浙江省杭州第十四中学附属学校2023-2024学年九年级 下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义可知．
【详解】解：3的倒数是，
故选：C
【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2. 下图中的几何体由五个完全相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图是从几何体的上面看到的图形解答即可.
【详解】解：几何体的俯视图是：
；
故选：B.
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟知俯视图是从几何体的上面看到的图形是解题的关键.
3. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．
4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
5. 某学校组织学生进行了视力测试．刘明所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 4.8 4.74B. 4.8 4.5C. 5.0 4.5D. 4.8 4.8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了众数的定义，理解定义：“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．根据众数和中位数的概念求解即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，排在中间的数是，
故中位数是；
这组数据中出现的次数最多，
故众数为．
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算，即可得出答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误；
B、，故该选项计算错误；
C、，故该选项计算正确；
D、，故该选项计算错误；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7. 已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵
∴位于第三象限，
∴
∵
∴
∵
∴点位于第一象限，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8. 如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行的性质可得，再根据四边形内角和为可得，问题随之得解．
【详解】∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行的性质以及四边形内角和为，掌握四边形内角和为是解答本题的关键．
9. 设二次函数（，m，k是实数），则（ ）
A. 当时，函数y的最大值为
B. 当时，函数y的最大值为
C. 当时，函数y的最大值为
D. 当时，函数y的最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数与x轴的交点坐标是．得到二次函数的对称轴是直线．根据开口方向进一步求出最值即可．
【详解】解：由题意，令，
∴，
∴．
∴二次函数与x轴的交点坐标是．
∴二次函数的对称轴是：直线．
∵，
∴y有最大值．
当，y最大，
即
当时，函数y的最大值为；
当时，函数y的最大值为．
综上，D选项正确．
故选：D．
10. 勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作交的延长线于点，设的长直角边为，短直角边为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，解得：，由，，说明，继而得到，在中，根据勾股定理得到，即可得解．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
由题意知，两个正方形之间是个全等的直角三角形，
设的长直角边为，短直角边为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴，，
，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题为解直角三角形综合运用题，考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，等角对等边，锐角三角函数．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接把公因式y提出来即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是y是解题的关键．
12. 使有意义的x的取值范围是_________．
【答案】x≥6．
【解析】
【详解】试题解析：∵有意义，
∴x的取值范围是：x≥6．
考点：二次根式有意义的条件.
13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为9，其中阴影部分面积为5，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
14. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
【详解】解：∵函数的图象经过点和
∴把点代入得，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
15. 如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交和于点、点，以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，交于点，连接，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，先由作图得出平分，垂直平分，进而得到，，再由平行四边形的性质可得，， ，即可得，得到，可得，，，设，可得，，由，得到，即可得出，掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图得，平分，垂直平分，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．
【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）直接解不等式①即可解答；
（2）直接解不等式①即可解答；
（3）在数轴上表示出①、②的解集即可；
（3）数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：，
．
故答案为：．
小问2详解】
解：，
．
故答案为：．
【小问3详解】
解：把不等式和的解集在数轴上表示出来：
【小问4详解】
解：由图可知原不等式组的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和在数轴上表示不等式的解集是解答本题的关键．
18. 以下是某同学化简分式的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第__________步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）③ （2）见解析
【解析】
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
【小问1详解】
第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
【小问2详解】
解：原式＝
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
19. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
各组劳动时间的扇形统计图

请根据以上信息解答下列问题．
（1）A组数据的众数是________；
（2）本次调查的样本容量是________，B组所在扇形的圆心角的大小是________；
（3）若该校有名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数．
【答案】（1）
（2）60，
（3）人
【解析】
【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可；
（2）利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数，再用乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小；
（3）用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过的人数．
【小问1详解】
解：∵A组的数据为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，共有5个数据，出现次数最多的是0.4，共出现了3次，
∴A组数据的众数是；
故答案为：0.4
【小问2详解】
由题意可得，本次调查的样本容量是,
由题意得，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：60，
【小问3详解】
解：（人）．
答：该校学生劳动时间超过的大约有860人．
【点睛】此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键．
20. 学了《锐角三角函数》章节后，某学校九年级数学兴趣小组的同学对岳麓山上的电视塔高度进行了测量，如图，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：）
（1）求的度数；
（2）若学生的身高忽略不计，求该塔的高度？（结果精确到）
【答案】（1）的度数为；
（2）该塔的高度约为米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，
（1）根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：米，再利用（1）的结论可得：，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：，
∵是的一个外角，
∴，
∴的度数为；
【小问2详解】
解：由题意得：米，
由（1）得：，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴该塔的高度约为88米．
21. 如图，都是圆的半径，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，
（1）利用圆周角定理可得，结合可证明结论；
（2）过点O作半径于点E，可得，根据圆周角、弦、弧的关系可证得，设，即可求得，，利用勾股定理可求解，再利用勾股定理列方程解答即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：过点O作半径于点E，，连接，
∴，
∵，
∴．
∴．
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
中，，，
∴，即：，
解得，
即的长为．
22. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m），飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
（1）直接写出水平距离关于飞行时间的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
（2）求飞行高度关于飞行时间的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
（3）如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．若发射平台相对于安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离．
【答案】（1）水平距离关于飞行时间t的函数解析式为；
（2）飞行高度y关于飞行时间t的函数解析式为；
（3）飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式以及一元二次方程的应用，关键是把实际问题分析转变成数学模型．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求解即可；
（3）令二次函数代入函数解析式即可求解；
【小问1详解】
解：假设x与t是一次函数关系， 因为时，设，
把代入，得：，，
解得：，
∴，
验证：当时，，
当时，，
假设成立，水平距离关于飞行时间t的函数解析式为；
【小问2详解】
解：假设y与t是二次函数关系，设，
把；；代入，
，
解得：，
，
验证：当时，，
当时，，
假设成立，飞行高度y关于飞行时间t的函数解析式为；
【小问3详解】
解：依题意，得．
解得，（舍），，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
23. 综合与实践
问题情境：在中，，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，分别与边交于点M，N；
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，则的长度为______．
【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明，即可证明结论；
（2）证明是等腰三角形，过点N作于点G，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长，使，证明，推出，证明，设，在中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：四边形为矩形．
理由如下：∵点M为的中点，点D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
【小问2详解】
在中，，
∴，．
∵点D是中点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
过点N作于点G，则．
∴．
∵，
∴．
∴，即，
∴；
【小问3详解】
延长至H，使，连接，
∵，
∴，
∵D是中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理等知识点，掌握相关知识点，并灵活运用，构造全等和相似三角形，是解题的关键．
24. 定义：平面直角坐标系中，若点，点，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是的“级变换点”．
（1）函数的图象上是否存在点的“k级变换点”？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（2）点A为直线：上的一点，它的“k级变换点”B在直线上，直接写出直线的函数表达式．
（3）若关于x的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围．
【答案】（1）存在，
（2）直线：
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出的“k级变换点”的坐标，将该坐标代入反比例函数关系式，即可求得答案；
（2）先设点A的坐标为，求出点B的坐标为，即知点B在直线上，即得答案；
（3）先根据已知求得点A、点B所在的直线为，得到，是一元二次方程的两个根，然后根据韦达定理求得，再求出，令，则，所以，最后根据二次函数的性质即得答案．
【小问1详解】
存在，；理由如下：
由题意得，的“k级变换点”为，
将代入反比例函数表达式得，
解得；
【小问2详解】
直线的函数表达式为；理由如下：
点A在直线上，
设点A的坐标为，
点A的“k级变换点”为点B ，
点B的坐标为，
点B在直线上，
即直线的函数表达式为；
【小问3详解】
点，的“1级变换点”坐标为，，
将，代入得，
则，
即点A在直线上，
同理可得，点B在直线上，
点A、点B所在的直线为，
抛物线与直线的交点为，，
联立方程组得，
消去y得，
整理得，
，是一元二次方程两个根，
由，，可知，，
，
，，
，
由，，可知，
，
，
解得，
，
令，则，
，
即，
当时，，
当时，，
．
【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程,一元二次方程根与系数的关系，解不等式等知识,涉及新定义问题，求出的表达式及求的取值范围是解答本题的关键．
解：原式①
②
③
…
解：
组别
时间
频数
5
20
15
8
飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离
0
10
20
30
40
…
飞行高度
0
22
40
54
64
…