2024年江苏省南通市海安市九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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考生在答题前请认真阅读本注意事项
1．本试卷满分为150分，考试时间为150分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符，
4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列四个数，0，1，中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是负数正数，两个负数，绝对值大的反而小，是一道基础题．根据有理数的大小比较方法，找出最小的数即可．
【详解】解：，
最小的数是
故选：D
2. 我国现有农村人口数量为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数，据此进一步求解即可．
【详解】解：数据用科学记数法表示为．
故选：C
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同类项，整式的加减运算：含有相同的字母并且相同的字母的指数也相同，即为同类项；分别算出每个选项的得数，再与等式的右边的数值比较，即可作答．
【详解】解：A、与不是同类项，不能直接运算，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
4. 若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的内角和公式可算出的值，由多边形外角和的定义和性质即可求解．
【详解】解：一个正边形的内角和为，
∴，解得，，
∵正六边形的外角和为，
∴每个外角的度数为，
故选：．
【点睛】本题主要考查多边形内角和、外角和的综合运用，掌握内角和公式，正多边形外角和为的计算方法是解题的关键．
5. 如图，是的外接圆，，则的大小是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵
∴，
故选：C．
6. 如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，，
∴，
由题意可得，是的平分线，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形外角的性质，尺规作角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．观察函数图象得可求解．
【详解】解：由图象可得：当时，，
所以不等式的解集为，
故选：A．
8. 设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据m的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方向是解题的关键．根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据选项中所给出的m的值都a的正负依次进行判断即可．
详解】解：由所给函数解析式可知，
抛物线的对称轴为直线．
当时，抛物线的对称轴为直线，
因为和在抛物线上，
则点关于直线的对称点为，
因为，，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
则抛物线的开口向上，即．故A不符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
所以点关于直线的对称点为，
因为，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即．故B选项不符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
所以点关于直线的对称点为，
因为，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，即．故C选项符合题意．
当时，抛物线的对称轴为直线，
因为，
所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，
则抛物线的开口向下，即．故D选项不符合题意．
故选：D．
9. 如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过A点作AN⊥DF于N，根据四边形ABCD是菱形，有AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，则可知△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即tan∠ABE得解．
【详解】过A点作AN⊥DF于N，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正切、等腰三角形的判定与性质等知识，证明△AFD是等腰三角形是解答本题的关键．
10. 已知，则满足等式的的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数性质及方程的解、分式的运算，先化简等式用含a的式子表示b，设，得出二次函数表达式并求出最小值，即可判断．
【详解】解：，
，
当时，，，
则不合题意舍去；
当时，则，
设，
，
的最小值为，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，需满足，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴
故答案为：
12. 如图，，与交于点O，请添加一个条件________，使．（只填一种情况即可）

【答案】或或
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定方法处理．
【详解】∵
∴，
若，则；
若，则；
若，则；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长计算，根据砝码提起的长度等于半径为圆心角为的弧长，由此即可计算．
【详解】解：根据题意，砝码提起的长度为：，
故答案为：．
14. 若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为_____．
【答案】20
【解析】
【分析】先利用平方差公式：化简所求式子，再将已知式子的值代入求解即可．
【详解】
将代入得：原式
故答案为：20．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行化简求值，熟记公式是解题关键．另一个重要公式是完全平方公式：，这是常考知识点，需重点掌握．
15. 如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为______（结果保留根号）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作于E，则四边形是矩形，，再解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴铁塔的高度为
故答案为：
16. 在中，．若点在内部（含边界）且满足，则所有满足条件的点组成区域的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】分别作的垂直平分线，交于点，交于点，利用线段垂直平分线的性质，结合的条件，判断点在内部（含边界），再利用相似三角形判定和性质求出，即可求解；本题考查相似三角形判定和性质，股定理的逆定理，直角三角形性质，线段垂直平分线性质；能够结合条件判断点的运动轨迹是直角三角形是解题的关键．
【详解】解：，，，
，
，
作的垂直平分线，交于点，交于点，
，，
若点在内部（含边界）且满足，
点在内部（含边界），
，
是直角三角形，
，，
，
，即，
，
∴的面积为．
故答案为：．
17. 如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为____________．
【答案】3
【解析】
【分析】作 轴于, 轴于, 则, 得到 ，利用反比例函数系数k的几何意义得到设A点坐标为 即可得到点坐标为利用,得到 ，于是可计算出 的值．
【详解】连接, 作轴于, 轴于,则

设点坐标为，
∵，
，
，
，
∴点坐标为 ，
，
，
，
即，
，
解得，
故答案为:．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征, 由得到关于的方程是解题的关键．
18. 如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）解不等式组：；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题考查了解不等式组的解集，先分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可，正确计算是解题的关键；
（2）本题考查了分式的化简，括号内的先通分，把除化成乘，再约分即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集为：；
【小问2详解】
20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）完成表格；
（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；
（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则____________．（填“”或“”或“”）
【答案】（1）①9；②8.8
（2）选甲，方差最小最稳定
（3）
【解析】
分析】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键．
（1）分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案；
（2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案；
（3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案．
【小问1详解】
解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8，
甲得分的中位数为9，
由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8，
丙得分的平均数为，
故答案为：9，；
【小问2详解】
解：选甲更合适．
因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲；
【小问3详解】
解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为，
甲的方差为，
，
故答案为：．
21. 如图，已知矩形．
（1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）
（2）若，求菱形的周长．
【答案】（1）图见解析
（2）20
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据相关知识正确作图是解题关键．
（1）作对角线的垂直平分线， 证明，即可证四边形是菱形；
（2）设菱形边长为x，则，根据勾股定理列方程，求出，即可得到菱形的周长．
【小问1详解】
解：如图，菱形即为所求作；
垂直平分，
，，
矩形，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：设菱形边长为x，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
解得，
菱形周长．
22. 第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球．
在第一盒中取出1个球是白球的概率是______；
求取出的2个球中1个白球、1个红球的概率．
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解可得；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：在第一盒中取出1个球有3种等可能结果，其中摸出的球是白球的有2种结果，
在第一盒中取出1个球是白球的概率是，
故答案为．
画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中取出的2个球中1个白球、1个红球的情况有3种结果，
取出的2个球中1个白球、1个红球的概率为．
【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，点在半径为8的上，过点作的切线，交的延长线于点．连接，且．
（1）求证：；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，求不规则图形面积，解直角三角形等等：
（1）由圆周角定理得到，进而可得，由切线的性质可得，据此可满足；
（2）先解直角三角形求出的长，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接OD，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵是的切线，
∴，
∴．
【小问2详解】
解；在中，，
∴，
∴．
24. 两地相距，甲车从地驶往地，乙车同时从地以的速度匀速驶往地，乙车出发1小时后，中途休息．设甲车行驶的时间为，甲、乙两车离地的距离分别为，图中线段表示与的函数关系．
（1）甲车的速度为____________；
（2）若两车同时到达目的地，则甲车行驶几小时后与乙车相遇；
（3）若甲、乙两车在距地至（包括和）之间的某处相遇，求的取值范围．
【答案】（1）60 （2）甲乙相遇时，乙正在中途休息，所以相遇.
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是数形结合的应用，
（1）甲车的速度为；
（2）先求出乙休息了小时，然后求的甲、乙同时出发小时，甲、乙行驶的总路程，所以甲在乙休息时与其相遇，最后即可取得甲车行驶小时后与乙车相遇；
（3）利用线段图分析甲、乙行驶情况，分情况讨论若，则；若，则，即可求得m的取值范围．
【小问1详解】
解：由图可得，甲车的速度为，
故答案为：60；
【小问2详解】
若甲、乙同时到达目的地，即均用时3小时，
则，得，
即乙休息了小时，
甲、乙同时出发小时，甲行驶，
此时乙还在休息，乙行驶
，
甲乙休息时与其相遇，
小时，
甲行驶小时与乙相遇；
【小问3详解】
如图，甲、乙同时从A、B出发，1小时后甲、乙分别到达点D、点C，，，乙在点C休息m小时的同时甲行驶到了点E，，
当甲、乙分别在E、C同时出发，在点M相遇，
若，则，，
甲、乙同时从E、C出发到点M相遇，用时小时，
，
，
，
；
若，则，，
甲、乙同时从E、C出发到点M相遇，用时小时，
，
故m的范围是．
25. 问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；
第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．
翻折后的纸片如图1所示
图1 图2
（1）的度数为____________；
（2）若，求的最大值；
拓展应用：
（3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由折叠性质得出，结合平角定义，化简得，即可作答．
（2）设则设，由矩形、折叠性质得，证明，即，代入数值进行计算，得，结合二次函数的图象性质，即可作答．
（3）补全矩形，过点作，连接，由折叠得出，，运用勾股定理，得，则，即可作答．
【详解】解：（1）如图：
∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处，
∴，
∵，
∴，
即的度数为；
（2）设则设，
∵折叠
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值，
把代入，得出；
∴的最大值为
（3）如图：补全矩形，过点作，连接
由折叠情景，得出
由勾股定理，得出
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，拋物线经过点，且．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若抛物线经过点，设点A与点横坐标的差为，点A与点纵坐标的差为，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接，若线段交抛物线对称轴于点（点不与重合），在直线的同侧作矩形，且．当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接由对称轴为直线求解；
（2）先求出函数解析式，将A、B两点横纵坐标代入后作差即可；
（3）分类讨论：①或，则或，则点A、B在对称轴右侧，线段交抛物线对称轴不相交，不满足题意；②时，则，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧，当经过点M时，此时正好符合题意，求出，则，过点B作y轴的垂线，过点A作y轴的平行线，两直线交于点G，可证，则，则，临界状态可得，解方程即可；③当时，，则A在对称轴右侧，B在对称轴左侧，当点B经过抛物线与x轴侧交点时，正好满足题意，求出直线：，联立得，解得或，则，故或．
【小问1详解】
解：，
∴对称轴为直线；
【小问2详解】
解：由抛物线经过点，
∴ ，
解得，
即抛物线解析式为，
将A、B两点横纵坐标代入后作差，可得，
；
【小问3详解】
∵点不与重合，
∴，而，
①或，则或，
则点A、B在对称轴右侧，
线段交抛物线对称轴不相交，不满足题意；
②时，则，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧，
当经过点M时，此时正好符合题意，
∵ ，
设，
则，
解得，
∴，
∴，
过点B作y轴的垂线，过点A作y轴的平行线，两直线交于点G，
对于，令，记抛物线与x轴右侧交点为M，则
，解得或，则与x轴交于和，
则由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：或（舍），
∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，
∴；
③当时，，则A在对称轴右侧，B在对称轴左侧，
当点B经过抛物线与x轴侧交点时，正好满足题意，
将代入直线：得，
∴此时直线：，
联立得，解得或，
∴，
∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，，
综上：或．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数几何的综合题，抛物线的对称轴，与矩形的存在性问题，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
平均数/分
中位数/分
方差/分
甲
①____________
乙
丙
②____________