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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册9.1线性回归分析学案
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册9.1线性回归分析学案，共30页。学案主要包含了课前小题演练，当堂巩固训练，综合突破拔高等内容，欢迎下载使用。
1、结合实例，了解样本相关系数的统计含义．
2、结合实例，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．
3、结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．
学科素养目标
本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯．
在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．
重点难点
重点：借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征；
难点：正态分布的均值、标准差、方差及其含义．
教学过程
基础知识点
1．变量的相关关系
(1)两个变量的关系
(2)散点图：建立平面直角坐标系．将样本中的数据构成的点在__________标出得到的统计图．
(3)线性相关关系：散点落在__________附近，则称这两个变量具有线性相关关系．
(4)正相关与负相关
2.相关系数
(1)样本相关系数r的计算公式
我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为r＝____________ .
(2)样本相关系数r的性质
①____≤r≤_____；
②r__0时y与x呈正相关关系，r___0时y与x呈负相关关系；
③|r|越接近1，y与x相关的程度就_____，|r|越接近0，y与x相关的程度就____；
通常情况下，当|r|>0.5时，认为线性相关关系_______；当|r|<0.3时，认为_________线性相关关系．
【课前小题演练】
题1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是
A．瑞雪兆丰年B．读书破万卷，下笔如有神
C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
题2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是
A．正方体的棱长与体积B．读书破万卷，下笔如有神
C．数学成绩与物理成绩D．光照时间与水稻的单位产量
题3．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是
A．为正相关，为负相关，为不相关
B．为负相关，为不相关，为正相关
C．为负相关，为正相关，为不相关
D．为正相关，为不相关，为负相关
题4．在相关分析中，对相关系数，下列说法正确的是
A．越大，线性相关程度越强
B．越小，线性相关程度越强
C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D．且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱
题5．为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数如表所示：
则由表可知
A．乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高
B．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
C．乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
D．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高
题6．甲，乙，丙，丁四位同学各自对，两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如表：
则这四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是
A．甲B．乙C．丙D．丁
题7.（多选题）以下关于相关关系的说法正确的是
A．相关关系是函数关系
B．相关关系有正相关和负相关
C．线性相关关系是一次函数关系
D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
题8．（多选题）下列散点图中，两个变量之间具有线性相关关系的是
A．B．
C．D．
题9. 对相关系数，给出下列说法：
①越大，线性相关程度越弱；
②越小，线性相关程度越弱；
③越大，线性相关程度越弱，越接近0，线性相关程度越强；
④且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱．
其中正确的说法是_______．（填序号）
题10．甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量进行线性相关检验，并用回归分析方法分别求得相关系数如表：
则这四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是__________．
题11. 判断下列两个变量之间是否具有相关关系：
(1) 路程与时间； (2) 同一物体的加速度与作用力；
(3) 产品的成本与产量； (4) 广告费用与销售量．
题12. 根据有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟和健康之间有相关关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的吗？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法正确吗？
【当堂巩固训练】
题13．一组样本数据，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．B．0C．0.5D．1
题14．在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是
A．B．C．D．
题15．变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则
A．B．C．D．
题16．变量，的线性相关系数为，变量，的线性相关系数为，下列说法错误的是
A．若，则说明变量，之间线性相关性强
B．若，则说明变量，之间的线性相关性比变量，之间的线性相关性强
C．若，则说明变量，之间的相关性为正相关
D．若，则说明变量，之间线性不相关
题17．如图所示，5组数据中去掉后，下列说法正确的是
A．偏差平方和变大
B．相关系数变小
C．负相关变为正相关
D．解释变量与预报变量的相关性变强
题18．(多选题)下列关系中，属于相关关系的是( )
A．正方形的边长与面积之间的关系
B．农作物的产量与施肥量之间的关系
C．人的身高与年龄之间的关系
D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
题19．(多选题)以下各对变量成正相关的是( )
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
题20．在一组样本数据为，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，，都在直线上，则这组样本数据的相关系数__________．
题21．对于下列命题：
①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
②与具有线性相关关系，其回归方程为，则与具有负的线性相关关系；
③在一组样本数据中的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为；
④设，为直线，为平面，若，，则．
其中正确命题的序号为________（把你认为正确的命题的序号都填上）．
题22. 对某种鸡胚胎的生长进行研究，测得5～20日龄鸡的胚胎的质量(简称胚重，单位：g)如下表所示：
(1) 作出散点图；
(2) 关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
题23. 有一位同学家开了一家小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到卖出热饮杯数与当天气温(单位：℃)的对比表：
(1) 作出散点图；
(2) 你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？
【综合突破拔高】
题24．2009年春季，我国部分地区流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的5月1号到5月12号每天北京市病治愈者数据，根据这些数据绘制散点图．
下列说法正确的个数有
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系；
③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的多；
④后三天中每天治愈出院的人数均超过这12天内北京市病愈者总人数的．
A．1B．2C．3D．4
题25．如图所示，5组数据中去掉后，下列说法错误的是
A．残差平方和变大B．相关系数变大
C．相关指数变大D．变量与变量的相关性变强
题26．下列说法中错误的是
A．如果变量与之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点，，2，，将散布在某一条直线的附近
B．如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据，，2，，不能写出一个线性方程
C．设，是具有相关关系的两个变量，且关于的线性回归方程为，叫做回归系数
D．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量与之间是否存在线性相关关系
题27．在一次试验中，测得的四组值分别为，，，，则与的相关系数为
A．B．C．0D．
题28．有下列关系：
①人的年龄与他（她拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，
其中有相关关系的是
A．①②③B．①②C．②③D．①③④
题29．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如图所示：
根据以上信息，则下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；
④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；
其中正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
题30.（多选题）下列说法正确的是
A．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为
B．若变量，的样本相关系数为0，则与不存在相关关系
C．若以模型拟合一组样本数据，设，将样本数据进行相应变换后算得回归直线的方程为，则，的估计值分别为和0.5
D．在回归分析中，决定系数的值越大，说明模型拟合的效果越好
题31．(多选题)研究与试验发展(R&D)是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先．如图是我国近五年(2016－2020年)R&D经费支出统计图，则下列说法中正确的是( )
A．近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系
B．近五年，R&D经费支出的中位数为19 678
C．2020年，R&D经费支出相对于2016年增长超过50%
D．2020年，R&D经费支出增长速度最快
题32．变量与相对应的一组数据为：，，，，； 变量与相对应的一组数据为，，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，是则与的大小关系是_________．
题33．在一次试验中，测得的四组值分别为，，，．则与的相关系数为_________．
题34．（1）人的年龄与他（她拥有的财富之间的关系；
（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
（3）苹果的产量与气候之间的关系；
（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
（5）学生与他（她的学号之间的关系，
其中有相关关系的是_____________．
题35. 在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识、就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数yi(单位：万元)与时间ti(单位：年)的数据，列表如下：
根据表中给出的数据，请计算相关系数r并加以说明．(计算结果精确到0.01)
题36. 交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让．
我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”．下表是某市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：
(1) 根据表中所给的5个月的数据，请计算相关系数r并加以说明；
(2) 若从4, 5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率．
参考公式：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\(x,\s\d4(——)) ))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yi－\(y,\s\d4(——)) )),\r(\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\(x,\s\d4(——)) ))2\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yi－\(y,\s\d4(——)) ))2)).
编号031 §9.1.1 变量的相关性
目标要求
1、结合实例，了解样本相关系数的统计含义．
2、结合实例，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．
3、结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．
学科素养目标
本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯．
在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．
重点难点
重点：借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征；
难点：正态分布的均值、标准差、方差及其含义．
教学过程
基础知识点
1．变量的相关关系
(1)两个变量的关系
(2)散点图：建立平面直角坐标系．将样本中的数据构成的点在坐标系内标出得到的统计图．
(3)线性相关关系：散点落在一条直线附近，则称这两个变量具有线性相关关系．
(4)正相关与负相关
2.相关系数
(1)样本相关系数r的计算公式
我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为r＝___ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（xi－\x\t(x)）（yi－\x\t(y)）,\r(\i\su(i＝1,n, )（xi－\x\t(x)）2\i\su(i＝1,n, )（yi－\x\t(y)）2)) ___ .
(2)样本相关系数r的性质
①－1≤r≤1；
②r>0时y与x呈正相关关系，r<0时y与x呈负相关关系；
③|r|越接近1，y与x相关的程度就越强，|r|越接近0，y与x相关的程度就越弱；
通常情况下，当|r|>0.5时，认为线性相关关系显著；当|r|<0.3时，认为几乎没有线性相关关系．
【课前小题演练】
题1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是
A．瑞雪兆丰年B．读书破万卷，下笔如有神
C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
【解答】解：选项，，是根据多年经验总结出来的，选项，具有科学发展依据，
因此都有相关关系，
选项，无科学依据，且它们发出的叫声是它们自身的生理反应，故不具有相关关系，
故选：．
【点评】本题考查了变量间的相关关系，考查了学生的理解能力，属于基础题．
题2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是
A．正方体的棱长与体积B．读书破万卷，下笔如有神
C．数学成绩与物理成绩D．光照时间与水稻的单位产量
【解答】解：对于，由正方体的棱长和体积的公式知，它们是函数关系，不是相关关系；
对于，读书破万卷，下笔如有神是相关关系；
对于，数学成绩与物理成绩是相关关系；
对于，日照时间会影响水稻的亩产量，但不是唯一因素，它们之间是相关关系；
故选：．
【点评】本题考查了两个变量之间具有相关关系的定义与应用问题，是基础题．
题3．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是
A．为正相关，为负相关，为不相关
B．为负相关，为不相关，为正相关
C．为负相关，为正相关，为不相关
D．为正相关，为不相关，为负相关
【解答】解：根据散点图，由相关性可知：
图各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关；
图中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关；
图中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关．
故选：．
【点评】本题考查了散点图中点的分布特征以及相关性定义的应用问题，是基础题目．
题4．在相关分析中，对相关系数，下列说法正确的是
A．越大，线性相关程度越强
B．越小，线性相关程度越强
C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D．且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱
【解答】解：两个变量之间的相关系数，的绝对值越接近于1，
表现两个变量的线性相关性越强，
的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，
故选：．
【点评】本题考查相关系数相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系，这样可以粗略的判定两个变量之间的关系．
题5．为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数如表所示：
则由表可知
A．乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高
B．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
C．乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
D．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高
【解答】解：根据题意，分析可得甲研究的那组数据线的相关系数的绝对值最小，其研究数据线性相关程度最低，
丁研究的那组数据线的相关系数的绝对值最大，其研究数据线性相关程度最高，
故选：．
【点评】本题考查相关系数的意义，关键是掌握相关系数的统计意义，属于基础题．
题6．甲，乙，丙，丁四位同学各自对，两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如表：
则这四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，
结合题意可知丁的线性相关性更强，
故选：．
【点评】本题考查相关系数的意义，属基础题．
题7.（多选题）以下关于相关关系的说法正确的是
A．相关关系是函数关系
B．相关关系有正相关和负相关
C．线性相关关系是一次函数关系
D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
【解答】解：相关关系不是函数关系，故错误，
相关关系有正相关和负相关，相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查相关关系的概念，属于基础题．
题8．（多选题）下列散点图中，两个变量之间具有线性相关关系的是
A．B．
C．D．
【解答】解：选项是确定性的函数关系，选项错误；
观察，，选项中的散点，发现选项，中的散点分布在某条直线的附近，
故选：．
【点评】本题考查由散点图判断两变量是否具有线性相关关系，属基础题．
题9. 对相关系数，给出下列说法：
①越大，线性相关程度越弱；
②越小，线性相关程度越弱；
③越大，线性相关程度越弱，越接近0，线性相关程度越强；
④且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱．
其中正确的说法是_______．（填序号）
【解答】解：根据题意，用相关系数可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，
而，当越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，
越接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，
其中只有④正确；
故答案为：④．
【点评】本题考查根据相关系数对两个变量线性相关的强弱的判断，注意的统计意义，属于基础题．
题10．甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量进行线性相关检验，并用回归分析方法分别求得相关系数如表：
则这四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是__________．
【解答】解：，
又相关系数越接近于1，线性相关性更强，
四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是丁同学．
故答案为：丁同学．
【点评】本题主要考查变量间的相关关系，属于基础题．
题11. 判断下列两个变量之间是否具有相关关系：
(1) 路程与时间； (2) 同一物体的加速度与作用力；
(3) 产品的成本与产量； (4) 广告费用与销售量．
【解析】(1) 路程与时间是函数关系 (2) 同一物体的加速度与作用力是函数关系 (3) 产品的成本与产量之间的关系是相关关系 (4) 广告费用与销售量之间的关系是相关关系
题12. 根据有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟和健康之间有相关关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的吗？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法正确吗？
【解析】吸烟和健康之间存在一定的相关关系，但不是每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的．“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”是不正确的.
【当堂巩固训练】
题13．一组样本数据，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．B．0C．0.5D．1
【解答】解：因为样本点在直线上，呈现完全正相关，样本相关系数为1．
故选：．
【点评】本题考查了相关系数的理解与应用，相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标，，且越接近于1，相关程度越大，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
题14．在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是
A．B．C．D．
【解答】解：由散点图变化趋势可知，，，，，
又图1中的散点更为集中，更接近于一条直线，
所以，
故样本相关系数最大的是．
故选：．
【点评】本题考查了相关系数的理解与应用，当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关；，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小．属于基础题．
题15．变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则
A．B．C．D．
【解答】解：由变量与相对应的一组数据可知，随着的增加，增加，
变量与成正相关，即，
变量与相对应的一组数据可知，随着的增加，减少，
变量与成正相关，即，
，
故选：．
【点评】本题考查数据的相关性，考查比较相关系数大小的方法，属于基础题．
题16．变量，的线性相关系数为，变量，的线性相关系数为，下列说法错误的是
A．若，则说明变量，之间线性相关性强
B．若，则说明变量，之间的线性相关性比变量，之间的线性相关性强
C．若，则说明变量，之间的相关性为正相关
D．若，则说明变量，之间线性不相关
【解答】解：接近于1，
说明变量，之间的相关性强，故选项正确，
若，，满足，但是不能说明变量，之间的线性相关性比变量，之间的线性相关性强，故选项错误，
当时，变量，之间的相关性为正相关，故选项正确，
当时，变量，之间线性不相关，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查相关系数的意义，属于基础题．
题17．如图所示，5组数据中去掉后，下列说法正确的是
A．偏差平方和变大
B．相关系数变小
C．负相关变为正相关
D．解释变量与预报变量的相关性变强
【解答】解：由散点图知，去掉离群点后，
与的线性相关性加强，相关系数变大，选项错误；
偏差平方和变小，选项错误；
仍然是正相关，选项错误；
解释变量与预报变量的相关性变强，所以选项正确．
故选：．
【点评】本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数，相关指数及残差平方和，是基础题．
题18．(多选题)下列关系中，属于相关关系的是( )
A．正方形的边长与面积之间的关系
B．农作物的产量与施肥量之间的关系
C．人的身高与年龄之间的关系
D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
【解析】选BD.在A中正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在C中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
题19．(多选题)以下各对变量成正相关的是( )
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
【解析】选CD.对于A，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于B，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；对于C，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于D，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
题20．在一组样本数据为，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，，都在直线上，则这组样本数据的相关系数__________．
【解答】解：根据回归直线方程为，
可得这两个变量是负相关，这组样本数据的样本相关系数为负值；
又所有样本点，，2，，都在一条直线上，则有；
所以其相关系数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．
题21．对于下列命题：
①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
②与具有线性相关关系，其回归方程为，则与具有负的线性相关关系；
③在一组样本数据中的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为；
④设，为直线，为平面，若，，则．
其中正确命题的序号为________（把你认为正确的命题的序号都填上）．
【解答】解：①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数，数据的稳定性不变，即方差不变，①正确，
②回归直线的一次项系数为，与具有负的线性相关关系，②正确；
③由条件知这组样本数据完全正相关，其相关系数为1，③不正确；
④根据线面平行的判定定理知，一条直线在平面外，另一条在平面内，④不正确，
综上得，正确命题的序号是①②，
故答案为：①②．
【点评】本题考查命题的真假判断，涉及回归直线方程的意义及性质，方差，以及线面平行的判定定理，属于中档题．
题22. 对某种鸡胚胎的生长进行研究，测得5～20日龄鸡的胚胎的质量(简称胚重，单位：g)如下表所示：
(1) 作出散点图；
(2) 关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
【解析】(1) 以鸡胚胎的日龄为x轴，胚重为y轴，作出散点图(如图) (2) 从图中可以看出，许多点不在同一直线附近，但可以看出随着时间的增加，胚重增长得越来越快，所以具有相关关系
题23. 有一位同学家开了一家小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到卖出热饮杯数与当天气温(单位：℃)的对比表：
(1) 作出散点图；
(2) 你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？
【解析】(1) 以温度为x轴，热饮销售杯数为y轴，作出散点图(如图) (2) 从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此气温与热饮销售杯数之间具有负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少
【综合突破拔高】
题24．2009年春季，我国部分地区流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的5月1号到5月12号每天北京市病治愈者数据，根据这些数据绘制散点图．
下列说法正确的个数有
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系；
③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的多；
④后三天中每天治愈出院的人数均超过这12天内北京市病愈者总人数的．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由散点图中的点分布在一个条形区域内，故日期与人数具有线性相关关系，即①正确，②错误；
这12天治愈出院人数共有：
后三天中每天治愈出院的人数共有：
后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的，故③正确；
后三天中每天治愈出院的人数均不超过这12天内北京市病愈者总人数的，故④错误；
故正确的说法有2个
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了相关关系等统计的知识，难度不大，属于基础题．
题25．如图所示，5组数据中去掉后，下列说法错误的是
A．残差平方和变大B．相关系数变大
C．相关指数变大D．变量与变量的相关性变强
【解答】解：根据散点图：5组数据中去掉后，得到的结论，与的线性相关性加强，且为正相关，所以变大，相关系数变大，残差平方和变小，
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：残差平方和，相关系数，相关指数，主要考查学生对定义性问题的应用，属于基础题型．
题26．下列说法中错误的是
A．如果变量与之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点，，2，，将散布在某一条直线的附近
B．如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据，，2，，不能写出一个线性方程
C．设，是具有相关关系的两个变量，且关于的线性回归方程为，叫做回归系数
D．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量与之间是否存在线性相关关系
【解答】解：、如果变量与之间存在着线性相关关系，
我们根据试验数据得到的点，，2，，将散布在某一条直线的附近，故正确，
、任何一组，，2，都能写出一个线性方程，
只是有无意义的问题．
故错误，
、，是具有相关关系的两个变量，
且关于的线性回归方程为，回归系数，
故正确，
、为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量与之间是否存在线性相关关系，故正确，
故选：．
【点评】在线性回归模型中，解释变量对于预报变量变化的贡献率，它的值越接近于1表示回归的效果越好，如果对于某组数据可以采用几种不同的回归方程进行分析，可以通过比较它的值选择较大的模型作为这组数据的模型．
题27．在一次试验中，测得的四组值分别为，，，，则与的相关系数为
A．B．C．0D．
【解答】解：测得的四组值分别为，，，，
，，，，，
样本相关系数．
故选：．
【点评】本题主要考查了相关系数的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
题28．有下列关系：
①人的年龄与他（她拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，
其中有相关关系的是
A．①②③B．①②C．②③D．①③④
【解答】解：相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，
②是一种函数关系，具有相关关系的有：①③④．
故选：．
【点评】判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．
题29．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如图所示：
根据以上信息，则下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；
④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；
其中正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由散点图可知，两变量间是相关关系，非函数关系，即①正确，②错误；
利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，即④正确，③错误．
故选：．
【点评】本题考查散点图、变量间的相关关系和概率的含义等基础知识，考查学生的推理论证能力，属于基础题．
题30.（多选题）下列说法正确的是
A．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为
B．若变量，的样本相关系数为0，则与不存在相关关系
C．若以模型拟合一组样本数据，设，将样本数据进行相应变换后算得回归直线的方程为，则，的估计值分别为和0.5
D．在回归分析中，决定系数的值越大，说明模型拟合的效果越好
【解答】解：对于，若所有样本点都在直线上，则这组数据完全相关，样本相关系数为1，故正确；
对于，当变量，的样本相关系数为0，则与不存在线性相关关系，但未必不存在其它类型的相关关系，故错误；
对于，两边取对数得，故，故，，故正确；
对于，因为在回归分析中，决定系数的值越大，模型解释因变量的能力越强，即模型拟合的效果越好，故正确．
故选：．
【点评】本题考查两个变量之间相关关系的判断方法，突出考查了对线性相关系数和决定系数的意义的理解，属于中档题．
题31．(多选题)研究与试验发展(R&D)是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先．如图是我国近五年(2016－2020年)R&D经费支出统计图，则下列说法中正确的是( )
A．近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系
B．近五年，R&D经费支出的中位数为19 678
C．2020年，R&D经费支出相对于2016年增长超过50%
D．2020年，R&D经费支出增长速度最快
【解析】选ABC.对于A选项，近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系，A选项正确；
对于B选项，近五年，R&D经费支出的中位数为19 678，B选项正确；
对于C选项，因为 eq \f(24 426,15 677) ≈1.56，即2020年R&D经费支出相对于2016年增长超过50%，C选项正确；
对于D选项，2016－2017年， eq \f(17 606,15 677) ≈1.123，2017－2018年， eq \f(19 678,17 606) ≈1.118，2018－2019年， eq \f(22 144,19 678) ≈1.125，2019－2020年， eq \f(24 426,22 144) ≈1.103，D选项错误．
题32．变量与相对应的一组数据为：，，，，； 变量与相对应的一组数据为，，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，是则与的大小关系是_________．
【解答】解：由变量与相对应的一组数据为：，，，，．
可得：变量与之间的正相关，因此．
而由变量与相对应的一组数据为，，，，，可知：变量与之间的负相关，．
因此与的大小关系是．
故答案为：．
【点评】本题考查了变量之间的线性相关系数，考查了推理能力，属于中档题．
题33．在一次试验中，测得的四组值分别为，，，．则与的相关系数为_________．
【解答】解：测得的四组值分别为，，，，
，，，，
故与的相关系数．
故答案为：．
【点评】本题主要考查相关系数的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
题34．（1）人的年龄与他（她拥有的财富之间的关系；
（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
（3）苹果的产量与气候之间的关系；
（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
（5）学生与他（她的学号之间的关系，
其中有相关关系的是_____________．
【解答】解：对于（1），人的年龄与他（她拥有的财富是相关关系，（1）满足条件；
对于（2），曲线上的点与该点的坐标之间是一种函数关系，不是相关关系，（2）不满足条件；
对于（3），苹果的产量与气候之间是一种相关关系，（3）满足条件；
对于（4），森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系是一种相关关系，（4）满足条件；
对于（5），学生与他（她的学号之间的关系，是一种映射，不是相关关系，（5）不满足条件；
综上，其中有相关关系的是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．
题35. 在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识、就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数yi(单位：万元)与时间ti(单位：年)的数据，列表如下：
根据表中给出的数据，请计算相关系数r并加以说明．(计算结果精确到0.01)
【解析】＝3, ＝4.7, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (ti－)(yi－)＝14.7, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (ti－)2＝10, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－)2＝22.78，则＝eq \f(14.7,\r(10×22.78))≈0.97，故创收利润数y与时间t的线性相关程度很高.
题36. 交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让．
我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”．下表是某市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：
(1) 根据表中所给的5个月的数据，请计算相关系数r并加以说明；
(2) 若从4, 5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率．
参考公式：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\(x,\s\d4(——)) ))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yi－\(y,\s\d4(——)) )),\r(\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\(x,\s\d4(——)) ))2\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yi－\(y,\s\d4(——)) ))2)).
【解析】(1) ＝3, ＝100, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－)(yi－)＝－80, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－)2＝10, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－)2＝750，则＝eq \f(－80,\r(10×750))≈－0.924，故y与x的线性相关程度很高 (2) 从4月份选取的4人分别记为a1, a2, a3, a4，从5月份选取的2人分别记为B1, B2.从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的样本点有{a1, a2}, {a1, a3}, {a1, a4}, {a1, B1}, {a1, B2}, {a2, a3}, {a2, a4}, {a2, B1}, {a2, B2}, {a3, a4}, {a3, B1}, {a3, B2}, {a4, B1}, {a4, B2}, {B1, B2}，共15个，其中“抽取的2人分别来自两个月份”包含的样本点为{a1, B1}, {a1, B2}, {a2, B1}, {a2, B2}, {a3, B1}, {a3, B2}, {a4, B1}, {a4, B2}，共8个，故所求概率为eq \f(8,15).
分类
函数关系
相关关系
特征
两个变量有_______关系
两个变量之间具有一定的联系，但又没有_________函数关系
正相关
负相关
具有相关关系的两个变量的散点图呈_________________方向发展的趋势
具有相关关系的两个变量的散点图呈_________________方向发展的趋势
同学甲
同学乙
同学丙
同学丁
同学戊
相关系数
0.45
0.74
0.82
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
日龄/天
5
6
7
8
9
10
11
12
胚重/g
0.250
0.498
0.846
1.288
1.656
2.662
3.100
4.576
日龄/天
13
14
15
16
17
18
19
20
胚重/g
6.518
7.486
9.948
14.522
15.610
19.914
23.736
26.472
温度/℃
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮销售杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
141
152
168
175
186
203
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
ti
1
2
3
4
5
yi
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
月份x
1
2
3
4
5
“不礼让斑马线”的驾驶员人数y
120
105
100
85
90
分类
函数关系
相关关系
特征
两个变量有确定的关系
两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性函数关系
正相关
负相关
具有相关关系的两个变量的散点图呈从左下向右上方向发展的趋势
具有相关关系的两个变量的散点图呈从左上向右下方向发展的趋势
同学甲
同学乙
同学丙
同学丁
同学戊
相关系数
0.45
0.74
0.82
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
日龄/天
5
6
7
8
9
10
11
12
胚重/g
0.250
0.498
0.846
1.288
1.656
2.662
3.100
4.576
日龄/天
13
14
15
16
17
18
19
20
胚重/g
6.518
7.486
9.948
14.522
15.610
19.914
23.736
26.472
温度/℃
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮销售杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
141
152
168
175
186
203
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
ti
1
2
3
4
5
yi
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
月份x
1
2
3
4
5
“不礼让斑马线”的驾驶员人数y
120
105
100
85
90
1、结合实例，了解样本相关系数的统计含义．
2、结合实例，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．
3、结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．
学科素养目标
本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯．
在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．
重点难点
重点：借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征；
难点：正态分布的均值、标准差、方差及其含义．
教学过程
基础知识点
1．变量的相关关系
(1)两个变量的关系
(2)散点图：建立平面直角坐标系．将样本中的数据构成的点在__________标出得到的统计图．
(3)线性相关关系：散点落在__________附近，则称这两个变量具有线性相关关系．
(4)正相关与负相关
2.相关系数
(1)样本相关系数r的计算公式
我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为r＝____________ .
(2)样本相关系数r的性质
①____≤r≤_____；
②r__0时y与x呈正相关关系，r___0时y与x呈负相关关系；
③|r|越接近1，y与x相关的程度就_____，|r|越接近0，y与x相关的程度就____；
通常情况下，当|r|>0.5时，认为线性相关关系_______；当|r|<0.3时，认为_________线性相关关系．
【课前小题演练】
题1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是
A．瑞雪兆丰年B．读书破万卷，下笔如有神
C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
题2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是
A．正方体的棱长与体积B．读书破万卷，下笔如有神
C．数学成绩与物理成绩D．光照时间与水稻的单位产量
题3．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是
A．为正相关，为负相关，为不相关
B．为负相关，为不相关，为正相关
C．为负相关，为正相关，为不相关
D．为正相关，为不相关，为负相关
题4．在相关分析中，对相关系数，下列说法正确的是
A．越大，线性相关程度越强
B．越小，线性相关程度越强
C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D．且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱
题5．为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数如表所示：
则由表可知
A．乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高
B．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
C．乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
D．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高
题6．甲，乙，丙，丁四位同学各自对，两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如表：
则这四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是
A．甲B．乙C．丙D．丁
题7.（多选题）以下关于相关关系的说法正确的是
A．相关关系是函数关系
B．相关关系有正相关和负相关
C．线性相关关系是一次函数关系
D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
题8．（多选题）下列散点图中，两个变量之间具有线性相关关系的是
A．B．
C．D．
题9. 对相关系数，给出下列说法：
①越大，线性相关程度越弱；
②越小，线性相关程度越弱；
③越大，线性相关程度越弱，越接近0，线性相关程度越强；
④且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱．
其中正确的说法是_______．（填序号）
题10．甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量进行线性相关检验，并用回归分析方法分别求得相关系数如表：
则这四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是__________．
题11. 判断下列两个变量之间是否具有相关关系：
(1) 路程与时间； (2) 同一物体的加速度与作用力；
(3) 产品的成本与产量； (4) 广告费用与销售量．
题12. 根据有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟和健康之间有相关关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的吗？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法正确吗？
【当堂巩固训练】
题13．一组样本数据，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．B．0C．0.5D．1
题14．在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是
A．B．C．D．
题15．变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则
A．B．C．D．
题16．变量，的线性相关系数为，变量，的线性相关系数为，下列说法错误的是
A．若，则说明变量，之间线性相关性强
B．若，则说明变量，之间的线性相关性比变量，之间的线性相关性强
C．若，则说明变量，之间的相关性为正相关
D．若，则说明变量，之间线性不相关
题17．如图所示，5组数据中去掉后，下列说法正确的是
A．偏差平方和变大
B．相关系数变小
C．负相关变为正相关
D．解释变量与预报变量的相关性变强
题18．(多选题)下列关系中，属于相关关系的是( )
A．正方形的边长与面积之间的关系
B．农作物的产量与施肥量之间的关系
C．人的身高与年龄之间的关系
D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
题19．(多选题)以下各对变量成正相关的是( )
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
题20．在一组样本数据为，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，，都在直线上，则这组样本数据的相关系数__________．
题21．对于下列命题：
①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
②与具有线性相关关系，其回归方程为，则与具有负的线性相关关系；
③在一组样本数据中的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为；
④设，为直线，为平面，若，，则．
其中正确命题的序号为________（把你认为正确的命题的序号都填上）．
题22. 对某种鸡胚胎的生长进行研究，测得5～20日龄鸡的胚胎的质量(简称胚重，单位：g)如下表所示：
(1) 作出散点图；
(2) 关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
题23. 有一位同学家开了一家小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到卖出热饮杯数与当天气温(单位：℃)的对比表：
(1) 作出散点图；
(2) 你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？
【综合突破拔高】
题24．2009年春季，我国部分地区流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的5月1号到5月12号每天北京市病治愈者数据，根据这些数据绘制散点图．
下列说法正确的个数有
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系；
③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的多；
④后三天中每天治愈出院的人数均超过这12天内北京市病愈者总人数的．
A．1B．2C．3D．4
题25．如图所示，5组数据中去掉后，下列说法错误的是
A．残差平方和变大B．相关系数变大
C．相关指数变大D．变量与变量的相关性变强
题26．下列说法中错误的是
A．如果变量与之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点，，2，，将散布在某一条直线的附近
B．如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据，，2，，不能写出一个线性方程
C．设，是具有相关关系的两个变量，且关于的线性回归方程为，叫做回归系数
D．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量与之间是否存在线性相关关系
题27．在一次试验中，测得的四组值分别为，，，，则与的相关系数为
A．B．C．0D．
题28．有下列关系：
①人的年龄与他（她拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，
其中有相关关系的是
A．①②③B．①②C．②③D．①③④
题29．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如图所示：
根据以上信息，则下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；
④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；
其中正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
题30.（多选题）下列说法正确的是
A．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为
B．若变量，的样本相关系数为0，则与不存在相关关系
C．若以模型拟合一组样本数据，设，将样本数据进行相应变换后算得回归直线的方程为，则，的估计值分别为和0.5
D．在回归分析中，决定系数的值越大，说明模型拟合的效果越好
题31．(多选题)研究与试验发展(R&D)是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先．如图是我国近五年(2016－2020年)R&D经费支出统计图，则下列说法中正确的是( )
A．近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系
B．近五年，R&D经费支出的中位数为19 678
C．2020年，R&D经费支出相对于2016年增长超过50%
D．2020年，R&D经费支出增长速度最快
题32．变量与相对应的一组数据为：，，，，； 变量与相对应的一组数据为，，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，是则与的大小关系是_________．
题33．在一次试验中，测得的四组值分别为，，，．则与的相关系数为_________．
题34．（1）人的年龄与他（她拥有的财富之间的关系；
（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
（3）苹果的产量与气候之间的关系；
（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
（5）学生与他（她的学号之间的关系，
其中有相关关系的是_____________．
题35. 在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识、就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数yi(单位：万元)与时间ti(单位：年)的数据，列表如下：
根据表中给出的数据，请计算相关系数r并加以说明．(计算结果精确到0.01)
题36. 交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让．
我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”．下表是某市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：
(1) 根据表中所给的5个月的数据，请计算相关系数r并加以说明；
(2) 若从4, 5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率．
参考公式：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\(x,\s\d4(——)) ))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yi－\(y,\s\d4(——)) )),\r(\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\(x,\s\d4(——)) ))2\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yi－\(y,\s\d4(——)) ))2)).
编号031 §9.1.1 变量的相关性
目标要求
1、结合实例，了解样本相关系数的统计含义．
2、结合实例，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．
3、结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．
学科素养目标
本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯．
在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．
重点难点
重点：借助概率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征；
难点：正态分布的均值、标准差、方差及其含义．
教学过程
基础知识点
1．变量的相关关系
(1)两个变量的关系
(2)散点图：建立平面直角坐标系．将样本中的数据构成的点在坐标系内标出得到的统计图．
(3)线性相关关系：散点落在一条直线附近，则称这两个变量具有线性相关关系．
(4)正相关与负相关
2.相关系数
(1)样本相关系数r的计算公式
我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为r＝___ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（xi－\x\t(x)）（yi－\x\t(y)）,\r(\i\su(i＝1,n, )（xi－\x\t(x)）2\i\su(i＝1,n, )（yi－\x\t(y)）2)) ___ .
(2)样本相关系数r的性质
①－1≤r≤1；
②r>0时y与x呈正相关关系，r<0时y与x呈负相关关系；
③|r|越接近1，y与x相关的程度就越强，|r|越接近0，y与x相关的程度就越弱；
通常情况下，当|r|>0.5时，认为线性相关关系显著；当|r|<0.3时，认为几乎没有线性相关关系．
【课前小题演练】
题1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是
A．瑞雪兆丰年B．读书破万卷，下笔如有神
C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
【解答】解：选项，，是根据多年经验总结出来的，选项，具有科学发展依据，
因此都有相关关系，
选项，无科学依据，且它们发出的叫声是它们自身的生理反应，故不具有相关关系，
故选：．
【点评】本题考查了变量间的相关关系，考查了学生的理解能力，属于基础题．
题2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是
A．正方体的棱长与体积B．读书破万卷，下笔如有神
C．数学成绩与物理成绩D．光照时间与水稻的单位产量
【解答】解：对于，由正方体的棱长和体积的公式知，它们是函数关系，不是相关关系；
对于，读书破万卷，下笔如有神是相关关系；
对于，数学成绩与物理成绩是相关关系；
对于，日照时间会影响水稻的亩产量，但不是唯一因素，它们之间是相关关系；
故选：．
【点评】本题考查了两个变量之间具有相关关系的定义与应用问题，是基础题．
题3．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是
A．为正相关，为负相关，为不相关
B．为负相关，为不相关，为正相关
C．为负相关，为正相关，为不相关
D．为正相关，为不相关，为负相关
【解答】解：根据散点图，由相关性可知：
图各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关；
图中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关；
图中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关．
故选：．
【点评】本题考查了散点图中点的分布特征以及相关性定义的应用问题，是基础题目．
题4．在相关分析中，对相关系数，下列说法正确的是
A．越大，线性相关程度越强
B．越小，线性相关程度越强
C．越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强
D．且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱
【解答】解：两个变量之间的相关系数，的绝对值越接近于1，
表现两个变量的线性相关性越强，
的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，
故选：．
【点评】本题考查相关系数相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系，这样可以粗略的判定两个变量之间的关系．
题5．为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数如表所示：
则由表可知
A．乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高
B．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
C．乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
D．甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高
【解答】解：根据题意，分析可得甲研究的那组数据线的相关系数的绝对值最小，其研究数据线性相关程度最低，
丁研究的那组数据线的相关系数的绝对值最大，其研究数据线性相关程度最高，
故选：．
【点评】本题考查相关系数的意义，关键是掌握相关系数的统计意义，属于基础题．
题6．甲，乙，丙，丁四位同学各自对，两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如表：
则这四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，
结合题意可知丁的线性相关性更强，
故选：．
【点评】本题考查相关系数的意义，属基础题．
题7.（多选题）以下关于相关关系的说法正确的是
A．相关关系是函数关系
B．相关关系有正相关和负相关
C．线性相关关系是一次函数关系
D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
【解答】解：相关关系不是函数关系，故错误，
相关关系有正相关和负相关，相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查相关关系的概念，属于基础题．
题8．（多选题）下列散点图中，两个变量之间具有线性相关关系的是
A．B．
C．D．
【解答】解：选项是确定性的函数关系，选项错误；
观察，，选项中的散点，发现选项，中的散点分布在某条直线的附近，
故选：．
【点评】本题考查由散点图判断两变量是否具有线性相关关系，属基础题．
题9. 对相关系数，给出下列说法：
①越大，线性相关程度越弱；
②越小，线性相关程度越弱；
③越大，线性相关程度越弱，越接近0，线性相关程度越强；
④且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱．
其中正确的说法是_______．（填序号）
【解答】解：根据题意，用相关系数可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，
而，当越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，
越接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，
其中只有④正确；
故答案为：④．
【点评】本题考查根据相关系数对两个变量线性相关的强弱的判断，注意的统计意义，属于基础题．
题10．甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量进行线性相关检验，并用回归分析方法分别求得相关系数如表：
则这四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是__________．
【解答】解：，
又相关系数越接近于1，线性相关性更强，
四位同学的试验结果能体现出，两变量有更强的线性相关性的是丁同学．
故答案为：丁同学．
【点评】本题主要考查变量间的相关关系，属于基础题．
题11. 判断下列两个变量之间是否具有相关关系：
(1) 路程与时间； (2) 同一物体的加速度与作用力；
(3) 产品的成本与产量； (4) 广告费用与销售量．
【解析】(1) 路程与时间是函数关系 (2) 同一物体的加速度与作用力是函数关系 (3) 产品的成本与产量之间的关系是相关关系 (4) 广告费用与销售量之间的关系是相关关系
题12. 根据有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟和健康之间有相关关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的吗？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法正确吗？
【解析】吸烟和健康之间存在一定的相关关系，但不是每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的．“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”是不正确的.
【当堂巩固训练】
题13．一组样本数据，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．B．0C．0.5D．1
【解答】解：因为样本点在直线上，呈现完全正相关，样本相关系数为1．
故选：．
【点评】本题考查了相关系数的理解与应用，相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标，，且越接近于1，相关程度越大，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
题14．在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是
A．B．C．D．
【解答】解：由散点图变化趋势可知，，，，，
又图1中的散点更为集中，更接近于一条直线，
所以，
故样本相关系数最大的是．
故选：．
【点评】本题考查了相关系数的理解与应用，当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关；，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小．属于基础题．
题15．变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则
A．B．C．D．
【解答】解：由变量与相对应的一组数据可知，随着的增加，增加，
变量与成正相关，即，
变量与相对应的一组数据可知，随着的增加，减少，
变量与成正相关，即，
，
故选：．
【点评】本题考查数据的相关性，考查比较相关系数大小的方法，属于基础题．
题16．变量，的线性相关系数为，变量，的线性相关系数为，下列说法错误的是
A．若，则说明变量，之间线性相关性强
B．若，则说明变量，之间的线性相关性比变量，之间的线性相关性强
C．若，则说明变量，之间的相关性为正相关
D．若，则说明变量，之间线性不相关
【解答】解：接近于1，
说明变量，之间的相关性强，故选项正确，
若，，满足，但是不能说明变量，之间的线性相关性比变量，之间的线性相关性强，故选项错误，
当时，变量，之间的相关性为正相关，故选项正确，
当时，变量，之间线性不相关，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查相关系数的意义，属于基础题．
题17．如图所示，5组数据中去掉后，下列说法正确的是
A．偏差平方和变大
B．相关系数变小
C．负相关变为正相关
D．解释变量与预报变量的相关性变强
【解答】解：由散点图知，去掉离群点后，
与的线性相关性加强，相关系数变大，选项错误；
偏差平方和变小，选项错误；
仍然是正相关，选项错误；
解释变量与预报变量的相关性变强，所以选项正确．
故选：．
【点评】本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数，相关指数及残差平方和，是基础题．
题18．(多选题)下列关系中，属于相关关系的是( )
A．正方形的边长与面积之间的关系
B．农作物的产量与施肥量之间的关系
C．人的身高与年龄之间的关系
D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
【解析】选BD.在A中正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在C中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
题19．(多选题)以下各对变量成正相关的是( )
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
【解析】选CD.对于A，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于B，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；对于C，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于D，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
题20．在一组样本数据为，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，，都在直线上，则这组样本数据的相关系数__________．
【解答】解：根据回归直线方程为，
可得这两个变量是负相关，这组样本数据的样本相关系数为负值；
又所有样本点，，2，，都在一条直线上，则有；
所以其相关系数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．
题21．对于下列命题：
①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
②与具有线性相关关系，其回归方程为，则与具有负的线性相关关系；
③在一组样本数据中的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为；
④设，为直线，为平面，若，，则．
其中正确命题的序号为________（把你认为正确的命题的序号都填上）．
【解答】解：①将一组数据中的每个数据都加上同一个常数，数据的稳定性不变，即方差不变，①正确，
②回归直线的一次项系数为，与具有负的线性相关关系，②正确；
③由条件知这组样本数据完全正相关，其相关系数为1，③不正确；
④根据线面平行的判定定理知，一条直线在平面外，另一条在平面内，④不正确，
综上得，正确命题的序号是①②，
故答案为：①②．
【点评】本题考查命题的真假判断，涉及回归直线方程的意义及性质，方差，以及线面平行的判定定理，属于中档题．
题22. 对某种鸡胚胎的生长进行研究，测得5～20日龄鸡的胚胎的质量(简称胚重，单位：g)如下表所示：
(1) 作出散点图；
(2) 关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
【解析】(1) 以鸡胚胎的日龄为x轴，胚重为y轴，作出散点图(如图) (2) 从图中可以看出，许多点不在同一直线附近，但可以看出随着时间的增加，胚重增长得越来越快，所以具有相关关系
题23. 有一位同学家开了一家小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到卖出热饮杯数与当天气温(单位：℃)的对比表：
(1) 作出散点图；
(2) 你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？
【解析】(1) 以温度为x轴，热饮销售杯数为y轴，作出散点图(如图) (2) 从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此气温与热饮销售杯数之间具有负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少
【综合突破拔高】
题24．2009年春季，我国部分地区流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的5月1号到5月12号每天北京市病治愈者数据，根据这些数据绘制散点图．
下列说法正确的个数有
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系；
③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的多；
④后三天中每天治愈出院的人数均超过这12天内北京市病愈者总人数的．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由散点图中的点分布在一个条形区域内，故日期与人数具有线性相关关系，即①正确，②错误；
这12天治愈出院人数共有：
后三天中每天治愈出院的人数共有：
后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的，故③正确；
后三天中每天治愈出院的人数均不超过这12天内北京市病愈者总人数的，故④错误；
故正确的说法有2个
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了相关关系等统计的知识，难度不大，属于基础题．
题25．如图所示，5组数据中去掉后，下列说法错误的是
A．残差平方和变大B．相关系数变大
C．相关指数变大D．变量与变量的相关性变强
【解答】解：根据散点图：5组数据中去掉后，得到的结论，与的线性相关性加强，且为正相关，所以变大，相关系数变大，残差平方和变小，
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：残差平方和，相关系数，相关指数，主要考查学生对定义性问题的应用，属于基础题型．
题26．下列说法中错误的是
A．如果变量与之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点，，2，，将散布在某一条直线的附近
B．如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据，，2，，不能写出一个线性方程
C．设，是具有相关关系的两个变量，且关于的线性回归方程为，叫做回归系数
D．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量与之间是否存在线性相关关系
【解答】解：、如果变量与之间存在着线性相关关系，
我们根据试验数据得到的点，，2，，将散布在某一条直线的附近，故正确，
、任何一组，，2，都能写出一个线性方程，
只是有无意义的问题．
故错误，
、，是具有相关关系的两个变量，
且关于的线性回归方程为，回归系数，
故正确，
、为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量与之间是否存在线性相关关系，故正确，
故选：．
【点评】在线性回归模型中，解释变量对于预报变量变化的贡献率，它的值越接近于1表示回归的效果越好，如果对于某组数据可以采用几种不同的回归方程进行分析，可以通过比较它的值选择较大的模型作为这组数据的模型．
题27．在一次试验中，测得的四组值分别为，，，，则与的相关系数为
A．B．C．0D．
【解答】解：测得的四组值分别为，，，，
，，，，，
样本相关系数．
故选：．
【点评】本题主要考查了相关系数的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
题28．有下列关系：
①人的年龄与他（她拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，
其中有相关关系的是
A．①②③B．①②C．②③D．①③④
【解答】解：相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，
②是一种函数关系，具有相关关系的有：①③④．
故选：．
【点评】判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．
题29．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如图所示：
根据以上信息，则下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；
④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；
其中正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由散点图可知，两变量间是相关关系，非函数关系，即①正确，②错误；
利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，即④正确，③错误．
故选：．
【点评】本题考查散点图、变量间的相关关系和概率的含义等基础知识，考查学生的推理论证能力，属于基础题．
题30.（多选题）下列说法正确的是
A．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为
B．若变量，的样本相关系数为0，则与不存在相关关系
C．若以模型拟合一组样本数据，设，将样本数据进行相应变换后算得回归直线的方程为，则，的估计值分别为和0.5
D．在回归分析中，决定系数的值越大，说明模型拟合的效果越好
【解答】解：对于，若所有样本点都在直线上，则这组数据完全相关，样本相关系数为1，故正确；
对于，当变量，的样本相关系数为0，则与不存在线性相关关系，但未必不存在其它类型的相关关系，故错误；
对于，两边取对数得，故，故，，故正确；
对于，因为在回归分析中，决定系数的值越大，模型解释因变量的能力越强，即模型拟合的效果越好，故正确．
故选：．
【点评】本题考查两个变量之间相关关系的判断方法，突出考查了对线性相关系数和决定系数的意义的理解，属于中档题．
题31．(多选题)研究与试验发展(R&D)是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先．如图是我国近五年(2016－2020年)R&D经费支出统计图，则下列说法中正确的是( )
A．近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系
B．近五年，R&D经费支出的中位数为19 678
C．2020年，R&D经费支出相对于2016年增长超过50%
D．2020年，R&D经费支出增长速度最快
【解析】选ABC.对于A选项，近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系，A选项正确；
对于B选项，近五年，R&D经费支出的中位数为19 678，B选项正确；
对于C选项，因为 eq \f(24 426,15 677) ≈1.56，即2020年R&D经费支出相对于2016年增长超过50%，C选项正确；
对于D选项，2016－2017年， eq \f(17 606,15 677) ≈1.123，2017－2018年， eq \f(19 678,17 606) ≈1.118，2018－2019年， eq \f(22 144,19 678) ≈1.125，2019－2020年， eq \f(24 426,22 144) ≈1.103，D选项错误．
题32．变量与相对应的一组数据为：，，，，； 变量与相对应的一组数据为，，，，，表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，是则与的大小关系是_________．
【解答】解：由变量与相对应的一组数据为：，，，，．
可得：变量与之间的正相关，因此．
而由变量与相对应的一组数据为，，，，，可知：变量与之间的负相关，．
因此与的大小关系是．
故答案为：．
【点评】本题考查了变量之间的线性相关系数，考查了推理能力，属于中档题．
题33．在一次试验中，测得的四组值分别为，，，．则与的相关系数为_________．
【解答】解：测得的四组值分别为，，，，
，，，，
故与的相关系数．
故答案为：．
【点评】本题主要考查相关系数的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
题34．（1）人的年龄与他（她拥有的财富之间的关系；
（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
（3）苹果的产量与气候之间的关系；
（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
（5）学生与他（她的学号之间的关系，
其中有相关关系的是_____________．
【解答】解：对于（1），人的年龄与他（她拥有的财富是相关关系，（1）满足条件；
对于（2），曲线上的点与该点的坐标之间是一种函数关系，不是相关关系，（2）不满足条件；
对于（3），苹果的产量与气候之间是一种相关关系，（3）满足条件；
对于（4），森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系是一种相关关系，（4）满足条件；
对于（5），学生与他（她的学号之间的关系，是一种映射，不是相关关系，（5）不满足条件；
综上，其中有相关关系的是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．
题35. 在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识、就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收、担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数yi(单位：万元)与时间ti(单位：年)的数据，列表如下：
根据表中给出的数据，请计算相关系数r并加以说明．(计算结果精确到0.01)
【解析】＝3, ＝4.7, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (ti－)(yi－)＝14.7, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (ti－)2＝10, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－)2＝22.78，则＝eq \f(14.7,\r(10×22.78))≈0.97，故创收利润数y与时间t的线性相关程度很高.
题36. 交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让．
我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”．下表是某市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据：
(1) 根据表中所给的5个月的数据，请计算相关系数r并加以说明；
(2) 若从4, 5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率．
参考公式：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\(x,\s\d4(——)) ))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yi－\(y,\s\d4(——)) )),\r(\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\(x,\s\d4(——)) ))2\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yi－\(y,\s\d4(——)) ))2)).
【解析】(1) ＝3, ＝100, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－)(yi－)＝－80, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (xi－)2＝10, eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) (yi－)2＝750，则＝eq \f(－80,\r(10×750))≈－0.924，故y与x的线性相关程度很高 (2) 从4月份选取的4人分别记为a1, a2, a3, a4，从5月份选取的2人分别记为B1, B2.从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的样本点有{a1, a2}, {a1, a3}, {a1, a4}, {a1, B1}, {a1, B2}, {a2, a3}, {a2, a4}, {a2, B1}, {a2, B2}, {a3, a4}, {a3, B1}, {a3, B2}, {a4, B1}, {a4, B2}, {B1, B2}，共15个，其中“抽取的2人分别来自两个月份”包含的样本点为{a1, B1}, {a1, B2}, {a2, B1}, {a2, B2}, {a3, B1}, {a3, B2}, {a4, B1}, {a4, B2}，共8个，故所求概率为eq \f(8,15).
分类
函数关系
相关关系
特征
两个变量有_______关系
两个变量之间具有一定的联系，但又没有_________函数关系
正相关
负相关
具有相关关系的两个变量的散点图呈_________________方向发展的趋势
具有相关关系的两个变量的散点图呈_________________方向发展的趋势
同学甲
同学乙
同学丙
同学丁
同学戊
相关系数
0.45
0.74
0.82
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
日龄/天
5
6
7
8
9
10
11
12
胚重/g
0.250
0.498
0.846
1.288
1.656
2.662
3.100
4.576
日龄/天
13
14
15
16
17
18
19
20
胚重/g
6.518
7.486
9.948
14.522
15.610
19.914
23.736
26.472
温度/℃
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮销售杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
141
152
168
175
186
203
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
ti
1
2
3
4
5
yi
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
月份x
1
2
3
4
5
“不礼让斑马线”的驾驶员人数y
120
105
100
85
90
分类
函数关系
相关关系
特征
两个变量有确定的关系
两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性函数关系
正相关
负相关
具有相关关系的两个变量的散点图呈从左下向右上方向发展的趋势
具有相关关系的两个变量的散点图呈从左上向右下方向发展的趋势
同学甲
同学乙
同学丙
同学丁
同学戊
相关系数
0.45
0.74
0.82
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
日龄/天
5
6
7
8
9
10
11
12
胚重/g
0.250
0.498
0.846
1.288
1.656
2.662
3.100
4.576
日龄/天
13
14
15
16
17
18
19
20
胚重/g
6.518
7.486
9.948
14.522
15.610
19.914
23.736
26.472
温度/℃
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮销售杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
141
152
168
175
186
203
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩
72
77
80
84
88
90
93
95
ti
1
2
3
4
5
yi
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
月份x
1
2
3
4
5
“不礼让斑马线”的驾驶员人数y
120
105
100
85
90
相关学案
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