2024年宝鸡市高考模拟检测（三）数学（理）试卷及参考答案

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 14. 15. 16.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 【详解】（1）由题意知， …………………1分
， …………………3分
所以 …5分，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．…………………6分
， …………………8分
， …………………10分
所以关于的回归直线方程为． …………………11分
当时，，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人． …………12分
18.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
, ……………2分
解得， ……………4分
所以； ……………6分
（2）由（1）可知，， ……………8分
对于任意，有， ……………9分
所以， ……………10分
故数列的前2024项和为
.
……………12分
19.【详解】(1)
（1）取棱中点D，连接，因为，所以
因为三棱柱，所以， …………1分
所以，所以
因为，所以，；
因为，，所以，所以， ………2分
同理，
因为，且，平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面； …………4分
(2)
取中点O，连接，取中点P，连接，则，
由（1）知平面，所以平面因为平面，平面，所以，，
因为，则 …………6分
以O为坐标原点，，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，， …………7分
可设点，，
，，，
设面的法向量为，得，
取，则，，所以 …………9分
设直线与平面所成角为，
则
…………10分
若，则，
若，则， …………11分
当且仅当，即时，等号成立，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值. …………12分
20. 【详解】（1）设椭圆焦距为，
由题意可得c=1，有① …………1分
又因为直线AB方程为
所以② …………2分
联立①②解得：
故椭圆方程为 …………4分
（2）①当斜率不存在时，易知； …………6分
②当斜率存在时，设，
由，得，显然，
所以，， …………8分
因为
所以 …………9分
因为，又，
设，则，，解得且，
所以 …………11分
综上可得的取值范围为． …………12分
21.【详解】:（1）由得 …………1分
当，时，， …………3分
所以，的单调递增区间是 …………4分
（2）不等式恒成立等价于在上恒成立，
令，则由可得， …………5分
∵可以看作是关于的一次函数，单调递增，
∴令，对于，，恒成立.
只需证明即可.
①当，，
则，在上单调递减，又，
所以此时恒成立. …………6分
②当时，恒成立，所以在上单调递增，又，所以此时恒成立. …………7分
③当时，单调递增，
，，所以在上存在唯一的，使得，
当时，，当时，，
所以在时单调递减，在时单调递增.
∴，，
∴恒成立，故恒成立， …………8分
∴. …………9分
（3）由（2）可知
…………10分
令，，，，2，…，8，
可得到， …………11分
从而，
即得证. …………12分
22．【详解】（1）曲线的普通方程为，表示一个以为圆心，2为半径的圆： …………2分
曲线的极坐标方程可化为，故对应的直角坐标方程为.
…………4分
（2）将两方程联立得得， ………6分
由于两方程表示的曲线均关于轴对称，所以只要关于的方程有两个大于0的不等实根，
即代表两个曲线有4个不同交点，因此有 …………9分
解得. …………10分
23.【详解】（1）因为，所以 …2分
当时，可化为，解得，
当时，可化为，无解，
当时，可化为，解得， …………4分
综上：不等式解集为； …………5分
（2）因为在上恒成立，即任上恒成立，因为，所以，
故原不等式可化为， …………7分
即或，即或，所以只需或，
因为，所， ………9分
所以 …………10分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
B
C
B
C
D
A
A
C
B
D