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2024年四川省达州市九年级中考数学模拟预测题一（原卷版+解析版）
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这是一份2024年四川省达州市九年级中考数学模拟预测题一（原卷版+解析版），文件包含2024年四川省达州市九年级中考数学模拟预测题一原卷版docx、2024年四川省达州市九年级中考数学模拟预测题一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
考试时间120分钟，满分120分
温馨提示：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上.监考老师统一将条形码贴在答题卡规定的位置后，考生请认真核对，确认无误.
2.选择题必须使用2B铅笔，在答题卡相应位置规范填涂.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，作答必须写在答题卡的对应框内，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列计算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】解：、原式，正确；
、原式，正确；
、原式，正确；
、原式，错误，
故选：．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. 下列因式分解变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据提公因式分解因式可得出A错误；根据完全平方公式可得B正确；根据平方差公式可得C错误；根据十字相乘法可判断D错误．
【详解】A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．
3. 晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是（ ）
A. 先变短后变长B. 先变长后变短C. 逐渐变短D. 逐渐变长
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影可直接进行求解．
【详解】解：由人在马路上走过一盏路灯的过程中，可知光线与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当人到达灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，当远离路灯时，则影子又开始变长；
故选A．
【点睛】本题主要考查投影，熟练掌握投影是解题的关键．
4. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，估算无理数的大小．把化简变形为是解题的关键．
把化简变形为，根据，即可求得．即可求解．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
故选：C．
5. 一组数据：1，3，3，3，5，若去掉一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出原中位数、平均数、众数及方差，然后得出再去掉一个数据3后的中位数、众数、平均数及方差，进而问题可求解
详解】解：由题意得：
原中位数为3，原众数为3，原平均数为3，原方差为1.8；
去掉一个数据3后的中位数为3，众数为3，平均数为3，方差为2；
∴统计量发生变化的是方差；
故选D
【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的关键．
6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，结合图形进行判断即可．
【详解】解：当k＞0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y轴交于负半轴，则C选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝﹣ 在y轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项都不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论（当k＞0时和当k＜0时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
7. 如图，点、、、分别为四边形的四边、、、的中点，则关于四边形，下列说法正确的为（ ）
A. 一定不是正方形B. 一定不是中心对称图形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定．
连接，，由、、、分别为、、、的中点可得，，，，从而，，进而判断四边形是平行四边形．故可判断选项A，选项B．当时， ，可得是菱形，当时，，是矩形,可判断选项C，选项D．
【详解】解：连接，，
∵、、、分别为、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，它是中心对称图形．
当时，，
∴是菱形．
当时，
∴是矩形．
综上：选项A，B，C错误，选项D正确．
故选：D．
8. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由反比例函数的对称性，可以得出点A的横坐标，再根据图象就可以写出y1＜y2时，x的取值范围．
【详解】解：由函数的中心对称性可得点A的横坐标为2，
由图象可得，
当y1＜y2时，x＜-2或0＜x＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解当一次函数的值小于反比例函数的值时，相应的自变量的取值范围，从图象上可以直观得到．
9. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（ ）
A. 或B. 1或C. 或4D. 1或4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键．
根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可．
【详解】解∶设幻方所填数如图所示，
∴，，
由①得，
由②
由得：，
解得：，，
故选：A．
10. 如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，以点为圆心，3为半径的圆分别交、于点、，与交于点．并与交于点，连结、．给出下列五个结论中正确的有（ ）
（1）是中点；（2）；（3）；（4）；（5）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】（1）先证明，得，，由垂径定理，得：，即是的中点；（2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；（3）分别过分别作于，于，由余弦三角函数和勾股定理算出了，，再算面积，即得；（4）余弦三角函数和勾股定理算出了，即可得；（5）由（1）（2）结论，由（2）得是错误的，即可解答．
【详解】解：（1）在与中，
，
，
，
，
，
由垂径定理，
得：，
即是的中点，故（1）正确；
（2）如图，过分别作于，于，
，，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
是错误的，故（2）不正确；
（3）过分别作于，
由（2）知，，
，
，
，
，故（3）正确；
（4）由（2）知，，
，
，故（4）正确；
（5）由（1）得，由（2）得是错误的，
，
，
，
，
即⑤不正确．
故正确的有：（1）（3）（4）．
故选：C
【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第____象限．
【答案】二
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，直线的交点坐标，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法．利用加减消元法解出方程组的解，得到与的值，从而确定出点的坐标，根据平面上点坐标的特征，即可确定出所在的象限．
【详解】解：
①②得，即，
把代入①得：，
方程组的解为，
坐点的标，
则点在平面直角坐标系中的位置是第二象限．
故答案为：二
12. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．则a，b能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
，
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的结果有5种，
能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为，
故答案为： ．
13. 如图，等边三角形的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交，边于D，E，再以点C为圆心，长为半径作圆交边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为：_____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
过A作于M，于N，根据等边三角形的性质和解直角三角形求得，求得，根据阴影部分的面积
即可求解．
【详解】解：过A作于M，于N，
∵等边三角形的边长为2，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
，
故答案：．
14. 已知，根据图1的y与x的关系，得到图2平面直角坐标系中的射线和射线．若点是y轴上一点，过点P作轴交，于点M，N，连结，，则的面积最大值为____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查一次函数相关问题，涉及到三角形面积、平行线分线段成比例、二次函数最值问题，解题关键是由图1确定直线和的解析式．
由图1可知：直线和的解析式，进而可求，，由轴及相似三角形的判定和性质可得，，设点，则有点, 点，求出，由三角形面积公式可得，根据二次函数最值问题即可求解．
【详解】由图1可知：直线：，直线：（x＞0），
将分别带入直线，得：，
解得：，
∴点，
同理可得：点，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵点，
∴点, 点，
∴，，
∴，
∴当时有最大值5；
故答案为： 5．
15. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①； ②； ③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的两根分别为，．其中错误的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
由抛物线对称轴为直线可判断①，由抛物线与轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与轴交点位置可判断③，由抛物线经过及抛物线的对称性可判断④，由根与系数关系可判断⑤．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，故②正确；
抛物线和轴交点在负半轴，
，
，
①正确；
当时，两点都在对称石侧．图象部分．随增大而增大，
，
③正确；
不等式，抛物线在轴上方时，取值范围，而抛物线和轴交点为和，
解集是或；
④错误．
的两个根，，
∴，，
，，
的两个根，，
⑤错误．
故选：B．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共92分）
16. 计算：；
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零指数幂与熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
先计算乘方与开方，化简绝对值，并把特殊角三角函数值代入，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
17. 先化简，再求值：，从不等式组的整数解中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，求不等式组的整理数解．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，注意分式求值，字母取值一定要使原分式有意义．
根据分式的运算法则化简，再解不等式组求出不等式组的整数解，由分式有意义，得到a的值，再代入化简式计算即可．
【详解】解：原式
；
解不等式组，
得，
∴不等式组的整数解为，0，1，2；
∵和0，
∴当时，原式．
18. 如图，在Rt中，．
（1）利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离等于的长；
（2）若，，求点P到的距离？
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；
（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可；
（2）根据角平分线的性质只需要求出的长，利用含度角的直角三角形的性质分析求解．
【小问1详解】
解：如图，点P即为所求，
【小问2详解】
解：过点P作于D，
由题意得，平分，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点P到的距离为．
19. 如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口的上方处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中高度为，宽度为，坡面的坡角为．，结果精确到 0.1米．
（1）根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度；
（2）图2中，线段为顶点C到坡面的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？
【答案】（1）
（2）该车能进入该车库停车
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
（1）根据正切的定义求出，进而求出；
（2）根据正弦的定义求出，根据题意解答即可．
【小问1详解】
解：在中，，，
，
，
答：点到坡面的铅直高度约为；
【小问2详解】
解：在中，，，
，
，
该车能进入该车库停车．
20. 2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为____________人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是__________；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40人 （2）108°
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，据此即可得出总人数；
（2）结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，得出比例乘以即可得；
（3）根据题意可得C类别人数为18人，据此补全条形统计图即可；
（4）画出树状图，利用树状图求解即可得．
【小问1详解】
解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，
∴参加这次调查的学生总人数为（人），
故答案为：40；
【小问2详解】
解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，
∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：C类别人数为（人），
补全图形如下：
【小问4详解】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【点睛】题目主要考查结合扇形统计图与条形统计图获取相关信息，包括利用部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图，根据树状图或列表法计算概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【解析】
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是 O的切线；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．
【详解】(1)证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB.
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠PCB+∠OCB=90°，OC⊥CP.
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
(2)连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴ =
∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM2=MN⋅MC
又∵AB是O的直径， =，
∴∠AMB=90°，AM=BM
∵AB=4，
∴BM=
∴MN⋅MC=BM2=8
22. 为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知一件甲种农机具价格是一件乙种农机具价格的3倍，且用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件．
（1）求一件甲种农机具和一件乙种农机具的价格各是多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，设购进甲种农机具m件，则有几种购买方案？并写出需要的资金最少的购买方案．
（3）在（2）中需要资金最少的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】（1）一件甲种农机具的价格是1.5万元，一件乙种农机具的价格是0.5万元
（2）有4种购买方案，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少
（3）节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有2种：①购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；②购买甲种农机具3件，乙种农机具7件
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设一件乙种农机具的价格是万元，则一件甲种农机具的价格是万元，根据用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件，根据投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，列出一元一次不等式组，解得，有4种方案，再设需要的总资金为万元，然后由一次函数的性质即可解决问题；
（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，根据该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），列出二元一次方程，求出非负整数解即可．
【小问1详解】
设一件乙种农机具的价格是万元，则一件甲种农机具的价格是万元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一件甲种农机具的价格是1.5万元，一件乙种农机具的价格是0.5万元；
【小问2详解】
设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件，
由题意得：，
解得：，
为整数．
可取5，6，7，8．
有4种方案，
设需要的总资金为万元，
则．
，
随着的增大而增大，
当时，，
此时，，
答：有4种购买方案，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少；
【小问3详解】
设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，
由题意得：，
整理得：，
、均为非负整数，
或，
节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有2种：
①购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．
②购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
23. 如图，在直角坐标平面内，正比例函数图象与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，过点A作轴，垂足为点B．
（1）求的度数；
（2）在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在y轴上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）先求出点A的坐标为，再根据三角函数的定义即可得出答案；
（2）根据点A的坐标，可知，过点C作于G，由题意得，分点C在上或的延长线上，分别根据含角的直角三角形的性质可得答案；
（3）由，分三种情形，分别得出答案．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
轴于点B，点C在直线上，
∴设点C的坐标为，
过点C作于G，
由题意得，
当点C在上时，
则平分，
由（1）知，
，
，
，
当点C在延长线上时，
同理可得，
综上所述：或；
【小问3详解】
在中，，，由勾股定理得：，
当时，则，
当时，则或，
当时，则P在的垂直平分线上，过点P作于H，如图，则，
，
在中，，
，
，
综上所述：或或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
24. 【问题发现】
（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________．
【问题探究】
（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值；
【实际应用】
（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）作于，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再由含角的直角三角形的性质及勾股定理计算即可得出；
（2）如图，连接，由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，可得，即可得到，故当点、、、共线时，最小，最小值为的长，连接，作于交延长线于E，求出，则，进一步求出，，则，即的最小值为；
（3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，同（2）可得当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；设此时交于G，证明，则由三线合一定理得到，则；再证明四边形是矩形，得到，则．
【详解】解：（1）如图，作于，
在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）如图，连接，
将绕点C逆时针旋转得，
，，，
∴是等边三角形，
∴，
，
当点、、、共线时，最小，最小值为的长，
连接，作于交延长线于E，
，边长为，
，，
，
，
，，
，
的最小值为；
（3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∴，，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；
设此时交于G，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．
25. 如图，抛物线过点A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴上方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF．将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在第一象限内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与交于点N．解直角三角形求出点N的坐标，求出直线的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．
（3）分三种情形：如图②﹣1中，当时，点H在第一象限，此时G，，O重合．如图②﹣2中，当90°时，点H在对称轴右侧．如图②﹣3中当90°时，点H在对称轴左侧，点在对称轴上，分别求解即可．
【详解】解：（1）把点A代入中，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M．
∵，
∴顶点，M（3，0）
∴，，
∴，
∴60°，
∵30°，
∴30°，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴．
（3）如图②﹣1中，当90°时，此时G，O重合，可得，
∵，四边形AFEH是矩形，
∴利用平移的性质可得．
如图②﹣2中，当90°时，由题意得点G是OB的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴利用平移的性质可得．
如图②﹣3中当90°时，点H在对称轴左侧，由题意，
∵，30°，
∴EF=2，
∴，
∵点G为OE的中点，
∴，
∵，
∴利用平移的性质可得．
综上所述，满足条件的点H的坐标为或或．
【点睛】此题考查二次函数与图形的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，求两个函数图象的交点坐标，利用特殊角的正切值求线段，轴对称的性质，矩形的性质，解题中运用分类思想解决问题是解题的关键．
考试时间120分钟，满分120分
温馨提示：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上.监考老师统一将条形码贴在答题卡规定的位置后，考生请认真核对，确认无误.
2.选择题必须使用2B铅笔，在答题卡相应位置规范填涂.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，作答必须写在答题卡的对应框内，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列计算不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】解：、原式，正确；
、原式，正确；
、原式，正确；
、原式，错误，
故选：．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. 下列因式分解变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据提公因式分解因式可得出A错误；根据完全平方公式可得B正确；根据平方差公式可得C错误；根据十字相乘法可判断D错误．
【详解】A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．
3. 晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是（ ）
A. 先变短后变长B. 先变长后变短C. 逐渐变短D. 逐渐变长
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影可直接进行求解．
【详解】解：由人在马路上走过一盏路灯的过程中，可知光线与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当人到达灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，当远离路灯时，则影子又开始变长；
故选A．
【点睛】本题主要考查投影，熟练掌握投影是解题的关键．
4. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，估算无理数的大小．把化简变形为是解题的关键．
把化简变形为，根据，即可求得．即可求解．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
故选：C．
5. 一组数据：1，3，3，3，5，若去掉一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出原中位数、平均数、众数及方差，然后得出再去掉一个数据3后的中位数、众数、平均数及方差，进而问题可求解
详解】解：由题意得：
原中位数为3，原众数为3，原平均数为3，原方差为1.8；
去掉一个数据3后的中位数为3，众数为3，平均数为3，方差为2；
∴统计量发生变化的是方差；
故选D
【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的关键．
6. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，结合图形进行判断即可．
【详解】解：当k＞0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y轴交于负半轴，则C选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝﹣ 在y轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项都不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论（当k＞0时和当k＜0时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
7. 如图，点、、、分别为四边形的四边、、、的中点，则关于四边形，下列说法正确的为（ ）
A. 一定不是正方形B. 一定不是中心对称图形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定．
连接，，由、、、分别为、、、的中点可得，，，，从而，，进而判断四边形是平行四边形．故可判断选项A，选项B．当时， ，可得是菱形，当时，，是矩形,可判断选项C，选项D．
【详解】解：连接，，
∵、、、分别为、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，它是中心对称图形．
当时，，
∴是菱形．
当时，
∴是矩形．
综上：选项A，B，C错误，选项D正确．
故选：D．
8. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由反比例函数的对称性，可以得出点A的横坐标，再根据图象就可以写出y1＜y2时，x的取值范围．
【详解】解：由函数的中心对称性可得点A的横坐标为2，
由图象可得，
当y1＜y2时，x＜-2或0＜x＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解当一次函数的值小于反比例函数的值时，相应的自变量的取值范围，从图象上可以直观得到．
9. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（ ）
A. 或B. 1或C. 或4D. 1或4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键．
根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可．
【详解】解∶设幻方所填数如图所示，
∴，，
由①得，
由②
由得：，
解得：，，
故选：A．
10. 如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，以点为圆心，3为半径的圆分别交、于点、，与交于点．并与交于点，连结、．给出下列五个结论中正确的有（ ）
（1）是中点；（2）；（3）；（4）；（5）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】（1）先证明，得，，由垂径定理，得：，即是的中点；（2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；（3）分别过分别作于，于，由余弦三角函数和勾股定理算出了，，再算面积，即得；（4）余弦三角函数和勾股定理算出了，即可得；（5）由（1）（2）结论，由（2）得是错误的，即可解答．
【详解】解：（1）在与中，
，
，
，
，
，
由垂径定理，
得：，
即是的中点，故（1）正确；
（2）如图，过分别作于，于，
，，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
是错误的，故（2）不正确；
（3）过分别作于，
由（2）知，，
，
，
，
，故（3）正确；
（4）由（2）知，，
，
，故（4）正确；
（5）由（1）得，由（2）得是错误的，
，
，
，
，
即⑤不正确．
故正确的有：（1）（3）（4）．
故选：C
【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第____象限．
【答案】二
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，直线的交点坐标，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法．利用加减消元法解出方程组的解，得到与的值，从而确定出点的坐标，根据平面上点坐标的特征，即可确定出所在的象限．
【详解】解：
①②得，即，
把代入①得：，
方程组的解为，
坐点的标，
则点在平面直角坐标系中的位置是第二象限．
故答案为：二
12. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．则a，b能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
，
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的结果有5种，
能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率为，
故答案为： ．
13. 如图，等边三角形的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交，边于D，E，再以点C为圆心，长为半径作圆交边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为：_____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
过A作于M，于N，根据等边三角形的性质和解直角三角形求得，求得，根据阴影部分的面积
即可求解．
【详解】解：过A作于M，于N，
∵等边三角形的边长为2，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
，
故答案：．
14. 已知，根据图1的y与x的关系，得到图2平面直角坐标系中的射线和射线．若点是y轴上一点，过点P作轴交，于点M，N，连结，，则的面积最大值为____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查一次函数相关问题，涉及到三角形面积、平行线分线段成比例、二次函数最值问题，解题关键是由图1确定直线和的解析式．
由图1可知：直线和的解析式，进而可求，，由轴及相似三角形的判定和性质可得，，设点，则有点, 点，求出，由三角形面积公式可得，根据二次函数最值问题即可求解．
【详解】由图1可知：直线：，直线：（x＞0），
将分别带入直线，得：，
解得：，
∴点，
同理可得：点，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵点，
∴点, 点，
∴，，
∴，
∴当时有最大值5；
故答案为： 5．
15. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①； ②； ③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的两根分别为，．其中错误的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
由抛物线对称轴为直线可判断①，由抛物线与轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与轴交点位置可判断③，由抛物线经过及抛物线的对称性可判断④，由根与系数关系可判断⑤．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，故②正确；
抛物线和轴交点在负半轴，
，
，
①正确；
当时，两点都在对称石侧．图象部分．随增大而增大，
，
③正确；
不等式，抛物线在轴上方时，取值范围，而抛物线和轴交点为和，
解集是或；
④错误．
的两个根，，
∴，，
，，
的两个根，，
⑤错误．
故选：B．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共92分）
16. 计算：；
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零指数幂与熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
先计算乘方与开方，化简绝对值，并把特殊角三角函数值代入，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
17. 先化简，再求值：，从不等式组的整数解中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，求不等式组的整理数解．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，注意分式求值，字母取值一定要使原分式有意义．
根据分式的运算法则化简，再解不等式组求出不等式组的整数解，由分式有意义，得到a的值，再代入化简式计算即可．
【详解】解：原式
；
解不等式组，
得，
∴不等式组的整数解为，0，1，2；
∵和0，
∴当时，原式．
18. 如图，在Rt中，．
（1）利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离等于的长；
（2）若，，求点P到的距离？
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；
（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可；
（2）根据角平分线的性质只需要求出的长，利用含度角的直角三角形的性质分析求解．
【小问1详解】
解：如图，点P即为所求，
【小问2详解】
解：过点P作于D，
由题意得，平分，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点P到的距离为．
19. 如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口的上方处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中高度为，宽度为，坡面的坡角为．，结果精确到 0.1米．
（1）根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度；
（2）图2中，线段为顶点C到坡面的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？
【答案】（1）
（2）该车能进入该车库停车
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
（1）根据正切的定义求出，进而求出；
（2）根据正弦的定义求出，根据题意解答即可．
【小问1详解】
解：在中，，，
，
，
答：点到坡面的铅直高度约为；
【小问2详解】
解：在中，，，
，
，
该车能进入该车库停车．
20. 2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为____________人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是__________；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40人 （2）108°
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，据此即可得出总人数；
（2）结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，得出比例乘以即可得；
（3）根据题意可得C类别人数为18人，据此补全条形统计图即可；
（4）画出树状图，利用树状图求解即可得．
【小问1详解】
解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，
∴参加这次调查的学生总人数为（人），
故答案为：40；
【小问2详解】
解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，
∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：C类别人数为（人），
补全图形如下：
【小问4详解】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【点睛】题目主要考查结合扇形统计图与条形统计图获取相关信息，包括利用部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图，根据树状图或列表法计算概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【解析】
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是 O的切线；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．
【详解】(1)证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB.
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠PCB+∠OCB=90°，OC⊥CP.
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
(2)连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴ =
∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM2=MN⋅MC
又∵AB是O的直径， =，
∴∠AMB=90°，AM=BM
∵AB=4，
∴BM=
∴MN⋅MC=BM2=8
22. 为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知一件甲种农机具价格是一件乙种农机具价格的3倍，且用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件．
（1）求一件甲种农机具和一件乙种农机具的价格各是多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，设购进甲种农机具m件，则有几种购买方案？并写出需要的资金最少的购买方案．
（3）在（2）中需要资金最少的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】（1）一件甲种农机具的价格是1.5万元，一件乙种农机具的价格是0.5万元
（2）有4种购买方案，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少
（3）节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有2种：①购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；②购买甲种农机具3件，乙种农机具7件
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设一件乙种农机具的价格是万元，则一件甲种农机具的价格是万元，根据用6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件，根据投入资金不少于9.5万元又不超过13万元，列出一元一次不等式组，解得，有4种方案，再设需要的总资金为万元，然后由一次函数的性质即可解决问题；
（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，根据该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），列出二元一次方程，求出非负整数解即可．
【小问1详解】
设一件乙种农机具的价格是万元，则一件甲种农机具的价格是万元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：一件甲种农机具的价格是1.5万元，一件乙种农机具的价格是0.5万元；
【小问2详解】
设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件，
由题意得：，
解得：，
为整数．
可取5，6，7，8．
有4种方案，
设需要的总资金为万元，
则．
，
随着的增大而增大，
当时，，
此时，，
答：有4种购买方案，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少；
【小问3详解】
设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，
由题意得：，
整理得：，
、均为非负整数，
或，
节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有2种：
①购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．
②购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
23. 如图，在直角坐标平面内，正比例函数图象与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，过点A作轴，垂足为点B．
（1）求的度数；
（2）在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点P在y轴上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）先求出点A的坐标为，再根据三角函数的定义即可得出答案；
（2）根据点A的坐标，可知，过点C作于G，由题意得，分点C在上或的延长线上，分别根据含角的直角三角形的性质可得答案；
（3）由，分三种情形，分别得出答案．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
轴于点B，点C在直线上，
∴设点C的坐标为，
过点C作于G，
由题意得，
当点C在上时，
则平分，
由（1）知，
，
，
，
当点C在延长线上时，
同理可得，
综上所述：或；
【小问3详解】
在中，，，由勾股定理得：，
当时，则，
当时，则或，
当时，则P在的垂直平分线上，过点P作于H，如图，则，
，
在中，，
，
，
综上所述：或或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
24. 【问题发现】
（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________．
【问题探究】
（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值；
【实际应用】
（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）作于，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再由含角的直角三角形的性质及勾股定理计算即可得出；
（2）如图，连接，由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，可得，即可得到，故当点、、、共线时，最小，最小值为的长，连接，作于交延长线于E，求出，则，进一步求出，，则，即的最小值为；
（3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，同（2）可得当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；设此时交于G，证明，则由三线合一定理得到，则；再证明四边形是矩形，得到，则．
【详解】解：（1）如图，作于，
在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）如图，连接，
将绕点C逆时针旋转得，
，，，
∴是等边三角形，
∴，
，
当点、、、共线时，最小，最小值为的长，
连接，作于交延长线于E，
，边长为，
，，
，
，
，，
，
的最小值为；
（3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∴，，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；
设此时交于G，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．
25. 如图，抛物线过点A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴上方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF．将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在第一象限内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与交于点N．解直角三角形求出点N的坐标，求出直线的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．
（3）分三种情形：如图②﹣1中，当时，点H在第一象限，此时G，，O重合．如图②﹣2中，当90°时，点H在对称轴右侧．如图②﹣3中当90°时，点H在对称轴左侧，点在对称轴上，分别求解即可．
【详解】解：（1）把点A代入中，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M．
∵，
∴顶点，M（3，0）
∴，，
∴，
∴60°，
∵30°，
∴30°，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴．
（3）如图②﹣1中，当90°时，此时G，O重合，可得，
∵，四边形AFEH是矩形，
∴利用平移的性质可得．
如图②﹣2中，当90°时，由题意得点G是OB的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴利用平移的性质可得．
如图②﹣3中当90°时，点H在对称轴左侧，由题意，
∵，30°，
∴EF=2，
∴，
∵点G为OE的中点，
∴，
∵，
∴利用平移的性质可得．
综上所述，满足条件的点H的坐标为或或．
【点睛】此题考查二次函数与图形的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，求两个函数图象的交点坐标，利用特殊角的正切值求线段，轴对称的性质，矩形的性质，解题中运用分类思想解决问题是解题的关键．
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