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安徽省六安第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附答案）
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这是一份安徽省六安第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了下列各式正确的是，在的展开式中，含项的系数是，函数的图象大致是等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.将甲､乙､丙､丁四名学生分到三个不同的班级，每个班级至少分到一名学生，则不同的分法种数为）
A.112 B.81 C.72 D.36
3.在的展开式中，含项的系数是（ ）
A.219 B.220 C.165 D.164
4.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…则此数列的第59项是（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知定义域为的函数的导函数为，且，若实数则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件：再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.事件和事件相互独立
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（ ）
A. B.
C. D.
10.在新高考方案中，选择性考试科目有：物理､化学､生物､政治､历史､地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理､历史2门科目中选择1门，再从政治､地理､化学､生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A.若任意选科，选法总数为6
B.若化学必选，选法总数为6
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为12
D.若物理必选，化学､生物至少选一门，选法总数为5
11.已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A.在上单调递减
B.既有最小值又有最大值
C.当时，无实数解
D.当时，有三个实数解
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.用5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是__________.
13.已知，则__________.
14.若实数分别是方程的根，则的值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值.
16.（本小题满分15分）
6名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学3名，女同学2名.
（1）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？
（2）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？
（3）现有14个相同的口罩全部发给这5名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？
17.（本小题满分15分）
已知在的展开式中，第9项为常数项.求：
（1）的值：
（2）展开式中的系数；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
18.（本小题满分17分）
某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖.顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖：也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖.小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响.
（1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
（2）设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列.
19.（本小题满分17分）
已知函数（是自然对数的底数）.
（1）当时，求的极值点；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：当时，.
六安一中2024年春学期高二年级期中考试
数学试卷参考答案
12.240 13.20 14.
15.（1）（2）
解析：
（1）因为，所以，
所以函数的图象在点处的切线的斜率.
因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为.
因为，所以，
所以，所以函数在上的最大值为.
综上，
16.（1）144（2）504（3）70
解析：
（1）先把除两位女生和老师这3人外的3人排好，有种排法，由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法，最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的3人之间及两端的4个空隙中，有种排法.故排法共有（种）.
（2）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；
甲不在最右边时，可从余下的4个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的4个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有
法二：6名师生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，共（种）.
（3）法一：14个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的9个口罩排成一排有8个间隙，插入4块板子分成5份，每一种分法所得5份给到5个人即可，所以不同的发放方法种.
法二：先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给5位同学，有五类分法：
1.四只口罩分给1人，有种分法；
2.四只口罩分成三份分给3人，有种分法；
3.四只口罩分成2，2两份分给2人，有种分法；
4.四只口罩分成3，1两份分给2人，有种分法：
5.四只口罩分成四份分给4人，有种分法；则共有70种分法.
17.解析：（1），所以；
（2），
所以展开式中的系数是
（3），
解得，所以，
所以展开式中系数绝对值最大的项是
18.（1）（2）答案见解析
解析：
（1）记小李第次抽中为事件，则有，
且两两互相独立，记小李第一次抽中但奖金归零为事件，
则；
注：学生分析过程酌情给分
（2）由题意可知的可能取值为：，
.
所以的分布列为：
19.（1）极小值点为，无极大值点.（2）答案见解析（3）证明见解析解析：
（1）当时，，则.
当时，，此时函数递减，
当时，，此时函数递增，
所以极小值点为，
无极大值点.
（2）因为
①当时，在上递增
②当时，当时，在上递减，
当时，，此时函数在上递增.
（3）由题意，所以，
因为，所以在上单调递增，
又，当且时，
，
所以存在唯一零点，设为，
即，两边取对数得，
，所以，
当单调递减：当单调递增，
所以，故当时，.-2
1
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
D
A
A
C
B
C
C
ABD
BD
ACD
0
10
40
90
时间：120分钟 满分：150分
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.将甲､乙､丙､丁四名学生分到三个不同的班级，每个班级至少分到一名学生，则不同的分法种数为）
A.112 B.81 C.72 D.36
3.在的展开式中，含项的系数是（ ）
A.219 B.220 C.165 D.164
4.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…则此数列的第59项是（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知定义域为的函数的导函数为，且，若实数则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件：再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.事件和事件相互独立
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（ ）
A. B.
C. D.
10.在新高考方案中，选择性考试科目有：物理､化学､生物､政治､历史､地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理､历史2门科目中选择1门，再从政治､地理､化学､生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A.若任意选科，选法总数为6
B.若化学必选，选法总数为6
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为12
D.若物理必选，化学､生物至少选一门，选法总数为5
11.已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A.在上单调递减
B.既有最小值又有最大值
C.当时，无实数解
D.当时，有三个实数解
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.用5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是__________.
13.已知，则__________.
14.若实数分别是方程的根，则的值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值.
16.（本小题满分15分）
6名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学3名，女同学2名.
（1）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？
（2）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？
（3）现有14个相同的口罩全部发给这5名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？
17.（本小题满分15分）
已知在的展开式中，第9项为常数项.求：
（1）的值：
（2）展开式中的系数；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
18.（本小题满分17分）
某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖.顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖：也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖.小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响.
（1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
（2）设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列.
19.（本小题满分17分）
已知函数（是自然对数的底数）.
（1）当时，求的极值点；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：当时，.
六安一中2024年春学期高二年级期中考试
数学试卷参考答案
12.240 13.20 14.
15.（1）（2）
解析：
（1）因为，所以，
所以函数的图象在点处的切线的斜率.
因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值为.
因为，所以，
所以，所以函数在上的最大值为.
综上，
16.（1）144（2）504（3）70
解析：
（1）先把除两位女生和老师这3人外的3人排好，有种排法，由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法，最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的3人之间及两端的4个空隙中，有种排法.故排法共有（种）.
（2）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；
甲不在最右边时，可从余下的4个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的4个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有
法二：6名师生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，共（种）.
（3）法一：14个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的9个口罩排成一排有8个间隙，插入4块板子分成5份，每一种分法所得5份给到5个人即可，所以不同的发放方法种.
法二：先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给5位同学，有五类分法：
1.四只口罩分给1人，有种分法；
2.四只口罩分成三份分给3人，有种分法；
3.四只口罩分成2，2两份分给2人，有种分法；
4.四只口罩分成3，1两份分给2人，有种分法：
5.四只口罩分成四份分给4人，有种分法；则共有70种分法.
17.解析：（1），所以；
（2），
所以展开式中的系数是
（3），
解得，所以，
所以展开式中系数绝对值最大的项是
18.（1）（2）答案见解析
解析：
（1）记小李第次抽中为事件，则有，
且两两互相独立，记小李第一次抽中但奖金归零为事件，
则；
注：学生分析过程酌情给分
（2）由题意可知的可能取值为：，
.
所以的分布列为：
19.（1）极小值点为，无极大值点.（2）答案见解析（3）证明见解析解析：
（1）当时，，则.
当时，，此时函数递减，
当时，，此时函数递增，
所以极小值点为，
无极大值点.
（2）因为
①当时，在上递增
②当时，当时，在上递减，
当时，，此时函数在上递增.
（3）由题意，所以，
因为，所以在上单调递增，
又，当且时，
，
所以存在唯一零点，设为，
即，两边取对数得，
，所以，
当单调递减：当单调递增，
所以，故当时，.-2
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B
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C
B
C
C
ABD
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ACD
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