2023-2024学年天津市五区县重点校联考高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年天津市五区县重点校联考高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={1,3,5}，则A∩(∁UB)=( )
A. {2,3,4}B. {2}C. {1,5}D. {1,3,4,5}
2.“a>b>0”是“a2>b2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=lnx−1x的零点所在的区间是( )
A. (1,e)B. (e,3)C. (3,e2)D. (3,4)
4.若角α的终边经过点(1,−1)，则sinα+3csα6csα−2sinα的值为( )
A. 54B. 1C. 14D. −32
5.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=(3x+3−x)sin2x
B. f(x)=(3x+3−x)cs2x
C. f(x)=(3x−3−x)sin2x
D. f(x)=(3x−3−x)cs2x
6.已知a=lg0.20.3，b=，c=40.2，则( )
A. b>a>cB. b>c>aC. a>b>cD. a>c>b
7.下列代数式的值为1的有( )
① 43×9−2；
②lg62+lg369；
③sin25π6+cs(−4π3)；
④ 1+2sin20∘sin70∘sin20∘+ 1−sin2160∘.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.将函数f(x)=cs(x+2π3)图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，所得图象在区间[0,2π3]上恰有两个零点，且在[−π12,π12]上单调递减，则ω的取值范围为( )
A. [94,3]B. [94,4)C. [114,4]D. (114,6]
9.若关于x的方程||x−a|−1x−a|=2恰有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,−1)B. [−1,1]C. (0,+∞)D. (1,+∞)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
10.已知扇形的面积是4cm2，半径是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是______.
11.函数y=lg12(x2−4)的单调递减区间是______.
12.已知正数a，b满足a4×b8=2，则3a+2b的最小值为______.
13.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x−3，则不等式xf(x)<0的解集为______.
14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(π2)的值是______.
三、解答题：本题共5小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
若函数f(x)=(m2−3m+3)xm2+2m−4为幂函数，且在(0,+∞)单调递减.
(Ⅰ)求实数m的值；
(Ⅱ)若函数g(x)=x−f(x)，且x∈(0,+∞).
(i)写出函数g(x)的单调性，无需证明；
(ii)求使不等式g(2t−1)16.(本小题12分)
已知π4<α<3π4，0<β<π4，sin(α−π4)=2 23，cs(α+β)=−35.
(Ⅰ)求sinα的值；
(Ⅱ)求cs(β+π4)的值.
17.(本小题12分)
函数f(x)=2 3sinxcsx+sin2x−cs2x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(Ⅱ)将函数f(x)的图象先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.当x∈[0,π4]时，求函数g(x)的值域.
18.(本小题12分)
某地区上年度电价为0.8元/(kW⋅h)，年用电量为akW⋅h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW⋅h)至0.75元/(kW⋅h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW⋅h).经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为k(注：若m与n成反比，且比例系数为k，则其关系表示为mn=k).该地区的电力成本价为0.3元/(kW⋅h).
(Ⅰ)下调后的实际电价为x(单位：元/(kW⋅h))，写出新增用电量t关于x的函数解析式；
(Ⅱ)写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单位：元)关于实际电价x(单位：元/(kW⋅h))的函数解析式；(注：收益=实际电量×(实际电价-成本价))
(Ⅲ)设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
19.(本小题13分)
已知函数f(x)=2x+12x+a为奇函数.
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求关于x的不等式f(x)>3的解集；
(Ⅲ)设函数g(x)=lg2x2⋅lg2x4+m，若对任意的x1∈[2,8]，总存在x2∈(0,1],使得g(x1)=f(x2)成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={1,3,5}，
所以∁UB={2,4}，A∩(∁UB)={2}.
故选：B.
根据集合运算求解即可．
本题主要考查了集合交集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由“a>b>0”能推出“a2>b2”，是充分条件，
由“a2>b2”推不出“a>b>0”，不是必要条件，
故选：A.
根据充分必要条件的定义进行判断即可．
本题考查了充分必要条件，考察不等式的性质，是一道基础题．
3.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=lnx−1x是增函数，f(1)=−1e<0，f(e)=1−1e>0，
由f(1)f(e)<0，则函数f(x)的零点存在的区间可以是(1,e).
故选：A.
先求出端点函数值，结合零点判断定理，可得结果．
本题主要考查函数的零点判断定理的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为角α的终边经过点(1,−1)，
所以tanα=−1，
故原式=tanα+36−2tanα=−1+36−2×(−1)=14.
故选：C.
利用任意角的三角函数的定义，求出tanα的值，把要求的式子化为tanα+36−2tanα，将tanα的值代入运算，求出结果．
本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，把要求的式子化为tanα+36−2tanα是解题的关键，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题中f(x)的图象关于原点对称，可得f(x)为奇函数，
而y=3x+3−x为偶函数，y=3x−3−x为奇函数，y=sin2x为奇函数，y=cs2x为偶函数，
f(x)应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与C.
又由图可知f(3π4)=0，而函数f(x)=(3x+3−x)sin2x有f(3π4)=(33π4+3−3π4)sin3π2<0，不满足f(3π4)=0，排除A，
f(x)=(3x−3−x)cs2x，满足f(3π4)=0.
故选：D.
根据函数的图象的特点逐一排除即可．
本题考查根据函数的图象选择解析式，注意结合函数的奇偶性、定义域等性质运用排除法进行分析，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：∵0=lg0.21∵>，∴b>2，
∵1=40<40.2<40.5=2，∴1∴b>c>a.
故选：B.
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
7.【答案】B
【解析】解：对于①： 43×9−2= 64×181=8×181=881，故①不符合题意；
对于②：lg62+lg369=lg62+12lg69=lg62+lg63=lg66=1，故②符合题意；
对于③：sin25π6+cs(−4π3)=sin(4π+π6)+cs(−2π+2π3)=sinπ6+cs2π3=12−12=0，故③不符合题意；
对于④： 1+2sin20∘sin70∘sin20∘+ 1−sin2160∘= 1+2sin20∘cs20∘sin20∘+ cs2160∘= (sin20∘+cs20∘)2sin20∘+cs20∘=sin20∘+cs20∘sin20∘+cs20∘=1，故④符合题意．
故选：B.
利用指数、对数运算法则求解①②，利用三角相关公式求解③④即可．
本题考查指对运算以及三角求值问题，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，将y=cs(x+2π3)图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，
纵坐标不变，得到y=cs(ωx+2π3)的图象，
设g(x)=cs(ωx+2π3)=sin[π2−(ωx+2π3)]=−sin(ωx+π6)，
在区间[0,2π3]上g(x)恰有两个零点，且在[−π12,π12]上单调递减，
因为0≤x≤23π，所以π6≤ωx+π6≤2ωπ3+π6，可知2π≤2ω3π+π6<3π，解得114≤ω<174.
令−π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−2π3ω+2k2πω≤x≤π3ω+2k2πω，k∈Z，
令k=0，可得g(x)在[−2π3ω,π3ω]上单调递减，所以[−π12,π12]⊆[−2π3ω,π3ω]，
可得−2π3ω≤−π12π3ω≥π12，结合ω>0，解得0<ω≤4.
综上所述，114≤ω≤4，即ω的取值范围是[114,4].
故选：C.
先由三角函数图象变换，得到g(x)=cs(ωx+2π3)在区间[0,2π3]上恰有两个零点，且在[−π12,π12]上单调递减，再由三角函数的图象与性质，建立关于ω的不等式，解出ω的取值范围．
本题主要考查了函数图象的变换、三角函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】解：方程||x−a|−1x−a|=2⇔|x−a|−1x−a=2或|x−a|−1x−a=−2，
(1)当x≥a时，原方程等价于x−1x=2a+2或x−1x=2a−2，令函数f(x)=x−1x，
函数f(x)在(−∞,0)上递增，函数值集合为R，在(0,+∞)上递增，函数值集合为R，
①当a>0时，f(x)在[a,+∞)上递增，f(x)min=a−1a，而2a−2−(a−1a)=a+1a−2≥0，
显然2a+2>2a−2≥a−1a，则f(x)=2a+2与f(x)=2a−2各有一个实根，
②当a=0时，f(x)=2或f(x)=−2在(0,+∞)上各有一个实根，
③当a<0时，f(x)在[a,0),(0,+∞)上递增，显然f(x)=2a+2与f(x)=2a−2在(0,+∞)上各有一个实根，
当x∈[a,0)时，f(x)≥f(a)=a−b，而a−1a−(2a+2)=(−a)+−1a−2≥0，当且仅当a=−1时取等号，
当a=−1时，2a−2<2a+2=f(a)，在[−1,0)上方程f(x)=2a+2有一个实根−1，f(x)=2a−2无实根，
当a<0且a≠−1时，2a−2<2a+2因此当x≥a，a≠−1时，方程f(x)=2a+2与f(x)=2a−2各有一个实根，
当x≥a，a=−1时，方程f(x)=2a+2有两个实根，f(x)=2a−2有一个实根，
(2)当x显然当a≤−1时，原方程在(−∞,a)上无实根，当−1当a>1时，原方程在(−∞,a)上有两个实根−1和1，
综上，当a<−1时，原方程只有两个实根，当−1≤a≤1时，原方程有3个实根，当a>1时，原方程有4个实根，
所以实数a的取值范围为(1,+∞).
故选：D.
等价变形给定方程，再分类讨论去绝对值符号，并借助函数的单调性求解即得．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】2
【解析】解：由扇形的面积公式：S=12αr2，得4=12α×4,α=2.
故答案为：2.
由扇形的面积公式S=12αr2带入求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
11.【答案】(2,+∞)
【解析】解：令t=x2−4，由x2−4>0，得x<−2或x>2.
∴函数f(x)=lg12(x2−4)的定义域为(−∞,−2)∪(2,+∞)，
当x∈(2,+∞)时，内层函数t=x2−4为增函数，而外层函数y=lg12t为减函数，
∴函数y=lg12(x2−4)的单调递减区间是(2,+∞).
故答案为：(2,+∞).
求出原函数的定义域，分析内函数t=x2−4x−12的单调性，由于外层函数y=lg12t为减函数，则内层函数的增区间即为复合函数的减区间．
本题考查了对数函数的单调区间，训练了复合函数的单调区间的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，是中档题．
12.【答案】24
【解析】解：由a4×b8=2，即22a⋅23b=2，22a+3b=21，可得2a+3b=1，
所以(3a+2b)=(3a+2b)(2a+3b)=12+4ba+9ab≥12+2 36=24，
当且仅当4ba=9ab，即a=4，b=6时，等号成立．
综上所述，3a+2b的最小值是24.
故答案为：24.
根据已知等式化简可得2a+3b=1，然后利用“1的代换”与基本不等式，算出3a+2b的最小值．
本题主要考查有理数指数幂的运算法则、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
13.【答案】(−1,0)∪(0,1)
【解析】解：∵当x>0时，f(x)=2x+x−3为增函数，
又f(1)=0，
∴当01时，f(x)>0，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴当−10，当x<−1时，f(x)<0，
∴不等式xf(x)<0可化为：x>0f(x)<0或x<0f(x)>0，
解得−1故答案为：(−1,0)∪(0,1).
依题意，可得f(1)=f−(1)=0，f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上为增函数，从而可解得不等式xf(x)<0的解集．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】− 3
【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象知14T=14×2πω=7π12−π3，
解得ω=2，
再由五点法作图可得2×7π12+φ=3π2，
解得φ=π3，
所以f(x)=Asin(2x+π3)，
又因为f(0)=Asinπ3= 32A= 3，
所以A=2，可得f(x)=2sin(2x+π3)，
∴f(π2)=2sin(2×π2+π3)
=−2sinπ3
=−2× 32
=− 3.
故答案为：− 3.
由题意可求函数周期，利用三角函数周期公式可求得ω的值，由五点法作图可得φ的值，由f(0)= 3可求A的值，进而即可求解f(π2)的值．
本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式以及函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，是基础题．
15.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=(m2−3m+3)xm2+2m−4为幂函数，
则m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，
当m=2时，幂函数y=x4，此时幂函数在(0,+∞)上单调递增，不符合题意；
当m=1时，幂函数y=x−1，此时幂函数在(0,+∞)上单调递减，符合题意；
所以实数m的值为1；
(Ⅱ)(i)g(x)=x−f(x)=x−1x，
g(x)在区间(0,+∞)单调递增，
证明如下：x∈(0,+∞)
则1x在(0,+∞)上单调递减，x在(0,+∞)上单调递增，
由复合函数的单调性可知，g(x)在区间(0,+∞)单调递增，
(ii)由(i)知，g(x)在区间(0,+∞)单调递增，
则2t−1>0t>02t−1【解析】(Ⅰ)结合幂函数的定义域性质，即可求解；
(Ⅱ)(i)结合复合函数的单调性，即可求解；
(ii)结合t的范围，以及函数的单调性，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义与性质，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)∵π4<α<3π4，∴α−π4∈(0,π2)，
又sin(α−π4)=2 23，
∴cs(α−π4)= 1−sin2(α−π4)=13，
∴sinα=sin[π4+(α−π4)]= 22[sin(α−π4)+cs(α−π4)]
=4+ 26.
(Ⅱ)∵π4<α<3π4，0<β<π4，
∴α+β∈(π4,π)，
sin2(α+β)+cs2(α+β)=1，cs(α+β)=−35，
∴sin(α+β)=45，
∴cs(β+π4)=cs[(α+β)−(α−π4)]
=cs(α+β)cs(α−π4)+sin(α+β)sin(α−π4)
=−35×13+45×2 23=8 2−315.
【解析】(Ⅰ)依题意，由sinα=sin[π4+(α−π4)]可求得答案；
(Ⅱ)利用cs(β+π4)=cs[(α+β)−(α−π4)]可求得cs(β+π4)的值．
本题考查两角和与差的三角函数及同角三角函数间的关系式的应用，考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2 3sinxcsx+sin2x−cs2x= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
∵T=2πω=2π2=π，∴f(x)的最小正周期为π，
令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+32π,k∈Z，解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6,k∈Z，
函数f(x)的单调减区间为[kπ+π3,kπ+5π6],k∈Z；
(Ⅱ)y=f(x)的图象先向左平移π6个单位得到y=2sin(2x+π3−π6)=2sin(2x+π6)，
将横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到g(x)=2sin(4x+π6)，
x∈[0,π4]时，4x+π6∈[π6,7π6]，
函数g(x)的单调递增区间为[0,π12]，单调递减区间为[π12,π4]，
所以函数g(x)的最大值为g(π12)=2，
又因为g(0)=1，g(π4)=−1，所以函数g(x)的最小值为g(π4)=−1，
所以g(x)的值域为[−1,2].
【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式化简f(x)，进而可得函数的最小正周期及单调递减区间；
(Ⅱ)根据平移和伸缩得到函数g(x)的图象，利用正弦函数的单调性得出函数的值域．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)下调后的电价为x元/kw⋅h，
依题意知用电量t关于x的函数表达式为t=kx−0.4，(0.55≤x≤0.75)；
(Ⅱ)电力部门的收益为y=(kx−0.4+a)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75)；
(Ⅲ)依题意有(0.2ax−0.4+a)(x−0.3)≥[a×(0.8−0.3)](1+20%)0.55≤x≤0.75，整理得x2−1.1x+0.3≥00.55≤x≤0.75，
解此不等式组得0.60≤x≤0.75.
所以当电价最低定为0.6元/kw⋅h，可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)直接由题写出函数解析式即可；
(Ⅲ)由题意，建立不等式组即可求解．
本题考查了函数得实际应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)由已知函数需满足2x+a≠0，
∵函数f(x)=2x+12x+a为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
即2−x+12−x+a=−2x+12x+a在R上恒成立，
即(a+1)(2x+1)=0，a=−1.
(Ⅱ)解法一：由(1)知f(x)=2x+12x−1=1+22x−1，
∴函数f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调减，
且当x∈(−∞,0)时，f(x)<0，当x∈(0,+∞)时，f(x)>0，
∴f(x)>3=f(1)，解得0∴此时不等式的解集为{x|0解法二：∵f(x)=2x+12x−1>3，
令t=2x，则2x+12x−1>3可化简为t+1t−1>3，
即2t−4t−1<0，
解得1∴此时不等式的解集为{x|0(Ⅲ)由(Ⅱ)得f(x)=2x+12x−1在x∈(0,1]的值域A=[3,+∞),
又g(x)=lg2x2⋅lg2x4+m=(lg2x−1)(lg2x−2)+m，x∈[2,8]，
设t=lg2x，t∈[1,3]，则y=(t−1)(t−2)+m=t2−3t+2+m，
当t=32时，取最小值为−14+m，当x=3时，取最大值为2+m，
即g(x)在x∈[2,8]上的值域B=[−14+m,2+m]，
又对任意的x1∈[2,8]，总存在x2∈(0,1],使得g(x1)=f(x2)成立，
即B⊆A，
∴−14+m≥3，
解得m≥134，即m的取值范围是[134,+∞).
【解析】(Ⅰ)利用奇函数的定义求解a的值
(Ⅱ)解法一：判断函数的单调性，由函数的单调性求解不等式的解集即可；
解法二：利用换元法，令t=2x，解分式不等式，求出t的取值范围，再由指数函数的性质即可得解；
(Ⅲ)计算出f(x)及g(x)的值域后，对任意的x1∈[2,8]，总存在x2∈(0,1],使得g(x1)=f(x2)成立即为g(x)的值域为f(x)的值域的子集，计算即可得．
本题主要考查函数恒成立问题，不等式的解法，奇函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．