2022年广西南宁市兴宁区三美学校中考数学模拟试卷（一）（含解析）

2022年广西南宁市兴宁区三美学校中考数学模拟试卷（一）

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 若海平面以上记作，则海平面以下记作

A.  B.  C.  D.

2. 某运动会颁奖台如图所示，如果从正面的方向去观察它，得到的平面图形是

A.
B.
C.
D.
 

3. 北京年冬奥会计划使用个场馆．国家速滑馆是主赛区的标志性场馆，也是唯一新建的冰上比赛场馆，冰表面积为平方米，数字用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算中，正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 一元二次方程根的情况是

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根

6. 下列说法正确的是

A. 甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定
B. 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
C. 一组数据，，，，，，，它的众数是
D. 要了解我国中学生的视力情况应做抽样调查

7. 在平面直角坐标系中有三个点的坐标：，，从、、三个点中取一个点，则落在抛物线上的概率是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，函数的图象分别与轴、轴交于，两点，线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

9. 某种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在半径为的中，点，，都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

11. 甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，王强跑步从甲地往乙地，李刚骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，李刚先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是

A. 两人出发小时后相遇 B. 李刚到达目的地时两人相距
C. 甲乙两地相距 D. 王强比李刚晚到达目的地

12. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点与轴交于点，对称轴为，则下列四个结论：；；时，；其中正确结论的个数为

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共6小题，共18分）

13. 的平方根是______．
14. 如果一个边形的外角和是内角和的一半，那么 ______ ．
15. 分解因式：______．
16. 如果方程有两个不等实数根，则实数的取值范围是______．
17. 如图，为的中位线，点在上，且为直角，若，，则的长为______．
     

18. 已知，，，，，，推测的个位数字是______．

三．计算题（本题共1小题，共6分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共7小题，共60分）

20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点，，均为网格线的交点．
    在给定的网格中，以点为位似中心，将线段放大为原来的倍，得到线段点，的对应点分别为，，画出线段；
    将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段；
    以，，，为顶点的四边形的面积是______个平方单位．
    
    
    
    
    
    
     
22. 年月日，“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星．某学校组织首届“航天梦报国情”航天知识竞赛活动，九年级全体同学参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小彬进行了下列统计活动．收集数据：现随机抽取九年级名同学“航天知识竞赛”的成绩单位：分如下：
    整理分析：小彬按照如下表格整理了这组数据，并绘制了如下的频数分布直方图和频数分布表．

请直接写出，的值，并补全图形．
活动组委会决定，给“航天知识竞赛”成绩在分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校九年级人中约有多少人将获得“小宇航员”称号．
本次活动中获得“小宇航员”称号的小颖得到了，，，四枚纪念章除图案外完全相同她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，从中随机选取两枚送给小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚是的概率．

23. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对，如图，在中，，底角的邻对记作，这时容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
    ______，若，则______
    如图，在中，，，，求的周长．

24. 第届中国---东盟博览会将于年月日在南宁举行，某纪念品专卖店为抓住这次商机，决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元；若购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元．
    求甲、乙两种纪念品的进价分别为多少元？
    该店决定购进这两种纪念品共件甲种纪念品不少于件，由于资金限制，用于购买这件纪念品的资金不超过元．若销售每件甲种纪念品可获利润元，每件乙种纪念品可获利润元，那么该店购进甲种纪念品多少件时可获得最大利润所有纪念品均可全部售出？最大利润为多少？
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，以矩形的边为直径作，点是的中点，连接交于点，连接并延长交于点．
    若连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
    求证：是的切线；
    若，，则的长为______．
     

26. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．
    求抛物线的表达式；
    如图，点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
    如图，过点作直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：若海平面以上记作，则海平面以下记作．
故选：．
根据海平面以上为正，海平面以下为负解答．
此题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
 

2.【答案】

【解析】

解：从几何体的正面看到的图形是，
故选：．
利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

解：、，故本选项错误；
B、不能合并，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选：．
根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可．
本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
先把一元二次方程整理为一般形式，再计算的值，根据一元二次方程根与系数的关系即可判断．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，根据方差越小越稳定，说明甲的跳远成绩比乙稳定，故A错误，不符合题意；
B、因为，所以用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连不能组成一个三角形；故B错误，不符合题意；
C、一组数据，，，，，，，它的众数是和，故C错误，不符合题意；
D、要了解我国中学生的视力情况应做抽样调查，故D正确，符合题意；
故选：．
利用调查的方式的判断、三角形的三边关系、众数、方差的意义等知识分别进行判断即可确定正确的选项．
本题考查了调查的方式的判断、三角形的三边关系、众数、方差的意义等知识，考查的知识较多，但难度不大．
 

7.【答案】

【解析】

解：根据题意可知共有种等可能的结果数，其中落在抛物线上的结果数为，
所以落在抛物线上的概率是．
故选：．
根据题意可知共有种等可能的结果数，再找出落在抛物线上的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
 

8.【答案】

【解析】

解：过点作轴于，如图．
的图象分别与轴、轴交于，两点，
当时，，则，
当时，，解得，则．
线段绕点顺时针旋转，
，，
，
而，
．
在和中
，
≌，
，，
，
点坐标为．
故选：．
过点作轴于，如图，先利用一次函数图象上点的坐标特征确定，，再证明≌，得到，，则点坐标可求．
本题考查的是一次函数图象与几何变换，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，证明≌是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为，
根据年蔬菜产量为吨，则年蔬菜产量为吨
，年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，
即：或．
故选：．
利用增长后的量增长前的量增长率，设平均每次增长的百分率为，根据“从吨增加到吨”，即可得出方程．
此题考查了一元二次方程的应用增长率问题解题的关键在于理清题目的含义，找到年和年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
连接，根据平行四边形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：连接，

四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选A．  

11.【答案】

【解析】

解：由图象可知，
甲乙两地相距，故选项C正确，不符合题意；
两人出发小时后相遇，故选项A正确，不符合题意；
王强跑步的速度为，
李刚骑自行车的速度为：，
李刚骑自行车从开始到到达目的地用的时间为：，
李刚到达目的地时两人相距，
故选项B错误，符合题意；
故王强比李刚晚到达目的地，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据函数图象中的数据，可以分别计算出两人的速度，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

12.【答案】

【解析】

解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴相交于正半轴，
，
则，
即正确，
该二次函数的对称轴为：，
整理得：，
即正确，
抛物线对称轴为，点的坐标为：，
则点的坐标为：，
由图象可知：当时，，
即正确，
由图象可知，当时，函数值为，
把代入得：，
，
，
，

即正确，
故选：．
开口向下，，抛物线与轴交于负半轴，，，判断判断；根据对称轴为，即，判断；根据函数图象可以判断；时，由，得到，由于，得出可以判断．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性．
 

13.【答案】

【解析】

解：，
的平方根是．
故答案为：．
根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

14.【答案】

【解析】

解：由题意得，
解得．
故答案为：．
根据边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理．解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
 

15.【答案】

【解析】

解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．
 

16.【答案】

且
 

【解析】

解：方程有两个不等实数根，
且，即，解得，
实数的取值范围为且．
故答案为且．
根据一元二次方程的根的判别式意义由题意得且，即，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

17.【答案】

【解析】

解：为的中位线，
，
为直角，是的中点，即是直角的中线，
，
．
故答案是：．
根据三角形的中位线定理求得的长，然后根据是直角斜边上的中线，求得的长，则即可求得．
本题考查了三角形的中位线定理以及直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

18.【答案】

【解析】

解：，，，，，，，
的个位数字按，，，四次一循环的规律出现，
，
的个位数字是，
故答案为：．
由题意得的个位数字按，，，四次一循环的规律出现，可通过计算的余数求解．
此题考查了解决实数尾数特征规律问题的能力，关键是能通过计算、归纳出该问题循环出现的规律．
 

19.【答案】

解：


．
 

【解析】

先计算乘法的分配律、乘方和二次根式，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算方法和顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

20.【答案】

解：原式


，
当时，
原式．
 

【解析】

先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

21.【答案】

解：如图所示，线段即为所求；
如图所示，线段即为所求；

．
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用位似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．
以点为位似中心，将线段放大为原来的倍，即可画出线段；
将线段绕点逆时针旋转得到线段，即可画出线段；
连接，即可得到四边形为正方形，进而得出其面积．
【解答】
解：见答案；
见答案；
由图可得，四边形为正方形，
四边形的面积是．
故答案为．  

22.【答案】

解：由题意得：，
则，
补全图形如图所示：

估计该校九年级人中，获得“小宇航员”称号的约为人；
画树状图如下：

由图可知，共有种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚是的结果有种，
小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚是的概率．
 

【解析】

由已知数据得，则，补全频数分布直方图即可；
由该校九年级总人数乘以获得“小宇航员”称号的同学所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚是的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】

【解析】

解：如图：过点作，垂足为，

，，
，
，
，
，
，
若，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：，；
过点作，垂足为，

，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
，，
的周长为，
答：的周长为．
根据定义，要求的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点作，垂足为，根据，可得：，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出即可解答，
根据定义，，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得；
根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点作，垂足为，，所以设，，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用，列出关于的方程即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键．
 

24.【答案】

解：设购进甲种纪念品的进价为元、乙种纪念品的进价为元，
由题意得：，解得，
答：甲种纪念品的进价为元，乙种纪念品的进价为元；
设购进甲种纪念品件，则购进乙种纪念品件，由题意可得：
，
解得，
，
是整数，
，，，，
设利润为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，
此时，
答：当购进甲种纪念品件时，可以获得最大利润，最大利润是元．
 

【解析】

设购进甲种纪念品的进价为元、乙种纪念品的进价为元，根据购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元；若购进甲种纪念品件，乙种纪念品件，需要元，列出方程组，求出甲乙的单价；
设购进甲种纪念品件，根据甲纪念品的进货价乙纪念品的进货价元，甲种纪念品不少于件，列出不等式组或不等式，确定的取值范围．根据总利润甲种纪念品的利润乙种纪念品的利润，得函数关系，利用一次函数的性质，得结论．
本题主要考查二元一次方程组和一次函数的实际应用，根据题意找到相等关系是关键．根据题意列出不等式确定的取值范围即是重点也是本题的难点．
 

25.【答案】

【解析】

解：连接，四边形是平行四边形．

四边形是矩形，
，．
是的中点，
．
是的直径，
．
，．
四边形为平行四边形．
证明：由得，四边形为平行四边形，

，．

．
．
在和中，，，
≌．
．
四边形是矩形，
．
，即．
点在上，
是的切线．
为的直径，，
，为的切线，
又是的切线，
，，
设，
，
，
，
，
在中，，
，
解得．
．
故答案为：．
证明，，可得四边形为平行四边形；
根据证明≌，可得，证得，则结论得证；
由切线长定理可得，，设，则，，可得，在中，可得，得出关于的方程，
解出即可．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及切线长定理；熟练掌握切线的判定定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

26.【答案】

解：将，两点坐标代入抛物线得：
，
解得：．
抛物线的表达式为：．
设直线的解析式为，则：
，
解得：．
直线的解析式为．
过点作直线轴，交于点，如下图，

点坐标为，点坐标为，
．
设点，则点，
．
，
．
，
当时，．
当时，，
．
当的面积最大时，点的坐标；
直线上存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离．
设点的坐标为，则，．
过点作于点，连接，如下图，

设直线的解析式为：，
，
解得：．
直线的解析式为：．
设直线交轴于点，则，
，
，
．
轴于点，
，
，
．
点到直线的距离等于点到点的距离，
．
．
．
．
解得：或．
或．
在直线上存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离，的坐标为或．
 

【解析】

将，两点坐标代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
设点，求得直线的解析式，过点作直线轴，交于点，则点，可得线段的长度，利用，得出关于的关系式，利用配方法可得当的面积最大时的的值，则点的坐标可求；
依据题意画出图形，求出直线的解析式，进而得出；设点的坐标为，则，利用点到直线的距离等于点到点的距离列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，利用点的坐标表示相应线段的长度，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上嗲的坐标的特征，勾股定理，一元二次方程的解法．利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．