内蒙古自治区巴彦淖尔市临河区衡越实验学校2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在下列各数中是无理数的有（ ）．
，，0，，，，，，（相邻两个之间依次多一个0）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，0，，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；
∴无理数有：，，（相邻两个1之间依次增加1个0）共3个．
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方和公式计算即可判断错误；根据同类项定义：所含字母相同，相同字母指数也相同，再由合并同类项法则计算即可判断错误；根据单项式除以单项式法则计算，即可判断错误；根据幂的乘方计算即可判断正确．
【详解】解：、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
、，故正确，D符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的乘除法混合运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则．
3. 函数的自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，根据二次根式和分母有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
解得：
故选：C．
4. 下列事件中，是必然事件的是( )
A. 购买一张彩票，中奖B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D. 任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【解析】
【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．
5. 不等式组的整数解的个数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为-1，0，1，2，3，4共6个．
故答案为：C．
6. 设，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的估计解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选B．
【点睛】此题考查估算无理数的大小，关键是根据无理数的估计解答．
7. 如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形性质、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．
根据圆的内接四边形对角互补及等边的每一个内角是，求出．
【详解】解：四边形是内接四边形，
，
等边的顶点A在上，
，
，
故选：C．
8. 已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵
∴位于第三象限，
∴
∵
∴
∵
∴点位于第一象限，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A. ﹣1B. 0C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴x12﹣2x1﹣1=0， x1+x2=2，x1•x2=﹣1，
∴x12﹣x1+x2
=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2
=1+x1+x2
=1+2
=3
故选D
10. 已知抛物线的解析式为（m为常数），有下列说法：①当时，点在抛物线上；②对于任意的实数m，都是方程的一个根；③若，当时，y随x的增大而增大；④已知点，，则当时，抛物线与线段AB有一个交点．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】将，代入解析式可判定①，将代入解析式可得，可判断②，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而判断③，由的取值范围可判断抛物线对称轴的位置，从而判断④．
【详解】解：当时，，
将代入得得，
不在抛物线上，故①错误．
，
当时，，
都是方程的根，故②正确．
，
抛物线开口向上，对称轴直线，
当时，，
当时，随增大而增大，故③错误．
点，关于直线对称，
当时，，
抛物线对称轴在直线与点之间，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
抛物线与线段有2个交点，故④错误．
∴正确有1个，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 _____．
【答案】24
【解析】
【分析】根据菱形的面积公式进行计算即可；
【详解】解：由菱形的面积公式：对角线乘积的一半得：
；
故答案为：24．
【点睛】本题考查菱形的面积．熟记菱形的面积公式是解题的关键．
12. 因式分解x3－9x=__________．
【答案】x（x+3）（x－3）
【解析】
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【详解】解：x3－9x，
=x（x2－9），
=x（x+3）（x－3）．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．
13. 位于第一象限的点在直线上，过点作轴，交双曲线于点，若点与点关于轴对称，则点的坐标为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，用到了关于一条直线的两个点的坐标关系，熟知对称点坐标的关系是解决问题的关键．设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标．
【详解】解：∵位于第一象限的点A为直线上一点，
∴设点A坐标为，
∵点与点关于轴对称，
∴点B的坐标为，
∵点B在双曲线上，
将代入中，
得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
14. 当时，分式的值是_____．
【答案】2026
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练进行分式的约分是正确解决本题的关键．
先把分式的分子分解因式，再约分，最后代入求值即可．
【详解】解：，
当时，
原式，
故答案为：2026．
15. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则BEF的面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点E作EH⊥BF于H，利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明△BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题．
【详解】过点E作EH⊥BF于H ．
∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4
∵DF=FC，AE=EC，
∴EF=AD=2， EF//AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，
∵∠ABC=90°，AE=EC，
∴BE=AE=EC=2，
∴EF=BE=2，
∵∠BAD=105°， ∠DAC=90°，
∴∠BAE=105°-90°=15°，
∴∠EAB=∠EBA=15° ，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，
∴∠FEB=90°+30°=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
∵EH⊥BF，
∴EH=EF=， FH=EH=，
∴ BF=2FH=2，
S△EFB=
故答案为．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；
②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；
③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；
④根据根的判别式即可判断．
【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
∴，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
∴，
当时，，
∴，
故①正确，符合题意；
②∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴
由图象可得：当时，，
∴，
故②错误，不符合题意；
③∵直线是抛物线的对称轴，
设两点横坐标与对称轴的距离为，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
故④正确，符合题意．
故答案为：①③④
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. （1）计算；
（2）先化简，再求值：．选一个恰当的数求值．
【答案】（1）；（2），取，原式
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值；
（1）分别代入正切值，化简绝对值，计算负整数幂，再计算加减法；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将取合适的值代入求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
∵，
当时，原式．
18. 某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机调查部分学生；根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了多少名学生？扇形统计图中“灰”所在扇形的圆心角的度数是多少度？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校有2400名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）王老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【答案】（1）此次调查一共随机调查200名学生，“灰”所在扇形的圆心角的度数为198°
（2）补图见解析 （3）估计该校投放到红色桶的人数有192名
（4）列表见解析，
【解析】
【分析】（1）根据选择蓝色垃圾桶的有44人，占总人数的22%，可求得总人数．再根据选择灰色垃圾桶的有110人，得出选择灰色垃圾桶的占比，从而得出扇形统计图中相应的圆心角度数．
（2）由总人数减去选择红、蓝、灰色垃圾桶的各部分人数之和得到选择绿色垃圾桶的人数，从而补全条形统计图．
（3）从调查结果看，选择投放到红色垃圾桶的人数为16人，总人数为200人，故在全校总人数为2400人的情况下，估计该校投放到红色桶的人数有（名）．
（4）选用列表或树状图的方法，求得一共有12种等可能性，其中符合题意的有2种可能性，从而得出符合题意的概率为．
【小问1详解】
解：∵（名），
∴此次调查一共随机调查200名学生，
∵，
∴“灰”所在扇形的圆心角的度数为198°．
【小问2详解】
解：绿色部分的人数为（名），补图如下：
【小问3详解】
解：（名），
答：估计该校投放到红色桶的人数有192名．
【小问4详解】
解：列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为．
【点睛】本题考查了通过统计图求相关量，并运用列表法或树状图求得相关概率，充分运用图表信息是解题的关键．
19. 汝南著名传统土特产品“五香大头菜”、“鸡汁豆腐干”深受广大消费者喜爱．已知件大头菜和件豆腐干进货价为元，件大头菜和件豆腐干进货价为元．
（1）分别求出每件大头菜、豆腐干的进价；
（2）某特产店计划购进大头菜、豆腐干共件，且大头菜的数量不高于豆腐干数量的．若该特产店每件大头菜售价为元，每件豆腐干售价为元，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）每件大头菜的进价为元，每件豆腐干的进价为元
（2）购进大头菜件，豆腐干件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设每件大头菜的进价为元，每件豆腐干的进价为元，可得，解方程组可得答案；
（2）设购进大头菜件，则购进豆腐干件，由大头菜的数量不高于豆腐干数量的，可得，设该特产店获得利润为元，则，由一次函数性质可得答案；
解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
小问1详解】
解：设每件大头菜的进价为元，每件豆腐干的进价为元，
根据题意，得：，
解得：，
∴每件大头菜的进价为元，每件豆腐干的进价为元；
【小问2详解】
设购进大头菜件，则购进豆腐干件．
根据题意，得：，
解得：，
设总利润为元，则：
．
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最大值，最大值为：，
此时：（件），
∴购进大头菜件，豆腐干件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为元．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴交于点，与轴交于点；点的坐标为，点的坐标为．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点的坐标；
（3）连接，，求的面积．
（4）请直接写出的的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点A和点C坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式求出点B坐标即可；
（3）根据进行求解即可；
（4）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入反比例函数解析式中得，
∴反比例函数解析式为；
把，代入一次函数解析式中得，
∴，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：联立，解得或，
∴；
【小问3详解】
解：∵点的坐标为，
∴，
∴
；
【小问4详解】
解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象下方时，自变量的取值范围为或，
∴满足的的取值范围或．
21. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若csB＝，AD＝2，求FD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】解：（1）连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
（2），，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
又，
即，
解得（取正值），
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
22. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

（1）求直线的函数表达式及点C的坐标；
（2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】（1），点的坐标为
（2）①2或3或；②，S的最大值为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
【小问2详解】
①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．

∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．

∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键．
23. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）30°或150°，的长最大值为，此时
【解析】
【分析】（1）延长ED交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315°．
【详解】解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘，
即α=30°；
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°−30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A． O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质，注意特殊角的三角函数值的应用．
A
B
C
D
A
B
C
D