2022-2023学年山东省淄博市临淄中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年山东省淄博市临淄中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数乘法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可.

【详解】，

因为为纯虚数，

所以有，

故选：D

2．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（    ）

A．4 B． C．16 D．8

【答案】D

【分析】根据题意，由斜二测画法的规则，即可得到原图形的面积.

【详解】还原直观图为原图形，如图所示，

因为，所以，

还原回原图形后，，，

所以原图形面积为.

故选：D

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用正弦定理的应用和三角函数值的应用求出结果．

【详解】解：在中，角，，所对的边分别是，，．若，，，

利用正弦定理：，

整理得：．

故选：D．

【点睛】本题考查正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

4．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解.

【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有，所以.

该圆锥的底面积与侧面积比值为.

故选：A.

5．已知，，，均为锐角，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先利用同角基本关系式求和，再利用角的变换的值.

【详解】是锐角，，，

，，且，

，，

.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查角的变换求三角函数值，本题的关键是角的变换，即变形，即求的值.

6．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

故

，

，

，

故 ，

由于 ，故，

故选：C.

7．已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为56，则该圆台的高为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】根据圆台的体积公式进行求解即可.

【详解】设该圆台的高为，上､下底面圆的半径分别为.

由圆台的体积公式，得，解得.

故选：D

8．已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知边化角求得，然后根据已知得出.根据两角差的余弦公式以及两角差的正弦公式，化简得出，进而根据三角函数的范围，即可得出答案.

【详解】由边化角可得，.

因为，所以.

因为为锐角三角形，所以，

所以，，

由可得，.

因为，

又，

所以，，

所以，.

故选：C.

【点睛】思路点睛：通过已知求出，然后消去，化简得出关于的三角函数，化简根据三角函数的范围，即可得出答案.

二、多选题

9．下列结论中，是真命题的为（    ）

A．若，则

B．为不共线的向量，则

C．若，为非零向量，则

D．若非零向量满足，则

【答案】CD

【分析】由题可得或可判断A；利用数量积公式证明可判断B；由题可得判断C；利用数量积结合向量垂直的数量积关系可判断D.

【详解】对于A，若，，则或，所以该命题是假命题；

对于B，设向量的夹角为，则，而，

由于、为不共线的非零向量，所以，所以，所以该命题是假命题；

对于C，由，可得，则，所以该命题是真命题；

对于D，若非零向量、满足，，所以，则与垂直，所以该命题是真命题.

故选：CD.

10．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A．z的虚部为2

B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限

C．z的共轭复数

D．

【答案】AD

【分析】先求出复数z的代数形式，然后再利用复数的概念和几何意义逐一判断即可.

【详解】，

则的虚部为2，A正确；

复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；

z的共轭复数，C错误；

，D正确.

故选：AD.

11．在平面直角坐标系中，已知点，则（    ）

A．

B．是直角三角形

C．在方向上的投影向量的坐标为

D．与垂直的单位向量的坐标为或

【答案】ABD

【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A；求出向量、以及的模，根据勾股定理逆定理可判断B；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.

【详解】因为，所以，A正确

因为，所以，

所以，即为直角三角形，B正确；

设与同向的单位向量为，，

所以在方向上的投影向量为，C错误；

因为，设与垂直的单位向量为，

则，解得或，

故与垂直的单位向量的坐标为或，D正确，

故选：ABD．

12．在中角，，所对边的长分别为，，，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则是锐角三角形

C．若，则是等腰三角形

D．若，，则面积的最大值为

【答案】AD

【分析】对于选项A，由正弦定理可得，结合二倍角公式可得；对于选项B，由余弦定理得为锐角；对于选项C，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解；对于选项D，由余弦定理结合基本不等式得，由三角形面积公式可得面积的最大值．

【详解】对于选项A，已知，则，

则，

即，即选项A正确；

对于选项B，已知，则，即为锐角，

则不一定是锐角三角形，即选项B错误；

对于选项C，已知若，则，

即，即，

则，

展开整理得，

又，

则或，则是直角三角形或等腰三角形，即选项C不正确；

对于选项D，已知，则，

即，即，当且仅当时取等号，

即，则面积的最大值为，即选项D正确．

故选：AD．

三、填空题

13．已知单位向量，的夹角为，则      .

【答案】

【分析】根据已知得出，然后根据数量积的运算律得出，开方即可得出答案.

【详解】由已知可得，，

所以，，

所以，.

故答案为：.

14．已知向量，，，且，则     .

【答案】

【分析】根据向量的坐标线性运算即可求解.

【详解】，

由可知 解得故．

故答案为：

15．已知的内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，，，则外接圆半径为      ．

【答案】/2.5

【分析】利用二倍角的余弦公式化简已知，结合，可求的值，然后利用正弦定理即可求出外接圆的半径

【详解】由得，又

所以，.

则由正弦定理可得外接圆半径.

故答案为：.

16．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象．则函数的单调增区间为      ．

【答案】

【分析】由函数图象求得，根据图象平移写出解析式，最后由正弦型函数的单调性求的单调增区间.

【详解】由题设，可得，

由图知：，则，

又，则，所以，

所以，令，

所以，即的单调增区间为.

故答案为：

四、解答题

17．在中，，，，D是边BC上一点，，设，．

(1)试用，表示；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得、，结合平面向量的线性运算即可求解；

（2）根据平面向量数量积的定义求出，结合数量积的运算律计算即可求解.

【详解】（1）∵D是边BC上一点，，

∴，又∵，，得，

∴．

（2）∵，，，

∴，

．

18．已知向量，.

(1)若，求的值；

(2)若，求实数的值；

(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)且

【分析】（1）根据向量平行的坐标运算可求得，进而求出结果.

（2）根据向量垂直的坐标运算即可得出答案.

（3）由题意分析得到且与不共线，结合（1）利用相关坐标即可求得结果.

【详解】（1）因为向量，且，

所以，解得，

所以.

（2）因为，且，

所以，解得.

（3）因为与的夹角是钝角，

则且与不共线，

即且，

所以且.

19．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.

【详解】连接，交于点，取的中点，连接，，

（1）

∴

（2）∵，

∴

【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.

20．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.

(1)求A；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理进行边角转换可得，即可求解；

（2）利用正弦定理可得，再利用三角函数的性质即得.

【详解】（1）由结合正弦定理可得，

因为，所以，

所以，即

因为，所以，

因为，所以；

（2）由正弦定理可得

所以，

因为，所以，所以

21．已知，，的内角A，B，C所对的，边分别为a，b，c，若的最大值为.

(1)求A；

(2)当，时，求的面积.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，借助正弦函数的性质求出作答.

（2）利用余弦定理求出边c，再利用三角形面积公式计算作答.

【详解】（1）依题意，

，

显然当，即时，，

因为是的最大值，又是的内角，即，因此，

所以.

（2）在中，，，，由余弦定理得：，

即，整理得，解得或，

当时，，当时，.

所以的面积是或.

22．已知函数的最小正周期为8．

(1)求的值及函数的单调减区间；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)，[](k∈Z)；

(2)．

【分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；

(2)由求出，在结合求出，最后利用正弦的和角公式求﹒

【详解】（1）由已知可得，，

∵的最小正周期，∴，

∴，

由得，

∴f(x)的单调递减区间为[](k∈Z)；

（2）∵，由(1)有，

即，

由，知；

∴，

故

﹒