2024年四川省达州市渠县东安雄才学校中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分）
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数比较大小，解题关键是熟记有理数比较大小的法则．根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值的大的反而小判断即可．
【详解】解：，，，，
，
，
故选：B．
2. 光明中学新校区建成之际，施工方在墙角处留下一堆沙子（如图所示，两面墙互相垂直），则这堆沙子的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了主视图，解题的关键是掌握从物体正面看到的图形是主视图．
【详解】解：这堆沙子的主视图是：
，
故选：B．
3. 国家统计局发布的数据显示，2023年全年全国粮食总产量亿斤，比上年增加亿斤，增长，连续9年稳定在万亿斤以上．数据“万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答．
【详解】解：∵万亿，
∴“万亿”用科学记数法表示为，
故选：C．
4. 如图，将一块三角尺中角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合，若，则的大小是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查是角度的计算，解题的关键是能正确表示出，先正确的表示出与的关系，再带入求值即可．
【详解】解：由图可知：，
，
，
故选：D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
6. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A. 试验次数越多，f越大
B. f与P都可能发生变化
C. 试验次数很大时，f等于P
D. 当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了频率与概率．根据频率的稳定性解答即可．
【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：D．
7. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【详解】将代入得
∴
故选C．
8. 如图，在中，，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理，根据等腰三角形的性质求出的度数，根据圆周角定理即可得答案．熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
9. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（）
A. 一定有两个相等实根B. 一定有两个不相等实根
C. 有两个实根，但无法确定是否相等D. 无实根
【答案】A
【解析】
【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解．
【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM=∠AEM，，
∴，
∵M是三条角平分线的交点
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠1=∠2，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
△DBM∽△EMC，
∴，
即：，
即．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．
10. 如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤．
正确的是（ ）
A. ①③⑤B. ①③④C. ①②③④⑤D. ①②③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝−2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2＋bx＋c＝0的根，结合两根之积−m＝，即可判断；④根据两根之和−1＋m＝−，可得ma＝a−b，可得am2＋（2a＋b）m＋a＋b＋c＝am2＋bm＋c＋2am＋a＋b＝2a−2b＋a＋b＝3a−b＜0；⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵−＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝−2时，y＜0，
∴4a−2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2＋bx＋c的图象过点（−1，0）和（m，0），
∴−1×m＝，am2＋bm＋c＝0，
∴，
∴，故③正确，
∵−1＋m＝−，
∴−a＋am＝−b，
∴am＝a−b，
∵am2＋（2a＋b）m＋a＋b＋c
＝am2＋bm＋c＋2am＋a＋b
＝2a−2b＋a＋b
＝3a−b＜0，故④正确，
∵m＋1＝，
∴m＋1＝，
∴|am＋a|＝，故⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20.0分）
11. 分解因式 _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如果一元二次方程的两个根为，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程中根与系数的关系，解题关键是熟练掌握根与系数的关系．
由根与系数的关系可得，，，根据该一元二次方程求出所对应的值后，代入即可求解．
【详解】解：根据根与系数的关系可得：
，，
，
原式，
，
，
．
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，于点F，，则的长度是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，求出，证明，继而得到，证明，继而得到，即可得到答案．
【详解】解：∵于点，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∵，
∴，
∴,
∴,
∴，
∴,
∴.
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x轴，过点A作的垂线，交于点B，且，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查已知图形面积求值，相似三角形的判定和性质，延长交轴于点，证明，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，进而求出的面积，再根据值的几何意义，进行求解即可．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵的面积为4，
∴，，
∴，
∵反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，且双曲线在第二象限，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，且交⊙O于点E，交⊙O于点F，与⊙O相切于点M．下列说法正确的有______．（只填写序号）①AE＝4；②；③；④．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N，可得四边形OMD′N是矩形，证明OM=ND′=4，根据OA=OE，ON⊥AD′，可得AN=EN=2，进而可以判断①正确；证明△OAE是等边三角形，可得∠EOM=60°，∠BOM=60°，进而可以判断②正确；连接BF，根据AB是⊙O的直径，可得∠AFB=90°，利用含30度角的直角三角形即可判断③正确；根据∠DAB=90°，∠D′AO=60°，即可判断④正确．
【详解】解：如图，连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N，
∵D′C'与⊙O相切于点M，
∴OM⊥C′D′，
∴四边形OMD′N是矩形，
∴OM=ND′，
∵AB=8，AB是⊙O的直径，
∴OM=ND′=4，
在矩形ABCD中，由旋转可知：AD′=AD=6，
∴AN=AD′-ND′=6-4=2，
∵OA=OE，ON⊥AD′，
∴AN=EN=2，
∴AE=4，故①正确；
∵AE=AO=OE=4，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE=∠OEA=60°，
∴∠OED′=120°，
∵∠D′=∠OMD′=90°，
∴∠EOM=60°，
∴∠BOM=60°，
∴，故②正确；
如图，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵∠EAO=60°，∠D′AB′=90°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=4，
∴AF=，故③正确；
∵∠DAB=90°，∠D′AO=60°，
∠DAD′=30°，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是得到△OAE是等边三角形．
三、解答题（本大题共10小题，总分90分）
16. 计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
【答案】3
【解析】
【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．
【详解】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2
=2×-2++1-2+4
=-2++1-2+4
=3．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】根据分式的运算法则先进行化简，然后代入计算即可．
【详解】解：原式
，
把代入上式中得
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
18. 新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过亿，总票房超过亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
b．两部影片分时段累计票房如下
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日—21日三天内影片甲的累计票房应超过 亿元．
【答案】（1）4.36
（2）②③ （3）8.61
【解析】
【分析】（1）影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；
（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；
②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式求出甲、乙的方差，可判断②；
③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙的差值，可判断③；
（3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．
【小问1详解】
解：影片乙单日票房从小到大排序为，，，，，，一共7个数据，
所以影片乙单日票房的中位数为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，
甲的单日票房逐日增加说法不正确；
②，
，
，
，
甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；
③甲超过乙的差值从15日开始分别为，
15日：，
16日：，
17日：，
18日：，
在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．
综上，说法中所有正确结论的序号是②③，
故答案案为：②③；
【小问3详解】
解：乙票房截止到21日收入为：亿，
甲票房前7天达到亿，
2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为：亿．
故答案为：．
【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．
19. 已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于x轴对称的；
（2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）找到A、B、C关于x轴对称的点，再连接相应的点；
（2）将A、B、C绕点O旋转，再将对应点到O点的距离扩大2倍，得到、、，连接、、．
【小问1详解】
如图所示：即为所求；
【小问2详解】
如图所示：即为所求．
【点睛】本题考查了几何的轴对称变换和位似变换，解决本题的关键是准确找到变换后的对应点．
20. 万科广场已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1），图2是侧面示意图，已知自动扶梯的坡度（或坡比），米，是二楼楼顶，，点B在上且在自动扶梯顶端C的正上方，若，在自动扶梯底端A处测得B点仰角为40°，求二楼的层高．（精确到0．1米，参考数据：）
【答案】米
【解析】
【分析】如图所示，延长交于D，先解求出米，米，再解，求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于D，
∵，，
∴，即，
∵自动扶梯的坡度（或坡比），
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴米（负值舍去），
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴二楼的层高约为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. 如图，是的直径，点和点在上，平分，过点作所在直线的垂线，垂足为点，交的延长线于点．
（1）求证：与相切．
（2）若，半径是，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）结合等腰对等角及角平分线平分对角可推得，再根据平行线性质即可证明；
（2）连接、，由圆内接四边形对角互补可得，证明即可根据相似三角形的性质求解．
【小问1详解】
证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
交的延长线于点，
，即，
是的半径，
与相切．
【小问2详解】
解：连接、，
的半径是，是的直径，
，，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题考查知识点是证明某直线是圆的切线，利用弧、弦、圆心角的关系求证，半圆（直径）所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
22. 某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地，现有A、B两种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费表示如下：（假设每辆车均达到最大满载量）
（1）若要将全部物资用A、B两种车型来运送，运费恰好是18000元，问需A、B两种车型各几辆？
（2）因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案．
【答案】（1）需A种车型辆，需B种车型辆；
（2）有三种方案，分别为：①A种车型辆，B种车型辆，种车型辆，②A种车型辆，B种车型辆，种车型辆，③A种车型辆，B种车型辆，种车型辆
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组与方程组相结合求整数解的应用；
（1）等量关系式：A种车型的运载总量B种车型的运载总量吨，A种车型的所需总费用B种车型的所需总费用元，据此列方程组，解方程组，即可求解；
（2）等量关系式：A种车型的数量B种车型的数量种车型的数量辆，A种车型的运载总量B种车型的运载总量种车型的运载总量吨，据此列出方程组，然后转化为求整数解问题，即可求解；
找出等量关系式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设需A种车型辆，需B种车型辆，由题意得
，
解得，
答：需A种车型辆，需B种车型辆；
【小问2详解】
解：设A种车型辆，B种车型辆，种车型辆，由题意得
，
解得：，
三种车辆都有，
，
解得：，且为整数，
为整数，
①当时，
，
，
故：，，；
②当时，
，
，
故：，，；
③当时，
，
，
故：，，；
综上所述：有三种方案，分别为：
①A种车型辆，B种车型辆，种车型辆，
②A种车型辆，B种车型辆，种车型辆，
③A种车型辆，B种车型辆，种车型辆．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
（1）求，的值；
（2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1），；
（2）点D的坐标为或
【解析】
【分析】（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解；
（2）设点，则点，利用平行四边形的性质得到，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵直线经过点，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得反比例函数的解析式为，
令，则，
∴点，
设点，则点，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，整理得或，
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
综上，点D的坐标为或．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
24. 已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．

（1）求b，c的值；
（2）P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）

（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）得到，即可求解；
（3）由题意的：，即可求解．
【小问1详解】
由题意，得
【小问2详解】
由（1）得抛物线解析式为．
令，则，得．
∴B点的坐标为．
，
∴．
∵，
∴直线的解析式为．
∵，
∴可设直线的解析式为．
∵在直线上，
∴．
∴．
∴直线的解析式为．
【小问3详解】
设P点坐标为．
∵点P在直线和抛物线上，
∴．
∴．
解得（舍去）．
∴点P的坐标为．

由翻折，得．
∵，
∴'．
∴．
．
设点E的坐标为，则．
．
当时，点E的坐标为．
设,
由，得：
，
解得：，
则点的坐标为．
当时，同理可得，点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．
25. 【问题提出】
（1）如图①，在平行四边形中，对角线相交于点O，若，则的面积为____________；
【问题探究】
（2）如图②，已知，点A为上方的一个动点，且，点D为延长线上一点，且，连接，求面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，工人师傅需要制作一个四边形的模具，在四边形中，要求．现要求四边形的面积最大，如果存在，求出四边形的最大面积，如果不存在，请说明理由．（结果保留根号）

【答案】（1）5；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得；
（2）先证明是等边三角形，得到，如图所示，作的外接圆，圆心为O，过点O作于E，过点D作于F，连接；可推出当最大时，的面积最大，故当三点共线时，最大，即此时的面积最大，由圆周角定理和垂径定理求出，再解直角三角形得到，则，即可得到；
（3）如图所示，延长到P使得，证明，得到，则；过点C作于F，过点A作于T，设，则，，利用勾股定理和解直角三角形推出，如图所示，作的外接圆，圆心为O，过点O作于H，连接，再同（2）方法求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：5；
（2）∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
如图所示，作的外接圆，圆心为O，过点O作于E，过点D作于F，连接，
∵，
∴当最大时，的面积最大，
∵，
∴当三点共线时，最大，即此时的面积最大，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；

（3）如图所示，延长到P使得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（平行线间间距相等，则边上的高相等），
∴；
过点C作于F，过点A作于T，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，作的外接圆，圆心为O，过点O作于H，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，当三点共线时，面积最大，即此时四边形的面积最大，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，平行线的性质等等，解题的关键在于根据定弦定角得出点的轨迹是圆．
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2月12日—18日累计票房（亿元）
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甲
乙
车型
A
B
汽车运载量（吨/辆）
5
8
汽车运费（元/辆）
600
800