2024年福建省龙岩市长汀县中考一模数学试题

这是一份2024年福建省龙岩市长汀县中考一模数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟；满分150分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.-5的绝对值是（ ）
A.B.C.5D.-5
2.下列运算中，正确的是（ ）
A.B.C.D.
3.下列说法不正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
4.我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5.数据2，7，3，7，5，3，7的众数是（ ）
A.2B.3C.5D.7
6.正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的边数为（ ）
A.12B.10C.8D.6
7.如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则的度数（ ）
A.B.C.D.
8.如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
9.如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则，之间的距离为（ ）
A.海里B.海里C.20海里D.30海里
10.将抛物线位于轴下方的图像沿着轴翻折，翻折后的图像与相交于，，，四点，其横坐标分别为，，，（其中），若，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11.钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作________.
12.不等式组的最小整数解为________.
13.如图，.直线交于点，交于点，平分，交于点，，则等于________.
14.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为________.
15.如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠到上，折痕为，点对应点为，则线段的长度为________.
16.如图，已知点点在反比例函数的函数图像上，，则的值为________.
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17.（8分）计算：.
18.（8分）先化简，再求值：，其中.
19.（8分）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长.
20.（8分）李先生从家到公司上班，可以乘坐20路或66路公交车.他在乘坐这两路车时，对所需的时间分别做了20次统计，并绘制如下统计图：
请根据以上信息，解答下列问题.
（1）完成表中①，②的数据：
（2）李先生从家到公司，除乘车时间外，另需10分钟（含等车，步行等）.该公司规定每天8点上班，16点下班.
①某日李先生7点20分从家里出发，乘坐哪路车合适？并说明理由；
②公司出于人文关怀，允许每个员工每个月迟到两次.若李先生每天同一时刻从家里出发，则每天最迟几点出发合适？并说明理由.（每月的上班天数按22天计）
21.（8分）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图.已知拱门圆的半径为1.5m，拱门下端为1.8m.
图1 图2
（1）在图2中画出拱门圆的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若拱门最高点为点，求点到地面（）的距离.
22.（10分）“粮食生产根本在耕地、出路在科技”.为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元.
（1）求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元；
（2）若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？
23.（10分）如图所示，是的直径，点在上，点在上，，的延长线交于点.
（1）在的延长线上取一点，使，求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积.
24.（12分）已知抛物线与轴分别交于、两点（点在点的左侧）与轴交于点.
（1）直接写出、、三点的坐标；
（2）点是抛物线上异于，的一点，将点绕点顺时针旋转得到点，若点恰好在直线上，求点的坐标；
（3）是抛物线上异于，的两个动点，直线与直线交于点，若直线经过定点，研究表明点在一条定直线运动，请直接写出这条定直线.
25.（14分）如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接.
（1）当点在上时，作，垂足为，求证；
（2）当时，求的长；
（3）连接，点从点运动到点的过程中，试探究的最小值.
2024届九年级数学县质检（一）
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分）B
11. -30° ; 12. 2 ； 13. ；14. 15. 16. 2 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. （8分）解：原式 …………4分
…………7分
． …………8分
18.解：解：原式=
，……………………5分
当时，原式=－．……………………8分

19.证明：，
，．…………2分
是边上的中线，
， ……………………3分
．……………………4分
（2），
， …………5分 QUOTE
． ………………………6分
，，
． …………8分
QUOTE 2x+1x-xx÷x+1(x-1)x
20解： (1) = 1 \* GB3 ①)34， = 2 \* GB3 ②35；…………………4分
(2) = 1 \* GB3 ①李先生乘66路公交车比较合适．…………………5分
理由如下：由(Ⅰ)可知，乘坐20路和66路公交车所需时间的平均数都为34，乘坐20路和66路公交车所需时间的中位数分别为35和30，李先生要想按时上班，乘车时间不能超过30分钟，因此，选择66路公交车比较适合．…………………6分；
【说明】该小题也可用频数来说理，如：李先生要想按时上班，乘车时间不能超过30分钟，由统计图可知，乘坐20路公交车和66路公交车所需时间不超过30分钟的频数分别为8和11，因此，选择66路公交车比较适合．
= 2 \* GB3 ②李先生每天最迟7点10分出发，乘坐20路公交车比较合适．…………………7分
理由如下：李先生每天7点10分出发，还有40分钟的乘车时间，由统计图可估计乘坐20路公交车不迟到的天数为22×eq \f(19,20)＝20.9，乘坐66路公交车不迟到的天数为22×eq \f(17,20)＝18.7.因为一月上班22天，其中公司出于人文关怀允许两次迟到，所以，不迟到的天数应不少于20天，因此，李先生每天7点10分出发，乘坐20路公交车比较适合．…………………8分
21解:（1）解：如图，点O即为所求， ……………4分
（2）连接，
设点E为的中点，
点O为圆心，连接并延长交圆于点D，
点D即为拱门为最高点， ……………5分 QUOTE
，
，，
，， ………………6分
在中，
，………………7分

点D到地面的距离为． …………8分
22.解：设购进1台甲种农耕设备需要x万元，购进1台乙种农耕设备需要y万元，
根据题意，得， …………4分
解得：， ………………5分
答：购进1台甲种农耕设备需要1.5万元，购进1台乙种农耕设备需要1.2万元．
（2）设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备台，
根据题意得：， …………7分
解得：， …………8分
∵m为整数，
∴m最大值， …………9分
答：该合作社最多可以购进甲种农耕设备3台． …………10分
23.证明：是的直径，
， ……………1分
，
，
，
，
， ……………2分
，
，
，
，
，且是的半径， ……………3分
是的切线．……………4分
（2）解：如图所示，连接，
，
，
， ……………6分
，，
， …………7分
，
， ……………9分
图中阴影部分的面积为：． …………10分
24.解：（1）， …………3分
（2）如图所示，以为斜边向上作等腰直角三角形，
∵，则，
∴
∴ …………4分
依题意，，
∴是半径为的与抛物线的交点，
设，其中
∴， ………………5分
整理得
解得：………………6分
∵
∴或 ………………7分
则或； ………………9分
这条定直线是. ………………12分
解：设，
∵，，
设直线的解析式分别为
∴，
解得：，
∴
联立，
消去得：，

∴，即
由可得
依题意，直线的解析式为
即
联立
则
∴，，
∴
消去得：
解得：（与直线重合，故舍去）或
即点在定直线上．
25.解:（1）如图所示，
由题意可知，，，
，
由旋转性质知：AE=AF，
在和中，
，
，
． …………………3分.
（2）当点E在BC上时，
在中，，，
则，
在中，，，
则，
由（1）可得，，
在中，，，
则， …………………5分.
当点E在CD上时，如图，
过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，
同（1）可得，
，
由勾股定理得； ………………7分
故CF的长为或． ………………8分
（3）如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H，
由（1）知，，
故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小．…………………9分
在与中，
，
，
，
即，
，，
，
在与中，
，
，
，
即，
，
故的最小值；…………………11分
如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，，
由题意可知，，
在与中，
，
，
，
故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；…………………12分
由于，，，
故四边形DQRK是矩形；
，
，
，
，
故此时DF的最小值为； …………………13分
由于，故DF的最小值为． …………………14分公交线路
20路
66路
乘车时间统计
平均数
34
①
中位数
②
30
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
A
D
B
A
C
A
C