重庆市第三十二中学2023-2024学年高一下学期第二次质量监测数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱 ②六棱锥 ③正方体 ④球体 ⑤四面体
A. ①和⑤B. ①
C. ③和④D. ①和④
【答案】D
【解析】
【详解】②六棱锥、③正方体、⑤四面体是多面体;
①圆柱 、 ④球体是旋转体，故选D.
点评：要了解多面体、旋转体的几何特征.
2. 已知，，，则向量，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设与的夹角为，根据平面向量数量积的定义求出，即可得解；
【详解】解：设与的夹角为，因为，且，
所以，即，
解得，又，所以．
故选：B
3. 已知，则等于（ ）
A. 10B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.
【详解】由向量，可得，
所以.
故选：B.
4. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找到共线向量的一组即可，可根据共线向量的基本定理进行判断.
【详解】不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B中，，所以和共线.
故选: B.
5. 已知向量，向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义即可求解.
【详解】由题意知，
的单位向量为，
所以向量在方向上的投影向量为，
故选：D.
6. 如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用共线定理的推论可得.
【详解】因为，所以，
所以，
因为P，B，N三点共线，所以，解得.
故选：D
7. 已知i为虚数单位，如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据，结合复数模的几何意义，判断出对应点的轨迹，再根据的几何意义，求得的最小值.
【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，因为，，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹为线段（包括端点），如图所示.
问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值.因此作于，则与之间的距离即为所求的最小值，即.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
8. 已知内角的对边分别为，若，，则的形状是
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理将化边代入，结合求解即可
详解】由题
当，三角形为直角三角形
当，则，又，则三角形为等腰三角形
故选D
【点睛】本题考查余弦定理，注意角化边的应用，是基础题，注意等式两边不能随便约分，是易错题
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】AD
【解析】
【分析】由可得四边形是平行四边形，从而结合平行四边形的性质对选项逐一判断即可．
【详解】对A,由，四边形是平行四边形，所以，选项A正确；
对BD,平行四边形对角线与互相平分，得，，选项B错误，选项D正确；
对C,显然与相交，他们不是相等向量，选项C错误；
故选：AD
10. 若复数，则下列正确的是（ ）
A. 当或时，z为实数
B. 若z为纯虚数，则或
C. 若复数z对应的点位于第二象限，则
D. 若复数z对应的点位于直线上，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的有关概念以及复数的几何意义即可判断各选项的真假．
【详解】对A，若z为实数，则，所以或，A正确；
对B，若z为纯虚数，则，解得，B错误；
对C，若复数z对应的点位于第二象限，则，解得，C正确；
对D，若复数z对应的点位于直线上，则，解得：或，即或，D错误．
故选：AC．
11. 已知正方体的棱长为2，棱、、分别是，，的中点，过、、三点作正方体的截面，是中点，则（ ）
A. 截面多边形的周长为B. 截面多边形的面积为
C. 截面多边形存在外接圆D. 的正弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系能求出截面多边形的周长和面积；判断截面多边形各边长垂直平分线是否交于一点，即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平面所成角．
【详解】正方体的棱长为2，过棱，，的中点作正方体的截面，
对A,连，延长交直线，的延长线于点，，
连交于，连交于，
连，得到截面五边形，
由，为中点，则，，，
同理，又，，
因此周长为，故B正确．
对B,易知，，，，
又，
故，
截面多边形的面积为，故B正确；
对C:与是公有一个项点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，
这个五边形没有外接圆，故C错误；
对D,，，，
，，，
根据二面角的定义得是截面与底面所成角，
，，
根据余弦定理得，，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛:本题考查正方体的截面问题，关键是利用平面延展确定平面形状，并结合对称性确定跟各棱的交点位置并计算.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的加法运算即可求解.
【详解】解：
故答案为：.
13. （为虚数单位），则________
【答案】
【解析】
【分析】设(),则,代入,整理后由复数相等条件列式求得的值,根据的模为,即可求得.
【详解】 设(),则,
代入,得:
故:

根据的模为

故答案为:.
【点睛】本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.
14. 如图，在梯形中，，，，，，如果，则________.

【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以
考点：向量数量积
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用复数加减、乘法运算即可．
（2）运用复数的代数运算及复数的周期性求解即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
16. 已知，
（1）当k为何值时，与平行：
（2）若，求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）求出与坐标，根据共线向量坐标的关系，即可求解；
（2）由的坐标关系求出，进而求出坐标，即可求解.
【详解】（1），，，
，与平行，
；
（2），
，
.
【点睛】本题考查向量的坐标关系，涉及到向量线性关系、共线向量、垂直向量、向量模长的坐标运算，属于基础题.
17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
【答案】（1）
（2）预算资金够用
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；
（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.
【小问1详解】
解：由，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用．
18. 将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且．
（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出值；若不能，请说明理由；
（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．
【答案】（1）不可能垂直；理由见解析；（2）；．
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，求得，即，进而化简，根据为钝角，即可得到结论；
（2）因为，求得，由向量的模的运算公式，求得，得到当时，，得出，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，因为，可得，
解得，即，则，
所以，
因为为钝角，所以，故，
所以与不可能垂直．
（2）因为，所以，
所以，
当时，，所以，此时，
因为，
所以，
又因为，所以．
19. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；
（3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由为上的一动点，可得，进而可求的取值范围.
【小问1详解】
依题意，
由正弦定理，，
由
可得，
由余弦定理，
则，则，
因为，所以；
【小问2详解】
由为锐角三角形，，可得，
由正弦定理，则，
则，
则的周长为，
由，则，因为，整理得：
，解得或（舍去），
所以，则周长范围是；
【小问3详解】
由正弦定理，则，则，
由，可得，则，
则三角形为等边三角形，取中点，如图所示：
则
，
由，则，则．
【点睛】方法点睛：（1）利用正余弦定理可进行边角互换用以化简条件；（2）涉及三角形周长与面积的最值问题，可将问题转化为基本不等式或三角函数来求最值；（3）外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.