辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，9%B，在等比数列中，则，，则，已知数列满足等内容，欢迎下载使用。

数 学
命题人：康平县高级中学 何庆超 评审题人：沈阳市第八十三中学 于洋
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.数列的一个通项公式为（ ）
A.B.
C.D.
2.已知数列中，且满足，则（ ）
A.2B.-1C.D.
3.为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，计算得，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为（ ）
A.99.9%B.1%C.0.1%D.99.5%
4.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的根棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.这形象地说明了事物具有无限可分性.问：当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为（ ）
A.6B.7C.8D.9
5.已知数列为等差数列，其前项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（ ）
A.6B.7C.9D.10
6.在等比数列中，则，，则（ ）
A.B.C.D.
7.在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A.B.60C.80D.160
8.已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（ ）
A.存在，使得为等差数列B.当时，
C.当时，D.当时，是等比数列
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A.若回归方程为，则变量y与x负相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
C.若线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越强
D.若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
10.等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则B.若，，则
C.若，，则D.若，则，
11.如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.在数列中，，，且，则数列的前10项和___________.
13.设等差数列，的前n项和分别为，，且，则___________.
14.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对1+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成.因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则的值为____________.
四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）若数列的前项和，满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16.（15分）张先生2018年年底购买了一辆1.6L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳
（1）若张先生第一年（即2019年）会用车12万公里，以后逐年增加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨?
（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：，，）?
17.（15分）二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：
下面是z关于x的折线图：
（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）求关于的回归方程，并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少；（，小数点后保留两位数字）
（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年.
参考公式：，，，参考数据：，，，，，，，.
18.（17分）下图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3）….由图可知，围成第一个图形的线段条数为3，围成第（2）个图形的线段条数为12，…，设围成第（n）个图形的边长条数为.
（1）求，，并直接写出（不用证明）；
（2）数列满足，求数列的前项和.
19.（17分）表示正整数与的最大公约数.若，且，，则将的最大值即为，例如：，.
（1）求，，；
（2）已知时，.
（I）求；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明.
沈阳市郊联体四月份考试高二数学答案
一、单项选择题
1.B 2.D 3.D 4.A 5.D
二、多选题
9.AB 10.ACD 11.ABD
三、填空题
12.35 13.11 14.1009
四、解答题
15.（1）当时，
所以即
当时，，得，
则
所以数列是首项为-1，公比为3的等比数列.
所以.
（2）由（1）得：.
所以.
所以.
16.（1）设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为，
则，，，…，
显然其构成首项为，公差为的等差数列，
记其前项和为，则.
所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨（7分）
（2）记第年林木吸收二氧化碳的吨数为，
则，，，…
显然其构成首项为，公比为的等比数列，
记其前项和为，
由题意，有，解得
所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.
17.（1）由题意，计算，
，
且，，，
所以，
所以z与x的相关系数大约为-0.99，说明z与x的线性相关程度很高；
（2）利用最小二乘估计公式计算
，
所以
所以z关于x的线性回归方程是，
又，所以y关于x的回归方程是
令，解得，即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元.
（3）当时，，
所以，解得，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年.
18.（1）由题意可知，，
可以看到，由第（n）到第（）个图形，每1条线段都变为4条线段，故；
（2）因为，
由题意知①
当时，得，
当时，②
①-②得，则，检验成立，故，
令③
④
③-④得，
.
化简得.
19.（1）依题意可得表示所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，
因为与2互质的数是1，所以；
因为与3互质的数是1，2所以；
因为与6互质的数是1，5所以；
（2）①因为中与互质的正整数只有奇数，
所以中与互质的正整数的个数为，所以
又因为中与互质的正整数只有与两个，
所以中与互质的正整数的个数为，所以.
所以.
②解法一：略.
0.10
.0
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
使用年数x
2
3
4
5
6
7
售价y
20
12
8
6.4
4.4
3
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10