2023-2024学年广西南宁市兴宁区七年级（下）期中数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西南宁市兴宁区七年级（下）期中数学模拟试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个选项中，为无理数的是( )
A. − 3B. 13C. 0D. −3
2.在平面直角坐标系中，点P(−2, 3)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是( )
A. 垂线段最短B. 点到直线的距离
C. 两点确定一条直线D. 两点之间，线段最短
4.下列运算正确的是( )
A. (−a)2=−a2B. 2a2−a2=2
C. a2⋅a=a3D. (a−1)2=a2−1
5.下列计算正确的是( )
A. 4=±2B. (−3)2=−3C. 179=79D. 3−8=−2
6.如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°.其中能判断a/​/b的条件是( )
A. ①③
B. ②④
C. ①③④
D. ①②③④
7.下列命题为真命题的有( )
①内错角相等；②无理数都是无限小数：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
8.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，若“帅”位于点(−1,−2)，“马”位于(3,−2)，则位于原点位置的是( )
A. 相B. 炮C. 车D. 兵
9.丫丫从学校骑自行车出发到图书馆，中途因道路施工步行了一段路，一共用了1.5小时到达图书馆.她骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km，设丫丫骑车的时间是x小时，步行的时间是y小时.则可列方程为( )
A. x+y=315x+5y=20B. x+y=1.515x+5y=20
C. x+y=1.55x+15y=20D. x+y=35x+15y=20
10.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为( )
A. 5x+6y=165x+y=6y+xB. 5x+6y=164x+y=5y+x
C. 6x+5y=166x+y=5y+xD. 6x+5y=165x+y=4y+x
11.一个正数的两个平方根分别是2a−5和−a+1，则a的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 9
12.如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自P0(1,0)处向上运动1个单位P1(1,1)，然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，……，如此继续运动下去，则P2022的坐标为( )
A. (−1011,1011)
B. (505,−504)
C. (504,−505)
D. (1011,1011)
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.计算：(3x)2= ______．
14.把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：为______．
15.一副直角三角板如图放置，点A在DE上，若BC/​/DE，则∠ACF的度数为______．
16.如图，在长方形ABCD纸片中，AD//BC，AB/​/CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置，若∠EFB=75°，则∠AED′等于______．
17.在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)、点B(1,2)，点A在x轴上，且三角形OAB的面积等于2，则点A坐标为______．
18.定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]=2，[ 3]=1，[4.1]=4，则满足[ n]=5，则n的最大整数为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)( 5)2+ (−3)2+3−8；
(2)(−2)3×18−327×(− 19).
20.(本小题8分)
求下列各式中x的值：
(1)(x−2)2=4；
(2)27x3=512．
21.(本小题8分)
补全下列证明过程：
已知：如图∠1+∠B=∠C，求证：BD/​/CE．
证明：如图，作射线AP，使AP/​/BD，
∴∠PAB=∠B(______)
又∵∠1+∠B=∠C (______)
∴∠1+∠PAB=∠C(______)
即∠PAC=∠C
∴AP//CE(______)
又∵AP/​/BD
∴BD//CE(______).
22.(本小题8分)
已知x2−2x+y2−6y+10=0，求x2y2+2xy+1的值．
23.(本小题10分)
【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1=∠2.求证：AB/​/CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD(已知)，
∴∠2=∠______(角平分线的定义)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠______(等量代换)，
∴AB/​/CD(______).
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB/​/CD.求证：∠1=∠2．
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE/​/BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE=4：5，直接写出∠E的度数．
24.(本小题10分)
某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价50元，乒乓球每盒定价10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠.该班需球拍5副，乒乓球x盒(不小于5盒)问：
(1)当需要40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为合算．
(2)当购买乒乓球数为多少盒时，甲乙两家商店所需费用一样．
25.(本小题10分)
阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪： 4×25= 100=10，
4×25=2×5=10，所以 4×25= 4× 25．
小明：( 4×25)2=4×25=100，
( 4×25)2=(2×5)2=100．
这就说明 4×25和 4× 25都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以 4×25= 4× 25．
任务：
(1)猜想：当a≥0，b≥0时， ab和 a× b之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明；
(2)运用以上结论，计算：① 16×36；② 49×121；
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为 32，宽为 8，求这个长方形的面积．
26.(本小题10分)
问题探究：
如图①，已知AB/​/CD，我们发现∠E=∠B+∠D.我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF/​/AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF=∠B，∠DEF=∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF//DE，则∠E=∠EBF，再证明∠ABF=∠D．
问题解答：
(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；
(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
(3)如图④，已知AB/​/CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC.若∠CED=3∠F，请直接写出∠F的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.− 3是无理数，故本选项符合题意；
B.13是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.−3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】B
【解析】解：点P(−2, 3)在第二象限，
故选：B．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
3.【答案】A
【解析】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．
故选：A．
根据垂线段最短即可求解．
本题考查了垂线段最短，关键是熟悉垂线段最短的知识点．
4.【答案】C
【解析】解：A.(−a)2=a2，故本选项不符合题意；
B.2a2−a2=a2，故本选项不符合题意；
C.a2⋅a=a3，故本选项符合题意；
D.(a−1)2=a2−2a+1，故本选项不符合题意；
故选：C．
利用乘法公式，合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，积的乘方法则将各式计算后进行判断即可．
A.根据幂的乘方运算法则判断；
B.根据合并同类项法则判断；
C.根据同底数幂的乘法法则判断；
D.根据完全平方公式判断．
5.【答案】D
【解析】解：A.根据算术平方根的定义， 4=2，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据乘方以及算术平方根的定义， (−3)2=3，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据算术平方根的定义， 179= 169=43，那么C错误，故C不符合题意．
D.根据立方根的定义，3−8=−2，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．
本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴a/​/b，故①正确．
∵∠3=∠6，
∴a/​/b，故②正确，
∵∠4+∠7=180°，∠4=∠6，
∴∠6+∠7=180°，
∴a/​/b，故③正确，
∵∠5+∠8=180°，∠5=∠3，∠8=∠2，
∴∠2+∠3=180°，
∴a/​/b，故④正确，
故选：D．
根据平行线的判定方法可以一一证明①、②、③、④都能判断a/​/b．
本题考查平行线的判定，记住同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，解题的关键是搞清楚同位角、内错角、同旁内角的概念，属于中考常考题型．
7.【答案】C
【解析】解：①两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
②无理数都是无限小数，是真命题：
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
故选：C．
根据无限小数的定义、平行线的性质和判定判断即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解无限小数的定义、平行线的性质和判定等知识，难度不大．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示：原点位于炮．
故选：B．
直接利用已知点坐标得出原点位置．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
9.【答案】B
【解析】、解：设丫丫骑车的时间是x小时，步行的时间是y小时，
由题意可得：x+y=1.515x+5y=20，
故选：B．
根据丫丫1.5小时后到达图书馆．骑车的平均速度是15km/h，步行的平均速度是5km/h，路程全长20km，可以列出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的方程组．
10.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
【解答】
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
5x+6y=164x+y=5y+x．
故选：B．
11.【答案】C
【解析】解：由题可知，
2a−5+(−a+1)=0，
解得a=4．
故选：C．
根据平方根的定义进行解题即可．
本题考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：由题意P1(1,1)，P5(3,3)，P9(5,5)，⋅⋅⋅P2021(1011,1011)，
P2022的纵坐标与P2021的纵坐标相同，
∴P2022(−1011,1011)，
故选：A．
根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题．
本题考查坐标与图形变化−平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
13.【答案】9x2
【解析】解：(3x)2=32⋅x2=9x2．
故填9x2．
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算．
本题考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
14.【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等
【解析】解：把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角是同位角，那么这两个角相等；
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，则如果后面是题设，那么后面是结论，即可得出答案．
此题考查了命题与定理，要掌握命题的结构，能把一个命题写成如果…那么…的形式，如果后面的是题设，那么后面的是结论．
15.【答案】15°
【解析】解：∵∠D=60°，∠ECD=90°，
∴∠E=180°−∠D−∠ECD=30°，
∵BC/​/DE，
∴∠ECB=∠E=30°，
∵∠B=45°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴∠ACF=∠BCA−∠ECB=45°−30°=15°，
故答案为：15°．
根据题意和三角板的特点，可以得到∠E和∠ACB的度数，再根据平行线的性质，可以得到∠BCE的度数，从而可以得到∠ACF的度数．
本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】30°
【解析】解：∵AD/​/BC，
∴∠DEF=∠EFB=75°，
由折叠得：
∴∠DEF=∠D′EF=75°，
∴∠AED′=180°−∠DEF−∠D′EF=30°，
故答案为：30°．
利用平行线的性质可得∠DEF=∠EFB=75°，然后利用折叠的性质可得∠DEF=∠D′EF=75°，从而利用平角定义进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17.【答案】(2,0)或(−2,0)
【解析】解：设点A的坐标为(x,0)，
∵S△ABO=2，
∴12×|x|×2，
即|x|=2，
∴x=2或x=−2，
∴点A的坐标为(2,0)或(−2,0)，
故答案为：(2,0)或(−2,0)．
设点A的坐标为(x,0)，根据S△OAB=2，得到12×|x|×2，即|x|=2，所以x=2或x=−2，即可解答．
本题考查了三角形面积、坐标与图形，解决本题的关键是设点A的坐标为(x,0)，根据S△OAB=2，得12×|x|×2．
18.【答案】25
【解析】解：由题意得：
∵4< n≤5，
∴16∴n的最大整数为25．
故答案为：25．
由题意得：4< n≤5，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．
19.【答案】解：(1)原式=5+3+(−2)
=8−2
=6；
(2)原式=(−8)×18−3×(−13)
=(−1)−(−1)
=−1+1
=0．
【解析】(1)原式利用平方根及立方根定义计算即可求出值；
(2)原式利用乘方的意义，算术平方根及立方根定义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵(x−2)2=4，
∴x−2=2或x−2=−2，
即x=4或x=0；
(2)∵27x3=512，
∴x3=51227，
∴x=351227，
即x=83．
【解析】(1)根据平方根的定义可得x−2=2或x−2=−2，进而求出答案；
(2)根据等式的性质以及立方根的定义进行计算即可．
本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
21.【答案】两直线平行，内错角相等 已知 等量代换 内错角相等，两直线平行 平行于同一直线的两直线平行
【解析】证明：如图，作射线AP，使AP/​/BD，
∴∠PAB=∠B(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠1+∠B=∠C(已知)，
∴∠1+∠PAB=∠C(等量代换)，
即∠PAC=∠C，
∴AP//CE(内错角相等，两直线平行)，
又∵AP/​/BD，
∴BD/​/CE(平行于同一直线的两直线平行)，
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：已知等式变形得：(x2−2x+1)+(y2−6y+9)=0，
∴(x−1)2+(y−3)2=0，
∴x−1=0，y−3=0，
解得：x=1，y=3，
∴xy=3，
则原式=(xy+1)2=42=16．
【解析】已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出x与y的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23.【答案】DCE DCE 内错角相等，两直线平行
【解析】【感知】解：∵CE平分∠ACD(已知)，
∴∠2=∠DCE(角平分线的定义)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠DCE(等量代换)，
∴AB/​/CD(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；
【探究】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2=∠DCE，
∵AB/​/CD，
∴∠1=∠DCE，
∴∠1=∠2；
【应用】∵BE平分∠DBC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AE//BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°，∠E=∠CBE，
∵∠ABC：∠BAE=4：5，
∴∠ABC=80°，
∴∠CBE=40°，
∴∠E=∠CBE=40°．
【感知】由角平分线的定义得∠2=∠DCE，再证∠1=∠DCE即可得出结论；
【探究】由角平分线的定义得∠2=∠DCE，再由平行线的性质得∠A=∠DCE，即可得出结论；
【应用】由角平分线的定义得∠ABE=∠CBE，再由平行线的性质得∠ABC+∠BAE=180°，∠E=∠CBE，然后求出∠ABC=80°，则∠CBE=40°，即可求解．
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)根据题意，
在甲商店购买，则需要：5×50+10×(40−5)=600(元)；
在乙商店购买，则需要：(5×50+10×40)×90%=585(元)；
而600元>585元，
答：去乙商店购买较为合算．
(2)根据题意可知：
在甲商店购买，则需要：5×50+10×(x−5)=(200+10x)元；
在乙商店购买，则需要：(5×50+10x)×90%=(225+9x)元；
200+10x=225+9x，
解得：x=25，
答：当购买乒乓球数为25盒时，甲乙两家商店所需费用一样．
【解析】(1)根据题意可知，在甲商店购买，则需要：5×50+10×(40−5)；在乙商店购买，则需要：(5×50+10×40)×90%，计算并比较即可；
(2)先列出在甲商店购买，则需要：5×50+10×(x−5)=(200+10x)元；在乙商店购买，则需要：(5×50+10x)×90%=(225+9x)元；当200+10x=225+9x时，求解出x的值，即可得出结果．
本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意正确列方程并求解是解题的关键．
25.【答案】解：(1) a× b= ab，
例如： 4×9= 4× 9=6；
(2)① 16×36= 16× 36=4×6=24；
② 49×121= 49× 121=7×11=77；
(3)∵长方形的长为 32，宽为 8，
∴S= 32× 8= 32×8=16，
答：这个长方形的面积为16．
【解析】(1)由题意可得 a× b= ab；
(2)① 16×36= 16× 36；② 49×121= 49× 121；
(3)由长方形的面积可求S= 32× 8，再化简求值即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键．
26.【答案】解：(1)如图②中，过点E作EF/​/AB，
因为AB/​/CD，EF/​/AB，
所以AB/​/EF/​/CD，
所以∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．
(2)如图③中，过点B作BF//DE交CD的延长线于G．
因为DE/​/FG，
所以∠EDC=∠G，∠DEB=∠EBF，
因为AB/​/CG，
所以∠G=∠ABF，
所以∠EDC=∠ABF，
所以∠DEB=∠EBF=∠ABE+∠ABF=∠ABE+∠EDC．
(3)如图④中，
因为AB/​/CD，
所以∠AEC=∠C，
因为EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
所以∠AEF=∠CEF，∠CDF=∠EDF，
设∠AEF=∠CEF=x，∠CDF=∠EDF=y，
因为180°−∠F−∠CEF−∠EDF=180°−∠C−∠CDE，
所以180°−∠F−x−y=180°−2x−2y，
则∠F=x+y，
因为∠CED=3∠F，
所以∠CED=3x+3y，
因为AB/​/CD，
所以∠BED=∠CDE=2y，
因为∠AEC+∠CED+∠DEB=180°，
所以5x+5y=180°，
所以x+y=36°，
所以∠F=36°．
【解析】(1)如图②中，过点E作EF/​/AB，利用平行线的性质证明即可．
(2)如图③中，过点B作BF//DE交CD的延长线于G.利用平行线的性质证明即可．
(3)设∠AEF=∠CEF=x，∠CDF=∠EDF=y，则∠F=x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB=180°，构建方程求出x+y可得结论．
本题考查平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．