江苏省泰州市海陵区泰州中学附属初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 一箭双雕B. 守株待兔C. 水中捞月D. 旭日东升
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件进行逐一判断即可．
【详解】解：A、一箭双雕这是不一定会发生的事件，故不符合题意；
B、守株待兔这是不一定会发生的事件，故不符合题意；
C、水中捞月这是不可能发生的事件，故不符合题意；
D、旭日东升这是必然会发生的事件，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了必然事件，解题关键在于能够熟练掌握必然事件的定义．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 了解八（1）班同学的校服尺寸进行抽样检查
B. 了解全国中学生的视力情况进行普查
C. 神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样检查
D. 了解长江里鱼的各类进行抽样调查
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽样调查和全面调查的特点依次分析判断即可．
【详解】解：A. 了解八（1）班同学的校服尺寸，适合普查，故说法错误，不符合题意；
B. 了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故说法错误，不符合题意；
C. 神舟飞船发射前需要对零部件做普查，故说法错误，不符合题意；
D. 了解长江里鱼的各类进行抽样调查，故说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要调查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查，无法进行普查，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3. 下列式子从左边至右边变形错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. ，正确，不符合题意；
D. ，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
4. 下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 床前明月光B. 大漠孤烟直C. 手可摘星辰D. 黄河入海流
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件的定义逐一判断即可：在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件．
【详解】解：A、床前明月光是随机事件，不符合题意；
B、大漠孤烟直是随机事件，不符合题意；
C、手可摘星辰是不可能事件，不符合题意；
D．黄河入海流是必然事件，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键．
5. 用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（ ）
A. 至少有两个内角是直角B. 没有一个内角是直角
C. 至少有一个内角是直角D. 每一个内角都不是直角
【答案】A
【解析】
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6. 在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（ ）
A 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到.
【详解】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选B．
【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.
二、填空题（每题3分，共30分）
7. 为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是___________（填“全面调查”或“抽样调查”）．
【答案】抽样调查
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
8. 某学校为了解本校600名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有_____人．
【答案】200
【解析】
【分析】用600乘以样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．
【详解】解：，
所以估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有200人．
故答案为：200．
【点睛】本题考查了频数（率）分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．
9. 如图，在▱中，，，则的度数是______．
【答案】##55度
【解析】
【分析】利用三角形内角和求出的度数，利用平行四边形的对角相等可得的度数．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴的度数是．
故答案是：．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理和平行四边形的性质，应用平行四边形的对角相等的性质是解答本题的关键．
10. 如图，在平行四边形中，为边延长线上一点，连接、．若的面积为3，则平行四边形的面积为_______．
【答案】6
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质得出平行四边形和的高相等，即可得出的面积．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴平行四边形和的高相等，
∴，
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质，熟记同底等高的三角形与平行四边形的面积关系是解本题的关键．
11. 如图，矩形的两条对角线夹角为，一条短边为2，则矩形的长边长为________．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质和两条对角线夹角为得出是等边三角形，得出，，进而得出的长．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
12. 已知的周长是，、相交于点，的周长比的周长大，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】由四边形是平行四边形，即可得，，，然后由平行四边形的周长为，的周长比的周长大，可得，，继而可求得的长．
【详解】解：如图：

四边形是平行四边形，
，，，
周长比的周长大，
，
，
，
的周长是，
，即,
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，此题难度不大，注意掌握平行四边形对边相等与对角线互相平分的定理的应用，注意数形结合思想与方程思想的应用．
13. 若，则=_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件可得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减与化简求值，熟练掌握分式的加减法是解题的关键．
14. 如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为___________
【答案】21°.
【解析】
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得DE＝AE＝EF，进而可得DC＝DE，设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，进而可得∠DCE＝∠DEC＝2x，再根据平行线的性质可得 ∠ACB＝∠DAE＝x，再根据∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，即可求得答案.
【详解】∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为21°.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行四边形的性质等，正确把握相关性质是解题的关键.
15. 定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 _____．
【答案】2≤m≤4
【解析】
【分析】找到Q点的两个边界点，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质进行求解即可．
【详解】在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°，
∴∠BPC＝90°，
当点Q与点C重合时，如图所示：
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（ASA），
∴AB＝BC，
∵BC＝4，
∴m＝4，
当点Q与点D重合时，如图所示：
延长CP交BA的延长线于点K，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵∠BPC＝90°，
∴∠KPB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△KBP≌△CBP（ASA），
∴BK＝BC，KP＝CP，
∵ABCD，
∴∠K＝∠DCP，
又∵∠KPA＝∠CPD，
∴△KPA≌△CPD（ASA），
∴CD＝AK，
∵AB＝CD，
∴BC＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴m＝2，
综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，通过平行四边形的性质推出三角形全等是解题的关键．
16. 如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由含度角的直角三角形的性质，可得出答案．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点，

和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
是直线上的动点，
在直线上运动，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共102分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后算乘法即可；
（2）先将括号内通分，变成同分母的分式，再根据同分母的分式相减法则对括号内的式子进行化简，最后计算乘法求出答案即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分式的计算是解题的关键．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）分式方程无解．
【解析】
【分析】（）方程两边同时乘以，化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案；
（）去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
检验：当 时，，
∴原分式方程的解是：；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．
19. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知分式，请在分式①；②中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．
①我选择 （填序号）；
②列式并计算．
【答案】（1）；（2）①②，②x（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据分式的运算进行化简，然后再代值求解即可；
（2）根据分式的运算可进行求解．
【详解】解：（1）原式
；
∴把代入，得原式；
（2）我选择 ② （答案不唯一）
∴列式：
．
若我选择 ①
∴列式：
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
20. 为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：
（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量 ，a为 ：
（2）n为 °，E组所占比例为 %：
（3）补全频数分布直方图；
（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有 名．
【答案】（1）200；16（2）126；12%（3）见解析（4）940
【解析】
【详解】分析：（1）由于A组的频数比B组小24，而A组的频率比B组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a和b的值；（2）用360度乘以D组的频率可得到n的值，根据百分比之和为1可得E组百分比；（3）计算出C和E组的频数后补全频数分布直方图；(4）利用样本估计总体，用2000乘以D组和E组的频率和即可．
本题解析：
（）调查的总人数为，
∴，
，
（）部分所对的圆心角，即，
组所占比例为：，
（）组的频数为，组的频数为，
补全频数分布直方图为：
（），
∴估计成绩优秀的学生有人．
点睛：本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，要认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体.
21. 已知：，．
（1）当时，判断M与N的大小关系，并说明理由；
（2）设．若x是整数，求y的整数值．
【答案】（1），理由见解析
（2）y的整数值为：4，0，3，1
【解析】
【分析】（1）先求差，再比较差与0的大小关系；
（2）先表示y，再求y的整数值．
【小问1详解】
解：，理由如下：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：
，
∵x，y是整数，
∴是2的因数，
∴，，
对应的y值为：或或或．
∴y的整数值为：4，0，3，1．
【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
22. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】利用菱形的面积求得的长度，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：菱形中，对角线相交于点O，
则为的中点，
∴
由可得，
∵
∴
又为的中点
∴
【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
23. 如图，O为平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）①当与满足___________时，四边形是矩形．
②当与满足___________时，四边形是菱形．请选择一个给予证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，则，由此证明得到，据此可证明结论；
（2）①只需要满足，则四边形是矩形，由于可得，因此只需要满足即可；②只需要满足，即则四边形是菱形，则只要满足即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵O为边的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：①当时，四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
②当时，四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，等腰三角形三线合一定理，熟知相关特殊四边形的判定定理是解题的关键．
24. 在四边形中，，，，，点E从A出发以的速度向D运动，同时，点F从点B出发，以的速度向点C运动，设运动时间为，

（1）t取何值时，四边形矩形？
（2）M是上一点，且，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）时，四边形为矩形
（2）或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】（1）当时，四边形为矩形，列出方程即可解决问题；
（2）分两种情形列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：当时，四边形为矩形，则有，
解得，
答：时，四边形为矩形．
【小问2详解】
解：①当点F在线段上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有，
解得，
②当F在线段上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有，
解得，
综上所述，或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
25. 如图，A(m，n)，B(t，0)，C(m，0)，m、n、t 满足．点P是轴上的一个动点，点E是AB的中点，在中，∠PEF＝90°，PE＝EF．
（1）则 A、B、C 三点的坐标分别为：A ，B ，C ．
（2）如图①，当点P在线段CB上或其延长线上时，若CP＝2BP，求点F的坐标．
（3）如图②，当点P在线段CB的反向延长线上运动，连接AF．若，k的值在变化，求点F运动路径的长度．

【答案】（1）（1，3），（4，0），（1，0）；（2）（4，2）或（4，6）；（3）
【解析】
【分析】（1）利用非负数是性质列方程组求解即可．
（2）如图①中，当点P落在线段CB上时，连接EC，BF．证明（SAS），再证明 当点P在CB的延长线上时，同理可证，同理有从而可得结论．
（3）首先证明PC=BF，BF⊥PB，再证明 推出求出k= 或两种情形时BF的值即可解决问题．
【详解】解：（1）∵，
，

∴A（1，3），B（4，0），C（1，0），
故答案为（1，3），（4，0），（1，0）．
（2）如图①中，当点P落在线段CB上时，连接EC，BF．

由题意AC=BC=3，∠ACB=90°，
∵AE=EB，
∴CE⊥AB，CE=AE=EB，∠ECB=∠ECA=45°，
∴∠CEB=∠PEF=90°，
∴∠CEP=∠BEF，
∵EC=EB，EP=EF，
∴（SAS），
∴PC=BF，∠ECP=∠EBF=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBF=90°，
∵PC=2PB，BC=3，
∴PC=BF=2，
∴F（4，2），
当点P在CB的延长线上时，如图，

同法可证：∠CBF=90°，BF=CP=6，
可得F（4，6），
综上所述，满足条件的点F的坐标为（4，2）或（4，6）．
故答案为（4，2）或（4，6）．
（3）如图②中，连接EC，BF．

结合（2）①：同法可证，，
∴，PC=BF，∠PCE=∠EBF=135°，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBP=90°，即BF⊥PB，
∵AE=EB，
∴，
∴
∵，
∴
当k=时，PC=BF=PB，
∵BC=3， ∴PC=FB=1，
当k=时，PC=FB=PB，可得PC=BF=12，
∴点F的运动路径=12-1=11．
故答案为11．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26. 动点在平行四边形边上沿着 A→B→C→D的方向匀速移动，到达点时停止移动．已知的速度为个单位长度，其所在位置用点表示，到对角线的距离（即垂线段 的长）为个单位长度，其中与的函数图象如图所示．

（1） ， ， ．
（2）若，求出时，与的函数关系式，并求当时的面积．
（3）如图，点，分别在函数第一段和第三段图象上，线段平行于横轴，、的横坐标分别为、．设、时点P走过的路程分别为、，若，求、的值．
【答案】（1），，；
（2），
（3），．
【解析】
【分析】（）当点运动到点时，，结合图，可知的值；当点运动到点时，得值最长，根据图可知，，根据图可知；
（）结合（）当时，点在边上，即，则时对应的点在和之间的函数图象上，用待定系数法求得此段函数解析式，代入点可得，在中，由勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式计算即可；
（）由题意可得，，根据线段平行于横轴，可得出即，从而可得方程组， 解方程组即可．
【小问1详解】
如图，

由题意知：当时，点与点重合时，此时最长为， 即，
当点运动到点时，，
∴，
当点运动到点时，得值最长，根据图可知，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
根据图可知，
故答案为：，，；
【小问2详解】
结合（）当时，点在边上，即，
∴ ，则时对应点在和之间的函数图象上，
设此时函数为， 把，分别代入得：
，解得：，
∴此时函数为，
当时，，
在中，由勾股定理得，
∴，
【小问3详解】
如图，

由题意可得，，，，
∵线段平行于横轴，
∴，即此时的值相同，
∴， 即 ，
联立得：，
解得：，
∴，．
【点睛】此题考查了四边形中动点问题的函数图象，准确理解题意、数形结合、分段讨论是解题的关键．每周课外阅读时间x（小时）
人数
7
13
21
19