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2023年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷
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这是一份2023年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷，共27页。
2023年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷
一、选择题（本大四共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一
1．（3分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微伯账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
3．（3分）若点C是线段AB的中点，且BC＝3cm，则AB的长是（ ）
A．1.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
4．（3分）2022年9月9日，中国科学家首次在月球上发现新矿物，并将其命名为“嫦娥石”．在月球样品颗粒中，分离出一颗粒径约10微米（即0.00001米）大小的单晶颗粒，并成功解译其晶体结构，确证为一种新矿物．则数据0.00001用科学记数法表示为（ ）
A．10×10﹣6 B．1×10﹣5 C．1×10﹣4 D．0.1×10﹣3
5．（3分）下列图形中，能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5 D．+＝5
7．（3分）如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，交AC于点D，已知AD＝2，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°．点D在BC上，延长AD到E，使得DE＝AD，过点B作BF⊥BE，交射线AC于点F，设CD＝x，BF2＝y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，∠ACB＝90°，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30
11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：xy2﹣x＝ ．
13．（4分）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝33°，那么∠2的度数为 ．
14．（4分）海安七战七捷纪念碑的造型是一把直耸云霄的刺刀，象征着新四军将士驰骋华东的英勇气概．某次红色寻访活动中，小华想利用自己的身高来测量纪念碑的高度，如图，小华身高DE＝1.8米，测得BE＝28米，EC＝2米，且A，D，C在一条直线上，则纪念碑AB的高度为 米．
15．（4分）将一次函数y＝2x+b的图象向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为 ．
16．（4分）如图所示，测得两幢大楼AB、CF的间距BF＝30m，CD＝20m，从C处看A的俯角为45°，从D处看B的俯角为30°，则AB的高度为 m．（结果保留根号）
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝5，BC＝CD，且∠BCD＝90°，则AC的最大值为 ．
18．（4分）如图，直线y＝ax与双曲线 相交于A（1，4），B两点，点C在双曲线上，直线AC交y轴于点D．若△BCD的面积为12，则C点坐标为 ．
三、解答题（本大题共2小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
19．（12分）（1）解方程组；
（2）计算：．
20．（10分）为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理如下：
七、八年级测试成绩频数统计表
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
3
4
3
八年级
1
7
2
七、八年级测试成绩分析统计表
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
85
90
13.6
八年级
84
84
84
18.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？
（2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平．
21．（10分）小中：如图，有一张平行四边形纸片ABCD，你能帮我折出一个菱形吗？
小华：可以啊！把平行四边形纸片对折，使A，C两点重合，折痕分别交边AD，BC于E，F两点，连接AF，EC，则四边形AFCE就是菱形了．
根据以上操作步骤，请判断小华的方法对吗？并说明理由．
22．（10分）小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S1、S2、S3分别表示三个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“”表示电池．
（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；
（2）当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，与BC相交于点F，AD＝2．
（1）求CF的长度；
（2）求阴影部分的面积．
24．（12分）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价y（元）与月份x的函数关系如图所示，该服装每件的进价z（元）与月份x的关系为．
（1）①求y与x之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？
25．（13分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是线段BO上一点（不含端点），将△ABE沿AE翻折，AB的对应边AB′与BD相交于点F．
（1）当∠BAE＝15° 时，求EF的长；
（2）若△ABF是等腰三角形，求AF的长；
（3）若EF＝k•BE，求k的取值范围．
26．（13分）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2．
（1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值；
（2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围．
2023年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大四共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一
1．（3分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微伯账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
【解答】解：+18+（﹣12）＝6（元），
即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．
故选：B．
3．（3分）若点C是线段AB的中点，且BC＝3cm，则AB的长是（ ）
A．1.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【解答】解：∵点C是线段AB的中点，且BC＝3cm，
∴AB＝2BC＝6cm，
故选：D．
4．（3分）2022年9月9日，中国科学家首次在月球上发现新矿物，并将其命名为“嫦娥石”．在月球样品颗粒中，分离出一颗粒径约10微米（即0.00001米）大小的单晶颗粒，并成功解译其晶体结构，确证为一种新矿物．则数据0.00001用科学记数法表示为（ ）
A．10×10﹣6 B．1×10﹣5 C．1×10﹣4 D．0.1×10﹣3
【解答】解：0.00001＝1×10﹣5，
故选：B．
5．（3分）下列图形中，能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不能折叠成正方体，不符合题意；
B、能折叠成正方体，符合题意；
C、不能折叠成正方体，不符合题意；
D、不能折叠成正方体，不符合题意；
故选：B．
6．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5 D．+＝5
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．
7．（3分）如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【解答】解：连接OA、OB，
∵BC⊥y轴，
∴△ABC的面积等于△OBC的面积，
∵△OBC的面积：＝3，
∴△ABC的面积为：3．
故选：A．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，交AC于点D，已知AD＝2，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，过点B作BP⊥AC于点P，
由作图痕迹可知，BD为∠ABC的平分线，
∴DM＝DN，
∵S△ABD＝＝，S△BCD＝＝2DN，
∴S△ABD：S△BCD＝3：4，
∵，，
∴AD：CD＝2：CD＝3：4，
∴CD＝．
故选：D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°．点D在BC上，延长AD到E，使得DE＝AD，过点B作BF⊥BE，交射线AC于点F，设CD＝x，BF2＝y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：过E作EG⊥BC于G，如图所示：
在△EDG和△ADC中，
，
∴△EGD≌△ADC（AAS），
∴DG＝DC，EG＝AC，
∵∠FBC＝90°﹣∠EBG，∠BEG＝60°﹣∠EBG，
∴∠FBC＝∠BEG
∵∠BCF＝∠EGB，AC＝BC，
∴△BCF≌△EGB（AAS），
∴FC＝BG，
∵AC＝BC＝2，DG＝CD＝x，
∴FC＝BG＝BC﹣DG﹣DC＝2﹣2x，
∴y＝BF2＝FC2+BC2＝（2﹣2x）2+22＝4x2﹣8x+8＝4（x﹣1）2+4，
∴y关于x的函数图象大致为开口向上的抛物线，当x＝1时，y有最小值4，
当x＝0和2时，y有最大值8，
故选：A．
10．（3分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，∠ACB＝90°，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【解答】解：如图，作CD⊥x轴，
设A、B两点横坐标为x1和x2，设点C（m，﹣4），
∵CD⊥x轴，
∴AD2+CD2＝AC2，BD2+CD2＝BC2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴AD2+CD2+BD2+CD2＝AB2，
∴（m﹣x1）2+42+（x2﹣m）2+42＝（x1﹣x2）2，
整理得，m2﹣m（x1+x2）+16+x1x2＝0，
∴m2+m+16+＝0，
∴am2+bm+c＝﹣16a，
∵点C（m，﹣4）在抛物线上，
∴﹣16a＝﹣4，
∴a＝．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30
11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥2 ．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
12．（3分）因式分解：xy2﹣x＝ x（y+1）（y﹣1） ．
【解答】解：原式＝x（y2﹣1）＝x（y+1）（y﹣1），
故答案为：x（y+1）（y﹣1）
13．（4分）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝33°，那么∠2的度数为 57° ．
【解答】解：如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠1＝33°，∠3+∠ABC+∠1＝180°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝57°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝57°．
故答案为：57°．
14．（4分）海安七战七捷纪念碑的造型是一把直耸云霄的刺刀，象征着新四军将士驰骋华东的英勇气概．某次红色寻访活动中，小华想利用自己的身高来测量纪念碑的高度，如图，小华身高DE＝1.8米，测得BE＝28米，EC＝2米，且A，D，C在一条直线上，则纪念碑AB的高度为 27 米．
【解答】解：由题意得△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝EC：BC，
∵DE＝1.8米，BE＝28米，EC＝2米，
∴1.8：AB＝2：30，
解得：AB＝27，
故答案为：27．
15．（4分）将一次函数y＝2x+b的图象向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为 4 ．
【解答】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为y＝2x+b﹣2，
再将点（﹣1，0）代入y＝2x+b﹣2，
得﹣2+b﹣2＝0，
解得b＝4，
故答案为：4．
16．（4分）如图所示，测得两幢大楼AB、CF的间距BF＝30m，CD＝20m，从C处看A的俯角为45°，从D处看B的俯角为30°，则AB的高度为 （10﹣10） m．（结果保留根号）
【解答】解：过点A作AE⊥CF，垂足为E，
由题意得：AE＝BF＝30m，AB＝EF，
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
∴CE＝＝30（m），
在Rt△DFB中，∠BDF＝90°﹣30°＝60°，
∴DF＝＝＝10（m），
∵CD＝20m，
∴AB＝EF＝CD+DF﹣CE＝20+10﹣30＝（10﹣10）m，
故答案为：（10﹣10）．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝5，BC＝CD，且∠BCD＝90°，则AC的最大值为 ．
【解答】解：如图，在直线AB的右侧作等腰直角三角形△ABE，使得，EB＝EA，∠AEB＝90°．
∵AB＝5，
∴AE＝BE＝，
∵∠ABE＝∠DBC＝45°，
∴∠ABD＝∠EBC，
∵＝，
∴△ABD∽△EBC，
∴＝，
∵AD＝2，
∴EC＝，
∵AC≤AE+EC，
∴AC≤．
∴AC 的最大值为．
故答案为：．
18．（4分）如图，直线y＝ax与双曲线 相交于A（1，4），B两点，点C在双曲线上，直线AC交y轴于点D．若△BCD的面积为12，则C点坐标为 （2，2） ．
【解答】解：连接OC，
∵直线y＝ax与双曲线 相交于A（1，4），B两点，
∴k＝1×4＝4，A、B关于原点对称，
∴双曲线为y＝，
∵点C在双曲线上，
∴设C（m，）（m≠1），
设直线AC的解析式为y＝k′x+b，
把A（1，4）、C（m，）代入得，
解得，
∴D（0，），
∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴S△COD＝S△BCD＝＝6，
∴×（）×m＝6，
解得m＝2，
∴C（2，2）．
故答案为：（2，2）．
三、解答题（本大题共2小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
19．（12分）（1）解方程组；
（2）计算：．
【解答】解：（1），
①×2得：6x﹣4y＝10③，
②+③得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：2+4y＝4，
解得：y＝，
故原方程组的解是：；
（2）
＝
＝
＝0．
20．（10分）为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理如下：
七、八年级测试成绩频数统计表
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
3
4
3
八年级
1
7
2
七、八年级测试成绩分析统计表
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
85
90
13.6
八年级
84
84
84
18.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？
（2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平．
【解答】解：（1）七年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为：＝，
八年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为：＝，
∴七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200×＝140（名），
∴八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200×＝180（名），
140+180＝320（名）．
答：估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共约320名；
（2）∵七、八年级测试成绩的平均数相等，七年级测试成绩的方差小于八年级测试成绩的方差，
∴七年级的学生掌握交通法规知识的水平较好（答案不唯一）．
21．（10分）小中：如图，有一张平行四边形纸片ABCD，你能帮我折出一个菱形吗？
小华：可以啊！把平行四边形纸片对折，使A，C两点重合，折痕分别交边AD，BC于E，F两点，连接AF，EC，则四边形AFCE就是菱形了．
根据以上操作步骤，请判断小华的方法对吗？并说明理由．
【解答】解：小华的方法对，理由如下：
连接AC交EF于O，
由折叠可知：AE＝EC，AF＝CF，
∴EF垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∵AE∥CF，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF是菱形．
22．（10分）小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S1、S2、S3分别表示三个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“”表示电池．
（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；
（2）当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．
【解答】解：（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，小灯泡发光的概率为；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，
∴小灯泡发光的概率为＝．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，与BC相交于点F，AD＝2．
（1）求CF的长度；
（2）求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵⊙O与AC相切于点E，
∴∠AEO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AO＝2OE，
∵OD＝OE，
∴AD＝OE＝OD＝2，
过O作OG⊥BC于G，连接OF，
则CG＝OE＝2，BG＝FG，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OF，
∴△OBF是等边三角形，
∴BF＝OB＝2，
∴FG＝1，
∴CF＝CG﹣FG＝1；
（2）∵∠AEO＝90°，∠A＝30°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠EOF＝∠BOF＝60°，
∴OF⊥BE，
∴BH＝EH，∠EHO＝∠BHF＝90°，
∵∠EOH＝∠BFH＝60°，
∴△OEH≌△FBH（AAS），
∴S△OEH＝S△FBH，
∴阴影部分的面积＝扇形EOF的面积＝＝．
24．（12分）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价y（元）与月份x的函数关系如图所示，该服装每件的进价z（元）与月份x的关系为．
（1）①求y与x之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）①当0≤x≤5时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
∴y＝10x+100（0≤x≤5），
∴；
②当x＝3时，y＝10×3+100＝130，
z＝×32+12×3+60＝81，
∴第3个月每件服装的利润为130﹣81＝49（元）；
（2）设每月的利润为w，
则w＝120（y﹣z），
当0≤x≤5时，w＝120＝120，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝0.6，
∵，
∴在该函数图象上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，
∴当x＝5时，w取得最大值，最大值为＝8600（元）；
当5＜x≤10时，w＝120＝120，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝3.6，
∴当5＜x≤10时，y随x的增大而增大，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值为＝16400（元）．
∵16400＞8600，
∴第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．
25．（13分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是线段BO上一点（不含端点），将△ABE沿AE翻折，AB的对应边AB′与BD相交于点F．
（1）当∠BAE＝15° 时，求EF的长；
（2）若△ABF是等腰三角形，求AF的长；
（3）若EF＝k•BE，求k的取值范围．
【解答】解：（1）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴△ABC是等边三角形，AC⊥BD，AO＝AC，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴AO＝2，BO＝2，
由折叠得∠BAE＝∠FAE＝15°，
∴∠BAF＝∠FBA＝30°，
∴BF＝AF＝2﹣OF，
在Rt△AOF中，OF2+OA2＝AF2，
∴OF2+22＝（2﹣OF）2，
∴OF＝，
∵∠BAE＝15°，∠FBA＝30°，
∴∠AEO＝45°，
∴△AEO是等腰直角三角形，
∴OE＝OA＝2，
∴EF＝OE﹣OF＝2﹣；
（2）若△ABF是等腰三角形，分三种情况：
①当AF＝BF时，
由（1）知，BF＝AF＝2﹣OF，OF＝，
∴AF＝2﹣＝；
②当AF＝AB时，
∵AB＝4，
∴AF＝4，
∵点E是线段BO上一点（不含端点），
∴AF＝4（舍去）；
③当AB＝BF时，如图1，
∵AB＝4，
∴BF＝4，
∴OF＝BF﹣OB＝4﹣2，
∴AF＝＝＝2﹣2；
综上，AF的长为或2﹣2；
（3）过点E作EM⊥AB于M，作EN⊥AF于N，
由折叠得∠BAE＝∠FAE，
∴EM＝EN，
∴＝＝，
又∵＝，
∴＝，
∴EF＝，
∵EF＝k•BE，
∴k＝，
∵点F在BD上，
∴AF的最大值为4，当AF⊥BD，即点F与点O重合时，AF的值最小为OA＝2，
∴2≤AF＜4，
∴≤＜1，
∴k的取值范围为≤k＜1．
26．（13分）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2．
（1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值；
（2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围．
【解答】（1）解：∵点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，
∴n1＝，n2＝，
∵“域差值”t＝﹣4，
∴n2﹣n1＝﹣4，
即﹣＝﹣4，
整理，得：m2+m﹣1＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝，
经检验，m1＝﹣，m2＝均是方程﹣＝﹣4的解，
∴m的值为﹣或；
（2）证明：设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，m＞0，
当x＝m时，n1＝﹣2m2，
当x＝m+1时，n2＝﹣2（m+1）2，
∴t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2，
∵m＞0，
∴﹣4m＜0，
∴﹣4m﹣2＜﹣2，
即t＜﹣2，
故该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）∵点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，
∴b＝﹣2a2，
由（2）得：t＝﹣4m﹣2，
当W1两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，
则﹣4m﹣2≤1，
解得：m≥﹣，
∴当a≥﹣时，函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1，如图，
对于函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2：y＝2x2﹣4a2（x≤a），
可得：a≤，
∴﹣≤a≤．
2023年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷
一、选择题（本大四共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一
1．（3分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微伯账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
3．（3分）若点C是线段AB的中点，且BC＝3cm，则AB的长是（ ）
A．1.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
4．（3分）2022年9月9日，中国科学家首次在月球上发现新矿物，并将其命名为“嫦娥石”．在月球样品颗粒中，分离出一颗粒径约10微米（即0.00001米）大小的单晶颗粒，并成功解译其晶体结构，确证为一种新矿物．则数据0.00001用科学记数法表示为（ ）
A．10×10﹣6 B．1×10﹣5 C．1×10﹣4 D．0.1×10﹣3
5．（3分）下列图形中，能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5 D．+＝5
7．（3分）如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，交AC于点D，已知AD＝2，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°．点D在BC上，延长AD到E，使得DE＝AD，过点B作BF⊥BE，交射线AC于点F，设CD＝x，BF2＝y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，∠ACB＝90°，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30
11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：xy2﹣x＝ ．
13．（4分）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝33°，那么∠2的度数为 ．
14．（4分）海安七战七捷纪念碑的造型是一把直耸云霄的刺刀，象征着新四军将士驰骋华东的英勇气概．某次红色寻访活动中，小华想利用自己的身高来测量纪念碑的高度，如图，小华身高DE＝1.8米，测得BE＝28米，EC＝2米，且A，D，C在一条直线上，则纪念碑AB的高度为 米．
15．（4分）将一次函数y＝2x+b的图象向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为 ．
16．（4分）如图所示，测得两幢大楼AB、CF的间距BF＝30m，CD＝20m，从C处看A的俯角为45°，从D处看B的俯角为30°，则AB的高度为 m．（结果保留根号）
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝5，BC＝CD，且∠BCD＝90°，则AC的最大值为 ．
18．（4分）如图，直线y＝ax与双曲线 相交于A（1，4），B两点，点C在双曲线上，直线AC交y轴于点D．若△BCD的面积为12，则C点坐标为 ．
三、解答题（本大题共2小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
19．（12分）（1）解方程组；
（2）计算：．
20．（10分）为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理如下：
七、八年级测试成绩频数统计表
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
3
4
3
八年级
1
7
2
七、八年级测试成绩分析统计表
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
85
90
13.6
八年级
84
84
84
18.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？
（2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平．
21．（10分）小中：如图，有一张平行四边形纸片ABCD，你能帮我折出一个菱形吗？
小华：可以啊！把平行四边形纸片对折，使A，C两点重合，折痕分别交边AD，BC于E，F两点，连接AF，EC，则四边形AFCE就是菱形了．
根据以上操作步骤，请判断小华的方法对吗？并说明理由．
22．（10分）小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S1、S2、S3分别表示三个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“”表示电池．
（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；
（2）当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，与BC相交于点F，AD＝2．
（1）求CF的长度；
（2）求阴影部分的面积．
24．（12分）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价y（元）与月份x的函数关系如图所示，该服装每件的进价z（元）与月份x的关系为．
（1）①求y与x之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？
25．（13分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是线段BO上一点（不含端点），将△ABE沿AE翻折，AB的对应边AB′与BD相交于点F．
（1）当∠BAE＝15° 时，求EF的长；
（2）若△ABF是等腰三角形，求AF的长；
（3）若EF＝k•BE，求k的取值范围．
26．（13分）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2．
（1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值；
（2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围．
2023年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大四共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一
1．（3分）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微伯账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ）
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
【解答】解：+18+（﹣12）＝6（元），
即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．
故选：B．
3．（3分）若点C是线段AB的中点，且BC＝3cm，则AB的长是（ ）
A．1.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【解答】解：∵点C是线段AB的中点，且BC＝3cm，
∴AB＝2BC＝6cm，
故选：D．
4．（3分）2022年9月9日，中国科学家首次在月球上发现新矿物，并将其命名为“嫦娥石”．在月球样品颗粒中，分离出一颗粒径约10微米（即0.00001米）大小的单晶颗粒，并成功解译其晶体结构，确证为一种新矿物．则数据0.00001用科学记数法表示为（ ）
A．10×10﹣6 B．1×10﹣5 C．1×10﹣4 D．0.1×10﹣3
【解答】解：0.00001＝1×10﹣5，
故选：B．
5．（3分）下列图形中，能折叠成正方体的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不能折叠成正方体，不符合题意；
B、能折叠成正方体，符合题意；
C、不能折叠成正方体，不符合题意；
D、不能折叠成正方体，不符合题意；
故选：B．
6．（3分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5 D．+＝5
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．
7．（3分）如图，B、C两点分别在函数 和 （x＜0）的图象上，线段BC⊥y轴，点A在x轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【解答】解：连接OA、OB，
∵BC⊥y轴，
∴△ABC的面积等于△OBC的面积，
∵△OBC的面积：＝3，
∴△ABC的面积为：3．
故选：A．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，交AC于点D，已知AD＝2，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，过点B作BP⊥AC于点P，
由作图痕迹可知，BD为∠ABC的平分线，
∴DM＝DN，
∵S△ABD＝＝，S△BCD＝＝2DN，
∴S△ABD：S△BCD＝3：4，
∵，，
∴AD：CD＝2：CD＝3：4，
∴CD＝．
故选：D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°．点D在BC上，延长AD到E，使得DE＝AD，过点B作BF⊥BE，交射线AC于点F，设CD＝x，BF2＝y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：过E作EG⊥BC于G，如图所示：
在△EDG和△ADC中，
，
∴△EGD≌△ADC（AAS），
∴DG＝DC，EG＝AC，
∵∠FBC＝90°﹣∠EBG，∠BEG＝60°﹣∠EBG，
∴∠FBC＝∠BEG
∵∠BCF＝∠EGB，AC＝BC，
∴△BCF≌△EGB（AAS），
∴FC＝BG，
∵AC＝BC＝2，DG＝CD＝x，
∴FC＝BG＝BC﹣DG﹣DC＝2﹣2x，
∴y＝BF2＝FC2+BC2＝（2﹣2x）2+22＝4x2﹣8x+8＝4（x﹣1）2+4，
∴y关于x的函数图象大致为开口向上的抛物线，当x＝1时，y有最小值4，
当x＝0和2时，y有最大值8，
故选：A．
10．（3分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，∠ACB＝90°，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【解答】解：如图，作CD⊥x轴，
设A、B两点横坐标为x1和x2，设点C（m，﹣4），
∵CD⊥x轴，
∴AD2+CD2＝AC2，BD2+CD2＝BC2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴AD2+CD2+BD2+CD2＝AB2，
∴（m﹣x1）2+42+（x2﹣m）2+42＝（x1﹣x2）2，
整理得，m2﹣m（x1+x2）+16+x1x2＝0，
∴m2+m+16+＝0，
∴am2+bm+c＝﹣16a，
∵点C（m，﹣4）在抛物线上，
∴﹣16a＝﹣4，
∴a＝．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30
11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥2 ．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
12．（3分）因式分解：xy2﹣x＝ x（y+1）（y﹣1） ．
【解答】解：原式＝x（y2﹣1）＝x（y+1）（y﹣1），
故答案为：x（y+1）（y﹣1）
13．（4分）如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝33°，那么∠2的度数为 57° ．
【解答】解：如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠1＝33°，∠3+∠ABC+∠1＝180°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝57°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝57°．
故答案为：57°．
14．（4分）海安七战七捷纪念碑的造型是一把直耸云霄的刺刀，象征着新四军将士驰骋华东的英勇气概．某次红色寻访活动中，小华想利用自己的身高来测量纪念碑的高度，如图，小华身高DE＝1.8米，测得BE＝28米，EC＝2米，且A，D，C在一条直线上，则纪念碑AB的高度为 27 米．
【解答】解：由题意得△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝EC：BC，
∵DE＝1.8米，BE＝28米，EC＝2米，
∴1.8：AB＝2：30，
解得：AB＝27，
故答案为：27．
15．（4分）将一次函数y＝2x+b的图象向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为 4 ．
【解答】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为y＝2x+b﹣2，
再将点（﹣1，0）代入y＝2x+b﹣2，
得﹣2+b﹣2＝0，
解得b＝4，
故答案为：4．
16．（4分）如图所示，测得两幢大楼AB、CF的间距BF＝30m，CD＝20m，从C处看A的俯角为45°，从D处看B的俯角为30°，则AB的高度为 （10﹣10） m．（结果保留根号）
【解答】解：过点A作AE⊥CF，垂足为E，
由题意得：AE＝BF＝30m，AB＝EF，
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
∴CE＝＝30（m），
在Rt△DFB中，∠BDF＝90°﹣30°＝60°，
∴DF＝＝＝10（m），
∵CD＝20m，
∴AB＝EF＝CD+DF﹣CE＝20+10﹣30＝（10﹣10）m，
故答案为：（10﹣10）．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝5，BC＝CD，且∠BCD＝90°，则AC的最大值为 ．
【解答】解：如图，在直线AB的右侧作等腰直角三角形△ABE，使得，EB＝EA，∠AEB＝90°．
∵AB＝5，
∴AE＝BE＝，
∵∠ABE＝∠DBC＝45°，
∴∠ABD＝∠EBC，
∵＝，
∴△ABD∽△EBC，
∴＝，
∵AD＝2，
∴EC＝，
∵AC≤AE+EC，
∴AC≤．
∴AC 的最大值为．
故答案为：．
18．（4分）如图，直线y＝ax与双曲线 相交于A（1，4），B两点，点C在双曲线上，直线AC交y轴于点D．若△BCD的面积为12，则C点坐标为 （2，2） ．
【解答】解：连接OC，
∵直线y＝ax与双曲线 相交于A（1，4），B两点，
∴k＝1×4＝4，A、B关于原点对称，
∴双曲线为y＝，
∵点C在双曲线上，
∴设C（m，）（m≠1），
设直线AC的解析式为y＝k′x+b，
把A（1，4）、C（m，）代入得，
解得，
∴D（0，），
∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴S△COD＝S△BCD＝＝6，
∴×（）×m＝6，
解得m＝2，
∴C（2，2）．
故答案为：（2，2）．
三、解答题（本大题共2小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
19．（12分）（1）解方程组；
（2）计算：．
【解答】解：（1），
①×2得：6x﹣4y＝10③，
②+③得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：2+4y＝4，
解得：y＝，
故原方程组的解是：；
（2）
＝
＝
＝0．
20．（10分）为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理如下：
七、八年级测试成绩频数统计表
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
七年级
3
4
3
八年级
1
7
2
七、八年级测试成绩分析统计表
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
85
90
13.6
八年级
84
84
84
18.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？
（2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平．
【解答】解：（1）七年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为：＝，
八年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为：＝，
∴七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200×＝140（名），
∴八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200×＝180（名），
140+180＝320（名）．
答：估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共约320名；
（2）∵七、八年级测试成绩的平均数相等，七年级测试成绩的方差小于八年级测试成绩的方差，
∴七年级的学生掌握交通法规知识的水平较好（答案不唯一）．
21．（10分）小中：如图，有一张平行四边形纸片ABCD，你能帮我折出一个菱形吗？
小华：可以啊！把平行四边形纸片对折，使A，C两点重合，折痕分别交边AD，BC于E，F两点，连接AF，EC，则四边形AFCE就是菱形了．
根据以上操作步骤，请判断小华的方法对吗？并说明理由．
【解答】解：小华的方法对，理由如下：
连接AC交EF于O，
由折叠可知：AE＝EC，AF＝CF，
∴EF垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∵AE∥CF，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF是菱形．
22．（10分）小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S1、S2、S3分别表示三个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“”表示电池．
（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；
（2）当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．
【解答】解：（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，小灯泡发光的概率为；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，
∴小灯泡发光的概率为＝．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，与BC相交于点F，AD＝2．
（1）求CF的长度；
（2）求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵⊙O与AC相切于点E，
∴∠AEO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AO＝2OE，
∵OD＝OE，
∴AD＝OE＝OD＝2，
过O作OG⊥BC于G，连接OF，
则CG＝OE＝2，BG＝FG，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OF，
∴△OBF是等边三角形，
∴BF＝OB＝2，
∴FG＝1，
∴CF＝CG﹣FG＝1；
（2）∵∠AEO＝90°，∠A＝30°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠EOF＝∠BOF＝60°，
∴OF⊥BE，
∴BH＝EH，∠EHO＝∠BHF＝90°，
∵∠EOH＝∠BFH＝60°，
∴△OEH≌△FBH（AAS），
∴S△OEH＝S△FBH，
∴阴影部分的面积＝扇形EOF的面积＝＝．
24．（12分）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价y（元）与月份x的函数关系如图所示，该服装每件的进价z（元）与月份x的关系为．
（1）①求y与x之间的函数关系式；
②第3个月每件服装的利润是多少？
（2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）①当0≤x≤5时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
∴y＝10x+100（0≤x≤5），
∴；
②当x＝3时，y＝10×3+100＝130，
z＝×32+12×3+60＝81，
∴第3个月每件服装的利润为130﹣81＝49（元）；
（2）设每月的利润为w，
则w＝120（y﹣z），
当0≤x≤5时，w＝120＝120，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝0.6，
∵，
∴在该函数图象上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，
∴当x＝5时，w取得最大值，最大值为＝8600（元）；
当5＜x≤10时，w＝120＝120，
∴该函数的对称轴为直线x＝＝3.6，
∴当5＜x≤10时，y随x的增大而增大，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值为＝16400（元）．
∵16400＞8600，
∴第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元．
25．（13分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是线段BO上一点（不含端点），将△ABE沿AE翻折，AB的对应边AB′与BD相交于点F．
（1）当∠BAE＝15° 时，求EF的长；
（2）若△ABF是等腰三角形，求AF的长；
（3）若EF＝k•BE，求k的取值范围．
【解答】解：（1）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴△ABC是等边三角形，AC⊥BD，AO＝AC，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴AO＝2，BO＝2，
由折叠得∠BAE＝∠FAE＝15°，
∴∠BAF＝∠FBA＝30°，
∴BF＝AF＝2﹣OF，
在Rt△AOF中，OF2+OA2＝AF2，
∴OF2+22＝（2﹣OF）2，
∴OF＝，
∵∠BAE＝15°，∠FBA＝30°，
∴∠AEO＝45°，
∴△AEO是等腰直角三角形，
∴OE＝OA＝2，
∴EF＝OE﹣OF＝2﹣；
（2）若△ABF是等腰三角形，分三种情况：
①当AF＝BF时，
由（1）知，BF＝AF＝2﹣OF，OF＝，
∴AF＝2﹣＝；
②当AF＝AB时，
∵AB＝4，
∴AF＝4，
∵点E是线段BO上一点（不含端点），
∴AF＝4（舍去）；
③当AB＝BF时，如图1，
∵AB＝4，
∴BF＝4，
∴OF＝BF﹣OB＝4﹣2，
∴AF＝＝＝2﹣2；
综上，AF的长为或2﹣2；
（3）过点E作EM⊥AB于M，作EN⊥AF于N，
由折叠得∠BAE＝∠FAE，
∴EM＝EN，
∴＝＝，
又∵＝，
∴＝，
∴EF＝，
∵EF＝k•BE，
∴k＝，
∵点F在BD上，
∴AF的最大值为4，当AF⊥BD，即点F与点O重合时，AF的值最小为OA＝2，
∴2≤AF＜4，
∴≤＜1，
∴k的取值范围为≤k＜1．
26．（13分）定义：若函数图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数y＝2x+3，当x＝m时，n1＝2m+3；当x＝m+1时，n2＝2m+5，n2﹣n1＝2 则函数y＝2x+3的“域差值”为2．
（1）点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，“域差值”t＝﹣4，求m的值；
（2）已知函数y＝﹣2x2（x＞0），求证该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，将函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象记为W1，将函数 y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，求a的取值范围．
【解答】（1）解：∵点M（m，n1），M'（m+1，n2）在的图象上，
∴n1＝，n2＝，
∵“域差值”t＝﹣4，
∴n2﹣n1＝﹣4，
即﹣＝﹣4，
整理，得：m2+m﹣1＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝，
经检验，m1＝﹣，m2＝均是方程﹣＝﹣4的解，
∴m的值为﹣或；
（2）证明：设函数y＝﹣2x2（x＞0）图象上存在点M（m，n1），M'（m+1，n2），且满足n2﹣n1＝t，m＞0，
当x＝m时，n1＝﹣2m2，
当x＝m+1时，n2＝﹣2（m+1）2，
∴t＝n2﹣n1＝﹣2（m+1）2﹣（﹣2m2）＝﹣4m﹣2，
∵m＞0，
∴﹣4m＜0，
∴﹣4m﹣2＜﹣2，
即t＜﹣2，
故该函数的“域差值”t＜﹣2；
（3）∵点A（a，b）为函数 y＝﹣2x2 图象上的一点，
∴b＝﹣2a2，
由（2）得：t＝﹣4m﹣2，
当W1两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1时，
则﹣4m﹣2≤1，
解得：m≥﹣，
∴当a≥﹣时，函数y＝﹣2x2（x≥a）的图象上所有的点都满足“域差值”t≤1，如图，
对于函数y＝﹣2x2（x≤a）的图象沿直线y＝b翻折后的图象记为W2：y＝2x2﹣4a2（x≤a），
可得：a≤，
∴﹣≤a≤．
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