陕西省西安市西安交大附中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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（满分120分，时间120分钟）
注意：本试题共4页，共4道大题．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，求模即可.
【详解】∵，，∴，
∴.
故选：C.
2. 下列各式中结果为零向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项不正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：D
3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件及余弦定理的推论即可求解.
【详解】由，得，
由余弦定理的推理得，
又因为,
所以.
故选：C.
4. 已知，是方程的两根，且，，则的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可.
【详解】由题知，，是方程的两根，
所以，即，
因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
故选：B
5. 已知向量不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（ ）
A 1B. －C. 1或－D. －1或－
【答案】B
【解析】
【分析】因为与反向共线，所以，建立等量关系，求解即可.
【详解】因为与反向共线，所以，
即，因为向量不共线，
所以，解得：或，因为且，所以.
故选：B
6. 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为的等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可计算出AB长，由此建立平面直角坐标系，设点P的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果.
【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，，
在中， ,；
如图以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则有，，由于，故可设P点坐标为,且，
所以，，
所以，
因为，当时，取得最小值 ，当 时，取得最大值为0，
所以，
故选：C.
7. 已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足，则O点一定是△ABC的（ ）
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
由所给等式利用数量积的定义可得，推出O点为的角平分线上的点，同理O点为的角平分线上的点，即可判断.
【详解】，，
即，
，O点为的角平分线上的点，
同理可得O点为的角平分线上的点，
所以O点为△ABC角平分线的交点，O点是一定是△ABC的内心.
故选：B
【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算律、三角形内心的概念，属于中档题.
8. 平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，，作关于的对称点，如图根据向量的线性运算化简题中的等式，利用点关于直线的对称性可得，结合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根据即可求解.
【详解】解：由题意得：
如图所示：
设，则点在线段OB上运动
故
设
，即
作关于的对称点，设
，即
在中，，，
由余弦定理可得：，解得：
故选：C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对A，B，根据二倍角的余弦，正弦公式即可判断；对C，利用辅助角公式即可判断；对D根据两角差的正切公式，即可求解.
【详解】解：对A，，
，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D错误.
故选：AB.
10. 设，向量，向量，则（ ）
A. 必不互为平行向量
B. 必不互为垂直向量
C. 存在，使
D. 对任意
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平行向量、垂直向量、相等向量的坐标表示以及向量的数量积运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若互相平行，则，
即，又，，
则，即，显然不成立，
故必不互为平行向量，A正确；
对B：若，则，，
此时，与垂直，故B错误；
对C：若，则，且，
即，且，又，，
则，且，显然无法同时成立，
即不可能相等，故C错误；
对D：，
则，故对任意，D正确.
故选：AD.
11. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与的夹角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的新定义，结合向量的数量积、向量的夹角公式和向量模的计算公式，逐项计算，即可求解.
【详解】由向量分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量且，
可得，
因为，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C不正确；
对于D中，由，可得且，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
12. 已知点是所在平面内一点，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则点是边的中点
B. 若点是边上靠近点的三等分点，则
C. 若，则与的面积相等
D. 若点在边的中线上，且，则点是的重心
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平面向量线性法则及共线定理判断即可.
【详解】对于A：当，则，
即，即，所以，故A错误；
对于B：若点是边上靠近点的三等分点，所以，
所以，
又，且、不共线，所以，故B正确；
对于C：若，则，
所以，
如图延长到点使得，延长到点使得，则，，
所以，所以、、三点共线，
又为三角形的中位线，所以、到的距离相等，所以，故C正确；
对于D：取的中点，所以，
又点在边的中线上，设，

所以，
又，所以，又，所以，即，
此时为的中点，则点不是的重心，故D错误；
故选：BC
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式，即可求的值.
【详解】由知：．
故答案为：.
14. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
15. 已知向量，.若为锐角，则x的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的夹角定义及向量的数量积运算求解即可．
【详解】∵为锐角，
∴，且，不共线，
∴，解且，
∴x的取值范围为．
故答案为：．
16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a=2，⊙O为△ABC的外接圆，.
（1）若m=n=1，则________.
（2）若m，，则点P的轨迹所对应图形的面积为________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）若，将两边同时平方，计算得出结果；
（2）若m，，讨论点P的轨迹，得出是菱形，再去求面积即可.
【详解】∵，，为的外接圆，
∴，，.
（1）若，则，
.
（2）若m，，则点P的轨迹：
当，时，，此时点P在线段上；
当，时，，此时点P在线段上；
当，时，，构造平行四边形，此时点P在线段上（如图1）；
当，时，，构造平行四边形，此时，点P在线段上；
当m，时，，此时，点P在菱形内部，（如图3）；
综上，P点的轨迹为菱形组成的图形区域，则
.
四、解答题（本题共6小题，共56分）
17. 在平面直角坐标系中，已知点,，
（1）求的值；
（2）是坐标平面上的点，，，求的最小值.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再根据模长公式可求出结果；
（2）先求出，再根据模长公式以及二次函数知识可得结果.
【小问1详解】
因为,，所以，
故.
因为，所以.
【小问2详解】
，
，
，
因为，所以当时，取得最小值为.
18. 已知在中，，，分别是角A，，所对的边，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，判断三角形的形状.
【答案】（1）；（2）三角形是等边三角形.
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简已知式得，再结合三角形内角的取值范围即得角A即可；
（2）先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再解方程即得，即可判断结果.
【详解】解：（1）∵，
，即，
又A为三角形的内角，有，
∴，解得；
（2）∵，，，
∴，即①，
由余弦定理得：，即，解得②，
联立①②，解得：.
所以三角形是等边三角形.
【点睛】方法点睛：
求解三角形中有关边长、角、面积的相关问题时，通常结合三角恒等变换，利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数、方程或基本不等式求解.
19. 如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得这三点的俯角分别为，，，现计划沿直线开通一条穿山隧道，经测量m，m，m.
（1）求长；
（2）求隧道的长（精确到1m）.
附：；.
【答案】（1）m；（2）m.
【解析】
【分析】（1）由题意，得，，然后利用正弦定理代入求解；
（2）由题意得，，再利用正弦定理计算，从而求解得
【详解】（1）由题意，，，所以，
，，，
所以，即，
得m.
（2）因为，所以，，
又，
所以，即，
得m，
所以m.
20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.
（1）若，试用，和实数表示；
（2）试用，表示；
（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据向量加减法运算即可;
(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;
(3)应用向量共线且有公共点证明即可.
【小问1详解】
由题意，所以，
①
【小问2详解】
设，由，，
②
由①、②得，，
所以，解得，所以；
小问3详解】
由，得，所以，
所以，因为与有公共点，所以，，三点共线.
21. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知；
（1）求角B的大小及的取值范围；
（2）设D是上一点，且，求的最大值；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化简后求角B的值，再将化简为三角函数求值域
（2）由余弦定理化简后求解
【小问1详解】
由余弦定理知：
又由正弦定理化简得：
化简得，则
又，
【小问2详解】
由题意得，
在与中，分别有，
又，化简得
整理得：
令，则
的最大值为
22. 已知函数的部分图象如图所示，点为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在处取得最小值．
（1）求参数和的值；
（2）若点P为函数图象上的动点，当点在之间（包含）运动时，恒成立，求实数A的取值范围．
（3）若是函数图象上的两点，满足与共线，且的中点不在函数的图象上，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；
（2）利用向量运算法则得出，将恒成立转化为，利用数形结合的手段求出其最小值代入计算即可；
（3）由与共线得出，结合表达式计算得到或，，代入检验舍去，的情况，再代入所求式计算即可
【小问1详解】
因为的相邻两条对称轴之间的距离为2，所以，
由，所以，
又时，取最小值，则，
所以，又因为，则时，，
【小问2详解】
，
由图象可知，当点P与点C或点E重合时，取到最大值，
此时，即恒成立，解得，
所以实数A的取值范围为
【小问3详解】
由，得，
设，即，
又与共线，所以，
又，且在图象上，
所以，
则或，
化简得或，，
当，时，MN的中点，在函数的图像上，不符合题意，舍去，所以，，
则