2024年陕西省宝鸡市陈仓区中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 和2B. 和1C. 2和D. 和2023
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数逐项判断．
【详解】解：∵∴和2互为倒数，故A不符合题意；
∵，∴和1互为相反数，故B符合题意；
∵∴2和不是互为相反数，故C不符合题意；
∵，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查相反数的概念，倒数的概念，解题的关键是掌握互为相反数的概念．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B 原选项计算正确 ，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
4. 如图，是的平分线，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行线性质可得，，再由角平分线的定义可得，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选：D．
5. 已知一次函数y=﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（ ）
A 0B. 3C. ﹣3D. ﹣7
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】由于一次函数y=-2x+3中k=-2＜0由此可以确定y随x的变化而变化的情况，即确定函数的增减性，然后利用解析式即可求出自变量在0≤x≤5范围内函数值的最大值．
【详解】∵一次函数y=﹣2x+3中k=﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴在0≤x≤5范围内，
x=0时，函数值最大﹣2×0+3=3，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的图象的性质：①k＞0，y随x的增大而增大；②k＜0，y随x的增大而减小．
6. 如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF．若，，则EF的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过作于证明 四边形为矩形，再证明求解可得：再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过作于
矩形ABCD，
四边形为矩形，

由对折可知：



四边形为矩形，



故选：
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
7. 如图所示，的直径弦，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设CD交AB于H．根据垂径定理得CH=DH=OH，设CH=DH=a，求出BH即可解决问题．
【详解】解：设CD交AB于H．
∵OB=OC，
∴∠2=∠3，
∵AB⊥CD，
∴∠1+∠2+∠3=90°，CH=HD，
∵∠1=2∠2，
∴4∠3=90°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=45°，
∴CH=OH，
设DH=CH=a，则OC=OB=a，BH=a+a，
∴tan∠CDB=，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A. 小球的飞行高度不能达到15m
B. 小球的飞行高度可以达到25m
C. 小球从飞出到落地要用时4s
D. 小球飞出1s时的飞行高度为10m
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，解得x⩾5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．
10. 一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形某个顶点画对角线，最多可以画出几条 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和外角性质，先计算出多边形的边数，再根据边形从一个点的作对角线条计算即可，熟练掌握外角和为是解题的关键．
【详解】解：∵多边形外角和都为，
∴该多边形为边形，
∴从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出条，
故答案：．
11. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，注意运算的准确性即可.
【详解】解：，
故答案为：
12. 如图，点A为反比例函数的图象上一点，轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，连接交y轴于点D，若，则k的值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，掌握反比例函数图象上的点与坐标轴围成的长方形面积为的绝对值是解答本题的关键．
根据反比例函数值的几何意义解答即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
设点坐标为，
，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴．
故答案为：．
13. 如图，正方形的边长为是边的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值．
【详解】解：如图，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，
，
，
在与中，
，
，
，
正方形中，，是边上的中点，
，
，
，
，
，
线段的最小值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简求值，实数的计算；根据完全平方公式展开，然后合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解．
【详解】解：原式
当时，原式．
15. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母、合并同类项、化系数为即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
合并同类项得：，
解得：
经检验：是原方程的解．
原方程的解为．
16. 解不等式组，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．分别把不等式的解集求出来，然后根据不等式组的解集的求法求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式①：
，
，
，
；
解不等式②：
，
，
，
；
不等式组的解集为：．
将其表示在数轴上如图所示：
17. 如图，已知，，．请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，三角形外角的性质，作交于P，由三角形外角的性质可得，则点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
作交于P，由三角形外角的性质可得，则点P即为所求．
18. 如图，在菱形中，点M，N分别是边上的点，，，连接．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，根据菱形的性质可得，根据，，可得，利用即可证明
【详解】证明：四边形ABCD为菱形，
，，
，，
，
在和中，
．
19. 阳春三月，正是旅游踏青的好时机，为丰富员工业余生活，缓解工作压力，增进各部门沟通交流，增强凝聚力，某单位组织员工出游．原计划租用28座客车若干辆，但有18人没有座位，若租用同样数量的30座客车，仍有10人没有座位．其余客车都已坐满．求该单位组织出游的员工人数．
【答案】该单位组织出游的员工有130人
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键，设该单位组织出游的员工人数为人，根据“原计划租用28座客车若干辆，但有18人没有座位，若租用同样数量的30座客车，仍有10人没有座位”，结合租用的两种客车数量相同，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该单位组织出游的员工有x人，
由题意可得：，
解得．
答：该单位组织出游的员工有130人．
20. 在某个滚珠游戏中，放入的滚珠随机落入如图所示的田字格中的某一格（每个格子只能容纳一粒滚珠）．

（1）现放入一粒滚珠，这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为_______；
（2）若依次放入两粒滚珠，求这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式以及画树状图法求概率．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画树状图求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，现放入一粒滚珠，这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为，
故答案为：
【小问2详解】
解：画树状图如下：

由树状图可知，有12种等可能的情况，其中成对角线的情况有4种，
这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的概率为．
21. 数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41 ，sin63.5°≈0.89，cs63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80 ，cs53°≈0.60，tan53°≈1.32)
【答案】62.9米
【解析】
【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE=CF，CE=BF，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，
则四边形BFCE是矩形，
∴BE=CF，CE=BF，
∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，
∴CF=AF=AC=50，
∵∠CBF=63.5°，
∴（米），
∵CD∥AB，
∴∠D=53°，
∵∠BED=90°，
∴（米），
∴CD=CE+DE=62.9（米），
答：古树C、D之间的距离约为62.9米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
22. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，为强化劳动观念，弘扬劳动精神．某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识．提高劳动技能．该学校为了解同学们周末家务劳动时间的大致情况，随机调查了部分学生．并用得到的数据绘制了两幅统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整，本次抽查的学生周末家务劳动时间的众数是__________小时．中位数是__________小时；
（2）求本次抽查的学生周末家务劳动的平均时间；
（3）若该校共有1000名学生．请你估计该校学生周末家务劳动的时间不少于小时的学生有多少名？
【答案】（1）见解析，1，1
（2）本次抽索的学生周末家务劳动的平均时间为1.18小时
（3）该校学生周末家务劳动的时间不少于1.5小时的学生有400名
【解析】
【分析】（1）用条形统计图中小时的人数除以扇形统计图中小时的百分比可得本次调查的人数，求出末劳动时间为小时的人数，补全条形统计图即可；根据众数和中位数的定义可得答案；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）用1000乘劳动的时间不少于小时的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
一共调查的人数为（人），
周末劳动时间为小时的人数为（人），
补全条形统计图如图：
由条形统计图可知，本次抽查的学生周末劳动时间的众数是1小时，
将抽查的学生周末劳动时间按照从小到大的顺序排列，排在第25和26位的都为1小时，
∴中位数为（小时）；
故答案为：1，1；
【小问2详解】
（小时）．
答：本次抽索的学生周末家务劳动的平均时间为小时．
【小问3详解】
（名），
答：该校学生周末家务劳动的时间不少于小时的学生有400名．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y(单位：千米)与驶的时间t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
【答案】（1）60，10；（2）y = 80t－320；（3）甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
【解析】
【分析】（1）由图象分析可得甲车行驶用时为8小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括号内的数字也可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的t即可求解．
【详解】（1）由图象可知甲车在时行驶到C市，此时行驶的路程为，故速度为，
∴乙车的行驶速度为：，
∴乙车由C市到A市需行驶，
∴图中括号内的数为，
故答案为：60，10；
（2）设线段MN所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) .
把点M（4，0），N（10，480）代入y = kt + b，得：，
解得：，
∴线段MN所在直线的函数解析式为y = 80t－320．
（3）若在乙车出发之前，即时，则，解得；
若乙车出发了且甲车未到C市时，即时，则，解得（舍）；
若乙车出发了且甲车已到C市时，即时，则，解得；
综上，甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
24. 如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（）连接，则，所以，由，，且，得，则，即可证明是的切线；
（）作于点，则，所，则，由，求得，则，所以，求得．
【小问1详解】
证明：连接，则，
∴，
∵于点，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：作CL⊥DH于点L，则∠DLC=∠OCH=90°，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25. 如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【解析】
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过两点，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
【小问2详解】
对称轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：
∴顶点，
设直线的解析式为，
则：
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵点是抛物线上一动点，
∴设，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设，
当为对角线时，的中点重合，
解得：，
当为对角线时，的中点重合，
解得：，
当为对角线时，的中点重合，
解得：，
∴；
综上所述，对称轴上存在点，使得以，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
26. 问题初探】：（1）如图①，在中，点D、E分别在边上，连接．若，则的长为 ；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形中，点C是上一动点，连接求四边形的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合2023年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展2023年西安市文明旅游示范单位评选工作．某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中，米．点E处设立一个自动售货机，点E是的中点，连接，与交于点M，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6；（2）；（3）和的面积之和存在最大值，和面积之和的最大值为3375平方米．
【解析】
【分析】（1）设，根据题意得，通过平行推三角形相似，得出，推比例线段，得出的长；
（2）过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，根据勾股定理得出，由图可得两个式子结合得出四边形的最大值是；
（3）作的外接圆，过点作于点，延长交于点，连接，由，推出，推出，得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，，根据点是的中点，，推出，得出，过点作于点，由图可得，得出的最大值为90，进而求出和面积之和的最大值．
【详解】解：（1）设，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，过点作于点，延长交于点，连接，过点作于点，如图1，
，
，
，
，
，
根据勾股定理得，
，
由图可得，
即，
，
，
∴四边形的最大值是；
（3）∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
作的外接圆，过点作于点，延长交于点，连接，如图2，
则，
，
，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，由图可得，
∴的最大值为90，
∴，
∴的最大值为：，
∴和的面积之和存在最大值，和面积之和的最大值为3375平方米．
【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．