山东省实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

这是一份山东省实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．展开式中的系数为（ ）
A． B． C．30 D．90
2．若是区间（，）上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
3．2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有（ ）
A．15 B．60 C．90 D．540
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量的分布列如表：
其中2b=a+c，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角．18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸．令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是．后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度．从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”．如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面．图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第n层（有n条竖直线段）第m通道（从左向右计）的不同路径数为A（n，m）．例如：，．则不等式的解集为（ ）
A．{1，2，3，7，8，9} B．{1，2，3，8，9，10}
C．{1，2，3，9，10，11} D．{4，5，6，7，8}
8．已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（ ）
A．（2，） B．（，） C．（2，） D．（，）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知A，B，C为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．存在有极大值也有最大值
B．有三个零点
C．当时，恒成立
D．当时，有3个不相等的实数根
11．在信道内传输M，N，P信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为α（），收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号MMMM，NNNN，PPPP的概率分别为，，，且记事件，，分别表示“输入MMMM”“输入NNNN”“输入PPPP”，事件D表示“依次输出MNPM”，则（ ）
A．若输入信号MMMM，则输出的信号只有两个M的概率为
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则实数a的取值范围为________
13．编号为A、B、C、D、E的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1，2试验田里，B品种必须与A种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为________
14．设为随机变量，从棱长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望________．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．
（1）求展开式中各项系数之和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中的有理项．
16．学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响。
（1）求学生甲被录取的概率；
（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X，求X的分布列．
17．已知函数在点（1，）处的切线与直线垂直．
（1）求a的值；
（2）求的单调区间和极值．
18．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
19．已知函数，．
（1）若的定义域为，值域为R，求a的值；
（2）若，且对任意的，当时，总满足，求a的取值范围．
20（附加题）．帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的[m，n]阶帕德近似定义为：
，且满足：，，．
（注：，，，，…；为的导数）
已知在处的[1，1]阶帕德近似为
（1）求实数a，b的值；
（2）比较与的大小；
（3）若在（0，）上存在极值，求m的取值范围．
高二下学期期中考试数学试题（参考答案）
一、二、单选、多选答案：
三、填空题：
12．（0，e] 13．略 14．
四、解答题：
15．略
16．【解答】解：记事件表示“甲在罚球线处投篮，第i次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第i次投进”，
则，，
设事件C表示“学生甲不被录取”，则，
所以，
所以学生甲被录取的概率为
（2）X的可能取值为2，3，4，
，
，
，
所以X的分布列为：
17．【解答】解：（1）因为，所以，则，因为函数在点（1，）处的切线与直线垂直，故，解得；
（2）因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
故的单调递减区间为（，）和（3，），单调递增区间为（，3），的极大值为，极小值为．
18．【解答】解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
（1）；
所以试验一次结果为红球的概率为．
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为；
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：
，
方案二中取到红球的概率为：
，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大．
19．略
20．略0
1
P
a
b
c
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
C
C
B
A
B
B
AB
CD
BCD
X
2
3
P
x
（，）
（，3）
3
（3，）
0
0
极小值
↗
极大值