2024年北京市平谷区高三年级一模数学试卷及参考答案

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本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 已知集合，，则
A.B.
C.D.
2. 已知复数，则
A.B.C.D.
3. 在的展开式中，的系数为
A.B.C.D.
4. 下列函数中，在区间上单调递减的是
A.B.
C.D.
5. 在，“”是“”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6. 已知抛物线的焦点为，是坐标原点，点在上. 若，则
A.B.C.D.
7. 已知等差数列和等比数列，，，，，则满足
的数值
A.有且仅有个值B.有且仅有个值
C.有且仅有个值D.有无数多个值
8. 一个边长为的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为
A.B.
C.D.
9. 已知，，是曲线上一个动点，则的最大值是
A.B.C.D.
10. 设点，动直线，作于点，则点到坐标原点距离的最小值为
A.B.C.D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 函数的定义域是________.
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，并且经过点，
则________；双曲线的渐近线方程为________.
13. 设，. 若对任意的实数都有，则满足条件的所有可能的取值为________.
14. 若的面积为，且为钝角，则________；的取值范围是________.
15. 已知函数，设. 给出下列四个结论：
①当时，不存在最小值；
②当，在为增函数；
③当时，存在实数，使得有三个零点；
④当时，存在实数，使得有三个零点.
其中正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
已知函数，其中. 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围.
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，
平面平面，点是的中点，为线段上的动点.
（Ⅰ）若直线平面，求证：为线段的中点；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，
求线段的长.
18.（本小题13分）
某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
（Ⅰ）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
（Ⅱ）假设每位顾客是否购买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买
情况进行调查，随机抽取名顾客，试估计恰有名顾客购买了两种商品，名顾客购买
了一种商品，名顾客购买了三种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲商品，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.
（结论不要求证明）
19.（本小题15分）
已知椭圆过点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于点，直线交直线
于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于，直线交轴于，求证：点为线段的中点.
20.（本小题15分）
设函数，曲线在点处的切线斜率为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设函数，求的单调区间；
（Ⅲ）求证：.
21.（本小题15分）
已知是无穷数列，对于，给出三个性质：
①；
②；
③.
（Ⅰ）当时，若，直接写出的一个值，使数列满足性质②；
（Ⅱ）若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
（Ⅲ）当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列.商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×