浙江省杭州市西湖区十三中教育集团（总校）2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 浙江省博物馆之江馆区，是首批被确定的国家一级博物馆和中央地方共建国家级博物馆，建筑面积逾10万平方米. 其中数据10万用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：依题意，10万用科学记数法可表示为，
故选：B．
2. 如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠2=50°，那么∠1的度数为( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠2=50°，
∴∠3=50°，
∵∠1+∠3+60°=180°，
∴∠1=180°-60°-50°，
∴∠1=70°，
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方和同底数幂相乘，按照相关法则逐个判断即可．
【详解】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，不符合题意；
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标的特征，根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可．
【详解】点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为，
故选：D．
5. 如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．过作交延长线于，计算出、的长，根据余弦计算方法计算即可．
【详解】解：过作交延长线于，
，，，
，
，，
，
，
故选：．
6. 在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程（米）与各自所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，则下列说法不正确的是（ ）

A. 甲的速度保持不变B. 乙的平均速度比甲的平均速度大
C. 在起跑后第180秒时，两人不相遇D. 在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
【答案】B
【解析】
【分析】A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．
【详解】解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故不选A；
B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选B；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故不选C；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故不选D．
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7. 如图，四边形内接于， 连结，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得出，利用勾股定理逆定理得出，由圆周角定理得出，由圆内接四边形的性质得出，最后利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，圆周角定理，三角形内角和定理，以及圆内接四边形的性质，掌握这些性质是解题的关键．
8. 如图，在矩形ABCD中，，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形、圆的对称性和三角函数的性质，推导得；再根据扇形面积的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，连接DE
∵矩形ABCD，BC＝4，
∴，，，
∵以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴扇形面积
∴阴影部分的面积
=扇形面积-扇形面积-
=--
=--
=--
=--
=-
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形、圆、扇形面积、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、扇形面积、三角函数的性质，从而完成求解．
9. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A 2B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得两个抛物线与x轴的交点坐标，据此求解即可．
【详解】解：令，则和，
解得或或或，
不妨设，
∵和关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴与原点关于点对称，
∴，
∴或（舍去），
∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∴这两个函数图象对称轴之间距离为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10. 如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点 H，连结． 若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及解直角三角形；连接，过点H作于点K，根据，得，可求得，设，则，，，，进一步得，则即可．
【详解】解：连接，过点H作于点K，如图，

设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
故选：D．
二. 填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
11. 分解因式：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟记平方差公式，直接运用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 从，0，，3这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是 ____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了简单概率计算、无理数等知识，熟练掌握简单概率计算公式是解题关键．首先确定四个数中无理数有1个，然后根据简单概率计算公式求解即可．
【详解】解：，0，，3这四个数中，无理数为，共计1个，
所以，从这四个数中任取一个数，取到无理数的概率是．
故答案为：．
13. 我们定义一种运算程序：已知a，b，c均为实数且互不相等，表示三个数中的最小值，若的结果为，则t的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的新定义以及不等式的应用，先根据定义，进行列式，得。再进行计算即可作答．
【详解】解：依题意，的结果为
∴
由，得
由，得
∴
故答案为：
14. 如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 _________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出，再根据直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值求出，即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
是的切线，点是切点，
，
即，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角形，掌握切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角是正确解答的关键．
15. 如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接，过作轴，截取（在右侧），连接，交反比例函数的图象于点．则的面积为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数解析式，勾股定理，平移求点坐标．要求的面积，可以转化为的面积减去的面积，关键是求出点和点的坐标，具体见详解．
【详解】将代入得，
，
所在直线：
由可得
．
故答案为：5．
16. 在中，对角线交于点O，E是上一点，且，连结，当时，若则_________°，若，则_________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质以及角的换算，得出，再证明，根据菱形的对角线平分对角，进行列式计算，得出，则；再结合，得出是等腰三角形，因为等腰三角形的三线合一，得出，再证明，列式运用公式法进行解方程，即可作答．
【详解】解：如图：
设
则
∵四边形是平行四边形
∴
∴在，
∵，，
∴
∴
∴四边形是菱形
∴
∴
解得
∴
如图：
∵在，，四边形是平行四边形
∴
∴设
∴
在中，
∴
∴是等腰三角形
取的中点H，连接，
如图
∴高线，也是角平分线
∴
∵
∴
设
∵
∴
∴
即
则
∴
即（负值已舍去）
则
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三. 解答题(本题8个大题，共72分)
17. （1） 计算: ；
（2） 已知 求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质以及实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简算术平方根、零次幂、绝对值，再运算加法，即可作答．
（2）先把等式化为整式方程，解出的值，再代入进行计算，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）∵
∴
∴
即
∴
18. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图-格点作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）取格点，连接交于点，连接，线段即为所求；
（2）取格点，连接交于，点就是所求的点．
【小问1详解】
解：取格点，连接交于点，连接，如图：
由图可知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴为中点，
∴，
∴为的高．
【小问2详解】
解：取格点，连接交于，如图：
由图可得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点就是所求点．
19. 我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加安全知识竞赛．从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．

请根据图中的信息，解决下列问题：
（1）填空：；
（2）补全频数直方图；
（3）我校共有3000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则我校安全意识不强的学生约有多少人？
【答案】（1）75，54；
（2）图见详解 （3）900人
【解析】
【分析】本题考查了频数（率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
（1）先由组人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以、组对应百分比求出人数，再用乘以组人数所占比例即可得；
（2）根据以上所求结果可得答案；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：被调查的总人数为（人），
，
组人数为（人），
则组人数为（人），
，
故答案为：75，54；
【小问2详解】
解：补全直方图如下：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校安全意识不强的学生约有900名．
20. 正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点，若．
（1）求正方形的边长.
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）通过证明，可得，即，则可求解；
（2）设，则，利用勾股定理列方程可求解．
【小问1详解】
解： ，
．
，
，
，
，
（负值舍去），
正方形的边长为3；
【小问2详解】
解：设，则，
则，．
在中，，
，
（舍去）或，
．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）点为y轴上一个动点，过图中所标的C点作垂直于y轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于 D，E两点，当点E位于点D右方时，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式．
（1）由得反比例函数解析式，再求出，待定系数法法求出一次函数解析式；
（2）根据点在点的右方，可从图象上直接写出函数值的取值范围即可．
【小问1详解】
解： 点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为：．
点在图象上，
，．
点，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
【小问2详解】
解：依题意，点位于点右方时，如图：或．
22. 如图，中，，以为直径的分别交边于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）由可得，由切线的性质可得，从而得到，，推出，即可得证；
（2）连接、，由（1）可得，，，即可求出，得到，由勾股定理可得，得到，由圆周角定理可得，证明，得到，求出，同理可得，，证明，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
，
是的切线，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接、，
，
由（1）可得，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，，
，
是的直径，
，
，
，，
，
，即，
，
，
同理可得：，，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
23. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）

（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围
【答案】（1），米
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
（2）过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，当时，则
解得：，，则，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；
（3）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则
解得：，
∴米．
【小问2详解】
解：如图，过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，
对于上边缘抛物线，当时，
则
解得：，，
则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到，
由（1）知米，
∴(米)
点的坐标为；
【小问3详解】
解：，
点的纵坐标为，
，解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，二次函数的图象的平移，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
24. 已知：如图，是锐角三角形，⊙O是以为直径的圆， 交 边于D，边于E.连结交于点 F，若
（1）求证：.
（2）连接， 若，求连接
（3）若， 连结， 作 于H点， 交 于M点，求证：
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据，证明即可；
（2）根据圆内接四边形的性质得出，再证明，利用相似三角形的性质得出即可求解；
（3）延长交延长线于点P，再证明，得出比例式，再证明即可．
【小问1详解】
证明：∵⊙O是以为直径的圆，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
．
【小问3详解】
解：延长交延长线于点P，
∵⊙O是以为直径的圆，
∴，
∵于H点，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆与相似的综合，解题关键是熟练运用圆周角的性质证明相似，利用相似三角形对应边成比例和解直角三角形求解．