重庆市清华中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市清华中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知复数，则的虚部是（ ）
A．﹣iB．﹣1C．iD．1
2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（ ）
A．9B．9πC．36D．36π
4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．2C．D．
6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z的模等于13
B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．z的共轭复数为﹣2﹣3i
D．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6
（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（ ）
A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2
B．的最小值为2
C．与共线的单位向量只有一个为
D．若，则或
（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（ ）
A．A1F∥平面BCC1B1
B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4
C．存在点F，使得A1F∥B1E
D．线段A1F的长度的取值范围为[，]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知△ABC利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，则△ABC的面积是 ．
13．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是 ．
14．（5分）设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．已知a2+4b2＝c2，则tanB的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知向量＝（﹣3，2），＝（1，m），且与＝（2，1）共线．
（1）求m的值；
（2）若与垂直，求实数λ的值．
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsA+a＝c．
（1）求B的大小；
（2）若c＝，a+b＝2，求△ABC的面积．
17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB＝1，AD＝2，AA1＝．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面A1AE；
（Ⅱ）求点A到平面A1ED的距离．
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝60°，PA＝AD＝PD＝2，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PC，AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）当AP⊥BD时，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．
19．（17分）如图：在斜坐标xOy系中，x轴、y轴相交成60°角，、分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对〈x，y〉为向量的坐标，记作．在此斜坐标xOy系中，已知△ABC满足：、．
（1）求的值．
（2）若坐标原点O为△ABC的重心（注：在斜坐标系下，若G为△ABC的重心，依然有成立）．
①求△ABC的面积．
②求满足方程的实数m的值．
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数，则的虚部是（ ）
A．﹣iB．﹣1C．iD．1
【解答】解：∵，
∴z＝＝2﹣i，
∴，
∴的虚部是1．
故选：D．
2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
【解答】解：对于A，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故A错误；
对于B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，即B错误；
对于C，若m∥n，m⊥α，由直线与平面垂直的性质可得n⊥α，故C正确；
对于D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n的关系为平行、相交或异面，故D错误；
故选：C．
3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（ ）
A．9B．9πC．36D．36π
【解答】解：∵在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，
∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccsA＝36+9﹣18＝27，即a＝3，
由正弦定理得：＝2R，即R＝＝＝3，
∴三角形外接圆面积S＝πR2＝9π．
故选：B．
4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，且向量与的夹角为，
则在方向上的投影向量为||cs＜，＞＝＝．
故选：C．
5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：设球的半径为R，因为球是圆柱的内切球，则圆柱的底面半径为R，高为2R．
所以圆柱的表面积S1＝2πR2+2πR•2R＝6πR2，球的表面积S2＝4πR2，
所以．
即圆柱的表面积与球的表面积之比为．
故选：C．
6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设B（2，0），则D（0，1），E（2，），F（1，1），
∴G（，）；
∴＝（，），＝（2，0），＝（0，1），
设＝x+y，
则（，）＝（2x，y），
即，
解得x＝，y＝；
∴＝+．
故选：C．
7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设AB＝h，则，
在△BCD中，
∴，即，解得，
故选：B．
8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：取C1D1的中点Q，连接PQ，B1D1，则，
又BD∥B1D1，则PQ∥BD，又根据正四棱台的性质得DQ＝BP，
则BDQP为等腰梯形，即过B，D，P三点截面为等腰梯形BDQP．
取BC的中点M，连接MP，
在等腰梯形B1C1CB中，，
则，，
在等腰梯形BDQP中，，，
则梯形的高为，
所以等腰梯形BDQP的面积．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z的模等于13
B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．z的共轭复数为﹣2﹣3i
D．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6
【解答】解：∵z＝2﹣3i，
∴，z在复平面内对应的点（2，﹣3）位于第四象限，，故AC错误，B正确，
z（m+4i）＝（2﹣3i）（m+4i）＝2m+12+（8﹣3m）i为纯虚数，
则，解得m＝﹣6，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（ ）
A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2
B．的最小值为2
C．与共线的单位向量只有一个为
D．若，则或
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，向量，，若与的夹角为钝角，则有，解可得k＜2且k≠﹣2，A正确；
对于B，向量，||＝≥4，必有||≥2，即的最小值为2，B正确；
对于C，，||＝，与共线的单位向量有（，﹣）或（﹣，），C错误；
对于D，若，即k2+4＝4（1+1），解可得k＝±2，D错误；
故选：CD．
（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（ ）
A．A1F∥平面BCC1B1
B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4
C．存在点F，使得A1F∥B1E
D．线段A1F的长度的取值范围为[，]
【解答】解：∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，A1F⊂平面ADD1A1，∴A1F∥平面BCC1B1，故A正确；
，故B错误；
连接A1F，作EG∥CD交AD于G，连接FG，
∵A1B1⊥平面ADD1A1，∴∠A1FB1为B1F与平面ADD1A1所成的角，
∵EG⊥平面ADD1A1，∴∠EFG为EF与平面ADD1A1所成角．
∵直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，∴∠A1FB1＝∠EFG，
则tan＝，
又∵A1B1＝EG，∴A1F＝FG，则点F在A1G的中垂线上，即点F在线段HI上运动，
当点F与点K重合时，A1F∥B1E，故C正确；
∵BC＝2BB1＝6，E为棱BC上靠近C的三等分点，∴AA1＝3，AG＝4，则A1G＝5，
∵cs，∴HG＝，当点F在点I或点H处时，线段A1F的长度取得最大值，
最大值为，当点F在点K处时，线段A1F的线段取得最小值，最小值为，
∴线段A1F的长度的取值范围为[，]，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知△ABC利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，则△ABC的面积是 4 ．
【解答】解：根据题意，△ABC的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，
则其直观图的面积S′＝×2×2＝2，
则△ABC的面积S＝2S′＝4，
故答案为：4．
13．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是 ．
【解答】解：取A1B1的中点G，连接AG，FG，EG，如图所示，
∵A1G∥D1E，且A1G＝D1E，∴四边形A1GED1为平行四边形，
∴AG∥DE，
∴异面直线DE与AF所成角为∠FAG或其补角，
设正方形的边长为2，则AF＝＝，AG＝＝，FG＝＝，
在△AGF中，由余弦定理可得cs∠FAG＝＝，
故答案为：．
14．（5分）设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．已知a2+4b2＝c2，则tanB的最大值为 ．
【解答】解：已知a2+4b2＝c2，
可得C是钝角；
那么＝＝＝﹣＝﹣，
即tanC＝tanA
tanB＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝＝
∵tanA＞0，
∴＝．当且仅当tanA＝时等号成立，
那么tanB．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知向量＝（﹣3，2），＝（1，m），且与＝（2，1）共线．
（1）求m的值；
（2）若与垂直，求实数λ的值．
【解答】解：（1）．
因为与共线，所以4×1﹣2（m﹣2）＝0，
解得m＝4．
（2）由（1）知，，
所以，，．
由与垂直，得，
所以26﹣5（1+2λ）+17λ＝0，
解得λ＝﹣3．
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsA+a＝c．
（1）求B的大小；
（2）若c＝，a+b＝2，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵bcsA+a＝c，
∴由正弦定理可得sinBcsA+sinA＝sinC，
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
∴sinA＝sinAcsB，
∵sinA≠0，
∴csB＝，
∵B∈（0，π），
∴B＝．
（2）∵B＝，c＝，
∴由余弦定理可得csB＝＝，整理可得a2﹣b2+3＝3a，
又a+b＝2，解得a＝b＝1，
∴S△ABC＝acsinB＝＝．
17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB＝1，AD＝2，AA1＝．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面A1AE；
（Ⅱ）求点A到平面A1ED的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，，在△AED中，AE＝DE＝，AD＝2，
∴AE⊥DE．
∵A1A⊥平面ABCD，
∴A1A⊥DE，
∴DE⊥平面A1AE．
（Ⅱ）由DE⊥平面A1AE，∴平面AA1E⊥平面A1ED，
过A作AM⊥A1E，交A1E于M，由平面与平面垂直的性质定理可知，AM⊥平面A1ED，
AM就是A到平面A1ED的距离，在△AA1E中，，AE⊥AA1，
∴AM＝1．
点A到平面A1ED的距离为：1．
18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝60°，PA＝AD＝PD＝2，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PC，AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）当AP⊥BD时，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：取PD的中点M，连结AM，ME，
∵F，M分别是PC，PD的中点，∴FM∥CD，FM＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，F是AB的中点，
∴AF∥CD，AF＝AB＝CD，
∴AF∥ME，AF＝ME，
∴四边形AFEM是平行四边形，
∴EF∥AM，又EF⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，
所以EF∥平面PAD．
（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结PO，
∵PA＝PD，O是AD的中点，∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，
∴PO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，
∴PO⊥BD，又PA⊥BD，PA∩PO＝P，
∴BD⊥平面PAD，
过C作CN∥BD交AD延长线于N，连接PN，
则CN⊥平面PAD，∴∠CPN为直线PC与平面PAD所成的角，
∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴OD＝1，PO＝，
∵∠BAD＝60°，∠BDA＝90°，AD＝2，∴BD＝2，
∵BC∥DN，CN∥BD，
∴四边形BCND是平行四边形，∴DN＝BC＝AD＝2，CN＝BD＝2，
∴ON＝3，PN＝＝2，
∴tan∠CPN＝＝＝1，故∠CPN＝45°，
∴sin∠CPN＝，即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为．
19．（17分）如图：在斜坐标xOy系中，x轴、y轴相交成60°角，、分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对〈x，y〉为向量的坐标，记作．在此斜坐标xOy系中，已知△ABC满足：、．
（1）求的值．
（2）若坐标原点O为△ABC的重心（注：在斜坐标系下，若G为△ABC的重心，依然有成立）．
①求△ABC的面积．
②求满足方程的实数m的值．
【解答】解：（1）由题知，，
则；
（2）①由题知，O为△ABC的重心，则△OAB的面积为△ABC面积的，
由（1）知OA⊥OB，又，
则△ABC面积为；
②由①知，，
则，
则，
，
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则由，结合正弦、余弦定理化简得：
＝
＝
＝，
故．