八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份八年级下学期期中考试数学试卷，共26页。
A．B．C．D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
3．如图，∠DAC＝∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．DC＝BCB．AB＝ADC．∠D＝∠BD．∠DCA＝∠BCA
4．在△ABC中，到三边距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点D．三边中线的交点
5．已知正多边形的一个内角为144°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12B．10C．8D．6
6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．360°B．480°C．540°D．720°
7．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为（ ）
A．40B．46C．48D．50
8．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝58°，则∠AEB的度数是（ ）
A．124°B．122°C．120°D．118°
9．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP； ④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的有（ ）
A．②③B．①②④C．③④D．①②③④
10．如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（ ）
A．α﹣β＝2xB．2β+α＝90°+2x
C．β+α＝90°+xD．β+2α＝180°﹣2x
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上。
11．点P（﹣1，3）关于x轴对称的点的坐标是 ．
12．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，则∠C＝ 度．
13．如图，△ABC中，D在BC边上，E在AC边上，且DE垂直平分AC．若△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为 ．
14．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 ．
15．在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ．
16．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程。
17．如图，已知AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF，求证：CD∥AB．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度数．
19．如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）求证：AF＝BF．
20．如图，在14×7的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段ED和三角形ABC的顶点都在格点上．
（1）直接写出S△ABC＝ ；
（2）请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）；
①画出△ABC的高BH；
②在线段ED右侧找一点F，使得△ABC≌△EFD；
③在②的条件下，在线段ED上找一点G，使∠DFG＝45°．
21．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC内取一点O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M为垂足．
（1）求AM的长；
（2）求证：AO＝CO．
22．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP．
（1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP；
（2）如图2，当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明．
23．已知：等边△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE＝DC，CE，BD交于点F．
（1）如图1，求证：△ABD≌△BCE；
（2）如图2，过点E作EG⊥BD于G，请写出CF，FG和BD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG并延长交BC于点H，若FG＝FC，求证：点H是BC的中点．
24．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），连接AB，点P（0，t）是y轴上的一动点，以BP为一直角边构造等腰直角△BPC（B，P，C的顺序为顺时针），且∠BPC＝90°，过点A作AD∥x轴并与直线BC交于点D，连接PD．
（1）如图1，当t＝2时，求点C的坐标；
（2）如图2，当t＞0时，求证：∠ADC＝∠PDB；
（3）如图3，当t＜0时，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．下列平面图形中，不是轴对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可．
解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：C．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cmD．5cm，5cm，11cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
3．如图，∠DAC＝∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．DC＝BCB．AB＝ADC．∠D＝∠BD．∠DCA＝∠BCA
【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．
解：A、DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，不能判定△ABC≌△ADC，故此选项符合题意；
B、AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
C、∠B＝∠D，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
D、∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；
故选：A．
4．在△ABC中，到三边距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点D．三边中线的交点
【分析】题目要求到三边的距离相等，观察四个选项看哪一个能够满足此要求，利用角的平分线的性质判断即可选项D是可选的．
解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：B．
5．已知正多边形的一个内角为144°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【分析】根据正多边形的一个内角是144°，则知该正多边形的一个外角为36°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
解：∵正多边形的一个内角是144°，
∴该正多边形的一个外角为36°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数＝＝10，
∴这个正多边形的边数是10．
故选：B．
6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．360°B．480°C．540°D．720°
【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，
在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，
∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故选：A．
7．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为（ ）
A．40B．46C．48D．50
【分析】求出∠ABD＝∠ACF，根据ASA证△ABD≌△ACF，推出AD＝AF，得出AB＝AC＝2AD＝2AF，求出AF长，求出AB、AC长，根据三角形的面积公式得出△FBC的面积等于BF×AC，代入求出即可．
解：∵CE⊥BD，
∴∠BEF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF＝90°，
∴∠FAC＝∠BAD＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中
，
∴△ABD≌△ACF，
∴AD＝AF，
∵AB＝AC，D为AC中点，
∴AB＝AC＝2AD＝2AF，
∵BF＝AB+AF＝12，
∴3AF＝12，
∴AF＝4，
∴AB＝AC＝2AF＝8，
∴△FBC的面积是×BF×AC＝×12×8＝48，
故选：C．
8．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝58°，则∠AEB的度数是（ ）
A．124°B．122°C．120°D．118°
【分析】证明△ACE≌△BCD，得出∠DBC＝∠CAE，进而再通过角之间的转化，可最终求解出结论．
解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD＝58°，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
又∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，∠ECD＝∠BCE+∠BCD，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠DBC＝∠CAE，
∴58°﹣∠EBC＝60°﹣∠BAE，
∴58°﹣（60°﹣∠ABE）＝60°﹣∠BAE，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣52°＝118°．
故选：D．
9．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP； ④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的有（ ）
A．②③B．①②④C．③④D．①②③④
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB＝OC＝OP，即可解题；
②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC＝2∠ABD＝60°，即可解题；
③AB上找到Q点使得AQ＝OA，易证△BQO≌△PAO，可得PA＝BQ，即可解题；
④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和RT△ABD≌RT△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．
解：如图，
①连接OB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；
②∵△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，
△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，
∴∠POC＝2∠ABD＝60°，
∵PO＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ＝OA，则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO＝∠PAO＝120°，
在△BQO和△PAO中，
，
∴△BQO≌△PAO（AAS），
∴PA＝BQ，
∵AB＝BQ+AQ，
∴AC＝AO+AP，故③正确；
④作CH⊥BP，
∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，
∴∠PCH＝∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD＝S△CHP
∴CH＝CD，
∵CD＝BD，
∴BD＝CH，
在RT△ABD和RT△ACH中，
，
∴RT△ABD≌RT△ACH（HL），
∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．
故选：D．
10．如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（ ）
A．α﹣β＝2xB．2β+α＝90°+2x
C．β+α＝90°+xD．β+2α＝180°﹣2x
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝α，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形外角的性质即可得到∠OQP＝∠AON＝β+x，进而得到α＝β+x+x＝β+2x，由此即可解决问题．
解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝α，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∵∠AON＝∠QNO+∠AOB＝β+x，
∴∠OQP＝∠AON＝β+x，
∵∠NPQ＝∠OQP+∠AOB，
∴α＝β+x+x＝β+2x
∴α﹣β＝2x．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上。
11．点P（﹣1，3）关于x轴对称的点的坐标是 （﹣1，﹣3） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
解：点P（﹣1，3）关于x轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
12．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，则∠C＝ 80 度．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得．
解：∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵∠C＝2∠B，
∴∠C＝80°．
13．如图，△ABC中，D在BC边上，E在AC边上，且DE垂直平分AC．若△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为 4cm ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13（cm），
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm，
故答案为：4cm．
14．在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 9＜AB＜19 ．
【分析】如图，延长AD到E使DE＝AD，连接BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得出BE＝AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
解：延长AD到E使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD．
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5．
∵AD＝7，
∴AE＝14．
由三角形的三边关系为：
14﹣5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故答案为：9＜AB＜19．
15．在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 （3，4）、（4，1）、（2，2） ．
【分析】分三种情形讨论求解即可．当AB＝AC，∠BAC＝90°时，作CE⊥x轴于E．由△AOB≌△CEA，推出AE＝OB＝3，CE＝OA＝1，可得C点坐标，同法可得，当AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，4），当AB是等腰直角三角形的斜边时，C″是BC的中点，C″（2，2）．
解：如图，当AB＝AC，∠BAC＝90°时，作CE⊥x轴于E．
∵∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，
∴∠ABO＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△AOB≌△CEA，
∴AE＝OB＝3，CE＝OA＝1，
∴C（4，1），
同法可得，当AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，4），
当AB是等腰直角三角形的斜边时，C″是BC的中点，C″（2，2），
综上所述，满足条件的点C的坐标为（4，1）或（2，2）或（3，4）．
16．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 18 ．
【分析】作作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，AI⊥BC于I，根据同一三角形的面积相等求出AB＝14，在根据翻折变换，把△PMB的最小值，转化为求PB+PM的最小值即可．
解：作DG⊥AC于G，DH⊥AB于H，AI⊥BC于I，
由折叠的性质可知：∠CAD＝∠BAD，AC＝CM＝6，CP＝PM，
∵DG⊥AC，DH⊥AB，
∴DG＝DH，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝14，
BM＝14﹣6＝8，
要求△PMB的最小值，就转化为求PB+PM的最小值，
∵PC+PB＞BC，
当P与D重合时，PC+PB取最小值，即BD+CD＝10，
∴△PMB的最小值为PM+PB+BM＝10+8＝18．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程。
17．如图，已知AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF，求证：CD∥AB．
【分析】先证出∠DFC＝∠AEB＝90°，CF＝BE，再证Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），由全等三角形的性质得∠C＝∠B，即可得出结论．
【解答】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC＝∠AEB＝90°，
又∵CE＝BF，
∴CE﹣EF＝BF﹣EF，
即CF＝BE，
在Rt△DFC和Rt△AEB中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），
∴∠C＝∠B，
∴CD∥AB．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度数．
【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，那么∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．因为△BDE是等腰三角形，所以∠E＝∠DBC＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠CDE的度数．
解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝20°．
19．如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）求证：AF＝BF．
【分析】（1）根据正五边形内角和得每个内角度数，进而可得结果；
（2）连接DA和DB，证明△AED≌△BCD可得AD＝BD，再证明Rt△DAF≌Rt△DFB即可得结论．
【解答】（1）解：在正五边形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
在四边形BCDF中，
∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°，
∴∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°；
（2）证明：如图，连接DB、AD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC，
在△AED和△BCD中，
，
∴△AED≌△BCD（SAS），
∴AD＝BD，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠DFB＝90°，
Rt△DAF和Rt△DFB，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），
∴AF＝BF．
20．如图，在14×7的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段ED和三角形ABC的顶点都在格点上．
（1）直接写出S△ABC＝ 9 ；
（2）请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）；
①画出△ABC的高BH；
②在线段ED右侧找一点F，使得△ABC≌△EFD；
③在②的条件下，在线段ED上找一点G，使∠DFG＝45°．
【分析】（1）利用分割法求解即可；
（2）①取格点T，连接BT交AC于点H，线段BH即为所求；
②利用数形结合的思想，作出EF＝BC，DF＝AB即可；
③取格点K，连接DK，KF交DE于点G即可（△KDF是等腰直角三角形）．
解：（1）S△ABC＝3×7﹣×1×7﹣×2×4﹣×3×3＝21﹣3.5﹣4﹣4.5＝9；
故答案为9；
（2）①如图，线段BH即为所求．
②如图，△EFD即为所求．
③如图，点G即为所求．
21．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC内取一点O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M为垂足．
（1）求AM的长；
（2）求证：AO＝CO．
【分析】（1）求出∠ABO＝30°，由直角三角形的性质可得出答案；
（2）过点O作OP⊥AC交AC于点P，证明△AMO≌△APO（AAS），由全等三角形的性质得出AM＝AP＝3，由等腰三角形的性质可得出结论．
解：（1）∵AB＝BO，
∴∠BAO＝∠BOA，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵∠CAO＝15°，
∴∠BAO＝∠BOA＝75°，
∴∠ABO＝30°，
∵AM⊥BO，
∴AB＝2AM，
∵AB＝6，
∴AM＝3；
（2）证明：过点O作OP⊥AC交AC于点P，
∵∠BAO＝45°，∠BAM＝60°，
∴∠MAO＝15°，
∵∠OAC＝15°，
∴∠MAO＝∠OAC，
∵AM⊥BO，
∴∠AMO＝∠APO，
在△AMO和△APO中，
，
∴△AMO≌△APO（AAS），
∴AM＝AP＝3，
∵AC＝6，
∴PC＝3，
∴AP＝CP＝3，
∵OP⊥AC，
∴AO＝OC．
22．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP．
（1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP；
（2）如图2，当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明．
【分析】（1）在AM上截取AG＝AN，证明△MNG≌△PNA（SAS），由全等三角形的性质得出MG＝AP，则可得出结论；
（2）延长NA至H，使AH＝AM，证明△HMN≌△AMP（SAS），由全等三角形的性质得出NH＝AP＝AN+AH＝AN+AM．则可得出结论．
【解答】（1）证明：在AM上截取AG＝AN，
∵∠AOB＝60°，
∴△ANG为等边三角形，
∴AN＝AG，∠AGN＝60°，
∴∠AGN＝∠GMN+∠MNG＝60°，
又∵△MNP是等边三角形，
∴∠NMP＝60°，
∴∠NMG+∠AMP＝60°，
∴∠MNG＝∠AMP，
在△MNG和△PNA中，
，
∴△MNG≌△PNA（SAS），
∴MG＝AP，
∴AM＝MG+GA＝AP+AN．
（2）解：AP＝AN+AM，
证明如下：延长NA至H，使AH＝AM，
∵∠OAB＝∠HAM＝60°，
∴△AMH为等边三角形，
∴MH＝AM，∠HMA＝60°，
在△HMN和△AMP中，
，
∴△HMN≌△AMP（SAS），
∴NH＝AP＝AN+AH＝AN+AM．
23．已知：等边△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AE＝DC，CE，BD交于点F．
（1）如图1，求证：△ABD≌△BCE；
（2）如图2，过点E作EG⊥BD于G，请写出CF，FG和BD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG并延长交BC于点H，若FG＝FC，求证：点H是BC的中点．
【分析】（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）如图2中，结论：BD＝2GF+CF．利用全等三角形的性质以及直角三角形30°的性质解决问题即可；
（3）如图3中，连接CG，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N．证明GM＝GN，推出AG平分∠BAC，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠CBE＝60°，AB＝AC，
∵AE＝CD，
∴AB﹣AE＝AC﹣CD，即BE＝AD，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）解：如图2中，结论：BD＝2GF+CF．
∵△ABD≌△BCE，
∴BD＝EC，∠ABD＝∠BCE，
∴∠BFE＝∠CBF+∠BCF+∠ABD＝∠ABC＝60°，
∵EG⊥BD，
∴∠EGF＝90°，
∴∠GEF＝90°﹣60°＝30°，
∴EF＝2FG，
∴BD＝EC＝EF+CF＝2FG+CF；
（3）证明：如图3中，连接CG，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N．
∵FG＝FC，
∴∠FCG＝∠FGC，
∵∠EFG＝∠FGC+∠FCG＝60°，
∴∠FGC＝∠FCG＝30°，
∵∠EGF＝90°，
∴∠CGE＝∠CGF+∠EGF＝120°，
∴∠GEC＝∠GCE＝30°，
∴GE＝GC，
∵∠AMG＝∠ANG＝90°，∠MAN＝60°，
∴∠MGN＝∠EGC＝120°，
∴∠EGM＝∠CGN，
在△GME和△GNC中，
，
∴△GME≌△GNC（AAS），
∴GM＝GN，
∵GM⊥AB，GN⊥AC，
∴AG平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AH平分线段BC，
∴BH＝HC．
24．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），连接AB，点P（0，t）是y轴上的一动点，以BP为一直角边构造等腰直角△BPC（B，P，C的顺序为顺时针），且∠BPC＝90°，过点A作AD∥x轴并与直线BC交于点D，连接PD．
（1）如图1，当t＝2时，求点C的坐标；
（2）如图2，当t＞0时，求证：∠ADC＝∠PDB；
（3）如图3，当t＜0时，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．
【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥y轴于点H．证明△CHP≌△POB（AAS），推出CH＝OP，PH＝OB，可得结论；
（2）如图2中，过点B作BJ⊥AD交AD的延长线于点J，在AJ的延长线上截取JK，使得JK＝OP，连接BK．证明△DBP＝∠BDK（SAS），可得结论；
（3）过点B作BJ⊥AD交AD的延长线于点J，在AJ上截取JK，使得JK＝OP，连接BK．证明△DBP＝∠BDK（SAS），推出PD＝DK，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，过点C作CH⊥y轴于点H．
∵∠CHP＝∠POB＝∠BPC＝90°，
∴∠CPH+∠OPB＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，
∴∠CPH＝∠OBP，
在△CHP和△POB中，
，
∴△CHP≌△POB（AAS），
∴CH＝OP，PH＝OB，
∵B（4，0），P（0，2），
∴OB＝PH＝4，OP＝CH＝2，
∴OH＝OP+PH＝6，
∴C（2，6）；
（2）证明：如图2中，过点B作BJ⊥AD交AD的延长线于点J，在AJ的延长线上截取JK，使得JK＝OP，连接BK．
∵AD∥x轴，BJ⊥AD，
∴∠AOB＝∠AJB＝∠OBJ＝90°，
∴四边形OAJB是矩形，
∵OA＝OB＝4，
∴四边形OAJB是正方形，
∴BO＝BJ，
在△BOP和△BJK中，
，
∴△BOP≌△BJK（SAS），
∴∠PBO＝∠KBJ，BP＝BK，
∵∠PBD＝45°，∠OBJ＝90°，
∴∠DBK＝∠DBJ+∠KBJ＝∠DBJ+∠PBO＝45°，
∴∠DBP＝∠DBK＝45°，
在△BDP和△BDK中，
，
∴△DBP＝∠BDK（SAS），
∴∠PDB＝∠KDB，
∵∠ADC＝∠KDB，
∴∠ADC＝∠PDB；
（3）解：过点B作BJ⊥AD交AD的延长线于点J，在AJ上截取JK，使得JK＝OP，连接BK．
∵AD∥x轴，BJ⊥AD，
∴∠AOB＝∠AJB＝∠OBJ＝90°，
∴四边形OAJB是矩形，
∵OA＝OB＝4，
∴四边形OAJB是正方形，
∴BO＝BJ，
在△BOP和△BJK中，
，
∴△BOP≌△BJK（SAS），
∴∠PBO＝∠KBJ，BP＝BK，
∴∠PBK＝∠OBJ＝90°
∵∠PBD＝45°，
∴∠DBP＝∠DBK＝45°，
在△BDP和△BDK中，
，
∴△DBP＝∠BDK（SAS），
∴PD＝DK，
∴DP﹣AD＝DK﹣AD＝AK＝AJ﹣JK＝4+t．