2024年福建省龙岩市长汀县中考二模数学试题

这是一份2024年福建省龙岩市长汀县中考二模数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟；满分150分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列四个数中，是负数的为
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是
A．B．C．D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
4．为了解某市七年级30000名学生的视力情况，现从中抽测了1000名学生的视力，下列说法正确的是
A．样本容量是1000B．每个学生是个体
C．1000名学生是所抽取的一个样本D．30000名学生是总体
5．已知关于x的不等式组，至少有两个整数解，且存在以2，a，5为边的三角形，则a的整数解有
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．在中，∠C=90°，若，则的值是
A．B．2C．D．
7．如图，A，B，E为上的点，的半径于点D，若∠CEB=30°，，则AB的长为
A．B．4C．D．6
8．如图，E是的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F，若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，则CD的长是
A．6B．8C．10D．12
9．如图，依据尺规作图痕迹，若∠ADE=64°，∠BAC=50°，则∠ACB的度数为
A．50°B．60°C．66°D．80°
10．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，点P是线段DE上一定点，点F，G分别是CD，DA延长线上的点，且，过点P作交AD于点H，以下判断不正确的是
A．B．
C．PD．
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11．=______．
12．如图，已知直线，将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1=58°，则∠2的度数是______．
13．“一带一路”是国家的发展战略，计划用10年左右的时间，使中国同沿线国家的年贸易额突破25000亿美元．把25000用科学记数法表示为______．
14．已知一组数据-2，2，3，4，m的众数为3，则方差为______．
15．定义新运算：，若，则的值是______．
16．已知抛物线经过点，，，，且，则m的取值范围是______．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中m，n满足．
19．（8分）如图，，，．求证：．
20．（8分）为迎接全市“英语学科创新大赛”，某中学举行了选拔赛，该校随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把竞赛成绩按不达标、达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）圆心角β=______度；（2）补全条形统计图；
（3）A，B，C，D四人本次竞赛成绩均为满分，现从中随机抽取两人代表学校参加市级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，B两人同时参赛的概率．
21．（8分）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
（1）求小美每分钟跑多少米？
（2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
22．（10分））如图，已知AB是的直径，点D是圆上一点，过点D作的切线交BA延长线于点C，连接AD，DC．
（1）求证：．
（2）已知，，求AC的长．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
24．（12分）已知抛物线．
（1）对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．
（2）当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
①如图（1），若点P是x轴上的动点，当取最大值时，求的面积；
②小聪研究发现：如图（2），E，F是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线CE与直线BF的交点始终在直线上，那么在直线EF存在点Q，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
25．（14分）已知，，．探究一：如图（1），点D在BC上（点D不与点B，C重合），且．
①连接AD，当时，AD=______．
②在①的条件下，若以点A为旋转中心把线段AB逆时针旋转，旋转后点B的对应点为点，连接，设为最大值为a，的最小值为b，则=______．
③如图（2），若把线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接DE交AC于点F，求CF的最大值．
探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段AB绕点A逆时针旋转45°得线段AM，再把线段AM逆时针旋转90°得线段AN，MN交BC于点P，NC与BM的延长线交于点Q，请判断射线AP是否经过点Q．
2024届九年级数学县质检（二）
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分）
11．5； 12．28°； 13． ；14．4.4 15．-2 16．m＜1
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：．
原式
=6．
18．原式
．
由，得，
当，时，
原式．
19．证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20．（1）144
解法提示：本次抽取的学生总人数为，故．
（2）补全条形统计图如下．
（3）根据题意画树状图如下，
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，B两人同时参赛的结果有2种，
故恰好抽到A，B两人同时参赛的概率为．
21．解：（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑1.2x米，根据题意，得，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米．
（2）解：设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
22．（1）证明：如图，连接OD，
∵CD是的切线，
∴，
∴．
∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，，
∴，∴．
由（1）知，
∴，
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴AC的长为．
23．解：任务1：如图所示，过点B作于点G，于点F，则四边形是矩形，
∴，，在中，
，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴遮阳棚外端到地面的距离小于2.3米，人进出时没有安全感．
增强安全感的建议如下：适当扩大的度数使
任务2：如图所示，在中，，
∴
∴阴影的长为米．
任务3：解：如图所示，过点B作于点E，作于点F，
∵，
∴四边形BEDF为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
∴
24．（1）方法一（因式分解）：∵，
∴当时，，
∴对于任意实数，该抛物线都会经过一个定点．
方法二（消除参数a）：∵，
∴当时，，
∴对于任意实数，该抛物线都会经过一个定点．
（2）①当时，抛物线的解析式为，
∴，，．
∵，
∴当P，D，C三点在一条直线上时，取得最大值，
如图（1），连接DC并延长，交x轴于点P，
设直线DC的解析式为，
将点，的坐标分别代入，
得解得
直线DC的解析式为，
当时，，
∴，
∴．
图（1）
②的面积为4．
解法提示：设，，直线CE：，直线BF：，直线EF：，
将点）的坐标代入直线CE的解析式，得．
将点的坐标代入直线BF的解析式，得．
联立直线EF与抛物线的解析式，得
整理得，
则，（提示：一元二次方程“根与系数的关系”）．
同理可得，，
∵，，
∴，，
∴，
．
联立直线CE与直线BF的解析式，得解得
∵直线BF与直线CE的交点始终在直线上，
∴，化简得，
∴，
∴直线EF：，
∴当时，，
即不论为何值，直线EF恒过定点．
如图（2），过点Q作轴于点K，
∵，易证，
∴．
图（2）
25．探究一：①
解法提示：如图（1），过点D作于点G，
∵，，
∴，∴是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴，
∴．
九年级数学答案第8页（共11页）
图（1）
②
解法提示：由题意得，点在以A为圆心，为半径的圆上运动，
故当点在AD延长线上时，取得最小值，当点在DA延长线上时，取得最大值，由①知，
∴的最大值，的最小值，
∴．
图（2）
③由旋转的性质，得是等腰直角三角形，
∴，∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
当时，取得最大值，为．
探究二：第一步：由旋转确定点M，N的坐标．
∵线段绕点逆时针旋转得线段，
∴，，
∴．
∵线段绕点逆时针旋转90°得线段，
∴．
∵，
∴，∴关于轴对称，
∴．
第二步：求点P的坐标，进而得到直线AP的解析式．
易求直线的解析式为（点拨：待定系数法），直线的解析式为，
∵当时，，
∴，
∴易求直线的解析式为．
第三步：求出直线NC，BM的解析式，联立求得交点Q的坐标．
又∵，，
∴易求直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立解得
∴．
第四步：将点Q坐标代入直线AP的解析式，判断结果．
∵当时，，
∴射线经过点．
探究遮阳篷的学问
素材1
为建设美好和谐社区，增强居民生活幸福感，某社区服务中心活动室墙外安装如图1所示的遮阳篷，便于社区居民休憩．图1侧面示意图中，墙记为AD，遮阳棚记为AB，直线BC为太阳光线，CD为太阳光的阴影．据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端到地面的距离小于2.3m时，人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头．
素材2
如图2，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得遮阳篷AB长为4.4米，与墙面AD的夹角∠BAD=60°，∠ADC=90°，靠墙端A离地高AD为4.2米．
素材3
如图3，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得米，米，∠ABC=120°，，．
示意图
问题解决
任务1
如图2，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时有没有安全感？如果没有安全感，请你写出一条增强安全感的建议．
任务2
如图2，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：）．
任务3
如图3，求墙AD的长，阴影CD的长．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
B
D
A
B
C
D