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2023年湖南省长沙市宁乡市中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2023年湖南省长沙市宁乡市中考数学模拟试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省长沙市宁乡市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数−5，0，1， 3中，为负数的是( )
A. −5 B. 0 C. 1 D. 3
2. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为( )
A. 10.909×102 B. 1.0909×103 C. 0.10909×104 D. 1.0909×104
3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
4. “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动.某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取7位同学，经统计他们的学习时间(单位：分钟)分别为：75，80，82，80，80，85，88.则这组数据的众数为( )
A. 75 B. 80 C. 82 D. 85
5. 下列运算正确的是( )
A. 4=2 2 B. 2a+3a=5 C. (a2)3=a5 D. 20230=1
6. 八卦图是中国古老的科学文化遗产，是我国古代劳动人民智慧的结晶，古人认为，世间万物皆可分类归至八卦之中，相传，德国数学家莱布尼茨受八卦图的启发而发明了电子计算机使用的二进制．八卦图中的每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率是( )
A. 18 B. 12 C. 38 D. 58
7. 把抛物线y=(x−1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为( )
A. y=(x−1)2+5 B. y=(x−1)2+1 C. y=(x+1)2+3 D. y=(x−3)2+3
8. 如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D处测得标志物的仰角为30°，若D到电线杆底部B的距离为12米，则电线杆AB的长为( )
A. 8米
B. 4 3米
C. 8 3米
D. 8 2米
9. 若关于x的一元一次不等式组4x>k−10x−1≤0有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数k的和为( )
A. −1 B. −2 C. 0 D. 2
10. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为( )
A. 4
B. 4 2
C. 4 3
D. 8
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 要使代数式2 a−5有意义，则a的取值范围为______ ．
12. 因式分解：8−2x2= ______ ．
13. 若关于x的一元二次方程(a−1)x2+x−a2+1=0有一个根为0，则a的值等于______ ．
14. 如图，用一个直径为12cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了______ cm.(结果保留π)
15. 若关于x的分式方程2x−mx+1=3的解是负数，则字母m的取值范围是______．
16. 如图，已知F是△ABC内的一点，DF//BC，EF//AB，若▱BDFE的面积为4，且BD=13AB，BE=14BC，则△ABC的面积是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算： 9+(12)−1−|−4|−2sin30°．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：x(4−x)+(x+1)(x−1)+1，其中x=−1．
19. (本小题6.0分)
如图：在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，连结AF，与DE交于点O.求证：AF=DE．
20. (本小题8.0分)
如图矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2,3)，反比例函数y=mx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，C．
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标．
(2)若点F是OC边上的一点，且△BCF为等腰三角形，求直线FB的表达式．
21. (本小题8.0分)
依据双减政策要求.初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟，某中学为了解学生作业管理情况.随机调查了部分学生某天完成作业时长情况，根据调查结果，绘制成如下频数分布表和扇形统计图：请根据图表信息：解答下列问题：
(1)表中a= ______ ，b= ______ ，m= ______ ；
(2)扇形统计图中C组所在扇形的圆心角是多少度？
组别
每天作业完成时间t分钟
人数
A
t<30
12
B
30≤t<60
a
C
60≤t<90
40
D
90≤t<120
b
(3)若该校有800名学生，请估计书面作业平均完成时间低于90分钟的学生人数．
22. (本小题9.0分)
为了推A动长沙旅游业跨越发展，某旅行社推出“湖南博物院+岳麓书院+橘子洲”一日游活动团队旅游收费标准：如果人数不超过20人，人均费用为280元；如果超过20人，每增加1人，人均费用降低8元，但人均费用不得低于200元．
(1)当旅游人数为a人时，人均费用为200元，求a的取值范围；
(2)若某团队其支付旅游费用5888元，求该团队有多少人．
23. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若tan∠ADC=2，OP=3，求线段BF的长．
24. (本小题10.0分)
如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点(点E与点C，D不重合)，连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F，连接PC．
(1)求证：PA=PC；
(2)如图2，过点F作FO⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
(3)证明：在点E的运动过程中，总有AB+BF= 2BP成立．
25. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+4(a>0)与x轴交于点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、∵−5<0，是比0小的数，故此选项符合题意；
B、∵0既不是正数也不是负数，故此选项不符合题意；
C、∵1是正数，故此选项不符合题意；
D、∵ 3是正数，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据负数是比0小的数，对各个选项中的数进行判断即可．
本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是了解负数是比0小的数．
2.【答案】D
【解析】解：10909=1.0909×104，
故选：D．
把比较大的数写成a×10n，其中1≤a<10，n为正整数即可得出答案．
本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：①、是中心对称图形，故本选项符合题意；
②、是中心对称图形，故本选项符合题意；
③、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
④、不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．
4.【答案】B
【解析】解：这组数据中80出现3次，出现的次数最多，
所以这组数据的众数是80，
故选：B．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，根据概念解答即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
5.【答案】D
【解析】解：A、 4=2，故A不符合题意；
B、2a+3a=5a，故B不符合题意；
C、(a2)3=a6，故C不符合题意；
D、20230=1，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，零指数幂，算术平方根的运算的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，零指数幂，算术平方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】C
【解析】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根“”和1根“”的基本事件个数m=3，
∴这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率为mn=38．
故选C．
从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根“”和1根“”的基本事件个数m=3，由概率公式即可得出答案．
本题考查了概率公式．
7.【答案】C
【解析】解：把抛物线y=(x−1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为：y=(x−1+2)2+3，即y=(x+1)2+3，
故选：C．
根据函数图像平移“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象的几何变换，要求熟练掌握函数图像平移的规律：左加右减，上加下减．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得：AB⊥BD，BD=12米，
在Rt△CBD中，∠CDB=30°，
∴CB=BD⋅tan30°=12× 33=4 3(米)，
∵点C是AB的中点，
∴AB=2BC=8 3(米)，
∴电线杆AB的长为8 3米，
故选：C．
根据题意可得：AB⊥BD，BD=12米，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的中点定义即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由4x>k−10得：x>k−104，
由x−1≤0得：x≤1，
则不等式组的解集为k−104
∴不等式组的整数解为1、0、−1、−2，
∴−3≤k−104<−2．
解得−2≤k<2，
∴符合条件的所有整数k的和为−2−1+0+1=−2，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解情况得到关于k的不等式，解之求出其范围可得答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF=CF，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴OD//BC，
∴∠D=∠CBE，
在△BCE和△DFE中，
∠CBE=∠DBE=DE∠BEC=∠DEF，
∴△BCE≌△DFE(ASA)，
∴BC=DF，
∵OF=12BC，
∴OF=12DF，
∴OF=13OD=1，
在Rt△OAF中，AF= 32−12=2 2，
∴AC=2AF=4 2．
故选：B．
连接OD交AC于F，如图，根据垂径定理得到OD⊥AC，则AF=CF，根据圆周角定理得到∠C=90°，所以OD//BC，接着证明△BCE≌△DFE得到BC=DF，则OF=12BC，所以OF=13OD=1，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AC的长．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
11.【答案】a>5
【解析】解：∵代数式2 a−5有意义，
∴a−5>0，
∴a>5．
故答案为：a>5．
根据二次根式及分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，根据题意得出关于a的不等式是解题的关键．
12.【答案】2(2+x)(2−x)
【解析】解：原式=2(4−x2)=2(2+x)(2−x)，
故答案为：2(2+x)(2−x)．
先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确因式分解的前提．
13.【答案】−1
【解析】解：把x=0代入(a−1)x2+x−a2+1=0，得−a2+1=0，
解得a=1或a=−1，
而a−1≠0，
所以a的值为−1．
故答案为：−1．
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入(a−1)x2+x−a2+1=0得−a2+1=0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14.【答案】5π
【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为150°所对应的弧长，
即150π×6180=5π(cm)．
故答案为：5π．
根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为150°的弧长即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
15.【答案】m>−3且m≠−2
【解析】解：2x−mx+1=3
方程两边同乘(x+1)，得2x−m=3x+3
解得，x=−m−3，
由题意得，−m−3<0，−m−3≠−1，
解得，m>−3且m≠−2，
故答案为：m>−3且m≠−2．
根据解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
16.【答案】24
【解析】解：连接DE，CD，
∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为4，
∴S△BDE=12S▱BDFE=2，
∵BE=14BC，
∴S△BDC=4S△BDE=8，
∵BD=13BA，
∴S△ABC=3S△BDC=24，
故答案为：24．
连接DE，CD，由平行四边形的性质可求S△BDE=2，结合BE=14BC可求解S△BDC=8，再利用BD=13BA可求解△ABC的面积．
本题主要考查三角形的面积，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17.【答案】解： 9+(12)−1−|−4|−2sin30°
= 32+1(12)1−4−2×12
=3+2−4−1
=0．
【解析】首先根据算术平方根的意义计算 9= 32=3，根据负整数指数幂的运算法则计算(12)−1=1(12)1=2，根据绝对值的意义计算|−4|=4，根据特殊角的三角函数值计算2sin30°=2×12=1，然后再进行加减运算即可得出答案
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握算术平方根的意义： a2=a(a≥0)；负整数指数幂的运算法则：a−p=1ap(a≠0,p>0且为整数)；绝对值的意义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值仍是0，负数的绝对值是它的相反数；特殊角的三角函数值：sin30°=12．
18.【答案】解：x(4−x)+(x+1)(x−1)+1
=4x−x2+x2−1+1
=4x，
当x=−1时，
原式=4×(−1)
=−4．
【解析】利用平方差公式讚展开后，化简代入x的值计算即可．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，单项式乘多项式的乘法法则，化简后，代入求值．
19.【答案】证明：在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=DC，AD=BC，
∵BE=CF，BF=BC−FC，CE=BC−BE，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴AF=DE．
【解析】因为矩形ABCD，BE=CF，BF=BC−FC，CE=BC−BE，推出BF=CE，在△ABF和△DCE中，利用SAS证明其全等，即可推出AF=DE．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵点B的坐标为(2,3)，点D是BC的中点，
∴D(1,3)，
∵点D在反比例函数y=mx(k>0)上，
∴3=m1，
解得：m=3，
∴反比例函数的解析式为y=3x．
∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(2,3)，
∴当x=2时，y=32，
∴E点坐标为(2,32)；
(2)∵△BCF为等腰三角形，
∴BC=CF=2，
∵点B的坐标为(2,3)，
∴F(0,1)，
设直线BF的解析式为y=ax+b(a≠0)，
∴2a+b=3b=1，
解得：a=1b=1，
∴直线FB的解析式为y=x+1．
【解析】(1)先根据点B的坐标为(2,3)求出D点坐标，代入反比例函数y=mx(k>0)即可求出k的值，进而得出解析式，再把x=2代入求出y的值即可得出E点坐标；
(2)根据△BCF为等腰三角形得出CF的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线FB的解析式即可．
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、一次函数的性质等知识是解答此题的关键．
21.【答案】38 10 40
【解析】解：(1)这次抽样共调查的学生有：12÷12%=100(名)，
∴a=100×38%=38，b=100×10%=10，m%=40100×100%=40%；
故答案为：38，10，40；
(2)360°×40%=144°，
∴扇形统计图中C组所在扇形的圆心角是144°；
(3)根据题意得：800×(1−10%)=720(人)，
答：估计书面作业平均完成时间低于90分钟的学生人数有720人．
(1)根据A组的人数和所占的百分比，求出总人数，再用总人数乘以B组的百分比求a的值，用总人数乘以D组的百分比求b的值，用40除以总人数即可求出m的值；
(2)用360°乘以C组所占的百分比即可；
(3)用该校的总人数乘以平均完成时间低于90分钟的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是频数(率)分布表，扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可得：280−8(a−20)=200，
解得：a=30，
故当a≥30时，人均费用为30元；
(2)设该团队这次旅游共有x人．
因为280×20=5600<5888，所以人数一定超过20人．
可得方程[280−8(x−20)]x=5888，x2−55x+736=0，
整理得x2−55x+736=0，
解得：x1=23，x2=32，
当x1=23时，280−8(x−20)=256>200，符合题意；
当x2=32时，280−8(x−20)=184<200，故舍去．
答：该团队有23人．
【解析】(1)直接表示出人均费用，进而得出答案；
(2)易得人数超过了20人，等量关系为：(人均旅游费用−超过20人的人数×8)×人数=5888，把相关数值代入求得人均旅游费用不得低于200元的旅游方案即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，得到旅游总费用的等量关系是解决本题的关键；判断相应的方案是解决本题的易错点．
23.【答案】(1)证明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，
∴∠AFB=∠ADC，
∴CD//BF，
∴∠APD=∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴BF⊥直径AB，
∴直线BF是⊙O的切线．
(2)解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴PD=12CD，
设OC=OB=x，
∴AP=x+3，
∵tan∠ADC=APPD=2，
∴PC=PD=12(x+3)，
在Rt△POC中，OC2=PC2+OP2，
∴x2=(12x+32)2+32，
解得x=92，x=−52(舍去)，
∴OB=92，
∴PD=PC=154，AB=9，AP=152，
∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴APAB=PDBF，
∴1529=154BF，
∴BF=92．
【解析】(1)欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．
(2)连接OC，设OC=OB=x，则AP=x+3，解直角三角形求得PC=12(x+3)，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出OB=92，进而求得PD=PC=154，AB=9，AP=152，由△APD∽△ABF，APAB=PDBF，即可解决问题．
本题考查切线的判定，垂径定理、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△APB和△CPB中，
AB=BC∠ABP=∠CBPBP=BP，
∴△APB≌△CPB(SAS)，
∴PA=PC；
(2)解：PQ的长度不发生变化，
理由：连接AC交BD于点O，如图2．
∵△APB≌△CPB，
∴PA=PC，∠PCB=∠PAB，
∵∠ABF=∠APF=90°，
∴∠PAB+∠PFB=180°，
∵∠PFC+∠PFB=180°，
∴∠PFC=∠PAB，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PF=PC．
∴PF=PA．
∵PF⊥AE，
∴∠APO+∠FPQ=90°，
∵FQ⊥BD，
∴∠PFQ+∠FPQ=90°，
∴∠APO=∠PFQ，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOP=∠PQF=90°，AO= 22a，
在△APO和△PFQ中，
∠AOP=∠PQF∠APO=∠PFQAP=PF，
∴△APO≌△PFQ(AAS)，
∴PQ=AO= 22a，
∴PQ的长度不发生变化；
(3)证明：如图3所示：过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠PBN=45°，
∵PN⊥BN，
∴BN=PN= 22BP，
∴BN+PN= 2PB，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM=PN，
在Rt△PAM和Rt△PFN中，
PA=PFPM=PN，
∴△PAM≌△PFN(HL)，
∴AM=FN，
∵∠MBN=∠BNP=∠BMP=90°，
∴四边形MBNP是矩形，
∴MB=PN，
∴AB+BF=AM+MB+BF=FN+BF+PN=BN+PN= 2BP．
【解析】(1)连接PC，由正方形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBP，然后依据SAS证明△APB≌△CPB，由全等三角形的性质可知PA=PC；
(2)连接AC交BD于点O，由全等三角形的性质可知PA=PC，∠PCB=∠PAB，接下来利用四边形的内角和为360°可证明∠PFC=∠PCF，于是得到PF=PC，故此可证明PF=PA，依据正方形的性质可知△AOB为等腰直角三角形，于是可求得AO的长，接下来，证明△APO≌△PFQ，依据全等三角形的性质可得到PQ=AO；
(3)过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N，首先证明△PBN为等腰直角三角形于是得到PN+BN=PB，由角平分线的性质可得到PM=PN，然后再依据LH证明△PAM≌△PFN可得到FN=AM，PM=PN，于是将AB+BF=可转化为BN+PN的长．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质、角平分线的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)把A(1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+4得：
a+b+4=016a+4b+4=0，
解得：a=1b=−5，
∴y=x2−5x+4；
(2)由B(4,0)，C(0,4)可得直线BC解析式为y=−x+4，
设P(m,−m+4)，则Q(m,m2−5m+4)，
∴PQ=−m+4−(m2−5m+4)=−m2+4m，
∵OC//PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC=PQ，
∴−m2+4m=4，
解得m=2，
∴Q(2,−2)；
(3)在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，理由如下：
∵D是OC的中点，点C(0,4)，
∴点D(0,2)，
由(2)知Q(2,−2)，
∴直线DQ的表达式为y=−2x+2，
∵A(1,0)，
∴A在直线DQ上，AD= 5，AC= 17，
过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，如图：
∵QH//CO，故∠AQH=∠ODQ，
∵∠DQE=2∠ODQ，
∴∠HQA=∠HQE，
∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
∴∠DAO=∠QAH=∠QGH=∠EGB，GH=AH=1，
∴G(3,0)，
由点Q(2,−2)，G(3,0)可得直线QE的表达式为y=2x−6，
联立y=x2−5x+4y=2x−6，
解得x=5y=4或x=2y=−2，
∴点E的坐标为(5,4)，
∵B(4,0)，
∴BK=1，EK=4，BE= 17，
∴BKEK=14=OAOC，
∵∠EKB=90°=∠COA，
∴△EKB∽△COA，
∴∠EBK=∠CAO，
∴∠CAO−∠DAO=∠EBK−∠EGB，即∠DAC=∠GEB，
∴△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，
设点F的坐标为(t,2t−6)，则EF= (5−t)2+(10−2t)2，
当△BEF∽△CAD时，有BEAC=EFAD，
∴ 17 17= (5−t)2+(10−2t)2 5，
解得t=4或t=6(在E右侧，舍去)，
∴F(4,2)；
当△BEF∽△DAC时，BEAD=EFAC，
∴ 17 5= (5−t)2+(10−2t)2 17，
解得t=8.4(舍去)或t=1.6，
∴F(1.6,−2.8)，
综上所述，F的坐标为(4,2)或(1.6,−2.8)．
【解析】(1)用待定系数法可得y=x2−5x+4；
(2)由B(4,0)，C(0,4)可得直线BC解析式为y=−x+4，设P(m,−m+4)，由OC=PQ，有−m2+4m=4，即可解得Q(2,−2)；
(3)可得直线DQ的表达式为y=−2x+2，知A在直线DQ上，AD= 5，AC= 17，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，根据∠DQE=2∠ODQ，可得直线AQ和直线QE关于直线QH对称，有∠DAO=∠QAH=∠QGH=∠EGB，GH=AH=1，G(3,0)，从而可得直线QE的表达式为y=2x−6，点E的坐标为(5,4)，即得△EKB∽△COA，∠EBK=∠CAO，故∠DAC=∠GEB，△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为(t,2t−6)，当△BEF∽△CAD时，有 17 17= (5−t)2+(10−2t)2 5，解得F(4,2)；当△BEF∽△DAC时， 17 5= (5−t)2+(10−2t)2 17，解得F(1.6,−2.8)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明∠DAC=∠GEB，从而得到△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点．
2023年湖南省长沙市宁乡市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数−5，0，1， 3中，为负数的是( )
A. −5 B. 0 C. 1 D. 3
2. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米．其中数据10909用科学记数法表示为( )
A. 10.909×102 B. 1.0909×103 C. 0.10909×104 D. 1.0909×104
3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
4. “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动.某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取7位同学，经统计他们的学习时间(单位：分钟)分别为：75，80，82，80，80，85，88.则这组数据的众数为( )
A. 75 B. 80 C. 82 D. 85
5. 下列运算正确的是( )
A. 4=2 2 B. 2a+3a=5 C. (a2)3=a5 D. 20230=1
6. 八卦图是中国古老的科学文化遗产，是我国古代劳动人民智慧的结晶，古人认为，世间万物皆可分类归至八卦之中，相传，德国数学家莱布尼茨受八卦图的启发而发明了电子计算机使用的二进制．八卦图中的每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率是( )
A. 18 B. 12 C. 38 D. 58
7. 把抛物线y=(x−1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为( )
A. y=(x−1)2+5 B. y=(x−1)2+1 C. y=(x+1)2+3 D. y=(x−3)2+3
8. 如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D处测得标志物的仰角为30°，若D到电线杆底部B的距离为12米，则电线杆AB的长为( )
A. 8米
B. 4 3米
C. 8 3米
D. 8 2米
9. 若关于x的一元一次不等式组4x>k−10x−1≤0有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数k的和为( )
A. −1 B. −2 C. 0 D. 2
10. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为( )
A. 4
B. 4 2
C. 4 3
D. 8
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 要使代数式2 a−5有意义，则a的取值范围为______ ．
12. 因式分解：8−2x2= ______ ．
13. 若关于x的一元二次方程(a−1)x2+x−a2+1=0有一个根为0，则a的值等于______ ．
14. 如图，用一个直径为12cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了______ cm.(结果保留π)
15. 若关于x的分式方程2x−mx+1=3的解是负数，则字母m的取值范围是______．
16. 如图，已知F是△ABC内的一点，DF//BC，EF//AB，若▱BDFE的面积为4，且BD=13AB，BE=14BC，则△ABC的面积是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算： 9+(12)−1−|−4|−2sin30°．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：x(4−x)+(x+1)(x−1)+1，其中x=−1．
19. (本小题6.0分)
如图：在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，连结AF，与DE交于点O.求证：AF=DE．
20. (本小题8.0分)
如图矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2,3)，反比例函数y=mx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，C．
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标．
(2)若点F是OC边上的一点，且△BCF为等腰三角形，求直线FB的表达式．
21. (本小题8.0分)
依据双减政策要求.初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟，某中学为了解学生作业管理情况.随机调查了部分学生某天完成作业时长情况，根据调查结果，绘制成如下频数分布表和扇形统计图：请根据图表信息：解答下列问题：
(1)表中a= ______ ，b= ______ ，m= ______ ；
(2)扇形统计图中C组所在扇形的圆心角是多少度？
组别
每天作业完成时间t分钟
人数
A
t<30
12
B
30≤t<60
a
C
60≤t<90
40
D
90≤t<120
b
(3)若该校有800名学生，请估计书面作业平均完成时间低于90分钟的学生人数．
22. (本小题9.0分)
为了推A动长沙旅游业跨越发展，某旅行社推出“湖南博物院+岳麓书院+橘子洲”一日游活动团队旅游收费标准：如果人数不超过20人，人均费用为280元；如果超过20人，每增加1人，人均费用降低8元，但人均费用不得低于200元．
(1)当旅游人数为a人时，人均费用为200元，求a的取值范围；
(2)若某团队其支付旅游费用5888元，求该团队有多少人．
23. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若tan∠ADC=2，OP=3，求线段BF的长．
24. (本小题10.0分)
如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点(点E与点C，D不重合)，连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F，连接PC．
(1)求证：PA=PC；
(2)如图2，过点F作FO⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．
(3)证明：在点E的运动过程中，总有AB+BF= 2BP成立．
25. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+4(a>0)与x轴交于点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、∵−5<0，是比0小的数，故此选项符合题意；
B、∵0既不是正数也不是负数，故此选项不符合题意；
C、∵1是正数，故此选项不符合题意；
D、∵ 3是正数，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据负数是比0小的数，对各个选项中的数进行判断即可．
本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是了解负数是比0小的数．
2.【答案】D
【解析】解：10909=1.0909×104，
故选：D．
把比较大的数写成a×10n，其中1≤a<10，n为正整数即可得出答案．
本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：①、是中心对称图形，故本选项符合题意；
②、是中心对称图形，故本选项符合题意；
③、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
④、不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．
4.【答案】B
【解析】解：这组数据中80出现3次，出现的次数最多，
所以这组数据的众数是80，
故选：B．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，根据概念解答即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
5.【答案】D
【解析】解：A、 4=2，故A不符合题意；
B、2a+3a=5a，故B不符合题意；
C、(a2)3=a6，故C不符合题意；
D、20230=1，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，零指数幂，算术平方根的运算的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，零指数幂，算术平方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】C
【解析】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根“”和1根“”的基本事件个数m=3，
∴这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率为mn=38．
故选C．
从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根“”和1根“”的基本事件个数m=3，由概率公式即可得出答案．
本题考查了概率公式．
7.【答案】C
【解析】解：把抛物线y=(x−1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为：y=(x−1+2)2+3，即y=(x+1)2+3，
故选：C．
根据函数图像平移“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象的几何变换，要求熟练掌握函数图像平移的规律：左加右减，上加下减．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得：AB⊥BD，BD=12米，
在Rt△CBD中，∠CDB=30°，
∴CB=BD⋅tan30°=12× 33=4 3(米)，
∵点C是AB的中点，
∴AB=2BC=8 3(米)，
∴电线杆AB的长为8 3米，
故选：C．
根据题意可得：AB⊥BD，BD=12米，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而利用线段的中点定义即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由4x>k−10得：x>k−104，
由x−1≤0得：x≤1，
则不等式组的解集为k−104
∴不等式组的整数解为1、0、−1、−2，
∴−3≤k−104<−2．
解得−2≤k<2，
∴符合条件的所有整数k的和为−2−1+0+1=−2，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解情况得到关于k的不等式，解之求出其范围可得答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF=CF，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴OD//BC，
∴∠D=∠CBE，
在△BCE和△DFE中，
∠CBE=∠DBE=DE∠BEC=∠DEF，
∴△BCE≌△DFE(ASA)，
∴BC=DF，
∵OF=12BC，
∴OF=12DF，
∴OF=13OD=1，
在Rt△OAF中，AF= 32−12=2 2，
∴AC=2AF=4 2．
故选：B．
连接OD交AC于F，如图，根据垂径定理得到OD⊥AC，则AF=CF，根据圆周角定理得到∠C=90°，所以OD//BC，接着证明△BCE≌△DFE得到BC=DF，则OF=12BC，所以OF=13OD=1，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AC的长．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
11.【答案】a>5
【解析】解：∵代数式2 a−5有意义，
∴a−5>0，
∴a>5．
故答案为：a>5．
根据二次根式及分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，根据题意得出关于a的不等式是解题的关键．
12.【答案】2(2+x)(2−x)
【解析】解：原式=2(4−x2)=2(2+x)(2−x)，
故答案为：2(2+x)(2−x)．
先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确因式分解的前提．
13.【答案】−1
【解析】解：把x=0代入(a−1)x2+x−a2+1=0，得−a2+1=0，
解得a=1或a=−1，
而a−1≠0，
所以a的值为−1．
故答案为：−1．
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入(a−1)x2+x−a2+1=0得−a2+1=0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14.【答案】5π
【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为150°所对应的弧长，
即150π×6180=5π(cm)．
故答案为：5π．
根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为150°的弧长即可．
本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
15.【答案】m>−3且m≠−2
【解析】解：2x−mx+1=3
方程两边同乘(x+1)，得2x−m=3x+3
解得，x=−m−3，
由题意得，−m−3<0，−m−3≠−1，
解得，m>−3且m≠−2，
故答案为：m>−3且m≠−2．
根据解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
16.【答案】24
【解析】解：连接DE，CD，
∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为4，
∴S△BDE=12S▱BDFE=2，
∵BE=14BC，
∴S△BDC=4S△BDE=8，
∵BD=13BA，
∴S△ABC=3S△BDC=24，
故答案为：24．
连接DE，CD，由平行四边形的性质可求S△BDE=2，结合BE=14BC可求解S△BDC=8，再利用BD=13BA可求解△ABC的面积．
本题主要考查三角形的面积，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17.【答案】解： 9+(12)−1−|−4|−2sin30°
= 32+1(12)1−4−2×12
=3+2−4−1
=0．
【解析】首先根据算术平方根的意义计算 9= 32=3，根据负整数指数幂的运算法则计算(12)−1=1(12)1=2，根据绝对值的意义计算|−4|=4，根据特殊角的三角函数值计算2sin30°=2×12=1，然后再进行加减运算即可得出答案
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握算术平方根的意义： a2=a(a≥0)；负整数指数幂的运算法则：a−p=1ap(a≠0,p>0且为整数)；绝对值的意义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值仍是0，负数的绝对值是它的相反数；特殊角的三角函数值：sin30°=12．
18.【答案】解：x(4−x)+(x+1)(x−1)+1
=4x−x2+x2−1+1
=4x，
当x=−1时，
原式=4×(−1)
=−4．
【解析】利用平方差公式讚展开后，化简代入x的值计算即可．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，单项式乘多项式的乘法法则，化简后，代入求值．
19.【答案】证明：在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=DC，AD=BC，
∵BE=CF，BF=BC−FC，CE=BC−BE，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴AF=DE．
【解析】因为矩形ABCD，BE=CF，BF=BC−FC，CE=BC−BE，推出BF=CE，在△ABF和△DCE中，利用SAS证明其全等，即可推出AF=DE．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵点B的坐标为(2,3)，点D是BC的中点，
∴D(1,3)，
∵点D在反比例函数y=mx(k>0)上，
∴3=m1，
解得：m=3，
∴反比例函数的解析式为y=3x．
∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(2,3)，
∴当x=2时，y=32，
∴E点坐标为(2,32)；
(2)∵△BCF为等腰三角形，
∴BC=CF=2，
∵点B的坐标为(2,3)，
∴F(0,1)，
设直线BF的解析式为y=ax+b(a≠0)，
∴2a+b=3b=1，
解得：a=1b=1，
∴直线FB的解析式为y=x+1．
【解析】(1)先根据点B的坐标为(2,3)求出D点坐标，代入反比例函数y=mx(k>0)即可求出k的值，进而得出解析式，再把x=2代入求出y的值即可得出E点坐标；
(2)根据△BCF为等腰三角形得出CF的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线FB的解析式即可．
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、一次函数的性质等知识是解答此题的关键．
21.【答案】38 10 40
【解析】解：(1)这次抽样共调查的学生有：12÷12%=100(名)，
∴a=100×38%=38，b=100×10%=10，m%=40100×100%=40%；
故答案为：38，10，40；
(2)360°×40%=144°，
∴扇形统计图中C组所在扇形的圆心角是144°；
(3)根据题意得：800×(1−10%)=720(人)，
答：估计书面作业平均完成时间低于90分钟的学生人数有720人．
(1)根据A组的人数和所占的百分比，求出总人数，再用总人数乘以B组的百分比求a的值，用总人数乘以D组的百分比求b的值，用40除以总人数即可求出m的值；
(2)用360°乘以C组所占的百分比即可；
(3)用该校的总人数乘以平均完成时间低于90分钟的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是频数(率)分布表，扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可得：280−8(a−20)=200，
解得：a=30，
故当a≥30时，人均费用为30元；
(2)设该团队这次旅游共有x人．
因为280×20=5600<5888，所以人数一定超过20人．
可得方程[280−8(x−20)]x=5888，x2−55x+736=0，
整理得x2−55x+736=0，
解得：x1=23，x2=32，
当x1=23时，280−8(x−20)=256>200，符合题意；
当x2=32时，280−8(x−20)=184<200，故舍去．
答：该团队有23人．
【解析】(1)直接表示出人均费用，进而得出答案；
(2)易得人数超过了20人，等量关系为：(人均旅游费用−超过20人的人数×8)×人数=5888，把相关数值代入求得人均旅游费用不得低于200元的旅游方案即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，得到旅游总费用的等量关系是解决本题的关键；判断相应的方案是解决本题的易错点．
23.【答案】(1)证明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，
∴∠AFB=∠ADC，
∴CD//BF，
∴∠APD=∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴BF⊥直径AB，
∴直线BF是⊙O的切线．
(2)解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴PD=12CD，
设OC=OB=x，
∴AP=x+3，
∵tan∠ADC=APPD=2，
∴PC=PD=12(x+3)，
在Rt△POC中，OC2=PC2+OP2，
∴x2=(12x+32)2+32，
解得x=92，x=−52(舍去)，
∴OB=92，
∴PD=PC=154，AB=9，AP=152，
∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴APAB=PDBF，
∴1529=154BF，
∴BF=92．
【解析】(1)欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．
(2)连接OC，设OC=OB=x，则AP=x+3，解直角三角形求得PC=12(x+3)，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出OB=92，进而求得PD=PC=154，AB=9，AP=152，由△APD∽△ABF，APAB=PDBF，即可解决问题．
本题考查切线的判定，垂径定理、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△APB和△CPB中，
AB=BC∠ABP=∠CBPBP=BP，
∴△APB≌△CPB(SAS)，
∴PA=PC；
(2)解：PQ的长度不发生变化，
理由：连接AC交BD于点O，如图2．
∵△APB≌△CPB，
∴PA=PC，∠PCB=∠PAB，
∵∠ABF=∠APF=90°，
∴∠PAB+∠PFB=180°，
∵∠PFC+∠PFB=180°，
∴∠PFC=∠PAB，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PF=PC．
∴PF=PA．
∵PF⊥AE，
∴∠APO+∠FPQ=90°，
∵FQ⊥BD，
∴∠PFQ+∠FPQ=90°，
∴∠APO=∠PFQ，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOP=∠PQF=90°，AO= 22a，
在△APO和△PFQ中，
∠AOP=∠PQF∠APO=∠PFQAP=PF，
∴△APO≌△PFQ(AAS)，
∴PQ=AO= 22a，
∴PQ的长度不发生变化；
(3)证明：如图3所示：过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠PBN=45°，
∵PN⊥BN，
∴BN=PN= 22BP，
∴BN+PN= 2PB，
∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM=PN，
在Rt△PAM和Rt△PFN中，
PA=PFPM=PN，
∴△PAM≌△PFN(HL)，
∴AM=FN，
∵∠MBN=∠BNP=∠BMP=90°，
∴四边形MBNP是矩形，
∴MB=PN，
∴AB+BF=AM+MB+BF=FN+BF+PN=BN+PN= 2BP．
【解析】(1)连接PC，由正方形的性质得到AB=BC，∠ABP=∠CBP，然后依据SAS证明△APB≌△CPB，由全等三角形的性质可知PA=PC；
(2)连接AC交BD于点O，由全等三角形的性质可知PA=PC，∠PCB=∠PAB，接下来利用四边形的内角和为360°可证明∠PFC=∠PCF，于是得到PF=PC，故此可证明PF=PA，依据正方形的性质可知△AOB为等腰直角三角形，于是可求得AO的长，接下来，证明△APO≌△PFQ，依据全等三角形的性质可得到PQ=AO；
(3)过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N，首先证明△PBN为等腰直角三角形于是得到PN+BN=PB，由角平分线的性质可得到PM=PN，然后再依据LH证明△PAM≌△PFN可得到FN=AM，PM=PN，于是将AB+BF=可转化为BN+PN的长．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质、角平分线的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．
25.【答案】解：(1)把A(1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+4得：
a+b+4=016a+4b+4=0，
解得：a=1b=−5，
∴y=x2−5x+4；
(2)由B(4,0)，C(0,4)可得直线BC解析式为y=−x+4，
设P(m,−m+4)，则Q(m,m2−5m+4)，
∴PQ=−m+4−(m2−5m+4)=−m2+4m，
∵OC//PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC=PQ，
∴−m2+4m=4，
解得m=2，
∴Q(2,−2)；
(3)在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，理由如下：
∵D是OC的中点，点C(0,4)，
∴点D(0,2)，
由(2)知Q(2,−2)，
∴直线DQ的表达式为y=−2x+2，
∵A(1,0)，
∴A在直线DQ上，AD= 5，AC= 17，
过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，如图：
∵QH//CO，故∠AQH=∠ODQ，
∵∠DQE=2∠ODQ，
∴∠HQA=∠HQE，
∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
∴∠DAO=∠QAH=∠QGH=∠EGB，GH=AH=1，
∴G(3,0)，
由点Q(2,−2)，G(3,0)可得直线QE的表达式为y=2x−6，
联立y=x2−5x+4y=2x−6，
解得x=5y=4或x=2y=−2，
∴点E的坐标为(5,4)，
∵B(4,0)，
∴BK=1，EK=4，BE= 17，
∴BKEK=14=OAOC，
∵∠EKB=90°=∠COA，
∴△EKB∽△COA，
∴∠EBK=∠CAO，
∴∠CAO−∠DAO=∠EBK−∠EGB，即∠DAC=∠GEB，
∴△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，
设点F的坐标为(t,2t−6)，则EF= (5−t)2+(10−2t)2，
当△BEF∽△CAD时，有BEAC=EFAD，
∴ 17 17= (5−t)2+(10−2t)2 5，
解得t=4或t=6(在E右侧，舍去)，
∴F(4,2)；
当△BEF∽△DAC时，BEAD=EFAC，
∴ 17 5= (5−t)2+(10−2t)2 17，
解得t=8.4(舍去)或t=1.6，
∴F(1.6,−2.8)，
综上所述，F的坐标为(4,2)或(1.6,−2.8)．
【解析】(1)用待定系数法可得y=x2−5x+4；
(2)由B(4,0)，C(0,4)可得直线BC解析式为y=−x+4，设P(m,−m+4)，由OC=PQ，有−m2+4m=4，即可解得Q(2,−2)；
(3)可得直线DQ的表达式为y=−2x+2，知A在直线DQ上，AD= 5，AC= 17，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，根据∠DQE=2∠ODQ，可得直线AQ和直线QE关于直线QH对称，有∠DAO=∠QAH=∠QGH=∠EGB，GH=AH=1，G(3,0)，从而可得直线QE的表达式为y=2x−6，点E的坐标为(5,4)，即得△EKB∽△COA，∠EBK=∠CAO，故∠DAC=∠GEB，△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为(t,2t−6)，当△BEF∽△CAD时，有 17 17= (5−t)2+(10−2t)2 5，解得F(4,2)；当△BEF∽△DAC时， 17 5= (5−t)2+(10−2t)2 17，解得F(1.6,−2.8)．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明∠DAC=∠GEB，从而得到△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点．
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