山东省兰陵县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份山东省兰陵县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了10B．0，015B．2等内容，欢迎下载使用。

2024.4
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有
A．36种B．48种C．72种D．108种
2．若，且，则
A．0.10B．0.40C．0.80D．0.90
3．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为
A．2.015B．2.023C．2.031D．2.083
4．函数的单调递减区间是，则
A．6B．3C．2D．0
5．在的展开式中，含的项的系数是
A．B．C．20D．4
6．某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为
A．B．C．D．
7．己知函数，当时，f（x）有极大值．则
A．2B．1C．0D．
8．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率是
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有
A．如果选出的4人全部为男生，那么有30种不同的选法
B．如果选出的4人中，男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果选出的4人中，男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
D．如果选出的4人中至少有一名女生，那么有195种不同的选法
10．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，设事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则
A．B．
C．事件B与事件C相互独立D．
11．关于函数，下列说法正确的是
A．当时，有两个零点
B．当时，在上单调递增
C．若关于x的方程有两个不等实根，则
D．对任意两个正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若随机变量，则 ．
13．已知函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围 ．
14．某单位安排甲、乙，丙等6人参与周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在的展开式中．
（1）求展开式中各项系数之和；
（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率；
（3）求展开式中系数最大的项．
16．（17分）
一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球6个，黑球4个，每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回．
（1）求第2次摸到红球的概率；
（2）对于事件A，B，C，当时，证明：；
（3）利用（2）中的结论，求第1，2，3次都摸到红球的概率．
17．（15分）
已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，求a的取值范围．
18．（15分）
强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．
（1）若数学组的7名学员中恰有4人来自A中学，从这7名学员中随机选取4人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值．
19．（17分）
已知函数，．
（1）当时，证明：在上恒成立；
（2）当时，证明：，；
（3）是希腊字母，即的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于，如．证明：．
2022级普通高中学科素养水平监测试卷
数学试题参考答案及评分标准
2024.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B2．D3．C4．A5．C6．D7．B8．A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BD10．AC11．AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．313．14．252
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：
（1）令，可得展开式中各项系数之和为．
（2）因为，，1，2，…，7，
所以当，3，5，7时为有理项，
由插空法可得有理项不相邻的概率为．
（3）设第项系数最大，
则
即，
解得，
故此时，
故所求系数最大的项是第6项，为．
16．解：
（1）记事件“第i次摸到红球”为（，2，3，…，10），则第⒉次摸到红球的事件为，
，，
，
于是由全概率公式，
得．
（2）证明：由条件概率及，，
得，，
所以．
（3）因为，
，
．
由（2）中结论得，．
17．解：
（1）因为，所以，
当时，，函数在R上是增函数，
当时，令，得，即，
当，，函数的减区间为，
当，，函数的增区间，
（2）由得，
所以．
令，得．
设，；则，
令，即，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减．
分别作出函数与的图象，如图所示，
由图象可知，时，解得，函数有两个极值点，
所以当时，函数两个极值点．
18．解：
（1）的所有可能取值是1，2，3，4．
，
，
，
，
所以的分布列是
数学期望是．
（2）设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件A，则
，
由，得．……
令，因为，，所以，
所以，设，则，
因为当时，取得最大值．
所以，当时，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值．
19．解：
（1）当时，，
令，即证在上恒成立，
，
所以在上单调递增
所以，
即在上恒成立．
（2）当时，，
要证明：，
即证明：
即证明：
令，即证明：
即证明：
设，则，
所以在是增函数，成立，
所以，成立．
（3）要证，
即证，
令（），则，
所以在上单调递减，
所以，所以，即，
所以，
所以，
所以．
1
2
3
4
P