都恰有行满足第列和第列的数均为.
（ⅰ）能否满足？说明理由；
（ⅱ）证明：.环数
6环
7环
8环
9环
10环
甲的射击频数
1
1
10
24
24
乙的射击频数
3
2
10
30
15
丙的射击频数
2
4
10
18
26