2024年云南省昭通市水富市第一中学2025届高二下册半期模拟测试卷.有答案

这是一份2024年云南省昭通市水富市第一中学2025届高二下册半期模拟测试卷.有答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z满足：z(z+2i)=8+6i，则( )
A. z的实部为−3B. z的虚部为3
C. z的模为4D. z在复平面上对应的点位于第一象限
2.已知向量a=(1,1)，b=(1,−1).若(a+λb)⊥(a+μb)，则( )
A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−1
3.函数f(x)=12x2−lnx的单调减区间( )
A. (−1,1]B. (0,1]C. (1,+∞)D. (0,+∞)
4.记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{Snn}为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2= 3e1，则a=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 6
6.已知sin(α−β)=13，csαsinβ=16，则cs(2α+2β)=( )
A. 79B. 19C. −19D. −79
7.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )
A. 20种B. 16种C. 12种D. 8种
8.若关于x的不等式x+1naex−alnxx>0对∀x∈(0,1)恒成立.则实数a的取值范围为
( )
A. (−∞,1e]B. [1e,+∞)C. [1e,1)D. (0,1e]
二、多选题：本题共3小题，共17分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是
( )
A. 若m⊥ α，n⊥ α，则m//n
B. 若α ⊥ β，m⊥ β，m⊄ α，则m// α
C. 若α ⊥ β，m⊂ α，则m⊥ β
D. 若m⊂ α，n⊂ α，m// β，n// β，则α// β
10.下列说法不正确的有( )
A. 点P(x,y)满足 (x+2)2+y2+ (x−2)2+y2=6，则点P的轨迹是一个椭圆
B. 经过点(0,1)与抛物线y2=4x有且只有一个公共点的直线有两条
C. 过双曲线x2a2−y2b2=1右焦点的直线交双曲线于A、B两点，则|AB|min=2b2a
D. 直线xcsα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π]
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若(n+1)Sn>nSn+1，a2024S2023A. {an}是递减数列B. |a2023|>|a2024|
C. Sn≤S2023D. 使Sn<0成立的n的最小值为4046
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知集合M={a2,0}，N={1,a,2}，且M∩N={1}，那么M∪N的子集有 个
13.设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2⋯an的最大值为__________．
14.曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为 ．
15.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.以D1为球心， 5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
四、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．
17.(本小题12分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC．
(1)证明：BD=b；
(2)若AD=2DC，求cs∠ABC．
18.(本小题15分)
如果数列{an}对任意的n∈N∗，an+2−an+1>an+1−an，则称{an}为“速增数列”．
(1)请写出一个速增数列{an}的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1=1，a2=3，ak=2023，求正整数k的最大值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13．
(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值；
(Ⅲ)设点G在PB上，且PGPB=23.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
20.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距和长半轴长都为2。过椭圆C的右焦点F作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于P，Q两点。
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线x=4相交于点M，N。求证：以MN为直径的圆恒过点F。
21.(本小题12分)
已知函数fx=ae2x+a−2ex−x
(1)讨论fx的单调性；
(2)若fx有两个零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，概念，几何意义，属于基础题．
先利用复数相等求z，再逐一判定．
【解答】
解：设z=a+bi，(a,b∈R)，
故：z(z+2i)=zz+z·2i=a2+b2−2b+2ai，
因为z(z+2i)=8+6i，
故a2+b2−2b=82a=6,
解得a=3，b=1，
所以z=3+i，
故z的实部为3；z的虚部为1；z的模为 10；z在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限．
故选D．
2.【答案】D
【解析】解：∵a=(1,1)，b=(1,−1)，
∴a+λb=(λ+1,1−λ)，a+μb=(μ+1,1−μ)，
由(a+λb)⊥(a+μb)，得(λ+1)(μ+1)+(1−λ)(1−μ)=0，
整理得：2λμ+2=0，即λμ=−1．
故选：D．
由已知求得a+λb与a+μb的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=12x2−lnx的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=x−1x=x2−1x=(x+1)(x−1)x，
由f′(x)<0，得x<−1或0又函数定义域为(0,+∞)，
∴函数f(x)=12x2−lnx的单调减区间为(0,1]．
故选：B．
求出原函数的定义域，并求导函数，由导函数小于0求得x的范围得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．
首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
【解答】
解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则Sn=na1+n(n−1)2d，
即Snn=a1+n−12d=d2n+a1−d2，
故{Snn}为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若{Snn}为等差数列，则可设Sn+1n+1−Snn=D，
则Snn=S1+(n−1)D，即Sn=nS1+n(n−1)D，
当n≥2时，有Sn−1=(n−1)S1+(n−1)(n−2)D，
上两式相减得：an=Sn−Sn−1=S1+2(n−1)D，
当n=1时，上式成立，所以an=a1+2(n−1)D，
则an+1−an=a1+2nD−[a1+2(n−1)D]=2D(常数)，
所以数列{an}为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：由椭圆C2：x24+y2=1可得a2=2，b2=1，
∴c2= 4−1= 3，
∴椭圆C2的离心率为e2= 32，
∵e2= 3e1，
∴e1=12，
∴ a2−1a=12，
∴a=2 33，(−2 33舍去)．
故选：A．
利用椭圆C2：x24+y2=1的方程可求其离心率e2，进而可求e1，可求a．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为sin(α−β)=sinαcsβ−sinβcsα=13，csαsinβ=16，
所以sinαcsβ=12，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+sinβcsα=12+16=23，
则cs(2α+2β)=1−2sin2(α+β)=1−2×49=19．
故选：B．
由已知结合和差角公式先求出sinαcsβ，再求出sin(α+β)，然后结合二倍角公式可求．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22=8种方法；
②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22=8种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法．
故选：B．
分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果．
本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数单调性与极值，不等式恒成立问题，属于难题．
构造函数g(x)=lnxx，将问题转化为g(aex)>g(x)在(0,1)上恒成立.求导研究g(x)的单调性，进而得到当x∈(0,1)时，g(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g(x)>0，最后利用g(x)的函数性质，分情况讨论，求出参数a的取值范围．
【解答】
解：由题意可知a>0，lnex+lnaex>alnxx，即lnaexaex>lnxx对∀x∈(0,1)恒成立，
设g(x)=lnxx，则问题转化为g(aex)>g(x)在(0,1)上恒成立，因为g′(x)=1−lnxx2，
所以当x∈(0,e)时，g′(x)>0时，当x∈(e,+∞)，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，又g(1)=0，
且x→+∞时，g(x)→0，所以当x∈(0,1)时，g(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g(x)>0．
①在x∈(0,1)上，若aex⩾1恒成立，即a⩾1，则g(aex)⩾0>g(x)恒成立；
②在x∈(0,1)上，若0g(x)，则aex⩾x恒成立，即xex令ℎ(x)=xex，则ℎ′(x)=1−xex>0(0所以ℎ(x)<ℎ(1)=1e，
所以1e⩽a<1，
综上所述，a的取值范围是[1e,+∞)．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
对于A，由线面垂直的性质定理得m/​/n；对于B，由面面垂直、线面垂直的性质得m/​/α；对于C，m与β相交、平行或m⊂β；对于D，α与β相交或平行．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
【解答】
解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：
对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m/​/n，故A正确；
对于B，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由面面垂直、线面垂直的性质得m/​/α，故B正确；
对于C，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；
对于D，若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：AB．
10.【答案】BCD
【解析】解：点P(x,y)满足 (x+2)2+y2+ (x−2)2+y2=6，
其几何意义为P到两定点A(−2,0)、B(2,0)距离和为6的P的轨迹，
则点P的轨迹是一个椭圆，故A正确；
经过点(0,1)与抛物线y2=4x有且只有一个公共点的直线有3条，一条是x=0，一条是y=1，另一条斜率存在与抛物线相切，故B错误；
过双曲线x2a2−y2b2=1右焦点的直线交双曲线于A、B两点，不一定是通径长最短，如x2−y29=1，实轴长最短，故C错误；
直线xcsα+y+2=0的倾斜角θ，则tanθ=−csα∈[−1,1]，则倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)，故D错误．
故选：BCD．
由椭圆的定义判断A；分析经过点(0,1)与抛物线y2=4x相切的直线条数判断B；由双曲线的性质判断C；求出直线倾斜角的范围判断D．
本题考查圆锥曲线的定义及性质，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：等差数列{an}中，若(n+1)Sn>nSn+1，
则(n+1)n(a1+an)2>n(n+1)(a1+an+1)2，
即an>an+1，
所以{an}是递减数列，A正确；
由a2024S2023又a2023>a2024，
所以a2023>0，a2024<0，
因为S2024所以a2023+a2024=S2024−S2022<0，
所以|a2023|<|a2024|，B错误；
因为a2023>0，a2024<0，a2023+a2024<0，
所以n=2023时，Sn取得最大值，C正确；
因为S4046=2023(a1+a4046)=2023(a2023+a2024)<0，
S4045=4045(a1+a4045)2=4045a2023>0，即Sn<0成立的n的最小值为4046，D正确．
故选：ACD．
由已知结合等差数列的单调性，求和公式及性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的性质，求和公式及单调性的应用，属于中档题．
12.【答案】16
【解析】【分析】
本题考查了集合的运算，同时考查了集合的子集个数问题，属于基础题．
由题意先确定集合M，N，再求M∪N，从而求子集的个数．
【解答】
解：∵M={a2,0}，N={1,a,2}，且M∩N={1}，
∴a=−1，
∴M∪N={−1,0,1,2}，
故M∪N的子集有24=16个．
故答案为：16．
13.【答案】64
【解析】【分析】
本题考查数列的性质，转化思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
求出数列的公比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值．
【解答】
解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，
可得q(a1+a3)=5，解得q=12．
a1+a1q2=10，解得a1=8．
则a1a2…an=a1n⋅q1+2+3+…+(n−1)
=8n⋅(12)n(n−1)2=23n−n2−n2=27n−n22，
当n=3或4时，表达式取得最大值：2122=26=64．
故答案为64．
14.【答案】5x−y+2=0
【解析】【分析】
本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．
【解答】
解：因为y=2x−1x+2，(−1,−3)在曲线上，
所以y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，
所以y′|x=−1=5，
则曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为：
y−(−3)=5[x−(−1)]，即5x−y+2=0．
故答案为：5x−y+2=0．
15.【答案】 22π
【解析】【分析】
本题考查空间点线面距离的求法，球与几何体相交的交线的问题，难题比较大．
根据题意得到D1E⊥侧面B1C1CB，设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点，进而得到侧面B1C1CB与球面的交线上的点到E的距离为 2和∠FEG=π2即可．
【解答】
解：如图：
取B1C1的中点为E，BB1的中点为F，CC1的中点为G，
因为∠BAD=60°，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，
所以△D1B1C1为等边三角形，所以D1E= 3，D1E⊥B1C1，
又四棱柱ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，
又D1E⊂平面A1B1C1D1，故BB1⊥D1E，
因为BB1∩B1C1=B1，所以D1E⊥侧面B1C1CB，
设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点，则D1E⊥EP，
因为球的半径为 5，D1E= 3，所以|EP|= |D1P|2−|D1E|2= 5−3= 2，
所以侧面B1C1CB与球面的交线上的点到E的距离为 2，
因为|EF|=|EG|= 2，所以侧面B1C1CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG⌢，
因为∠B1EF=∠C1EG=π4，所以∠FEG=π2，
所以根据弧长公式可得FG⌢=π2× 2= 22π．
故答案为 22π．
16.【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)10.5元．
【解析】【详解】试题分析：(1)根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过 3 立方米的居民占 85 0/0 ，所以 w 至少定为 3 ；(2)直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可．
试题解析：(1)由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间 0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3 内的频率依次为 0.1,0.15,0.2,0.25,0.15 ．
所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85 0/0 ，用水量不超过 2 立方米的居民占 45 0/0 .依题意， w 至少定为 3
(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5 (元)．
考点：1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值．
17.【答案】解：(1)证明：根据正弦定理，可知sinCsin∠ABC=cb，又因为BDsin∠ABC=asinC．
所以BD=a⋅cb=b2b=b，得证；
(2)AD=2DC，∴BD=23BC+13BA
∴BD2=49BC2+49BA⋅BC+19BA2
∴b2=49a2+19c2+49accs∠ABC
∴9ac=4a2+c2+4accs∠ABC①ac=a2+c2−2accs∠ABC②
∴8ac=3a2+6accs∠ABC，∴cs∠ABC=8ac−3a26ac=43−a2c
由 ① ②知9=4ac+ca+4cs∠ABC1=ac+ca−2cs∠ABC∴11=6ac+3ca
∴6(ac) 2−11ac+3=0，∴ac=32或13
cs∠ABC=712或76(舍)
∴cs∠ABC=712．
【解析】本题考查正余弦定理的应用，属于中档题．
(1)直接利用正弦定理结合已知即可得证；
(2)利用向量线性运算结合余弦定理即可求出结果．
18.【答案】解：(1)取an=2n，
则an+2−an+1=2n+2−2n+1=2n+1，an+1−an=2n+1−2n=2n，
因为2n+1>2n，所以an+2−an+1>an+1−an，
所以数列{2n}是“递增数列”．
(2)当k≥2时，
ak=2023=(ak−ak−1)+(ak−1−ak−2)+⋯+(a3−a2)+(a2−a1)+a1，
因为数列{an}为“速增数列”，
所以ak−ak−1>ak−1−ak−2>⋯a3−a2>a2−a1=2，且an∈Z，
所以(ak−ak−1)+(ak−1−ak−2)+⋯+(a3−a2)+(a2−a1)+a1≥k+k−1+⋯+3+2+1，
即2023≥k(k+1)2,k∈Z，
当k=63时，k(k+1)2=2016，
当 k=64时，k(k+1)2=2080，
故正整数k的最大值为63．
【解析】(1)取an=2n，验证an+2−an+1>an+1−an即可；
(2)当k≥2时，ak=2023=(ak−ak−1)+(ak−1−ak−2)+⋯+(a3−a2)+(a2−a1)+a1，根据速增数列的定义可得ak−ak−1>ak−1−ak−2>⋯a3−a2>a2−a1=2，从而可得(ak−ak−1)+(ak−1−ak−2)+⋯+(a3−a2)+(a2−a1)+a1≥k+k−1+⋯+3+2+1，进而可求解．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
19.【答案】(Ⅰ)见解析；
(Ⅱ) 33 ；
(Ⅲ)见解析．

【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F−AE−P的余弦值；
(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面 AEF 的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内．
【详解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD ⊂ 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD．
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 A−xyz ，
易知： A0,0,0,P0,0,2,C2,2,0,D0,2,0 ，
由 PF=13PC 可得点F的坐标为 F23,23,43 ，
由 PE=12PD 可得 E0,1,1 ，
设平面AEF的法向量为： m=x,y,z ，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为： m=1,1,−1 ，
很明显平面AEP的一个法向量为 n=1,0,0 ，
cs=m⋅nm×n=1 3×1= 33 ，
二面角F−AE−P的平面角为锐角，故二面角F−AE−P的余弦值为 33 ．
(Ⅲ)易知 P0,0,2,B2,−1,0 ，由 PG=23PB 可得 G43,−23,23 ，
则 AG=43,−23,23 ，
注意到平面AEF的一个法向量为： m=1,1,−1 ，
其 m⋅AG=0 且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
20.【答案】解：(Ⅰ)由焦距和长半轴长都为2，可得c=1，a=2，b= a2−c2= 3，
则椭圆方程为x24+y23=1；
(Ⅱ)证明：F(1,0)，A(−2,0)，直线l的方程为y=k(x−1)，
联立椭圆方程可得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，
直线l过椭圆的焦点，显然直线l与椭圆相交．设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，直线AP的方程为y=y1x1+2(x+2)，
可令x=4，得yM=6y1x1+2，即M(4,6y1x1+2)，
同理可得N(4,6y2x2+2)，所以FM=(3,6y1x1+2)，FN=(3,6y2x2+2)，
又FM⋅FN=9+36y1y2(x1+2)(x2+2)
=9+36k2(x1−1)(x2−1)(x1+2)(x2+2)
=9+36k2[x1x2−(x1+x2)+1]x1x2+2(x1+x2)+4
=9+36k2(4k2−123+4k2−8k23+4k2+1)4k2−123+4k2+16k23+4k2+4
=9+36k2⋅−93+4k236k23+4k2=9−9=0．
所以以MN为直径的圆恒过点F．
【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于较难题．
(Ⅰ)求得c，a，b，可得椭圆方程；
(Ⅱ)直线l的方程为y=k(x−1)，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合直径所对的圆周角为直角，即可得证．
21.【答案】解：方法一：
(1)由f(x)=ae2x+(a−2)ex−x，求导f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1，
当a=0时，f′(x)=−2ex−1<0，
∴当x∈R，f(x)单调递减，
当a>0时，f′(x)=(2ex+1)(aex−1)=2a(ex+12)(ex−1a)，
令f′(x)=0，解得：x=ln1a，
当f′(x)>0，解得：x>ln1a，
当f′(x)<0，解得：x∴x∈(−∞,ln1a)时，f(x)单调递减，x∈(ln1a,+∞)单调递增；
当a<0时，f′(x)=2a(ex+12)(ex−1a)<0，恒成立，
∴当x∈R，f(x)单调递减，
综上可知：当a≤0时，f(x)在R单调减函数，
当a>0时，f(x)在(−∞,ln1a)是减函数，在(ln1a,+∞)是增函数；
(2)①若a≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，
当a>0时，f(x)=ae2x+(a−2)ex−x，
当x→−∞时，e2x→0，ex→0，
∴当x→−∞时，f(x)→+∞，
当x→+∞，e2x→+∞，且远远大于ex和x，
∴当x→+∞，f(x)→+∞，
∴函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可，
由f(x)在(−∞,ln1a)是减函数，在(ln1a,+∞)是增函数，
∴f(x)min=f(ln1a)=a×(1a2)+(a−2)×1a−ln1a<0，
∴1−1a−ln1a<0，即ln1a+1a−1>0，
设t=1a，则g(t)=lnt+t−1，(t>0)，
求导g′(t)=1t+1，由g(1)=0，
∴t=1a>1，解得：0∴a的取值范围(0,1)．
方法二：
(1)由f(x)=ae2x+(a−2)ex−x，求导f′(x)=2ae2x+(a−2)ex−1，
当a=0时，f′(x)=2ex−1<0，
∴当x∈R，f(x)单调递减，
当a>0时，f′(x)=(2ex+1)(aex−1)=2a(ex+12)(ex−1a)，
令f′(x)=0，解得：x=−lna，
当f′(x)>0，解得：x>−lna，
当f′(x)<0，解得：x<−lna，
∴x∈(−∞,−lna)时，f(x)单调递减，x∈(−lna,+∞)单调递增；
当a<0时，f′(x)=2a(ex+12)(ex−1a)<0，恒成立，
∴当x∈R，f(x)单调递减，
综上可知：当a≤0时，f(x)在R单调减函数，
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)是减函数，在(−lna,+∞)是增函数；
(2)①若a≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，
②当a>0时，由(1)可知：当x=−lna时，f(x)取得最小值，f(x)min=f(−lna)=1−1a−ln1a，
当a=1，时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点，
当a∈(1,+∞)时，由1−1a−ln1a>0，即f(−lna)>0，
故f(x)没有零点，
当a∈(0,1)时，1−1a−ln1a<0，f(−lna)<0，
由f(−2)=ae−4+(a−2)e−2+2>−2e−2+2>0，
故f(x)在(−∞,−lna)有一个零点，
假设存在正整数n0，满足n0>ln(3a−1)，则f(n0)=en0(aen0+a−2)−n0>en0−n0>2n0−n0>0，
由ln(3a−1)>−lna，
因此在(−lna,+∞)有一个零点．
∴a的取值范围(0,1)．

【解析】方法一：
(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；
(2)由(1)可知：当a>0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f(x)最小值，由f(x)min<0，g(a)=alna+a−1，a>0，求导，由g(a)min=g(e−2)=e−2lne−2+e−2−1=−1e2−1，g(1)=0，即可求得a的取值范围．
方法二：
(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；
(2)分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于难题．组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
2,4
4,6
6,8
8,10
10,12
12,17
17,22
22,27
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05