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江苏省泰州市兴化市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 （原卷版+解析版）
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请注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简分式的定义进行判断．
【详解】解：A、符合最简分式定义，所以A选项是最简分式，符合题意；
B、，所以B选项不是最简分式，不符合题意；
C、，所以C选项不是最简分式，不符合题意；
D、，所以D选项不是最简分式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不合题意；
D、是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
3. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而DE平分，进一步推出，在同一三角形中，根据等角对等边得，则可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用及等腰三角形的判定，理解其性质及等腰三角形的判定是解题关键．
4. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式性质即可求解．
【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到：
因为分式的值不变
所以是同时含有和的一次二项式
故选：A
【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键．
5. 在函数（，为常数）的图象上有三点（－3，）、（－2，）、（4，），则函数值的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由||＞0，可得－||＜0，从而得到反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，随增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵||＞0，
∴－||＜0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，随增大而增大，(－3，)、(－2，)在第二象限，(4，)在第四象限，
∴它们的大小关系是：．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比函数的图象和性质是解题的关键．
6. 点，是反比例函数第一象限图象上的两点，设，则不经过第（ ）象限
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象性质以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定的符号．
首先根据题意分两种情况：当时，，即可确定；当时，，即可确定；从而得出，然后再根据,确定一次函数的图象所在象限即可求解．
【详解】解：点， 是反比例函数第一象限图象上的两点，
当时，，
∴，，
∴，
，
，
当时，，
∴，，
∴
，
综上，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，不过第一象限；
故选：A．
第二部分 非选择题部分（共132分）
二、填空题（每题3分，计30分）
7. 若，则____．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是把化成．先把要求的式子化成，再代值计算即可．
【详解】解：，
．
故答案为：0
8. 当时，分式无意义，则____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，能熟记当分母时分式、为整式）无意义是解此题的关键．
根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：当时，分式无意义，
∴
．
故答案为：2．
9. 如果反比例函数y=的图象经过点P（-3，1），那么k=______．
【答案】-3
【解析】
【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），
由图象可知，函数经过点P（-3，1），
∴1=，得k=-3．
故答案为-3．
【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点．
10. 如图，的对角线，交于点O，E，F分别是，的中点．若，的周长是，则的长为____．
【答案】4
【解析】
【分析】首先由的对角线，相交于点，求得，，又由，可求得的长，继而求得的长，然后由三角形中位线的性质，求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的周长是，
，
点，分别是线段，的中点，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意由平行四边形的性质求得的长是关键．
11. 已知菱形的周长是，一条对角线长为，则菱形的面积为______ ，
【答案】216
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：如图，四边形是菱形，，
，，，
菱形周长为，
，
在直角三角形中，，
，
，
菱形的面积，
故答案：
12. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到x的值，代入整式方程进行求解．
【详解】解：去分母，得：，
∵方程有增根；
∴，
∴，代入整式方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程．解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值，是解题的关键．
13. 已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据k>0，2≤x≤4，确定y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大，由此得到当x=2时，y1的最大值为=a，当x=2时，y2的最小值为−=a−4，列式-a=a-4计算即可求出答案．
【详解】解：∵k>0，2≤x≤3，
∴y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大．
∴当x=2时，y1的最大值为=a，
当x=2时，y2的最小值为−=a−4．
∴−a=a−4，解得a=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查反比例函数y=的性质：当k>0时，每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，每个象限内y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．
14. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长为9，宽为3，则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题属矩形的折叠问题，主要考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
由矩形的性质得，由折叠得，，根据勾股定理得，求得，则，由，得，则，所以，作于点，则四边形是矩形，所以，，则，由勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，
由折叠得，，
，且，
，
解得，
，
，
，
，
，
作于点，
则，，
四边形矩形，
，，
，
，
故答案为：．
15. 已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的所有值为_____．
【答案】0，2，3
【解析】
【分析】本题考查了分式的值，根据x为整数，且分式的值为整数，可得2是的倍数，可得答案．
【详解】解：根据分式的约分，因式分解后可知，然后根据分式的值为整数，可知
当时，分式值为；
当时，分式无意义，不合要求；
当时，分式值为2；
当时，分式值为1；
当时，分式无意义，.
故答案为0，2，3
16. 如图，点M在线段上，且、，以M为顶点作正方形，当最小时，的最小值是____．
【答案】2.4
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．
构造，，证明，则最小值等于最小值，易得当点在线段上时最小，易得时，的值最小．
【详解】
解：如图，作，，
，
，
，
易得当点在线段上时最小，
即点在线段上，
易得时，的值最小，
此时．
故答案为：2.4．
三、解答题（计102分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）把分子同分子相乘，分母同分母相乘，再约分即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【小问1详解】
解： ，
方程两边都乘，得，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
【小问2详解】
解：，
，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解．
19. 在长度单位为1的正方形网格中．
（1）将平移，使点C与点重合，作出平移后的，并计算平移的距离．
（2）将绕点顺时针方向旋转，画出旋转后的，并计算的长．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；利用勾股定理求出的长，即为平移的距离．
（2）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理计算的长即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
连接，
由勾股定理得，，
平移的距离为．
【小问2详解】
如图，即为所求．
由勾股定理得，．
20. 如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点．
（1）求证：；
（2）当时，判断四边形的形状？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出；
（2）证出四边形是菱形，由菱形的性质得出，即可得出四边形为矩形．
【小问1详解】
证明：，，
四边形平行四边形，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
当时，四边形为矩形；理由如下：
，四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形为矩形．
21. 如图在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，．
（1）分别求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）写出不等式上的解集．
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，再根据图象上点的坐标满足函数解析式，可得点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的区域，可得答案；
（3）根据可得答案．
【小问1详解】
解：把代入，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：如图所示，设直线与y轴交于C，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用了图象法解不等式，三角形面积的和差求三角形的面积．掌握用待定系数法求函数解析式和图象法求不等式解集是解题的关键．
22. 某中学为了奖励在校园艺术节表现突出的学生，准备在商店购买A、B两种文具作为奖品，已知A种文具的单价比B种文具的单价少4元，而用240元购买A种文具的数量是用160元购买B种文具的数量的2倍．
（1）求A种文具的单价；
（2）根据需要，学校准备在该商店购买A、B两种文具共200件，学校购买两种奖品的总费用不超过2820元，求学校购买A种文具的数量至少是多少件？
【答案】（1）种文具单价为元
（2）学校购买种文具至少件
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用题，一元一次不等式的应用，理解题意并根据等量关系列分式方程是解题的关键.
（1）设种文具单价为元，根据“用240元购买A种文具的数量是用160元购买B种文具的数量的2倍”列分式方程，求解即可；
（2）设购买种文具数量为件，根据“购买两种奖品的总费用不超过元”列一元一次不等式，求解即可.
【小问1详解】
设种文具单价元，
根据题意，得 ，
解得：
经检验：是方程的根，且符合题意，
∴种文具单价为元；
答：A种文具的单价为元．
【小问2详解】
设购买种文具数量为件，
∵ 种文具的单价为(元),
根据题意，得，
解得
∴学校购买种文具至少件．
答：学校购买A种文具的数量至少是件．
23. 如图，中，，是斜边上的中线，分别过点A，C作，两线交于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当，时，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用；掌握以上基础知识是解本题的关键；
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得结论；
（2）先证明，可得，，求解，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∴，，
∴，，
由勾股定理得，
∴．
24. 观察下列等式：
，
，
，
（1）依此规律进行下去，第5个等式为 ，猜想第个等式为 ；
（2）证明（1）中猜想的第个等式．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据给定的等式的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；
（2）利用统分的方法即可得出等式的左边=等式右边，此题得证．
【小问1详解】
解：第5个等式为，猜想第个等式为；
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：等式左边，等式右边，
∴等式左边=等式右边
即
证毕．
【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，根据数据的变化找出变化规律是解题的关键．
25. 已知，如图①，在矩形中，，，点P在边上，，点Q在边上，连接，以为边在左侧作正方形．当Q在边上运动时，点E、F也随之运动．
（1）当点Q与点B重合时如图②，求的长；
（2）在点Q运动的过程中，连接、，判断的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
（3）在点Q由B向C运动的过程中，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）不变，9 （3）
【解析】
【分析】（1）延长交于点，利用矩形的判定与性质，正方形的性质和勾股定理解答即可；
（2）过点作于点，延长交于点，利用矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，这样的底与高均为定值，则结论可求；
（3）在点由向运动的过程中，当点与点重合时，的长取得最小值为；当点与点重合时，的长取得最大值，点与点重合，过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点，利用（2）中的方法解答即可得出结论．
【小问1详解】
解：当点与点重合时，延长交于点，如图，
四边形为矩形，四边形为正方形，点与点重合，
，，
四边形为矩形，
，，．
，，
，
．
．
【小问2详解】
解：的面积不会发生变化，的面积为9．理由：
过点作于点，延长交于点，如图，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
．
在和中，
，
，
．
四边形为矩形，四边形为正方形，
四边形为矩形，
，
，
的底为，边上的高为，
的面积不会发生变化，的面积为；
【小问3详解】
解：在点由向运动的过程中，当点与点重合时，的长取得最小值为；
当点与点重合时，的长取得最大值．
如图，点与点重合，过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，．
．
，，，
四边形为矩形，
，．
，
的长的最大值．
在点由向运动的过程中，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，动点问题的变化规律，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26. 如图，动点P在反比例函数的图象上，且点P的横坐标为，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数的图象于点A、B，连接．
（1）当，时．
①直接写出点P、A、B的坐标（用m的代数式表示）；
②当时，求m的值．
（2）与x轴和y轴相交与点E、F，与有怎么样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①，；②
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定：
（1）①求出点P的坐标，进而求出点A的横坐标和点B的纵坐标，再代入对应的解析式求解即可；②根据①所求表示出，再由建立方程求解即可；
（2）设分别与x轴，y轴交于M、N，则，求出，，进而得到直线解析式为，可得，则，证明，即可得到．
【小问1详解】
解：在中，当时，，在中，当时，，
∴，
在中，当时，
∴；
②∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
【小问2详解】
解：，理由如下：
设分别与x轴，y轴交于M、N，
∴
由题意得，
∴，，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
请注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简分式的定义进行判断．
【详解】解：A、符合最简分式定义，所以A选项是最简分式，符合题意；
B、，所以B选项不是最简分式，不符合题意；
C、，所以C选项不是最简分式，不符合题意；
D、，所以D选项不是最简分式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不合题意；
D、是中心对称图形，故D符合题意；
故选：D．
3. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而DE平分，进一步推出，在同一三角形中，根据等角对等边得，则可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用及等腰三角形的判定，理解其性质及等腰三角形的判定是解题关键．
4. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式性质即可求解．
【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到：
因为分式的值不变
所以是同时含有和的一次二项式
故选：A
【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键．
5. 在函数（，为常数）的图象上有三点（－3，）、（－2，）、（4，），则函数值的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由||＞0，可得－||＜0，从而得到反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，随增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵||＞0，
∴－||＜0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，随增大而增大，(－3，)、(－2，)在第二象限，(4，)在第四象限，
∴它们的大小关系是：．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比函数的图象和性质是解题的关键．
6. 点，是反比例函数第一象限图象上的两点，设，则不经过第（ ）象限
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象性质以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定的符号．
首先根据题意分两种情况：当时，，即可确定；当时，，即可确定；从而得出，然后再根据,确定一次函数的图象所在象限即可求解．
【详解】解：点， 是反比例函数第一象限图象上的两点，
当时，，
∴，，
∴，
，
，
当时，，
∴，，
∴
，
综上，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，不过第一象限；
故选：A．
第二部分 非选择题部分（共132分）
二、填空题（每题3分，计30分）
7. 若，则____．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是把化成．先把要求的式子化成，再代值计算即可．
【详解】解：，
．
故答案为：0
8. 当时，分式无意义，则____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，能熟记当分母时分式、为整式）无意义是解此题的关键．
根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：当时，分式无意义，
∴
．
故答案为：2．
9. 如果反比例函数y=的图象经过点P（-3，1），那么k=______．
【答案】-3
【解析】
【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），
由图象可知，函数经过点P（-3，1），
∴1=，得k=-3．
故答案为-3．
【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点．
10. 如图，的对角线，交于点O，E，F分别是，的中点．若，的周长是，则的长为____．
【答案】4
【解析】
【分析】首先由的对角线，相交于点，求得，，又由，可求得的长，继而求得的长，然后由三角形中位线的性质，求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的周长是，
，
点，分别是线段，的中点，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意由平行四边形的性质求得的长是关键．
11. 已知菱形的周长是，一条对角线长为，则菱形的面积为______ ，
【答案】216
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：如图，四边形是菱形，，
，，，
菱形周长为，
，
在直角三角形中，，
，
，
菱形的面积，
故答案：
12. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到x的值，代入整式方程进行求解．
【详解】解：去分母，得：，
∵方程有增根；
∴，
∴，代入整式方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程．解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值，是解题的关键．
13. 已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据k>0，2≤x≤4，确定y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大，由此得到当x=2时，y1的最大值为=a，当x=2时，y2的最小值为−=a−4，列式-a=a-4计算即可求出答案．
【详解】解：∵k>0，2≤x≤3，
∴y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大．
∴当x=2时，y1的最大值为=a，
当x=2时，y2的最小值为−=a−4．
∴−a=a−4，解得a=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查反比例函数y=的性质：当k>0时，每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，每个象限内y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．
14. 如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长为9，宽为3，则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题属矩形的折叠问题，主要考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
由矩形的性质得，由折叠得，，根据勾股定理得，求得，则，由，得，则，所以，作于点，则四边形是矩形，所以，，则，由勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，
由折叠得，，
，且，
，
解得，
，
，
，
，
，
作于点，
则，，
四边形矩形，
，，
，
，
故答案为：．
15. 已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的所有值为_____．
【答案】0，2，3
【解析】
【分析】本题考查了分式的值，根据x为整数，且分式的值为整数，可得2是的倍数，可得答案．
【详解】解：根据分式的约分，因式分解后可知，然后根据分式的值为整数，可知
当时，分式值为；
当时，分式无意义，不合要求；
当时，分式值为2；
当时，分式值为1；
当时，分式无意义，.
故答案为0，2，3
16. 如图，点M在线段上，且、，以M为顶点作正方形，当最小时，的最小值是____．
【答案】2.4
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．
构造，，证明，则最小值等于最小值，易得当点在线段上时最小，易得时，的值最小．
【详解】
解：如图，作，，
，
，
，
易得当点在线段上时最小，
即点在线段上，
易得时，的值最小，
此时．
故答案为：2.4．
三、解答题（计102分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）把分子同分子相乘，分母同分母相乘，再约分即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【小问1详解】
解： ，
方程两边都乘，得，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
【小问2详解】
解：，
，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解．
19. 在长度单位为1的正方形网格中．
（1）将平移，使点C与点重合，作出平移后的，并计算平移的距离．
（2）将绕点顺时针方向旋转，画出旋转后的，并计算的长．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；利用勾股定理求出的长，即为平移的距离．
（2）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理计算的长即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
连接，
由勾股定理得，，
平移的距离为．
【小问2详解】
如图，即为所求．
由勾股定理得，．
20. 如图，平行四边形的对角线、交于点，分别过点、作，，连接交于点．
（1）求证：；
（2）当时，判断四边形的形状？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出；
（2）证出四边形是菱形，由菱形的性质得出，即可得出四边形为矩形．
【小问1详解】
证明：，，
四边形平行四边形，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
当时，四边形为矩形；理由如下：
，四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形为矩形．
21. 如图在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，．
（1）分别求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）写出不等式上的解集．
（3）求的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，再根据图象上点的坐标满足函数解析式，可得点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象在反比例函数图象上方的区域，可得答案；
（3）根据可得答案．
【小问1详解】
解：把代入，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：如图所示，设直线与y轴交于C，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用了图象法解不等式，三角形面积的和差求三角形的面积．掌握用待定系数法求函数解析式和图象法求不等式解集是解题的关键．
22. 某中学为了奖励在校园艺术节表现突出的学生，准备在商店购买A、B两种文具作为奖品，已知A种文具的单价比B种文具的单价少4元，而用240元购买A种文具的数量是用160元购买B种文具的数量的2倍．
（1）求A种文具的单价；
（2）根据需要，学校准备在该商店购买A、B两种文具共200件，学校购买两种奖品的总费用不超过2820元，求学校购买A种文具的数量至少是多少件？
【答案】（1）种文具单价为元
（2）学校购买种文具至少件
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用题，一元一次不等式的应用，理解题意并根据等量关系列分式方程是解题的关键.
（1）设种文具单价为元，根据“用240元购买A种文具的数量是用160元购买B种文具的数量的2倍”列分式方程，求解即可；
（2）设购买种文具数量为件，根据“购买两种奖品的总费用不超过元”列一元一次不等式，求解即可.
【小问1详解】
设种文具单价元，
根据题意，得 ，
解得：
经检验：是方程的根，且符合题意，
∴种文具单价为元；
答：A种文具的单价为元．
【小问2详解】
设购买种文具数量为件，
∵ 种文具的单价为(元),
根据题意，得，
解得
∴学校购买种文具至少件．
答：学校购买A种文具的数量至少是件．
23. 如图，中，，是斜边上的中线，分别过点A，C作，两线交于点E．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当，时，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用；掌握以上基础知识是解本题的关键；
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得结论；
（2）先证明，可得，，求解，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∴，，
∴，，
由勾股定理得，
∴．
24. 观察下列等式：
，
，
，
（1）依此规律进行下去，第5个等式为 ，猜想第个等式为 ；
（2）证明（1）中猜想的第个等式．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据给定的等式的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；
（2）利用统分的方法即可得出等式的左边=等式右边，此题得证．
【小问1详解】
解：第5个等式为，猜想第个等式为；
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：等式左边，等式右边，
∴等式左边=等式右边
即
证毕．
【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，根据数据的变化找出变化规律是解题的关键．
25. 已知，如图①，在矩形中，，，点P在边上，，点Q在边上，连接，以为边在左侧作正方形．当Q在边上运动时，点E、F也随之运动．
（1）当点Q与点B重合时如图②，求的长；
（2）在点Q运动的过程中，连接、，判断的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
（3）在点Q由B向C运动的过程中，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）不变，9 （3）
【解析】
【分析】（1）延长交于点，利用矩形的判定与性质，正方形的性质和勾股定理解答即可；
（2）过点作于点，延长交于点，利用矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，这样的底与高均为定值，则结论可求；
（3）在点由向运动的过程中，当点与点重合时，的长取得最小值为；当点与点重合时，的长取得最大值，点与点重合，过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点，利用（2）中的方法解答即可得出结论．
【小问1详解】
解：当点与点重合时，延长交于点，如图，
四边形为矩形，四边形为正方形，点与点重合，
，，
四边形为矩形，
，，．
，，
，
．
．
【小问2详解】
解：的面积不会发生变化，的面积为9．理由：
过点作于点，延长交于点，如图，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
．
在和中，
，
，
．
四边形为矩形，四边形为正方形，
四边形为矩形，
，
，
的底为，边上的高为，
的面积不会发生变化，的面积为；
【小问3详解】
解：在点由向运动的过程中，当点与点重合时，的长取得最小值为；
当点与点重合时，的长取得最大值．
如图，点与点重合，过点作，交的延长线于点，，交的延长线于点，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，．
．
，，，
四边形为矩形，
，．
，
的长的最大值．
在点由向运动的过程中，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，动点问题的变化规律，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26. 如图，动点P在反比例函数的图象上，且点P的横坐标为，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数的图象于点A、B，连接．
（1）当，时．
①直接写出点P、A、B的坐标（用m的代数式表示）；
②当时，求m的值．
（2）与x轴和y轴相交与点E、F，与有怎么样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①，；②
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定：
（1）①求出点P的坐标，进而求出点A的横坐标和点B的纵坐标，再代入对应的解析式求解即可；②根据①所求表示出，再由建立方程求解即可；
（2）设分别与x轴，y轴交于M、N，则，求出，，进而得到直线解析式为，可得，则，证明，即可得到．
【小问1详解】
解：在中，当时，，在中，当时，，
∴，
在中，当时，
∴；
②∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
【小问2详解】
解：，理由如下：
设分别与x轴，y轴交于M、N，
∴
由题意得，
∴，，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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