2023-2024学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年浙江省绍兴市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−2,0,1,3}，B={−1,1,3}，则A∩B=( )
A. {−2,−1,0,1,3}B. {−1,1,3}C. {1,3}D. {−2,1}
2.设a，b，c∈R，则“a=b”是“ac=bc”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知tanθ=2，θ为第三象限角，则sinθ=( )
A. 2 55B. −2 55C. 55D. − 55
4.在同一直角坐标系中，函数f(x)=xa(x≥0)，g(x)=lgax的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.定义在R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，且f(1)=−2，则满足−2≤f(x+1)≤2的x的取值范围是( )
A. [−3,1]B. [−2,0]C. [−1,3]D. [0,2]
6.研究发现，㷊种病毒存活时间y(单位：小时)与环境温度t(单位： ℃)满足函数类系：y=e−kt+b(k,b为常数).若该种病毒在0℃的存活时间为168小时，在20℃的存活时间为42小时，则在30℃的存活时间为( )
A. 14小时B. 18小时C. 21小时D. 24小时
7.已知a=(12) 2,b=lg23,c=lg34，则( )
A. b>c>aB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
8.已知sin(α+2β)=3sinα，则tanα的最大值是( )
A. 22B. 24C. 35D. 13
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=x2B. f(x)=sinxC. f(x)=x+1xD. f(x)=lgx
10.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则函数f(x)( )
A. 在区间(1,2)内无零点B. 在区间(1,2)内可能有两个零点
C. 在区间(2,3)内有零点D. 在区间(3,4)内可能有两个零点
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(π4)=1,f(3π2)=0，且f(x)在区间(π4,3π4)上单调，则ω的值可以是( )
A. 35B. 65C. 2D. 145
12.已知实数x，y，z满足3x=5y−2y，5z=3y+2y，且xA. z>yB. 02yD. x+z<2y
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知函数f(x)=2−x,x≤0, x,x>0,则f(f(−1))=______.
14.已知一个扇形圆心角的弧度数为2，其所在圆的半径为1，则该扇形的弧长是______.
15.已知x>0，y>0，且x+2y=xy，则1+(2x+y)22x+y的最小值是______.
16.已知函数f(x)=sin(a|x|−1)−1在区间(−1,1)内没有零点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知集合A={x|−10}.
(1)求集合∁RA；
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围.
18.(本小题8分)
已知函数f(x)=sinxcsx+cs2x.
(1)求f(π4)的值；
(2)求f(x)的单调递增区间.
19.(本小题8分)
已知函数f(x)=x−ax+1(x>−1).
(1)若a=3，求不等式f(2x)>0的解集；
(2)当a>−1时，证明：f(x)≤a+14x−3a−14.
20.(本小题8分)
是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今仍被沿用.如图1，筒车借助湍急水流的冲力旋转，当盛水筒转到一定位置时，开始倒水入槽.如图2，一个半径为4米的筒车按逆时针方向以每分钟1.5图匀速转动，筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P(视为质点)距离水面的相对高度为h(单位：米)(P在水面下则h为负数)，以盛水筒P刚浮出水面开始计时，则h与时间t(单位；秒)之间的关系为h=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0,−π2<φ<π2).
(1)求A，ω，φ，k的值；
(2)求盛水筒P从刚浮出水面至旋转到最高点所需的最短时间；
(3)若盛水筒P从刚浮出水面至开始倒水入槽需用时10秒，求盛水筒P开始倒水入槽时，P距离水面的高度(最后结果精确到0.1米，参考数据： 3≈1.73).
21.(本小题10分)
已知函数f(x)=lg2(ax+1)−x(a>0,且a≠1)为偶函数.
(1)求a的值；
(2)若∀x1∈[0,π]，∃x2∈[−1,1]，使sin2x1+mcs(π2−x1)+14−1m≥f(x2)成立，求实数m的取值范围.
22.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax2+bx+c，记关于x的不等式|f(x)|≤1的解集为M.
(1)若a=1，b=−12，c=35，求M中整数的个数；
(2)当a>2时，证明：M中至多有两个整数.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={−2,0,1,3}，B={−1,1,3}，
则A∩B={1,3}.
故选：C.
由已知结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：a=b，则有ac=bc，反之，若ac=bc，当c=0时，可能a≠b，
则“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件．
故选：A.
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵tanθ=2，θ为第三象限角，
∴sinθcsθ=2sin2θ+cs2θ=1sinθ<0csθ<0，
解得sinθ=−2 55，csθ=− 55.
故选：B.
利用同角三角函数关系式直接求解．
本题考查正弦函数值的求法，考查同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了基本初等函数的性质，导数的几何意义，属于中档题．
对a的范围进行讨论，判断f(x)的单调性和增长快慢，判断g(x)的单调性，得出结论．
【解答】
解：由g(x)=lgax有意义可知a>0且a≠1，
∴f(x)=xa在[0,+∞)上是过原点的增函数，排除A；
(1)若a>1，则g(x)为过点(1,0)的增函数，f′(x)=axa−1，
∴f′(x)是增函数，即f(x)的增加速度逐渐变大，排除C，
(2)若0∴f′(x)是减函数，即f(x)的增加速度逐渐减小，排除B，
故选：D.
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，定义在R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递减，
则f(x)在[0,+∞)上递减，
故f(x)在R上为减函数，
又由f(1)=−2，则f(−1)=2，
故−2≤f(x+1)≤2⇒f(1)≤f(x+1)≤f(−1)，则有−1≤x+1≤1，
解可得−2≤x≤0，即x的取值范围为[−2,0].
故选：B.
根据题意，由函数的奇偶性和单调性可得f(x)在R上为减函数，由此可得原不等式等价于−1≤x+1≤1，解可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题有168=eb42=e−20k+by=e−30k+b，解得：y=21.
故选：C.
由指数运算的性质即可得解．
本题考査了函数的应用，考査了运算求解能力，准确理解题意、细心计算是解题关键，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵0<(12) 2<(12)0=1，∴0∵32=lg2232=lg2 8∵1=lg33∴b>c>a.
故选：A.
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为sin(α+2β)=3sinα，
所以sin(α+β+β)=3sin(α+β−β)，
所以sin(α+β)csβ+sinβcs(α+β)=3sin(α+β)csβ−3sinβcs(α+β)，
即sin(α+β)csβ=2sinβcs(α+β)，
所以tan(α+β)=2tanβ，
则tanα=tan(α+β−β)=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)tanβ=tanβ1+2tan2β，
若tanα取得最大值，则tanβ>0，
所以tanβ1+2tan2β=12tanβ+1tanβ≤12 2= 24，当且仅当tanβ= 22时取等号．
故选：B.
由已知结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合两角差的正切公式进行化简，再由基本不等式即可求解．
本题主要考查了和差角公式的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据二次函数的性质可知，y=x2在区间(0,+∞)上单调递增，A符合题意；
根据正弦函数的性质可知，y=sinx在区间(0,+∞)上不单调，B不符合题意；
根据对勾函数的单调性可知，f(x)=x+1x在区间(0,+∞)上不单调，C不符合题意；
根据对数函数的性质可知，y=lgx在区间(0,+∞)上单调递增，D符合题意．
故选：AD.
由已知结合基本初等函数的单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为f(1)⋅f(2)>0，所以f(x)在(1,2)内可能有零点，也可能没有零点，故A错误，B正确；
因为f(2)⋅f(3)<0，f(3)⋅f(4)<0，
所以由零点存在定理知，f(x)在(2,3)和(3,4)内一定有零点，且零点个数不确定，所以C，D正确．
故选：BCD.
由零点存在定理逐一判断各选项即可．
本题考查函数零点的判定定理，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(π4)=1,f(3π2)=0，
所以3π2−π4=T4+kT2，k∈Z，
所以T=5π2k+1=2πω，
所以ω=4k+25，k∈Z，
因为f(x)在区间(π4,3π4)上单调，
所以3π4−π4≤T2=πω，
所以0<ω≤2，
则ω的值可以是25，65，2.
故选：BC.
由已知结合正弦函数周期性及单调性即可求解．
本题主要考查了正弦函数的最值取得的条件，周期性及单调性的应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由5z=3y+2y，得5z−y=(35)y+(25)y，因为g(y)=(35)y+(25)y在(0,1)上单调递减，且g(1)=1，
所以5z−y>1=50，所以z−y>0，即z>y，选项A正确；
因为3x=5y−2y，所以3x−y=(53)y−(23)y，因为x又f(y)=(53)y−(23)y在(0,+∞)上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，所以0因为3x−y⋅5z−y=[(53)y−(23)y][(35)y+(25)y]=1+(25)y[(53)y−(23)y−1]<1，
所以3x−y⋅3z−y<3x−y⋅5z−y<1，所以x+z−2y<0，即x+z<2y，选项D正确，C错误．
故选：ABD.
由5z=3y+2y得5z−y=(35)y+(25)y，判断g(y)=(35)y+(25)y是减函数，得出5z−y>50，即z>y，判断选项A；
由3x=5y−2y得3x−y=(53)y−(23)y，判断f(y)=(53)y−(23)y是增函数，得出0由3x−y⋅3z−y<3x−y⋅5z−y<1，得出x+z<2y，判断选项C、D即可．
本题考查了不等式的性质应用问题，也考查了构造函数判断函数的单调性问题，是中档题．
13.【答案】 2
【解析】解：根据题意，函数f(x)=2−x,x≤0, x,x>0,
则f(−1)=21=2，
则f(f(−1))=f(2)= 2.
故答案为： 2.
根据题意，由函数的解析式求出f(−1)的值，进而计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：扇形圆心角的弧度数为2，其所在圆的半径为1，
则该扇形的弧长l=αr=2.
故答案为：2.
直接代入扇形弧长公式即可．
本题考查扇形弧长公式，属于基础题．
15.【答案】829
【解析】解：因为x>0，y>0，且x+2y=xy，可得y=xx−2>0，可得x>2，
所以1+(2x+y)22x+y=(2x+y)+12x+y，
x>2，可得x−2>0，则2x+y=2x+xx−2=2x+x−2+2x−2=2(x−2)+2x−2+4+1=2(x−2)+2x−2+5≥2 2(x−2)⋅2x−2+5=9，
当且仅当2(x−2)=2x−2，即x=3时取等号；
令t=2x+y≥9，
函数f(t)=t+1t在[9,+∞)单调递增，所以f(t)≥f(9)=9+19=829.
故答案为：829.
由题意可得用x表示y的代数式，可得x的范围，求出t=2x+y的表达式，由基本不等式可得t的范围，再由函数的单调性，可得代数式的范围．
本题考查换元法的应用，基本不等式的性质的应用，函数的单调性的应用，属于基础题．
16.【答案】[1−3π2,1+π2]
【解析】解：根据题意，函数f(x)=sin(a|x|−1)−1在区间(−1,1)内没有零点，
则方程sin(a|x|−1)=1在区间(−1,1)上无解，
当a=0，a|x|−1=−1，sin(−1)=1无解，符合题意；
当a>0时，−1若sin(a|x|−1)=1无解，则有a−1≤π2，解可得a≤1+π2，
又由a>0，则有0当a<0时，a−1若sin(a|x|−1)=1无解，则有−3π2≤a−1，解可得a≥1−3π2，
又由a<0，则有1−3π2≤a<0，
综合可得：1−3π2≤a≤1+π2，即a的取值范围为[1−3π2,1+π2].
故答案为：[1−3π2,1+π2].
根据题意，由函数零点与方程根的关系可得方程sin(a|x|−1)=1在区间(−1,1)上无解，分a=0、a>0与a<0三种情况讨论，求出a的取值范围，综合可得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，涉及三角函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为A={x|−1所以∁RA={x|x≤−1或x≥2}；
(2)因为A⊆B，B={x|x>a}，
所以a≤−1，
故a的取值范围为{a|a≤−1}.
【解析】(1)由已知结合集合的补集运算即可求解；
(2)由已知结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sinxcsx+cs2x=12sin2x+12(1+cs2x)= 22sin(2x+π4)+12，
所以f(π4)= 22sin(2⋅π4+π4)+12= 22⋅ 22+12=1；
(2)由(1)可得
单调递增区间满足：−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z，
得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ],k∈Z.
【解析】(1)由半角公式及三角函数的恒等变换可得函数的解析式，进而求出f(π4)的值；
(2)由(1)可得函数的单调递增区间满足的不等式，进而求出函数的单调递增区间．
本题考查三角函数的恒等变换的应用及半角公式的应用，属于基础题．
19.【答案】(1)解：因为a=3，所以f(2x)=2x−32x+1，
又2x+1>0，所以2x−3>0，
解得x>lg23，所以解集为(lg23,+∞).
(2)证明：因为f(x)−(a+14x−3a−14)=x−ax+1−a+14x÷3a−14=−(a+1)(x−1)24(x+1)，
又由a>−1，x>−1，得x+1>0，a+1>0，且(x−12)≥0，
所以−(a+1)(x−1)24(x+1)≤0，
所以f(x)−(a+14x−3a−14)≤0，
所以f(x)≤a+14x−3a−14.
【解析】(1)把a=3代入，先求出f(2x)，然后结合指数函数的性质即可求解；
(2)要证原不等式成立，只要利用作差比较即可判断．
本题主要考查了指数函数的性质在不等式求解中的应用，还考查了比较法在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知，筒车半径为4米，即A=4；
因为筒车每分钟匀速转动1.5圈，所以周期T=601.5=40秒，
所以ω=2πT=π20；
因为轴心O距离水面的高度为2米，即k=2，
当t=0时，h=0，即4sin(0+φ)+2=0，解得sinφ=−12，
由−π2<φ<π2，所以φ=−π6.
(2)由(1)知，h=4sin(π20t−π6)+2；
当h=6时，4sin(π20t−π6)+2=6，所以sin(π20t−π6)=1，
解得π20t−π6=π2，即t=403；
故所需的最短时间为403秒．
(3)当t=10秒时，h=4sin(π20×10−π6)+2=4sinπ3+2=2 3+2≈5.5，
所以此时盛水筒P距离水面的高度为5.5米．
【解析】(1)由筒车半径得出A，每分钟匀速转动1.5圈得出周期T和ω，轴心O距离水面的高度求出k，t=0时的高度求出φ.
(2)写出函数解析式，计算h=6时t的值即可．
(3)计算t=10时的函数值即可．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=lg2(ax+1)−x(a>0,且a≠1)为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，
即lg2(a−x+1)+x=lg2(ax+1)−x，
所以2x=lg2(ax+1)−lg2(a−x+1)=lg21+ax1+a−x=lg2ax=xlg2a，
所以lg2a=2，即a=4；
(2)因为∀x1∈[0,π]，∃x2∈[−1,1]，使sin2x1+mcs(π2−x1)+14−1m≥f(x2)成立，
若∀x1∈[0,π]，∃x2∈[−1,1]，使sin2x1+msinx1+14−1m≥f(x2)成立，
所以(sin2x1+msinx1+14−1m)min≥f(x2)min，x1∈[0,π]，x2∈[−1,1]，
由f(x)=lg2(4x+1)−x=lg2(1+4x)−lg22x=lg2(2x+12x)，
又−1≤x≤1时，12≤2x≤2，2x+12x∈[2,52]，
所以f(x)min=1，
令t=sinx，0≤x≤π，
则0≤t≤1，
设g(t)=t2+mt+14−1m，
当−m2<0，即m>0时，g(t)min=g(0)=14−1m≥1，此时m不存在，
当0<−m2<1，即−2整理得，m3+3m+4=(m+1)(m2−m+4)≥0，
解得m≥−1，即−1≤m<0，
当−m2>1，即m<−2，g(t)min=g(1)=54−1m+m−≥1，
整理得，4m2+m−4≤0，
解得−1− 658≤m≤−1+ 658，此时m不存在，
综上，−1≤m<0，
故m的范围为[−1,0).
【解析】(1)由已知结合偶函数的定义即可求解；
(2)由已知恒成立与存在性问题与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了由恒成立及存在性问题求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)a=1，b=−12，c=35时，所以|f(x)|=|x2−12x+35|≤1，
可得−1≤x2−12x+35≤1，
即x2−12x+34≤0x2−12x+36=(x−6)2≥0，6− 2≤x≤6+ 2，
即M={x|6− 2≤x≤6+ 2}，则M中的整数有5，6，7三个整数；
(2)当a>2时，所以f(x)的图像开口向上，且f(x)的最小值为f(x)min=4ac−b24a，
当f(x)min>1时，则M为空集；
当−1可得−b− b2−4ac(c−1)2≤x≤−b+ b2−4ac(c−1)2，
该区间左右的距离为 b2−4a(c−1)<2 2，所以最多有两个正整数解；
当f(x)min≤−1时，解方程−1≤ax2+bx+c≤1，
可得−b+ b2−4ac(c−1)2≥x1≥−b− b2−4ac(c−1)2，−b+ b2−4ac(c+1)2≥x2≥−b− b2−4ac(c+1)2，
这两个区间的左右端点距离为 b2−4ac(c−1)− b2−4ac(c+1)2< 16−02=2，
所以一个区间内最多有一个整数，整个取值范围内最多有两个整数．
综上所述，当a>2时，M中至多有两个整数．
【解析】(1)将a，b，c的值代入，解得不等式的解集，可得M中的整数个数；
(2)分类讨论，由f(x)min的范围，分别求出集合M中整数的个数．
本题考查了二次函数的性质，绝对值不等式的解法，以及集合的概念，属于中档题．x
1
2
3
4
y
136.13
15.52
−3.92
10.88