北京市平谷区2024届高三下学期质量监控（零模）数学试卷及详细答案

这是一份北京市平谷区2024届高三下学期质量监控（零模）数学试卷及详细答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，则=（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，则=（ ）
A．B．5C．3D．
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．10C．D．80
4．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在△中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知抛物线C：的焦点为F，O是坐标原点，点M在C上．若，则=（ ）
A．B．C．D．4
7．已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（ ）
A．有且仅有1个值B．有且仅有2个值C．有且仅有3个值D．有无数多个值
8．一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
10．设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题
11．函数的定义域是
12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则= ；双曲线C的渐近线方程为
13．设，．若对任意的实数x都有，则满足条件的所有可能的取值为 ．
14．若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ．
15．已知函数，设．
给出下列四个结论：
①当时，不存在最小值；
②当时，在为增函数；
③当时，存在实数b，使得有三个零点；
④当时，存在实数b，使得有三个零点．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)若，函数在区间上最小值为，求实数m的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
17．如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点；
(1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
19．已知椭圆E：过点，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．
20．设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求证：．
21．已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：
①（）；
②（）；
③（）
(1)当时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；
(2)若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
(3)当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．
顾客人数
商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
×
√
217
√
√
×
×
200
√
√
√
×
250
√
×
√
×
100
×
×
×
√
133
√
×
√
×
参考答案：
1．B
【分析】先解一元二次不等式确定集合的元素，再由交集运算即可求解；
【详解】由解得，又，所以.
于是.
故选：B.
2．D
【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解.
【详解】由题意，则.
故选：D.
3．A
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的系数.
【详解】在的展开式中，项为，
所以的系数为.
故选：A
4．C
【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得.
【详解】函数在区间上单调递增，A不是；
函数在上单调递增，B不是；
函数在R上单调递减，C是；
函数在上单调递增，D不是.
故选：C
5．B
【解析】由，则或和，则，则，可得出答案.
【详解】若，则或，即或，
所以在△中，“”是“”的不充分条件
若，则，则，
所以在△中，“”是“”的必要条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.
6．A
【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出.
【详解】设，则，
由C：得，即，则，解得，
于是，即，则.
所以.
故选：A.
7．A
【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析判断.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，，
则，解得，
令，
可得，此时满足只有成立；
若，则，
（1）若为奇数，则，不满足；
（2）若为偶数，则，且，
即，可得，即不成立；
综上所述：满足的数值m有且仅有1个值，该值为1.
故选：A.
8．B
【分析】根据给定条件，结合正四棱锥的结构特征，求出正四棱锥的斜高及底面边心距即可计算得解.
【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形边长为6，斜高为，则底面正方形边心距为，
于是正四棱锥的高为，
所以这个容器侧面与底面的夹角正切值为.
故选：B
9．D
【分析】根据向量数量积的坐标运算可得，再利用直线与圆利用数形结合即可得解.
【详解】因为，即，
则曲线表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆，
设点，则，
所以，令，则，
故直线（斜率为-1，纵截距为）与曲线有公共点，如图所示：
直线过点，则，即，
直线与曲线相切，则，解得或（舍去），
所以，则，所以的最大值为.
故选：D.
10．C
【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得.
【详解】由以及可得直线的方程为，
联立，消去整理可得；
所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆；
因此.
故选：C
11．
【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解.
【详解】函数有意义的条件是，解得且，
所以函数定义域为.
故答案为：.
12．
【分析】根据给定条件，求出，再结合双曲线定义及渐近线方程求解即得.
【详解】双曲线C：过点，则，解得，
显然点在双曲线C：的左支上，而实半轴长，虚半轴长，
所以，双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：；
13．，
【分析】根据给定关系式，求出值，再分类求出值.
【详解】由对任意的实数x都有，得或，
当时，，
则，而，因此；
当时，，
则，而，因此，
所以满足条件的所有可能的取值为，.
故答案为：，
14．
【分析】由三角形面积公式可得，可求出；再根据为钝角限定出，利用正弦定理可得，可得其范围是.
【详解】根据题意可得面积，
可得，即，
又易知为锐角，可得；
由正弦定理可得，
因为为钝角，可得，所以；
可得，因此；
故答案为：；；
15．②④
【分析】结合一次函数与二次函数的性质，利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断.
【详解】对于①：当时，，
易知函数在上的最小值为0，
函数，在内单调递增，即，
所以时，函数的最小值为0，故①错误；
对于②：当时，函数，在内单调递减，在内单调递增，
函数的对称轴为，所以在内单调递增，
又，即，解得，
综上可知，当时，在为增函数，故②正确；
对于③：当时，
函数，则，即，存在一个零点；
函数，在内单调递增，与存在一个交点，
又，即，解得或，
于是时，，如下图所示：
综上可知，当时，存在实数b，使得至多有两个零点，故③错误；
④当时，
函数，在内单调递减，在内单调递增，
则与存在两个个交点，
由③知，与存在一个交点，，
又，即，解得或，
于是时，如下图所示：
综上可知，当时，存在实数b，使得有三个零点.
故答案为：②④.
16．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）先用两角和的正弦公式可得，再利用正弦函数的最值可求的值；
（2）根据题意求得的取值范围，再利用正弦函数的单调性和最小值为，列不等式即可得到的取值范围.
【详解】（1）因为，所以．
若选择条件①：对任意的，都有成立，
所以为函数最大值，
得，解得，.
又因为，所以．
若选择条件②：，
所以，化简得，
又因为，所以无解，则不存在．
若选择条件③：，
所以，化简得，
即，解得，解得，，
又因为，所以．
（2）由（1）可知
当时，．
因为在上单调递增，在单调递减，且，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是，即．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点N作交BC于点Q，连接QM，得，进而利用直线与平面平行的性质定理可得，从而可证是平行四边形，则由是的中点可得N为线段AC的中点；
（2）先建立空间直角坐标系，再求得平面的法向量，设，则，进而利用向量法表示线面角，列方程求得，从而即可得到的长.
【详解】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图：

因为，所以，
所以，N，Q，M四点共面．
因为直线平面，平面，平面平面，
所以．所以四边形是平行四边形．
所．所以为的中点．
（2）因为侧面为正方形，所以，
又因平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，，
又因为正方形，，以B为原点，BA，，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图：

因为，
所以，，，，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，
由得即．
取，得．
设，，则，
因为，所以．
所以，，，所以N点坐标为．
因为，所以
设直线与平面所成角为，
则，
解得 ，
所以，即线段的长为．
18．(1)
(2)0.1176
(3)丙的可能性最大
【分析】（1）先根据统计表得出在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品的人数；再利用频率估计概率即可.
（2）先根据统计表得出在这1000位顾客中顾客购买了两种商品、顾客购买一种商品有及顾客购买了三种商品的人数；再利用频率估计概率得出各自的概率；最后利用相互独立的概率公式即可求解.
（3）根据统计表求出在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率及顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率，进行比较即可判断.
【详解】（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中同时购买了甲、乙两种商品有（位）.
所以顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率可以估计为．
（2）设事件A：顾客购买了两种商品，事件B：顾客购买一种商品，事件C：顾客购买了三种商品．
从统计表可以看出，顾客购买了两种商品有（位）；顾客购买一种商品有（位）；顾客购买了三种商品（位）；
所以可估计为，可估计为，可估计为．
依题意，在随机抽取4名顾客中，求恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客个购买一种商品，一名顾客购买了三种商品的概率为：
．
因此所求的概率可估计为0.1176．
（3）因为在这1000位顾客中，顾客同时购买了甲、丙两种商品的概率可以估计为；
顾客同时购买了甲、丁两种商品的概率可以估计为．
所以该顾客购买丙的可能性最大.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由椭圆上的点和离心率列方程求得，即可得到椭圆方程；
（2）由题意，设直线l的方程为，联立方程组利用韦达定理可得，，进而题意求得点的坐标，再由分别直线AQ和直线BQ的方程可得点和点，从而利用以上条件代入化简的值，进而即可得证点F为线段CD的中点.
【详解】（1）由题意得
解得，．
所以椭圆E的方程是．
（2）椭圆E的右焦点F的坐标为，
由题意，设直线l的方程为．
，整理得．
因为，
所以，设直线l交椭圆E于点，，
则，．
由直线l的方程，令，解得，
所以，．
所以直线AQ的方程为，．
令，解得，所以．
直线BQ的方程为，．
令，解得，所以．
．
由于，．
则
，
所以线段CD的中点为F．
20．(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）求出的导数，判断导数得正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2），可得在为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得的定义域为，，
因为．所以，解得.
（2）因为，的定义域为，
，
令，得，
与在区间上的情况如下：
所以在的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）证明：由（2）得，在时，取得最小值1，所以恒成立，
所以在为增函数，又因为，
当时，，所以；
当时，，所以，
综上，.
21．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由性质②得到，结合的通项公式化简得到，求出答案；
（2）根据性质②得到，由性质③得到，两式结合得到，故，，，…是等差数列，设其公差为，结合得到，，得到结论；
（3）当时，由性质③得到，推出，，当时，，满足上式，当时，推出矛盾；当时，构造，推出矛盾，从而证明出结论.
【详解】（1）时，性质②为，
又，故，
化简得，
要想上式总成立，则，解得；
（2）若时，数列满足条件②，得，
数列满足条件③，得，
两式相加，
若时，数列满足条件②，得，
数列满足条件③，得，
两式相加，
由知，，，
代入得得，其中，
所以，，，…是等差数列，设其公差为．
在中，取，则，所以，
在中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
（3）①当时，由性质③得，
即，，
所以，，
若，则，．
经检验，数列具有性质①③．
若，当时，，与矛盾．
②当时，令，
则，．
所以．
所以．
所以，，
所以，，…，．
所以．
当时，，与矛盾．
综上所述，只有当，即，且时满足①③，
故数列为常数列.
【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
x
0
-
0
+
递减
极小
递增